Acceleration Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ यदि कोई वस्तु एक सीधी रेखा में चलती है और समान समय अंतराल में उसका वेग समान मात्रा में बढ़ता या घटता है,तो उसे एकसमान त्वरण में कहा जाता है।
$(ii)$ यदि किसी वस्तु के वेग के परिवर्तन की दर स्थिर नहीं है,अर्थात समान समय अंतराल में उसका वेग असमान मात्रा में बदलता है,तो उसे असमान त्वरण में कहा जाता है।

(B) बस की प्रारंभिक गति $(u)$ = $80 \times \frac{5}{18} = 22.22 \, m/s$.
बस की अंतिम गति $(v)$ = $60 \times \frac{5}{18} = 16.66 \, m/s$.
लिया गया समय $(t)$ = $5 \, s$.
त्वरण $(a)$ ज्ञात करने का सूत्र $a = \frac{v - u}{t}$ है।
मान रखने पर: $a = \frac{16.66 - 22.22}{5} = \frac{-5.56}{5} = -1.112 \, m/s^2$.
अतः,बस का त्वरण $-1.112 \, m/s^2$ है।

(C) ट्रेन का प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m/s$.
ट्रेन का अंतिम वेग,$v = 40 \, km/h = 40 \times \frac{5}{18} \, m/s = 11.11 \, m/s$.
लिया गया समय,$t = 10 \, min = 10 \times 60 \, s = 600 \, s$.
त्वरण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a = \frac{v - u}{t}$.
मान रखने पर,$a = \frac{11.11 - 0}{600} = 0.0185 \, m/s^{2}$.
अतः,ट्रेन का त्वरण $0.0185 \, m/s^{2}$ है।

(D) दिया गया है कि विस्थापन $s$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं $s = kt^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$।
चूँकि $2k$ एक स्थिरांक है,इसलिए वस्तु का त्वरण स्थिर या एकसमान है।
अतः,वस्तु एकसमान त्वरण के साथ गति करती है।

(B) वेग-समय ग्राफ की ढाल को वेग में परिवर्तन और समय में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\text{ढाल} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है $(a = \frac{dv}{dt})$, इसलिए वेग-समय ग्राफ की ढाल वस्तु का त्वरण दर्शाती है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) त्वरण को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\text{त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{लिया गया समय}}$
वेग की $SI$ इकाई $\text{मीटर प्रति सेकंड}$ ($m/s$ या $m s^{-1}$) है और समय की $SI$ इकाई $\text{सेकंड}$ $(s)$ है।
इन इकाइयों को सूत्र में रखने पर:
$\text{त्वरण की इकाई} = \frac{m s^{-1}}{s} = m s^{-2}$
इसलिए,$(second)^{2}$ हर (denominator) में आता है क्योंकि वेग को समय से विभाजित किया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप हर में समय की इकाई का वर्ग हो जाता है।

(B) वस्तु का विस्थापन $s$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,जिसे $s \propto t^2$ या $s = kt^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ के अनुसार,यदि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,तो $s = \frac{1}{2}at^2$ होता है।
$s = kt^2$ की तुलना $s = \frac{1}{2}at^2$ से करने पर,हमें $k = \frac{1}{2}a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a = 2k$ है।
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $a$ भी स्थिर रहता है।
अतः,वस्तु एकसमान त्वरण के साथ गति कर रही है।

(C) वेग$-$समय ग्राफ की ढाल को वेग में परिवर्तन और समय में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\text{Slope} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
चूंकि समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहा जाता है, इसलिए वेग$-$समय ग्राफ की ढाल वस्तु के त्वरण को दर्शाती है।

(N/A) $(i)$ समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहा जाता है।
$(ii)$ यदि किसी वस्तु का वेग गति की दिशा में बढ़ता है,तो त्वरण को धनात्मक माना जाता है।
$(iii)$ यदि किसी वस्तु का वेग घटता है,तो त्वरण को ऋणात्मक माना जाता है (जिसे मंदन भी कहा जाता है),जिसका अर्थ है कि त्वरण गति की दिशा के विपरीत दिशा में है।

