Equations of Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m s^{-1}$
त्वरण,$a = 0.1\, m s^{-2}$
समय,$t = 2\, min = 120\, s$
$(a)$ प्राप्त की गई चाल $(v)$ ज्ञात करने के लिए:
गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर,$v = u + at$
$v = 0 + (0.1\, m s^{-2} \times 120\, s)$
$v = 12\, m s^{-1}$
$(b)$ तय की गई दूरी $(s)$ ज्ञात करने के लिए:
गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = (0 \times 120) + \frac{1}{2} \times 0.1 \times (120)^2$
$s = 0 + 0.05 \times 14400$
$s = 720\, m$
अतः,प्राप्त की गई चाल $12\, m s^{-1}$ है और तय की गई दूरी $720\, m$ है।

(A) ट्रेन की प्रारंभिक गति,$u = 90\, km/h = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m/s$.
ट्रेन की अंतिम गति,$v = 0\, m/s$ (क्योंकि ट्रेन रुक जाती है)।
त्वरण,$a = -0.5\, m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $(0)^2 = (25)^2 + 2(-0.5)s$.
$0 = 625 - 1s$.
$s = 625\, m$.
अतः,ट्रेन रुकने से पहले $625\, m$ की दूरी तय करेगी।

(A) ट्रॉली का प्रारंभिक वेग,$u = 0 \,m \,s^{-1} = 0 \,cm \,s^{-1}$।
त्वरण,$a = 2 \,m \,s^{-2} = 200 \,cm \,s^{-2}$।
समय,$t = 3 \,s$।
गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर,$v = u + at$।
मान रखने पर: $v = 0 + (200 \,cm \,s^{-2} \times 3 \,s)$।
$v = 600 \,cm \,s^{-1}$।
अतः,$3 \,s$ बाद ट्रॉली का वेग $600 \,cm \,s^{-1}$ होगा।

(C) कार का प्रारंभिक वेग,$u = 0 \,m s^{-1}$ है।
त्वरण,$a = 4 \,m s^{-2}$ है।
समय,$t = 10 \,s$ है।
हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$।
मान रखने पर: $s = (0 \times 10) + \frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2$।
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 100$।
$s = 2 \times 100 = 200 \,m$।
अतः,$10 \,s$ में कार द्वारा तय की गई दूरी $200 \,m$ है।

(D) दिया गया है: पत्थर का प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m s^{-1}$।
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \, m s^{-1}$।
त्वरण $a = -10 \, m s^{-2}$ (क्योंकि यह नीचे की ओर कार्य करता है)।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (5)^2 = 2 \times (-10) \times s$
$-25 = -20s$
$s = \frac{-25}{-20} = 1.25 \, m$।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = 5 + (-10)t$
$10t = 5$
$t = 0.5 \, s$।
अतः,प्राप्त ऊँचाई $1.25 \, m$ है और लगा समय $0.5 \, s$ है।

(D) दिया गया है: मोटरबोट का प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m s^{-1}$.
मोटरबोट का त्वरण,$a = 3.0 \, m s^{-2}$.
समय अंतराल,$t = 8.0 \, s$.
हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$s = (0 \times 8.0) + \frac{1}{2} \times 3.0 \times (8.0)^2$.
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 3.0 \times 64$.
$s = 3.0 \times 32$.
$s = 96 \, m$.
अतः,इस समय के दौरान नाव $96 \, m$ की दूरी तय करती है।

(C) मान लीजिए कि गेंद जिस अंतिम वेग से जमीन से टकराती है वह $v$ है और लिया गया समय $t$ है।
गेंद का प्रारंभिक वेग,$u = 0 \, m s^{-1}$।
दूरी या गिरने की ऊँचाई,$s = 20 \, m$।
नीचे की ओर त्वरण,$a = 10 \, m s^{-2}$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$।
$v^2 = 2as + u^2$।
$v^2 = 2 \times 10 \times 20 + 0^2 = 400$।
अतः,अंतिम वेग $v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$।
$20 = 0 + 10 \times t$।
अतः,समय $t = 20 / 10 = 2 \, s$।

(C) दिया गया है: डंबल का द्रव्यमान,$m = 10\, kg$।
तय की गई दूरी,$s = 80\, cm = 0.8\, m$।
त्वरण,$a = 10\, m \,s^{-2}$।
प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m \,s^{-1}$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$:
$v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4\, m \,s^{-1}$।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है: $p = m \times v$।
$p = 10\, kg \times 4\, m \,s^{-1} = 40\, kg\, m \,s^{-1}$।
अतः,डंबल फर्श पर $40\, kg\, m \,s^{-1}$ का संवेग स्थानांतरित करेगा।

