Time and Distances Questions in Hindi

(B) माना गाड़ी की गति $v \text{ km/h}$ है।
व्यक्ति के सापेक्ष गाड़ी की सापेक्ष गति $(v - 3) \text{ km/h}$ होगी।
$4 \text{ मिनट}$ में,व्यक्ति के सापेक्ष गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी $100 \text{ m} = 0.1 \text{ km}$ है।
समय $t = 4 \text{ मिनट} = \frac{4}{60} \text{ घंटे} = \frac{1}{15} \text{ घंटे}$।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर:
$0.1 = (v - 3) \times \frac{1}{15}$
$v - 3 = 0.1 \times 15 = 1.5$
$v = 1.5 + 3 = 4.5 \text{ km/h}$।
अतः,गाड़ी की गति $4\frac{1}{2} \text{ km/h}$ है।

(C) माना $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d$ है।
पहले व्यक्ति की गति $(v_1)$ $= \frac{d}{4} \, \text{km/h}$.
दूसरे व्यक्ति की गति $(v_2)$ $= \frac{d}{4} \, \text{km/h}$.
दूसरा व्यक्ति $2 \, \text{hours}$ पहले चलता है। माना पहला व्यक्ति $P$ से चलने के $x \, \text{hours}$ बाद दूसरे व्यक्ति से मिलता है।
$x \, \text{hours}$ में,पहला व्यक्ति $v_1 \times x = \frac{d}{4}x$ दूरी तय करता है।
जब वे मिलते हैं,तो दूसरा व्यक्ति $(x + 2) \, \text{hours}$ तक यात्रा कर चुका होता है। दूसरे व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी $v_2 \times (x + 2) = \frac{d}{4}(x + 2)$ है।
दोनों व्यक्तियों द्वारा तय की गई दूरियों का योग कुल दूरी $d$ के बराबर होना चाहिए:
$\frac{d}{4}x + \frac{d}{4}(x + 2) = d$
दोनों पक्षों को $d$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{4} + \frac{x + 2}{4} = 1$
$x + x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1 \, \text{hour}$.

(B) माना हवाई मार्ग में बिताया गया समय $x \, hrs$ है और ट्रेन में बिताया गया समय $y \, hrs$ है।
दिया गया है,$x + y = 4 \, hrs$ (समीकरण $1$)।
यदि उसने पूरी दूरी हवाई मार्ग से तय की होती,तो उसने ट्रेन में बिताए गए समय $(y)$ का $\frac{4}{5}$ भाग बचा लिया होता।
यह बचा हुआ समय $2 \, hrs$ है,इसलिए $\frac{4}{5}y = 2$ है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = 2 \times \frac{5}{4} = 2.5 \, hrs$।
समीकरण $1$ में $y = 2.5$ रखने पर: $x + 2.5 = 4 \Rightarrow x = 1.5 \, hrs$।
माना हवाई जहाज की गति $v_a$ है और ट्रेन की गति $v_t$ है।
कुल दूरी $v_a x + v_t y = 360$ है।
यदि उसने पूरी दूरी हवाई मार्ग से तय की होती,तो लगा समय $\frac{360}{v_a}$ होता।
बचाया गया समय $4 - \frac{360}{v_a} = 2 \Rightarrow \frac{360}{v_a} = 2 \Rightarrow v_a = 180 \, km/h$।
हवाई मार्ग द्वारा तय की गई दूरी $= v_a \times x = 180 \times 1.5 = 270 \, km$।
ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $= 360 - 270 = 90 \, km$।

(A) माना निर्धारित समय $T$ घंटे है और मूल गति $v \, \text{km/hr}$ है।
दूरी $D = 1500 \, \text{km}$.
अतः,$v = \frac{1500}{T}$,जिसका अर्थ है $T = \frac{1500}{v}$।
चूंकि विमान $30 \, \text{minutes}$ $(0.5 \, \text{hours})$ देरी से उड़ा,दूसरे मामले में लिया गया समय $(T - 0.5)$ घंटे है और गति $(v + 250) \, \text{km/hr}$ है।
$1500 = (v + 250)(T - 0.5)$.
$T = \frac{1500}{v}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1500 = (v + 250)(\frac{1500}{v} - 0.5)$.
$1500 = 1500 - 0.5v + \frac{375000}{v} - 125$.
$0.5v + 125 - \frac{375000}{v} = 0$.
$2v$ से गुणा करने पर: $v^2 + 250v - 750000 = 0$.
$(v + 1000)(v - 750) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $v = 750 \, \text{km/hr}$।

(A) माना ट्रेन की मूल गति $v \, km/hr$ है और निर्धारित समय $t \, hr$ है।
दूरी $= 120 \, km$.
मूल स्थिति: $v = 120 / t \Rightarrow t = 120 / v$.
नई स्थिति: ट्रेन $1 \, hr$ पहले निकलती है,इसलिए समय पर पहुँचने के लिए वह $(v - 4) \, km/hr$ की कम गति से $t + 1$ घंटे का समय लेती है।
अतः,$v - 4 = 120 / (t + 1)$.
समीकरण में $t = 120 / v$ रखने पर:
$v - 4 = 120 / (120/v + 1) = 120 / ((120 + v) / v) = 120v / (120 + v)$.
$(v - 4)(120 + v) = 120v$.
$120v + v^2 - 480 - 4v = 120v$.
$v^2 - 4v - 480 = 0$.
$(v - 24)(v + 20) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $v = 24 \, km/hr$।

