Division of a Line Segment Questions in Gujarati

(N/A) $7.6 \, cm$ લંબાઈના રેખાખંડને $5: 8$ ના ગુણોત્તરમાં નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1.$ $7.6 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો અને રેખાખંડ $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$2.$ $AX$ પર $13 (= 5 + 8)$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{13}$ એવા મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{12}A_{13}$ થાય.
$3.$ $BA_{13}$ ને જોડો.
$4.$ બિંદુ $A_5$ માંથી $BA_{13}$ ને સમાંતર રેખા દોરો (જે $\angle AA_{13}B$ જેટલો ખૂણો બનાવે છે),જે $AB$ ને બિંદુ $C$ માં છેદે છે.
$C$ એ બિંદુ છે જે $7.6 \, cm$ ના રેખાખંડ $AB$ ને $5: 8$ ના જરૂરી ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$AC$ અને $CB$ ની લંબાઈ માપી શકાય છે. તે અનુક્રમે $2.9 \, cm$ અને $4.7 \, cm$ છે.
યથાર્થતા:
રચના મુજબ,$A_5C \parallel A_{13}B$ છે. ત્રિકોણ $AA_{13}B$ માટે પાયાનું સપ્રમાણતાનું પ્રમેય $(BPT)$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_5}{A_5A_{13}}$
રચના પરથી,$AA_5$ માં $5$ સમાન ભાગો છે અને $A_5A_{13}$ માં $8$ સમાન ભાગો છે.
તેથી,$\frac{AA_5}{A_5A_{13}} = \frac{5}{8}$.
આમ,$\frac{AC}{CB} = \frac{5}{8}$. આ રચનાની યથાર્થતા સાબિત કરે છે.

(A) રેખાખંડ $AB$ ને $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરીએ છીએ.
ત્યારબાદ આપણે કિરણ $AX$ પર સમાન અંતરે $p+q$ બિંદુઓ અંકિત કરીએ છીએ,ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_{p+q}$,જેથી $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{p+q-1}A_{p+q}$ થાય.
આપણે છેલ્લા બિંદુ $A_{p+q}$ ને $B$ સાથે જોડીએ છીએ.
પછી,આપણે બિંદુ $A_p$ માંથી $A_{p+q}B$ ને સમાંતર રેખા દોરીએ છીએ જે $AB$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે છે.
આ બિંદુ $P$ રેખાખંડ $AB$ ને $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,કિરણ $AX$ પર અંકિત કરવાના બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $p+q$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે,રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,પ્રથમ એક કિરણ $AX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે છે,ત્યારબાદ સમાન અંતરે $m+n$ બિંદુઓ અંકિત કરો.
અહીં,$m=5$ અને $n=7$ છે.
તેથી,આ બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $= m+n = 5+7 = 12$ થાય.

(D) રેખાખંડને $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે પ્રથમ રેખાખંડ સાથે લઘુકોણ બનાવતું એક કિરણ દોરીએ છીએ.
ત્યારબાદ,આપણે કિરણ પર $m+n$ બિંદુઓ સમાન અંતરે અંકિત કરીએ છીએ.
અહીં,ગુણોત્તર $4:7$ છે,તેથી જરૂરી બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $4+7 = 11$ છે.
તેથી,આપણે કિરણ $AX$ પર $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ બિંદુઓ અંકિત કરીએ છીએ.
રચના પૂર્ણ કરવા માટે છેલ્લા બિંદુ $A_{11}$ ને બિંદુ $B$ સાથે જોડવામાં આવે છે.

(A) રેખાખંડ $AB$ ને $m: n$ (અહીં $5: 6$) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $AB$ સાથે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે તેવું કિરણ $AX$ દોરો.
$2$. $\angle ABY = \angle BAX$ થાય તે રીતે $AX$ ને સમાંતર કિરણ $BY$ દોરો.
$3$. $AX$ પર $m$ બિંદુઓ $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{5})$ અને $BY$ પર $n$ બિંદુઓ $(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{6})$ એવી રીતે લો કે જેથી $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{4}A_{5}$ અને $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \ldots = B_{5}B_{6}$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_{m}$ (જે $A_{5}$ છે) ને બિંદુ $B_{n}$ (જે $B_{6}$ છે) સાથે જોડો. રેખાખંડ $A_{5}B_{6}$ એ $AB$ ને બિંદુ $C$ માં છેદે છે,જે $AB$ નું $5: 6$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) ખોટું.
ગુણોત્તર $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ નું સાદું રૂપ $1 : 1$ થાય છે.
જોકે,રેખાખંડને આપેલ $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવાની પ્રમાણિત ભૌમિતિક રચના પદ્ધતિમાં $m$ અને $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવા જરૂરી છે.
$2 \sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે અને તે ધન પૂર્ણાંક નથી,તેથી પ્રમાણિત માપપટ્ટી અને પરિકરની રચના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણોત્તરમાં રેખાખંડનું વિભાજન કરવું શક્ય નથી.