(A) ऊपर जाने का समय और नीचे आने का समय समान होता है। गेंद अपनी ऊपर और नीचे की यात्रा के लिए कुल $6\, s$ का समय लेती है।
इसलिए,अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करने के लिए उसने $3\, s$ का समय लिया है।
अधिकतम ऊँचाई पर गेंद का अंतिम वेग,$v = 0\, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 9.8 \times 3 = 29.4\, m/s$.
अतः,गेंद को $29.4\, m/s$ के वेग से ऊपर फेंका गया था।
$(b)$ मान लीजिए गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है।
ऊपर की यात्रा के दौरान प्रारंभिक वेग,$u = 29.4\, m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0\, m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$h = 29.4 \times 3 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 88.2 - 44.1 = 44.1\, m$.
अतः,अधिकतम ऊँचाई $44.1\, m$ है।
$(c)$ गेंद $3\, s$ बाद अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करती है। इस ऊँचाई को प्राप्त करने के बाद,यह नीचे गिरना शुरू कर देगी।
इस स्थिति में,प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m/s$.
फेंकने के $4\, s$ बाद गेंद की स्थिति उसकी नीचे की यात्रा के दौरान $4\, s - 3\, s = 1\, s$ में तय की गई दूरी द्वारा दी जाती है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1^2 = 4.9\, m$.
अब,कुल ऊँचाई $44.1\, m$ है।
इसका अर्थ है कि $4\, s$ बाद गेंद जमीन से $39.2\, m$ $(44.1\, m - 4.9\, m)$ की ऊँचाई पर है।

(B) जब किसी पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो वह अपनी अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है जहाँ उसका अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के तीसरे समीकरण के अनुसार: $v^2 = u^2 + 2as$।
यहाँ,$v = 0$,$a = -g$ (गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर कार्य करता है),और $s = h$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0^2 = u^2 + 2(-g)h$।
$0 = u^2 - 2gh$।
$2gh = u^2$।
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h = u^2 / (2g)$ है।

(N/A) जब कोई वस्तु एकसमान वेग से गति करती है,तो उसका त्वरण $(a)$ $0$ होता है और अंतिम वेग $(v)$,प्रारंभिक वेग $(u)$ के बराबर होता है,अर्थात $v = u$।
$1$. गति का पहला समीकरण $v = u + at$,$v = u + (0)t$ हो जाता है,जो सरल होकर $v = u$ प्राप्त होता है।
$2$. गति का दूसरा समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$,$s = ut + (1/2)(0)t^2$ हो जाता है,जो सरल होकर $s = ut$ प्राप्त होता है।
$3$. गति का तीसरा समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$,$v^2 - u^2 = 2(0)s$ हो जाता है,जो सरल होकर $v^2 - u^2 = 0$ या $v^2 = u^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि वस्तु विरामावस्था से चलना शुरू करती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
पहले $2 \, s$ के लिए,दूरी $s_1 = 20 \, m$ और समय $t_1 = 2 \, s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = 0(2) + \frac{1}{2} a(2)^2 \Rightarrow 20 = 2a \Rightarrow a = 10 \, m/s^2$।
चूंकि त्वरण स्थिर है,हम $v = u + at$ का उपयोग करके किसी भी समय $t$ पर वेग की गणना कर सकते हैं।
$t = 7 \, s$ के लिए:
$v = 0 + (10 \times 7) = 70 \, m/s$।

(B) दिया गया प्रारंभिक वेग,$u = 5 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
त्वरण,$a = 10^{4} \, ms^{-2}$.
$(i)$ अंतिम वेग $v = 2u = 2 \times 5 \times 10^{4} = 10 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{v - u}{a}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{10 \times 10^{4} - 5 \times 10^{4}}{10^{4}} = \frac{5 \times 10^{4}}{10^{4}} = 5 \, s$.
$(ii)$ गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^{2}$ का उपयोग करने पर।
$s = (5 \times 10^{4}) \times 5 + \frac{1}{2} \times (10^{4}) \times (5)^{2}$.
$s = 25 \times 10^{4} + 12.5 \times 10^{4} = 37.5 \times 10^{4} \, m$.