(D) सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
खरगोश की गति $= 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3} \, m/s$.
कुत्ते की गति $= 16 \times \frac{5}{18} = \frac{40}{9} \, m/s$.
$1$ मिनट ($60$ सेकंड) में,खरगोश $d_1 = \frac{10}{3} \times 60 = 200 \, m$ की दूरी तय करता है।
जिस क्षण कुत्ता पीछा करना शुरू करता है,उनके बीच की कुल दूरी $D = 100 + 200 = 300 \, m$ है।
खरगोश के सापेक्ष कुत्ते की सापेक्ष गति $v_{rel} = (16 - 12) \, km/h = 4 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{9} \, m/s$ है।
कुत्ते द्वारा खरगोश को पकड़ने में लिया गया समय $t = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{300}{10/9} = 300 \times \frac{9}{10} = 270 \, s$ है।
देखे जाने के बाद (पीछा करने के दौरान) खरगोश द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = \text{खरगोश की गति} \times t = \frac{10}{3} \times 270 = 900 \, m$ है।

(D) सबसे पहले,मोटरसाइकिल द्वारा लिए गए समय को घंटों में बदलें: $6 \, hr \, 12 \, min = 6 + \frac{12}{60} = 6 + 0.2 = 6.2 \, hr$.
मोटरसाइकिल की गति का उपयोग करके गंतव्य तक की दूरी ज्ञात करें: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय} = 30 \, km/h \times 6.2 \, hr = 186 \, km$.
अब,ट्रेन द्वारा उतनी ही दूरी तय करने में लिया गया समय ज्ञात करें: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{186 \, km}{24 \, km/h} = 7.75 \, hr$.
अतः,दूसरे व्यक्ति को गंतव्य तक पहुँचने में $7.75 \, hr$ का समय लगता है।

(A) बिना रुके दूरी तय करने में लगा समय: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{999}{55.5} = 18 \, \text{घंटे}$.
ट्रेन रास्ते में $1 \, \text{घंटा} \, 20 \, \text{मिनट}$ के लिए भी रुकती है।
कुल लगा समय = $18 \, \text{घंटे} + 1 \, \text{घंटा} \, 20 \, \text{मिनट} = 19 \, \text{घंटे} \, 20 \, \text{मिनट}$.
ट्रेन सुबह $6:00 \, am$ बजे निकलती है। $6:00 \, am$ में $19 \, \text{घंटे} \, 20 \, \text{मिनट}$ जोड़ने पर:
$6:00 \, am + 12 \, \text{घंटे} = 6:00 \, pm$.
$6:00 \, pm + 7 \, \text{घंटे} \, 20 \, \text{मिनट} = 1:20 \, am$ (अगले दिन)।
अतः,ट्रेन $B$ पर $1:20 \, am$ बजे पहुँचेगी।

(A) माना स्टेशन $A$ और स्टेशन $B$ के बीच की दूरी $x \, km$ है।
माना ट्रेन की प्रारंभिक गति $v \, km/h$ है।
पहले मामले में लगा समय $45 \, min = \frac{45}{60} \, h = \frac{3}{4} \, h$ है।
अतः,$x = v \times \frac{3}{4} \Rightarrow v = \frac{4x}{3}$।
दूसरे मामले में लगा समय $48 \, min = \frac{48}{60} \, h = \frac{4}{5} \, h$ है।
नई गति $(v - 5) \, km/h$ है।
अतः,$x = (v - 5) \times \frac{4}{5} \Rightarrow v - 5 = \frac{5x}{4} \Rightarrow v = \frac{5x}{4} + 5$।
$v$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{4x}{3} = \frac{5x}{4} + 5$।
$\frac{4x}{3} - \frac{5x}{4} = 5$।
$\frac{16x - 15x}{12} = 5$।
$\frac{x}{12} = 5 \Rightarrow x = 60 \, km$।

(A) माना कि ट्रक की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि दोनों वाहन एक ही दिशा में चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $(45 - x) \, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष गति $= (45 - x) \times \frac{5}{18} \, m/s.$
हम जानते हैं कि $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}.$
यहाँ $\text{दूरी} = 150 \, m$ और $\text{समय} = 30 \, s$ दिया गया है,
$30 = \frac{150}{(45 - x) \times \frac{5}{18}}.$
$30 = \frac{150 \times 18}{(45 - x) \times 5}.$
$30 = \frac{30 \times 18}{45 - x}.$
$45 - x = 18.$
$x = 45 - 18 = 27 \, km/h.$
अतः,ट्रक की गति $27 \, km/h$ है।

(D) कार की चाल $10\, m/s$ दी गई है।
चाल को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम मान को $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं।
$\text{चाल} = 10 \times \frac{18}{5} = 2 \times 18 = 36\, km/h$.
अतः,कार की चाल $36\, km/h$ है।

(A) जब यात्रा में दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र है: $\text{औसत गति} = \frac{2xy}{x+y}$,जहाँ $x$ और $y$ यात्रा के दो भागों के लिए गति हैं।
यहाँ,$x = 100 \text{ km/h}$ और $y = 150 \text{ km/h}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 100 \times 150}{100 + 150}$
$\text{औसत गति} = \frac{30000}{250}$
$\text{औसत गति} = 120 \text{ km/h}$.