(N/A) $(i)$ यदि किसी वस्तु का वेग समय के साथ बढ़ रहा है,तो त्वरण धनात्मक कहलाता है।
$(ii)$ यदि किसी वस्तु का वेग समय के साथ घट रहा है,तो त्वरण ऋणात्मक कहलाता है।

(N/A) त्वरण को किसी वस्तु के वेग में समय के साथ परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,इसे $a = (v - u) / t$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
प्रारंभिक वेग $(u)$,अंतिम वेग $(v)$,त्वरण $(a)$ और समय $(t)$ को जोड़ने वाला संबंध गति के पहले समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u + at$.
एक समान त्वरित गति का एक उदाहरण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की गति है।

(N/A) $(i)$ धनात्मक त्वरण: यह तब होता है जब किसी वस्तु का वेग समय के साथ बढ़ता है। उदाहरण: एक सीधी सड़क पर विराम अवस्था से गति बढ़ाने वाली कार।
$(ii)$ ऋणात्मक त्वरण (मंदन): यह तब होता है जब किसी वस्तु का वेग समय के साथ घटता है। उदाहरण: चलती हुई कार में ब्रेक लगाना,जिससे उसकी गति धीमी हो जाती है।
$(iii)$ शून्य त्वरण: यह तब होता है जब कोई वस्तु एक समान वेग (एकसमान गति) से चलती है,जिसका अर्थ है कि गति या दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। उदाहरण: एक सीधी,समतल सड़क पर $60 \ km/h$ की स्थिर गति से चलती हुई कार।

(B) प्रारंभिक वेग $u = 80 \, km \, h^{-1} = 80 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{9} \, m \, s^{-1} \approx 22.22 \, m \, s^{-1}$ है।
अंतिम वेग $v = 50 \, km \, h^{-1} = 50 \times \frac{5}{18} = \frac{125}{9} \, m \, s^{-1} \approx 13.89 \, m \, s^{-1}$ है।
समय $t = 4 \, s$ है।
त्वरण के सूत्र $a = \frac{v - u}{t}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{\frac{125}{9} - \frac{200}{9}}{4} = \frac{-75}{9 \times 4} = \frac{-75}{36} = -2.083 \, m \, s^{-2}$ है।
ऋणात्मक चिह्न मंदन (retardation) को दर्शाता है।

(A) दिया गया है कि विस्थापन $s$ समय $t$ के घन के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं $s = kt^3$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^3) = 3kt^2$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3kt^2) = 6kt$.
चूंकि $a = 6kt$,इसलिए त्वरण $a$ समय $t$ के सीधे समानुपाती है। अतः,त्वरण का परिमाण समय के साथ बढ़ता है।

(D) दिया गया है कि दूरी $s$,समय $t$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है,इसलिए हम लिख सकते हैं: $s \propto t^2$ या $s = kt^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम दूरी का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $2k$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,पिंड का त्वरण स्थिर (अचर) है।

(A) किसी पिंड का औसत वेग $(v_{avg})$ उसके प्रारंभिक वेग $(u)$ और अंतिम वेग $(v)$ के माध्य के बराबर तभी होता है जब त्वरण $(a)$ स्थिर या एकसमान हो।
गणितीय रूप से,$v_{avg} = \frac{u + v}{2}$।
यह सूत्र एकसमान त्वरण के अंतर्गत गति के समीकरणों से प्राप्त होता है,विशेष रूप से $v = u + at$।
औसत वेग के सूत्र में $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $v_{avg} = \frac{u + (u + at)}{2} = \frac{2u + at}{2} = u + \frac{1}{2}at$।
चूंकि यह संबंध एकसमान त्वरण वाली गति के लिए सत्य है,इसलिए पिंड का त्वरण एकसमान (Uniform) होना चाहिए।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
त्वरण को समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,इसे $a = \frac{v - u}{t}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,और $t$ लिया गया समय है।