(C) एक समान त्वरण $a$ और प्रारंभिक वेग $u$ के साथ $t$ समय में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$5 \, s$ में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
$s_5 = u(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 5u + \frac{25}{2}a$ ........... $(i)$
इसके बाद,$4 \, s$ में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
$s_4 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 4u + \frac{16}{2}a = 4u + 8a$ ........... $(ii)$
$4^{th}$ और $5^{th}$ सेकंड के बीच के समयांतराल में तय की गई दूरी $5 \, s$ और $4 \, s$ पर तय की गई दूरियों का अंतर है:
दूरी $= s_5 - s_4 = (5u + \frac{25}{2}a) - (4u + 8a)$
दूरी $= (5u - 4u) + (12.5a - 8a) = u + 4.5a$
दूरी $= (u + \frac{9}{2}a) \, m$.

जब कोई वस्तु ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करती है,तो गति का तीसरा समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ होता है।
अधिकतम ऊंचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
समीकरण में $v = 0$,$a = -g$,और $s = h$ रखने पर: $0 = u^{2} - 2gh$ प्राप्त होता है।
ऊंचाई के लिए सूत्र बनाने पर,हमें $h = \frac{u^{2}}{2g}$ प्राप्त होता है।
पहले पत्थर के लिए जिसका प्रारंभिक वेग $u_{1}$ है,प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h_{1} = \frac{u_{1}^{2}}{2g}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए जिसका प्रारंभिक वेग $u_{2}$ है,प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h_{2} = \frac{u_{2}^{2}}{2g}$ है।
दोनों ऊंचाइयों का अनुपात लेने पर: $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{u_{1}^{2} / 2g}{u_{2}^{2} / 2g} = \frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}}$।
अतः,प्राप्त ऊंचाइयों का अनुपात $h_{1}: h_{2} = u_{1}^{2}: u_{2}^{2}$ है।

(N/A) एकसमान त्वरण से गति कर रही वस्तु के लिए गति के तीन समीकरण निम्नलिखित हैं:
$(i)$ $v = u + at$
$(ii)$ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$(iii)$ $v^2 = u^2 + 2aS$
जहाँ:
$u$ = प्रारंभिक वेग
$v$ = अंतिम वेग
$a$ = एकसमान त्वरण
$t$ = लिया गया समय
$S$ = तय किया गया विस्थापन
इन समीकरणों में से कोई भी दो समीकरण उत्तर के रूप में दिए जा सकते हैं।

(A) दिया गया है: समय $t = 3 \ s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m s^{-1}$ (अधिकतम ऊँचाई पर),त्वरण $a = g = -9.8 \ m s^{-2}$ (नीचे की ओर)।
प्रारंभिक वेग $u$ ज्ञात करने के लिए:
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$
$0 = u + (-9.8) \times 3$
$u = 29.4 \ m s^{-1}$।
अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए:
गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = ut + \frac{1}{2}at^2$
$h = (29.4 \times 3) + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times (3)^2$
$h = 88.2 - 44.1$
$h = 44.1 \ m$।

(N/A) चित्र में दिखाए गए वेग-समय ग्राफ पर विचार करें।
एकसमान त्वरण $a$ के साथ गति कर रही वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $S$,वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है,जो कि समलंब चतुर्भुज $OABD$ का क्षेत्रफल है।
समलंब चतुर्भुज $OABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{(OA + BD) \times OD}{2}$
ग्राफ से,हमारे पास है:
$OA = u$ (प्रारंभिक वेग)
$BD = v$ (अंतिम वेग)
$OD = t$ (लिया गया समय)
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{(u + v) t}{2}$ --- (समीकरण $1$)
हम जानते हैं कि एकसमान त्वरण के लिए,$v = u + at$,जिसे समय $t$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$at = v - u$
$t = \frac{v - u}{a}$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $t$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$S = \frac{(u + v)(v - u)}{2a}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें अंतिम समीकरण प्राप्त होता है:
$v^2 - u^2 = 2aS$