(A) जब यात्रा के दोनों भागों के लिए तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र है: $\text{औसत गति} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$।
यहाँ,$v_1 = 12 \, km/h$ और $v_2 = 18 \, km/h$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18} \, km/h$।
$\text{औसत गति} = \frac{432}{30} \, km/h$।
$\text{औसत गति} = 14.4 \, km/h$।

(B) कुल तय की गई दूरी $= 24 + 24 + 24 = 72 \, km$ है।
प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय इस प्रकार है:
समय $t_1 = \frac{24}{6} = 4 \, h$
समय $t_2 = \frac{24}{8} = 3 \, h$
समय $t_3 = \frac{24}{12} = 2 \, h$
कुल लिया गया समय $= 4 + 3 + 2 = 9 \, h$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{72}{9} = 8 \, km/h$।

(C) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d \, km$ है।
$A$ से $B$ तक जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{12} \, h$ है।
$B$ से $A$ तक वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{4} \, h$ है।
कुल तय की गई दूरी $= d + d = 2d \, km$ है।
कुल लगा समय $= t_1 + t_2 = \frac{d}{12} + \frac{d}{4} = \frac{d + 3d}{12} = \frac{4d}{12} = \frac{d}{3} \, h$ है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/3} = 2d \times \frac{3}{d} = 6 \, km/h$ है।
वैकल्पिक रूप से,जब दो समान दूरियां $v_1$ और $v_2$ चाल से तय की जाती हैं,तो औसत चाल $\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \times 12 \times 4}{12 + 4} = \frac{96}{16} = 6 \, km/h$ होती है।

(A) माना $A$ की गति $3x$ है और $B$ की गति $4x$ है।
चूँकि दोनों के लिए दूरी $D$ समान है, इसलिए $D = \text{गति} \times \text{समय}$.
माना $B$ द्वारा लिया गया समय $t$ घंटे है। तो $A$ द्वारा लिया गया समय $(t + \frac{20}{60}) \, h = (t + \frac{1}{3}) \, h$ होगा।
दूरी को बराबर करने पर: $3x(t + \frac{1}{3}) = 4x(t)$.
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर: $3(t + \frac{1}{3}) = 4t$.
$3t + 1 = 4t \Rightarrow t = 1 \, h$.
अतः, $A$ द्वारा लिया गया समय $t + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3} \, h$ है।

(C) ट्रक की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{550 \, m}{1 \, min} = \frac{0.55 \, km}{(1/60) \, h} = 0.55 \times 60 \, km/h = 33 \, km/h$.
बस की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{33 \, km}{45 \, min} = \frac{33 \, km}{(45/60) \, h} = \frac{33 \times 60}{45} \, km/h = 44 \, km/h$.
ट्रक की चाल और बस की चाल का अनुपात $= \frac{33}{44} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(B) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $x \text{ km}$ है।
$2.5 \text{ km/h}$ की गति पर लिया गया समय $T_1 = \frac{x}{2.5} = \frac{2x}{5} \text{ घंटे}$ है।
$3 \text{ km/h}$ की गति पर लिया गया समय $T_2 = \frac{x}{3} \text{ घंटे}$ है।
समय का अंतर $6 \text{ min देरी} + 10 \text{ min जल्दी} = 16 \text{ min} = \frac{16}{60} \text{ घंटे} = \frac{4}{15} \text{ घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$T_1 - T_2 = \frac{4}{15}$.
$\frac{2x}{5} - \frac{x}{3} = \frac{4}{15}$.
$\frac{6x - 5x}{15} = \frac{4}{15}$.
$\frac{x}{15} = \frac{4}{15} \Rightarrow x = 4 \text{ km}$.

(B) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $x \text{ km}$ है।
प्रारंभिक गति $v_1 = 2.5 \text{ km/h} = \frac{5}{2} \text{ km/h}$ है।
नई गति $v_2 = 2.5 + 1 = 3.5 \text{ km/h} = \frac{7}{2} \text{ km/h}$ है।
गति $v_1$ पर लगा समय $t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{5/2} = \frac{2x}{5} \text{ घंटे}$ है।
गति $v_2$ पर लगा समय $t_2 = \frac{x}{v_2} = \frac{x}{7/2} = \frac{2x}{7} \text{ घंटे}$ है।
समय का अंतर $6 \text{ min}$ देरी और $6 \text{ min}$ जल्दी के बीच का अंतर $12 \text{ min} = \frac{12}{60} \text{ घंटे} = \frac{1}{5} \text{ घंटे}$ है।
अतः,$t_1 - t_2 = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2x}{5} - \frac{2x}{7} = \frac{1}{5}$ है।
$35$ से गुणा करने पर,हमें $14x - 10x = 7$ प्राप्त होता है।
$4x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{4} \text{ km}$।