(N/A) एकसमान त्वरण $a$ और प्रारंभिक वेग $u$ के साथ गति करने वाली वस्तु के लिए वेग-समय ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
वस्तु द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी $S$,वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ग्राफ के नीचे का कुल क्षेत्रफल आयत $OACD$ का क्षेत्रफल और उसके ऊपर स्थित त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का योग है।
आयत $OACD$ का क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = t \times u = ut$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
चूंकि कुल दूरी $S$ इन क्षेत्रफलों का योग है,इसलिए:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$ $....(1)$
गति के पहले समीकरण से,हम जानते हैं कि $v = u + at$,जिसका अर्थ है कि $v - u = at$.
समीकरण $(1)$ में $(v - u) = at$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (at)$
$S = ut + \frac{1}{2}at^{2}$

(N/A) मान लीजिए कि एक वस्तु का प्रारंभिक वेग $u$ है और यह $t$ समय के लिए एकसमान त्वरण $a$ के साथ गति कर रही है। अंतिम वेग $v$ और तय की गई दूरी $S$ है।
$(i)$ त्वरण को वेग परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$a = \frac{v - u}{t}$
$at = v - u$
$v = u + at$
$(ii)$ एकसमान त्वरण के लिए औसत वेग:
$\bar{v} = \frac{u + v}{2} \quad \dots(1)$
साथ ही, औसत वेग कुल विस्थापन बटा समय होता है:
$\bar{v} = \frac{S}{t} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{u + v}{2} = \frac{S}{t} \implies S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ में $v = u + at$ रखने पर:
$S = \left( \frac{u + (u + at)}{2} \right) t$
$S = \left( \frac{2u + at}{2} \right) t$
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$(iii)$ समीकरण $(3)$ से, $S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$. $v = u + at$ से, हमें $t = \frac{v - u}{a}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(3)$ में $t$ का मान रखने पर:
$S = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{v - u}{a} \right)$
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
$v^2 - u^2 = 2aS$

(A) वेग-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु द्वारा तय की गई दूरी को दर्शाता है। चित्र में दिखाए अनुसार,यह क्षेत्रफल आयत $OACD$ के क्षेत्रफल और त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का योग है।
आयत $OACD$ का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = OC \times OA = t \times u = ut$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
चूँकि $v = u + at$,इसलिए $(v - u) = at$ होता है। इस मान को त्रिभुज के क्षेत्रफल में रखने पर:
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times t \times (at) = \frac{1}{2}at^2$.
अतः,कुल दूरी $S = \text{आयत } OACD \text{ का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज } ABC \text{ का क्षेत्रफल} = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 18 \text{ km h}^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 5 \text{ m s}^{-1}$.
अंतिम वेग $v = 36 \text{ km h}^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 10 \text{ m s}^{-1}$.
समय $t = 5 \text{ s}$.
त्वरण $a = \frac{v - u}{t} = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \text{ m s}^{-2}$.
दूरी $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = (5 \times 5) + \frac{1}{2} \times 1 \times (5)^2 = 25 + 12.5 = 37.5 \text{ m}$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0\, m s^{-1}$,त्वरण $a = 4\, m s^{-2}$,और समय $t = 20\, s$।
तय की गई दूरी $S$ ज्ञात करने के लिए,हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करेंगे:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (0 \times 20) + \frac{1}{2} \times 4 \times (20)^2$
$S = 0 + 2 \times 400$
$S = 800\, m$
अतः,कार $20\, s$ में $800\, m$ की दूरी तय करेगी।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 90\, km\, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m\, s^{-1}$.
अंतिम वेग $v = 0\, m\, s^{-1}$ (चूंकि ट्रेन रुक जाती है)।
त्वरण $a = -0.5\, m\, s^{-2}$ (ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है)।
हमें दूरी $S$ ज्ञात करनी है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
मान रखने पर: $0^{2} - (25)^{2} = 2 \times (-0.5) \times S$.
$-625 = -1 \times S$.
$S = 625\, m$.
अतः,ट्रेन रुकने से पहले $625\, m$ की दूरी तय करेगी।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 40 \, m s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \, m s^{-1}$,त्वरण $a = -2 \, m s^{-2}$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^{2} = u^{2} + 2aS$।
मान रखने पर: $0^{2} = (40)^{2} + 2(-2)S$।
$0 = 1600 - 4S$।
$4S = 1600$।
$S = 400 \, m$।
चूंकि गणना की गई रुकने की दूरी $400 \, m$ है और प्लेटफॉर्म की लंबाई $400 \, m$ है,इसलिए ट्रेन बिल्कुल प्लेटफॉर्म के अंत में रुक जाएगी।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,त्वरण $a = 2.5 \, m s^{-2}$,और समय $t = 4 \, s$ है।
तय की गई दूरी $(S)$ ज्ञात करने के लिए,हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
समीकरण में मान रखने पर:
$S = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (4)^2$
$S = 0 + 0.5 \times 2.5 \times 16$
$S = 1.25 \times 16 = 20 \, m$
अतः,लड़की इस समय में $20 \, m$ की दूरी तय करती है।