(D) मान लीजिए मूल गति $v \, km/h$ है और लिया गया समय $t = 30 \, h$ है।
तय की गई दूरी $d = v \times t = 30v \, km$ है।
यदि गति में $\frac{1}{15}$ की कमी की जाती है,तो नई गति $v' = v - \frac{v}{15} = \frac{14v}{15} \, km/h$ होगी।
उसी समय $t = 30 \, h$ में,नई तय की गई दूरी $d' = v' \times t = \frac{14v}{15} \times 30 = 28v \, km$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,वह व्यक्ति उसी समय में $10 \, km$ कम दूरी तय करता है:
$d - d' = 10$
$30v - 28v = 10$
$2v = 10$
$v = 5 \, km/h$.
अतः,मूल गति $5 \, km/h$ है।

(A) माना पैदल तय की गई दूरी $x \, km$ है।
अतः,साइकिल द्वारा तय की गई दूरी $(80 - x) \, km$ होगी।
पैदल यात्रा में लगा समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{x}{8} \, h$.
साइकिल द्वारा यात्रा में लगा समय = $\frac{80 - x}{16} \, h$.
कुल लगा समय $7 \, h$ है।
अतः,$\frac{x}{8} + \frac{80 - x}{16} = 7$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$2x + (80 - x) = 7 \times 16$.
$x + 80 = 112$.
$x = 112 - 80 = 32 \, km$.
इसलिए,पैदल तय की गई दूरी $32 \, km$ है।

(B) माना कि पैदल तय की गई दूरी $x \, km$ है।
तब साइकिल द्वारा तय की गई दूरी $(61 - x) \, km$ होगी।
पैदल यात्रा में लगा समय = $\frac{x}{4} \, h$।
साइकिल द्वारा यात्रा में लगा समय = $\frac{61 - x}{9} \, h$।
प्रश्न के अनुसार,कुल लगा समय $9 \, h$ है:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
पूरे समीकरण को $36$ ($4$ और $9$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = 16 \, km$।
अतः,पैदल तय की गई दूरी $16 \, km$ है।

(C) माना सवारी करने में लगा समय $R$ है और पैदल चलने में लगा समय $W$ है।
दिया गया है कि एक तरफ पैदल चलने और वापस सवारी करके आने में $6\, h \, 15\, min$ लगते हैं,जो $6.25\, h$ या $\frac{25}{4}\, h$ है।
अतः,$W + R = \frac{25}{4} \dots (1)$
दिया गया है कि दोनों तरफ पैदल चलने में $7\, h \, 45\, min$ लगते हैं,जो $7.75\, h$ या $\frac{31}{4}\, h$ है।
अतः,$2W = \frac{31}{4} \Rightarrow W = \frac{31}{8}\, h$.
समीकरण $(1)$ में $W$ का मान रखने पर:
$R = \frac{25}{4} - \frac{31}{8} = \frac{50 - 31}{8} = \frac{19}{8}\, h$.
दोनों तरफ सवारी करके जाने में लगा समय $2R$ है:
$2R = 2 \times \frac{19}{8} = \frac{19}{4} = 4.75\, h$.
$4.75\, h = 4\, h \, 45\, min$.

(D) प्रत्येक व्यक्ति द्वारा वृत्ताकार पथ का एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$A$ के लिए: $T_A = \frac{12 \, km}{4 \, km/h} = 3 \, h$.
$B$ के लिए: $T_B = \frac{12 \, km}{3 \, km/h} = 4 \, h$.
$C$ के लिए: $T_C = \frac{12 \, km}{1.5 \, km/h} = \frac{12 \times 2}{3} = 8 \, h$.
यह जानने के लिए कि वे प्रारंभिक बिंदु पर कब मिलेंगे,हमें प्रत्येक द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
$LCM(3, 4, 8) = 24$.
अतः,वे $24 \, h$ के अंत में प्रारंभिक स्थान पर एक साथ मिलेंगे।

(C) माना रवि की गति $x \, km/h$ है। तो अजय की गति $(x+4) \, km/h$ होगी।
चूंकि वे एक साथ चलना शुरू करते हैं,इसलिए मिलने तक दोनों द्वारा लिया गया समय समान है।
रवि मिलने के स्थान तक पहुँचने के लिए $(60 - 12) = 48 \, km$ की दूरी तय करता है।
अजय $A$ से $B$ $(60 \, km)$ तक जाता है और फिर वापस $12 \, km$ मिलने के स्थान तक आता है,इस प्रकार कुल दूरी $(60 + 12) = 72 \, km$ तय करता है।
समय = दूरी / गति के अनुसार:
$\frac{48}{x} = \frac{72}{x+4}$
$48(x + 4) = 72x$
$48x + 192 = 72x$
$24x = 192$
$x = 8 \, km/h$.
अतः,रवि की गति $8 \, km/h$ है।