(N/A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 5\, m s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 10\, m s^{-1}$,दूरी $S = 50\, m$.
$(i)$ त्वरण $(a)$ की गणना करने के लिए,हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
मान रखने पर: $(10)^{2} - (5)^{2} = 2 \times a \times 50$.
$100 - 25 = 100a$.
$75 = 100a$.
$a = \frac{75}{100} = 0.75\, m s^{-2}$.
$(ii)$ समय $(t)$ की गणना करने के लिए,हम गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हैं: $v = u + at$.
मान रखने पर: $10 = 5 + 0.75 \times t$.
$10 - 5 = 0.75t$.
$5 = 0.75t$.
$t = \frac{5}{0.75} = 6.67\, s$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 90 \text{ km h}^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 25 \text{ m s}^{-1}$.
अंतिम वेग $v = 0 \text{ m s}^{-1}$ (क्योंकि ट्रक रुक जाता है)।
दूरी $S = 25 \text{ m}$.
$(i)$ मंदन $(a)$ ज्ञात करने के लिए: गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^{2} - u^{2} = 2aS$.
$(0)^{2} - (25)^{2} = 2 \times a \times 25$.
$-625 = 50a$.
$a = -\frac{625}{50} = -12.5 \text{ m s}^{-2}$.
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,इसलिए मंदन = $12.5 \text{ m s}^{-2}$.
(ii) समय $(t)$ ज्ञात करने के लिए: गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$.
$0 = 25 + (-12.5) \times t$.
$12.5t = 25$.
$t = \frac{25}{12.5} = 2 \text{ s}$.

(A) दिया गया है: त्वरण $a = -6 \, m s^{-2}$ (ऋणात्मक क्योंकि यह गति की विपरीत दिशा में है),समय $t = 2 \, s$,और अंतिम वेग $v = 0 \, m s^{-1}$ (क्योंकि कार रुक जाती है)।
$(i)$ सबसे पहले,गति के पहले समीकरण का उपयोग करके प्रारंभिक वेग $u$ ज्ञात करें: $v = u + at$.
$0 = u + (-6) \times 2$
$u = 12 \, m s^{-1}$.
$(ii)$ अब,गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करके दूरी $S$ की गणना करें: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$S = (12 \times 2) + \frac{1}{2} \times (-6) \times (2)^2$
$S = 24 - 12 = 12 \, m$.
अतः,कार रुकने से पहले $12 \, m$ की दूरी तय करती है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 36 \, km \, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m \, s^{-1}$.
अंतिम वेग $v = 0 \, m \, s^{-1}$ (चूंकि साइकिल रुक जाती है)।
समय $t = 2 \, s$.
$(i)$ मंदन की गणना:
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए:
$0 = 10 + a \times 2$
$2a = -10$
$a = -5 \, m \, s^{-2}$.
मंदन,त्वरण का ऋणात्मक मान होता है,इसलिए मंदन $= -(-5 \, m \, s^{-2}) = 5 \, m \, s^{-2}$.
$(ii)$ तय की गई दूरी $(S)$ की गणना:
गति के तीसरे समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 - (10)^2 = 2 \times (-5) \times S$
$-100 = -10 \times S$
$S = \frac{-100}{-10} = 10 \, m$.

(N/A) $(i)$ दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,दूरी $S = 64 \, m$,समय $t = 4 \, s$.
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$64 = 0(4) + \frac{1}{2} \times a \times (4)^2$
$64 = 8a$
$a = 8 \, m/s^2$.
$v = u + at$ समीकरण का उपयोग करने पर:
$v = 0 + 8 \times 4 = 32 \, m/s$.
$(ii)$ कुल दूरी की आधी दूरी $S' = \frac{64}{2} = 32 \, m$ है।
$S' = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$32 = 0(t) + \frac{1}{2} \times 8 \times t^2$
$32 = 4t^2$
$t^2 = 8$
$t = \sqrt{8} \approx 2.83 \, s$.