(D) माना कि यात्रा की कुल दूरी $D \, km$ है।
$11:00 \, am$ और $4:30 \, pm$ के बीच का समय अंतराल $5 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट}$ है,जो $5.5 \, \text{घंटे}$ या $\frac{11}{2} \, \text{घंटे}$ के बराबर है।
इस अंतराल में तय की गई दूरी $\frac{5}{6}D - \frac{3}{8}D = \frac{20D - 9D}{24} = \frac{11D}{24}$ है।
व्यक्ति की गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{11D/24}{11/2} = \frac{11D}{24} \times \frac{2}{11} = \frac{D}{12} \, km/h$ है।
अब,यात्रा का पहला $\frac{3}{8}D$ भाग तय करने में लगा समय $\frac{3D/8}{D/12} = \frac{3}{8} \times 12 = 4.5 \, \text{घंटे}$ या $4 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट}$ है।
चूंकि उसने $11:00 \, am$ बजे $\frac{3}{8}$ भाग पूरा किया था,इसलिए यात्रा शुरू करने का समय $11:00 \, am - 4 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट }= 6:30 \, am$ है।

(A) और $B$ की गति का अनुपात $A:B = 800 : (800 - 40) = 800 : 760 = 20 : 19$ है।
$B$ और $C$ की गति का अनुपात $B:C = 500 : (500 - 5) = 500 : 495 = 100 : 99$ है।
$A:C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम अनुपातों का गुणा करते हैं: $\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{20}{19} \times \frac{100}{99} = \frac{2000}{1881}$।
इसका अर्थ है कि जब $A$,$2000\, m$ की दूरी तय करता है,तो $C$,$1881\, m$ की दूरी तय करता है।
जब $A$,$200\, m$ की दूरी तय करता है,तो $C$ द्वारा तय की गई दूरी $\frac{1881}{2000} \times 200 = 188.1\, m$ होगी।
अतः,$A$,$C$ को $200 - 188.1 = 11.9\, m$ से हराएगा।

(B) $1000 \, m$ की दौड़ में:
$A, 1000 \, m$ की दूरी तय करता है,जबकि $B, 1000 - 50 = 950 \, m$ की दूरी तय करता है।
अतः,$A$ और $B$ की गति का अनुपात $A:B = 1000:950 = 20:19$ है।
$A, 1000 \, m$ की दूरी तय करता है,जबकि $C, 1000 - 69 = 931 \, m$ की दूरी तय करता है।
अतः,$A$ और $C$ की गति का अनुपात $A:C = 1000:931$ है।
$B$ और $C$ की गति का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{B}{C} = \frac{B}{A} \times \frac{A}{C} = \frac{19}{20} \times \frac{1000}{931}$ की गणना करते हैं।
$\frac{B}{C} = \frac{19 \times 50}{931} = \frac{950}{931}$।
इसका अर्थ है कि जब $B, 950 \, m$ की दूरी तय करता है,तो $C, 931 \, m$ की दूरी तय करता है।
जब $B, 1000 \, m$ की दूरी तय करता है,तो $C, \frac{931}{950} \times 1000 = 980 \, m$ की दूरी तय करता है।
इसलिए,$B, C$ को $1000 - 980 = 20 \, m$ की शुरुआत (start) दे सकता है।

(A) मान लीजिए कि $A, B$ और $C$ द्वारा $1000 \, m$ दौड़ने में लिया गया समय क्रमशः $T_A, T_B$ और $T_C$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$T_B = T_A + 25$ है।
तीसरी शर्त के अनुसार,$B$ ने $C$ को $30 \, s$ से हराया,इसलिए $T_C = T_B + 30 = (T_A + 25) + 30 = T_A + 55$ है।
$A$ और $C$ की दौड़ में,$A$ $1000 \, m$ की दूरी तय करता है जबकि $C$ $1000 - 275 = 725 \, m$ की दूरी तय करता है।
जब $A$ दौड़ पूरी करता है,तो $T_A$ वह समय है जो $A$ ने लिया है। इस समय में $C$ ने $725 \, m$ की दूरी तय की है।
हम जानते हैं कि $T_C = T_A + 55$,जिसका अर्थ है कि शेष $275 \, m$ की दूरी तय करने के लिए $C$ को $A$ से $55 \, s$ अधिक समय लगता है।
$C$ की गति $= \frac{275 \, m}{55 \, s} = 5 \, m/s$ है।
$C$ द्वारा $1000 \, m$ दौड़ने में लिया गया समय $T_C = \frac{1000 \, m}{5 \, m/s} = 200 \, s$ है।
चूंकि $T_C = T_A + 55$,इसलिए $200 = T_A + 55$,जिससे $T_A = 145 \, s$ प्राप्त होता है।
$145 \, s = 2 \, min \, 25 \, s$ है।

(C) माना कि दूरी $x \text{ km}$ है।
ट्रेन द्वारा यात्रा में लगा समय $\frac{x}{25} \text{ h}$ है।
पैदल यात्रा में लगा समय $\frac{x}{4} \text{ h}$ है।
कुल समय $5 \text{ h } 48 \text{ min}$ है।
$48 \text{ min}$ को घंटों में बदलने पर: $\frac{48}{60} \text{ h} = 0.8 \text{ h}$।
अतः,कुल समय $5.8 \text{ h}$ है।
प्रश्न के अनुसार: $\frac{x}{25} + \frac{x}{4} = 5.8$।
$25$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $100$ लेने पर:
$\frac{4x + 25x}{100} = 5.8$
$\frac{29x}{100} = 5.8$
$29x = 580$
$x = \frac{580}{29} = 20 \text{ km}$।
अतः,दूरी $20 \text{ km}$ है।

(D) माना कि एक तरफ पैदल चलने का समय $W$ है और एक तरफ सवारी करने का समय $R$ है।
प्रश्न के अनुसार,एक तरफ पैदल चलने और वापस सवारी करके आने में कुल समय $4 \, h \, 30 \, min$ लगता है,जो कि $4.5 \, h$ है:
$W + R = 4.5 \, h$ --- (समीकरण $1$)
यह दिया गया है कि दोनों तरफ सवारी करने में $3 \, h$ का समय लगता है:
$2R = 3 \, h \Rightarrow R = 1.5 \, h$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $R$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$W + 1.5 = 4.5$
$W = 4.5 - 1.5 = 3 \, h$
दोनों तरफ पैदल चलने के लिए आवश्यक समय $2W$ है:
$2W = 2 \times 3 = 6 \, h$.

(C) चूंकि ट्रेन और व्यक्ति विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 84 \, km/h + 6 \, km/h = 90 \, km/h$.
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 90 \times \frac{5}{18} = 5 \times 5 = 25 \, m/s$.
ट्रेन की लंबाई वह दूरी है जो ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में तय की जाती है।
ट्रेन की लंबाई $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = 25 \, m/s \times 4 \, s = 100 \, m$.

(D) ट्रेन की लंबाई $L = 150 \ m$ है।
ट्रेन की गति $v_t = 36 \ km/h$ है।
आदमी की गति $v_m = 9 \ km/h$ है।
चूंकि दोनों एक ही दिशा में गति कर रहे हैं,इसलिए सापेक्ष गति $v_{rel} = v_t - v_m = 36 - 9 = 27 \ km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$v_{rel} = 27 \times \frac{5}{18} = 3 \times \frac{5}{2} = 7.5 \ m/s$.
आदमी को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{150}{7.5} = \frac{1500}{75} = 20 \ s$ है।

(C) माना कि ट्रेन की गति $x \, km/h$ है।
चूंकि व्यक्ति ट्रेन की ही दिशा में चल रहे हैं,इसलिए ट्रेन के सापेक्ष उनकी गति क्रमशः $(x - 3) \, km/h$ और $(x - 5) \, km/h$ होगी।
इसे $m/s$ में बदलने के लिए हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
ट्रेन की लंबाई $(L)$ दोनों स्थितियों में समान रहती है।
$L = (x - 3) \times \frac{5}{18} \times 10$
$L = (x - 5) \times \frac{5}{18} \times 11$
$L$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(x - 3) \times 10 = (x - 5) \times 11$
$10x - 30 = 11x - 55$
$11x - 10x = 55 - 30$
$x = 25 \, km/h$.
अतः,ट्रेन की गति $25 \, km/h$ है।

(C) सबसे पहले, ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
गति $= 60 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{300}{18} \, m/s = \frac{50}{3} \, m/s$.
प्लेटफॉर्म को पार करते समय ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी:
दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = \frac{50}{3} \times 30 = 500 \, m$.
यह कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है:
$\text{कुल दूरी} = \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}$.
$500 \, m = 200 \, m + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}$.
प्लेटफॉर्म की लंबाई $= 500 \, m - 200 \, m = 300 \, m$.

(B) समान दिशा में गति कर रहे व्यक्ति के सापेक्ष ट्रेन की सापेक्ष गति उनकी गति को घटाकर प्राप्त की जाती है: $v_{rel} = (63 - 3) \, km/h = 60 \, km/h$.
इस गति को $m/s$ में बदलने के लिए, $\frac{5}{18}$ से गुणा करें: $v_{rel} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
व्यक्ति को पार करने में लगा समय, सापेक्ष गति से ट्रेन की लंबाई को पार करने में लगे समय के बराबर होता है: $t = \frac{\text{Distance}}{\text{Relative Speed}} = \frac{500}{50/3} = 500 \times \frac{3}{50} = 10 \times 3 = 30 \, \text{सेकंड}$.

(A) दिया गया है: दूरी $= 600 \, m$,समय $= 5 \, \text{minutes} = 5 \times 60 \, \text{seconds} = 300 \, \text{seconds}$.
चाल ($m/s$ में) $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{600}{300} = 2 \, m/s$.
चाल को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें।
चाल ($km/h$ में) $= 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \, km/h$.

(B) माना एक तरफ पैदल चलने का समय $W$ है और एक तरफ सवारी करने का समय $R$ है।
दिया गया है: $W + R = 6$ घंटे $30$ मिनट $= 390$ मिनट $... (i)$
यदि वह दोनों तरफ सवारी करता है,तो उसे पैदल जाने और सवारी करके आने की तुलना में $2$ घंटे $10$ मिनट का लाभ होता है। इसका अर्थ है कि दोनों तरफ सवारी करने का समय $2R = (W + R) - 2$ घंटे $10$ मिनट है।
$2R = 6$ घंटे $30$ मिनट $- 2$ घंटे $10$ मिनट $= 4$ घंटे $20$ मिनट $= 260$ मिनट $... (ii)$
$(ii)$ से,$R = 130$ मिनट।
$R$ का मान $(i)$ में रखने पर: $W + 130 = 390 \Rightarrow W = 260$ मिनट।
दोनों तरफ पैदल जाने में लगा समय $2W = 2 \times 260 = 520$ मिनट है।