(C) विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर और एकसमान त्वरण $(a)$ के साथ नत समतल पर गति करने वाले पिंड के लिए, $t$ समय में तय की गई दूरी $(s)$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
चूंकि $u = 0$, समीकरण $s = \frac{1}{2}at^2$ हो जाता है, जिसका अर्थ है कि $s \propto t^2$.
मान लीजिए कि कुल दूरी $S$ है और कुल समय $T = 4$ सेकंड है।
हमें दूरी का एक-चौथाई भाग, यानी $s' = \frac{S}{4}$ तय करने में लगा समय $(t')$ ज्ञात करना है।
समानुपातिकता $s \propto t^2$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास अनुपात है: $\frac{s'}{S} = \frac{(t')^2}{T^2}$.
मान रखने पर: $\frac{S/4}{S} = \frac{(t')^2}{4^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{(t')^2}{16}$.
$(t')^2 = \frac{16}{4} = 4$.
$t' = \sqrt{4} = 2$ सेकंड.
अतः, पिंड $2$ सेकंड में दूरी का एक-चौथाई भाग तय करेगा।

(A) माना बिंदु $A$ पर वेग $v_A = 20 \, m/s$ है और बिंदु $B$ पर वेग $v_B = 30 \, m/s$ है।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $s$ है। मध्य बिंदु $M$ पर वेग $v_M$ ज्ञात करने के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as$।
खंड $AM$ के लिए,$v_M^2 = v_A^2 + 2a(s/2) = v_A^2 + as$।
खंड $MB$ के लिए,$v_B^2 = v_M^2 + 2a(s/2) = v_M^2 + as$।
पहले समीकरण से,$as = v_M^2 - v_A^2$। इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$v_B^2 = v_M^2 + (v_M^2 - v_A^2) = 2v_M^2 - v_A^2$।
$v_M$ के लिए हल करने पर:
$2v_M^2 = v_A^2 + v_B^2 \implies v_M = \sqrt{\frac{v_A^2 + v_B^2}{2}}$।
मान रखने पर: $v_M = \sqrt{\frac{20^2 + 30^2}{2}} = \sqrt{\frac{400 + 900}{2}} = \sqrt{\frac{1300}{2}} = \sqrt{650} \approx 25.5 \, m/s$।

(N/A) जब किसी वस्तु को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अधिकतम ऊँचाई पर उसका अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
माना ऊपर जाने का समय $t_{1}$ है। गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -g$:
$0 = u - gt_{1}$
$\Rightarrow t_{1} = \frac{u}{g} ......(1)$
वापसी की यात्रा (नीचे आने) के लिए,वस्तु अधिकतम ऊँचाई पर विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है। जब यह जमीन पर पहुँचती है तो अंतिम वेग $v' = u$ होता है। माना नीचे आने का समय $t_{2}$ है। $v' = u' + gt_{2}$ का उपयोग करने पर:
$u = 0 + gt_{2}$
$\Rightarrow t_{2} = \frac{u}{g} ......(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें $t_{1} = t_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है।

$(15 M S^{-1})$ पहली गेंद के लिए:
$u = 0, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t = ?$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$
दूसरी गेंद के लिए:
चूँकि दूसरी गेंद $1\, s$ बाद फेंकी गई है और वह जमीन पर एक ही समय पर पहुँचती है, इसलिए उसका यात्रा समय $t' = 2 - 1 = 1\, s$ होगा।
$u = ?, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t' = 1\, s$
$S = ut' + \frac{1}{2}at'^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = u(1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2$
$20 = u + 5$
$u = 20 - 5 = 15\, m s^{-1}$

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $0 \, m s^{-1}$ (चूंकि पत्थर को गिराया गया है)।
तय की गई दूरी $(s)$ = $20 \, m$.
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $10 \, m s^{-2}$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2as$.
मान रखने पर: $v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 20$.
$v^2 = 400$.
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.
अतः,$20 \, m$ गिरने के बाद पत्थर की चाल $20 \, m s^{-1}$ होगी।

(B) गेंद का प्रारंभिक वेग $(u)$ ज्ञात करने के लिए,हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as$।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $(v)$ $0 \, m/s$ होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(a)$ $-g = -9.8 \, m/s^2$ है।
विस्थापन $(s)$ $100 \, m$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0^2 = u^2 + 2(-9.8)(100)$।
$0 = u^2 - 1960$।
$u^2 = 1960$।
$u = \sqrt{1960} \approx 44.27 \, m/s$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,गति $44.2 \, m/s$ है।