(B) लिखी जाने वाली पंक्तियों की कुल संख्या $8190$ है।
चूंकि दोनों व्यक्ति एक-दूसरे की ओर काम कर रहे हैं (एक शुरुआत से और एक अंत से),उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 200 + 150 = 350$ पंक्तियाँ प्रति घंटा।
वे किस समय मिलेंगे,यह जानने के लिए हम पंक्तियों की कुल संख्या को सापेक्ष गति से विभाजित करेंगे:
समय $= \frac{8190}{350}$ घंटे।
समय $= \frac{819}{35} = 23.4$ घंटे।
अतः,वे $23.4$ घंटे बाद मिलेंगे।

(B) माना यात्रा की कुल दूरी $x \, km$ है।
दूरी का पहला आधा भाग $\frac{x}{2} \, km$ है,जिसे $21 \, km/h$ की गति से तय किया जाता है। इस भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x/2}{21} = \frac{x}{42} \, \text{घंटे}$ है।
दूरी का दूसरा आधा भाग $\frac{x}{2} \, km$ है,जिसे $24 \, km/h$ की गति से तय किया जाता है। इस भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x/2}{24} = \frac{x}{48} \, \text{घंटे}$ है।
कुल लिया गया समय $10 \, \text{घंटे}$ है,इसलिए $t_1 + t_2 = 10$।
$\frac{x}{42} + \frac{x}{48} = 10$
$42$ और $48$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $336$ है:
$\frac{8x + 7x}{336} = 10$
$\frac{15x}{336} = 10$
$15x = 3360$
$x = \frac{3360}{15} = 224 \, km$।
अतः,कुल दूरी $224 \, km$ है।

(C) ट्रेन द्वारा $4 \, \text{घंटे}$ में तय की गई कुल दूरी: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय} = 45 \, km/h \times 4 \, h = 180 \, km$.
दूरी को मीटर में बदलने पर: $180 \, km = 180,000 \, m$.
टेलीग्राफ के खंभे $50 \, m$ की दूरी पर स्थित हैं।
कुल दूरी में अंतरालों (intervals) की संख्या: $\frac{180,000}{50} = 3600$.
चूंकि ट्रेन शुरुआती बिंदु $(0 \, m)$ पर पहले खंभे को पार करती है,इसलिए पार किए गए कुल खंभों की संख्या = $\text{अंतरालों की संख्या} + 1 = 3600 + 1 = 3601$.

(C) माना तय की जाने वाली दूरी $d \text{ km}$ है और निर्धारित समय $t \text{ घंटे}$ है।
स्थिति $1$: गति $= 4 \text{ km/h}$,लगा समय $= t + \frac{15}{60} \text{ घंटे}$.
चूँकि $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$,इसलिए $d = 4(t + \frac{1}{4}) = 4t + 1$.
स्थिति $2$: गति $= 6 \text{ km/h}$,लगा समय $= t - \frac{10}{60} \text{ घंटे}$.
अतः,$d = 6(t - \frac{1}{6}) = 6t - 1$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $4t + 1 = 6t - 1 \implies 2t = 2 \implies t = 1 \text{ घंटा}$.
$t = 1$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $d = 4(1) + 1 = 5 \text{ km}$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \frac{S_1 \times S_2}{|S_1 - S_2|} \times \Delta t = \frac{4 \times 6}{6 - 4} \times \frac{15 + 10}{60} = \frac{24}{2} \times \frac{25}{60} = 12 \times \frac{5}{12} = 5 \text{ km}$.

(D) मान लीजिए कि बसों को मिलने में लगा समय $t$ घंटे है。
पहली बस द्वारा तय की गई दूरी $d_1 = 20t$ है。
दूसरी बस द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = 25t$ है。
प्रश्न के अनुसार,दूसरी बस ने पहली बस से $80 \, km$ अधिक दूरी तय की है:
$d_2 - d_1 = 80$
$25t - 20t = 80$
$5t = 80$
$t = 16 \, \text{घंटे}$.
दोनों बस स्टेशनों के बीच की कुल दूरी दोनों बसों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है:
$\text{कुल दूरी} = d_1 + d_2 = 20t + 25t = 45t$.
$t = 16$ रखने पर:
$\text{कुल दूरी} = 45 \times 16 = 720 \, km$.

(C) माना तय की गई दूरी $d\, km$ है।
ट्रेन द्वारा यात्रा करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{25}\, \text{घंटे}$ है।
वापस पैदल चलकर आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{4}\, \text{घंटे}$ है।
कुल लगा समय $5\, \text{घंटे}\, 48\, \text{मिनट }= 5 + \frac{48}{60} = 5 + \frac{4}{5} = \frac{29}{5}\, \text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$t_1 + t_2 = \frac{29}{5}$।
$\frac{d}{25} + \frac{d}{4} = \frac{29}{5}$।
$25$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $100$ लेने पर:
$\frac{4d + 25d}{100} = \frac{29}{5}$।
$\frac{29d}{100} = \frac{29}{5}$।
$d = \frac{29}{5} \times \frac{100}{29} = 20\, km$।
अतः,तय की गई दूरी $20\, km$ है।

(A) पुलिसकर्मी और चोर के बीच की प्रारंभिक दूरी $200 \text{ meters} = 0.2 \text{ km}$ है।
चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $12 \text{ km/h} - 10 \text{ km/h} = 2 \text{ km/h}$ है।
पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}$।
$\text{समय} = \frac{0.2 \text{ km}}{2 \text{ km/h}} = 0.1 \text{ घंटे} = \frac{1}{10} \text{ घंटे}$।
पुलिसकर्मी द्वारा पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी: $\text{दूरी} = \text{चोर की गति} \times \text{समय}$।
$\text{दूरी} = 10 \text{ km/h} \times 0.1 \text{ h} = 1 \text{ km}$।

(B) पहली ट्रेन की गति $(S_1)$ = $10\, m/s = 10 \times \frac{18}{5} = 36\, km/h$.
दूसरी ट्रेन की गति $(S_2)$ = $36 \times (1 + \frac{1}{3}) = 36 \times \frac{4}{3} = 48\, km/h$.
त्रिवेंद्रम और नागरकोइल के बीच की कुल दूरी = $68\, km$.
पहली ट्रेन सुबह $8:00$ बजे और दूसरी $8:20$ बजे निकलती है। पहली ट्रेन $20\, \text{मिनट}$ $(1/3\, \text{घंटे})$ अकेले यात्रा करती है。
$1/3\, \text{घंटे}$ में पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी = $36 \times \frac{1}{3} = 12\, km$.
दोनों ट्रेनों द्वारा तय की जाने वाली शेष दूरी = $68 - 12 = 56\, km$.
दोनों ट्रेनों की सापेक्ष गति = $S_1 + S_2 = 36 + 48 = 84\, km/h$.
सुबह $8:20$ के बाद मिलने में लगा समय = $\frac{\text{शेष दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{56}{84} = \frac{2}{3}\, \text{घंटे}$.
दूसरी ट्रेन नागरकोइल से $48\, km/h$ की गति से $2/3\, \text{घंटे}$ तक यात्रा करती है。
नागरकोइल से दूरी = $48 \times \frac{2}{3} = 32\, km$.

(D) मान लीजिए कि ट्रेनों को मिलने में लगा समय $t$ घंटे है。
पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $D_1 = 50t$ है。
दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $D_2 = 40t$ है。
प्रश्न के अनुसार,पहली ट्रेन ने दूसरी ट्रेन से $100\, km$ अधिक दूरी तय की है:
$D_1 - D_2 = 100$
$50t - 40t = 100$
$10t = 100$
$t = 10\, \text{घंटे}$.
$P$ और $Q$ के बीच की कुल दूरी दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है:
$\text{कुल दूरी} = D_1 + D_2 = 50t + 40t = 90t$.
$t = 10$ रखने पर:
$\text{कुल दूरी} = 90 \times 10 = 900\, km$.

(C) चोर $2.30$ $p.m.$ पर निकलता है और मालिक $3.00$ $p.m.$ पर निकलता है।
इन $30$ मिनट ($0.5$ घंटे) में चोर द्वारा तय की गई दूरी $60 \times 0.5 = 30\, km$ है।
अब,चोर के सापेक्ष मालिक की गति $75 - 60 = 15\, km/h$ है।
मालिक द्वारा $30\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $\frac{30\, km}{15\, km/h} = 2$ घंटे है।
चूंकि मालिक $3.00$ $p.m.$ पर निकला था,इसलिए वह $3.00 + 2 = 5.00$ $p.m.$ पर चोर को पकड़ लेगा।

(B) माना तय की गई दूरी $S \, km$ है और प्रारंभिक गति $v \, km/hr$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$S = v \times 8$,इसलिए $v = S/8$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार,गति $(v + 4) \, km/hr$ है और लिया गया समय $7.5 \, \text{घंटे}$ (अर्थात $15/2 \, \text{घंटे}$) है।
अतः,$S = (v + 4) \times 7.5$ है।
दूसरे समीकरण में $v = S/8$ रखने पर:
$S = (S/8 + 4) \times (15/2)$
$S = (S/8 + 32/8) \times (15/2)$
$S = ((S + 32) / 8) \times (15/2)$
$S = (15S + 480) / 16$
$16S = 15S + 480$
$S = 480 \, km$ है।
अतः,तय की गई दूरी $480 \, km$ है।

(D) माना दूरी $S \text{ km}$ है और सामान्य गति $u \text{ km/hr}$ है।
पहली शर्त के अनुसार:
$\frac{S}{u} - \frac{S}{u+3} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{3S}{u(u+3)} = \frac{2}{3}$
$9S = 2u(u+3) \quad \dots(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$\frac{S}{u-2} - \frac{S}{u} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{2S}{u(u-2)} = \frac{2}{3}$
$3S = u(u-2) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9S}{3S} = \frac{2u(u+3)}{u(u-2)}$
$3 = \frac{2(u+3)}{u-2}$
$3(u-2) = 2(u+3)$
$3u - 6 = 2u + 6$
$u = 12 \text{ km/hr}$
$u = 12$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3S = 12(12-2)$
$3S = 12 \times 10$
$3S = 120$
$S = 40 \text{ km}$.