(A) સાચું.
આપેલ ગુણોત્તર $= \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,બંને પદોને $\sqrt{3}$ વડે ગુણો:
$\sqrt{3} \times \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3 : 1$.
અહીં $3 : 1$ એ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણોત્તર હોવાથી,ફૂટપટ્ટી અને પરિકરનો ઉપયોગ કરીને એક સહાયક કિરણ પર $3 + 1 = 4$ સમાન ભાગો બનાવીને રેખાખંડને આ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવું શક્ય છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(N/A) $1.$ $AB = 7 \, cm$ લંબાઈનો એક રેખાખંડ દોરો.
$2.$ એક કિરણ $AX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે.
$3.$ $AX$ પર $3 + 5 = 8$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ થાય.
$4.$ $A_8B$ ને જોડો.
$5.$ $A_3$ માંથી,$A_3P \parallel A_8B$ દોરો જે $AB$ ને $P$ માં મળે (જેથી $A_3$ પર $\angle BA_8A$ જેટલો ખૂણો બને).
આમ,$P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $3: 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$AP: PB = 3: 5$ થાય.
સમર્થન:
ધારો કે $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ છે.
$\triangle ABA_8$ માં,આપણી પાસે $A_3P \parallel A_8B$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ થાય.
આમ,$AP: PB = 3: 5$ સાબિત થાય છે.

(N/A) માહિતી: $5.9\,cm$ લંબાઈનો $\overline{ AB }$ આપેલ છે.
રચના: $\overline{ AB }$ ને $A$ થી $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવાનો છે.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ ના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં $\overline{ AB }$ ને સમાવતા,$\overrightarrow{ AX }$ અને $\overrightarrow{ BY }$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle XAB$ અને $\angle YBA$ એકરૂપ લઘુકોણ બને.
$(2)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A$ લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો એક ચાપ $A_{1}$ પર દોરો. તેવી જ રીતે,કેન્દ્ર $A_{1}$ અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{2}$ પર દોરો જેથી $A-A_{1}-A_{2}$ થાય. તેવી જ રીતે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A_{k}$ લઈને $\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{k+1}$ પર દોરો જેથી $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ થાય,જ્યાં $k=2, 3, 4$. આમ,આપણને $\overrightarrow{ AX }$ પર પાંચ બિંદુઓ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ અને $A_{5}$ મળે છે જેથી $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ થાય.
$(3)$ હવે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ થી શરૂ કરીને,$\overrightarrow{ BY }$ પર સાત બિંદુઓ $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ અને $B_{7}$ મેળવો જેથી $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ થાય.
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ દોરો જે $\overline{ AB }$ ને $M$ માં છેદે છે.
આમ,$M \in \overline{ AB }$ એ બિંદુ છે જે $\overline{ AB }$ ને $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
સમર્થન: અહીં $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$. કારણ કે $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ અને $\Delta BB_{7}M$ વચ્ચેની સંગતતા $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ એ સમરૂપતા છે.
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.

(N/A) માહિતી: $\overline{AB}$ આપેલ છે.
રચના: $\overline{AB}$ ને $A$ થી શરૂ કરીને $2: 3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરવાનું છે.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overline{AB}$ ને સમાવતા $\overleftrightarrow{AB}$ ના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં,$\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{BY}$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle XAB$ અને $\angle YBA$ સમાન લઘુકોણ બને.
$(2)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A$ લઈને,$\overrightarrow{AX}$ ને છેદતો ચાપ દોરીને $A_1$ મેળવો. તેવી જ રીતે,$A_1$ ને કેન્દ્ર અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{AX}$ ને છેદતો ચાપ દોરીને $A_2$ મેળવો જેથી $A-A_1-A_2$ થાય. આ રીતે,$k=2, 3, 4, \dots, 8$ માટે $A_k$ ને કેન્દ્ર અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને $\overrightarrow{AX}$ પર $A_{k+1}$ મેળવો. આમ,$\overrightarrow{AX}$ પર નવ બિંદુઓ $A_1, A_2, \dots, A_9$ મળે છે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$ થાય.
$(3)$ હવે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ લઈને,$\overrightarrow{BY}$ પર નવ બિંદુઓ $B_1, B_2, \dots, B_9$ મેળવો જેથી $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_8B_9$ થાય.
$(4)$ $\overline{A_2B_7}$ અને $\overline{A_5B_4}$ દોરો,જેથી $\overline{A_2B_7}$ એ $\overline{AB}$ ને $M$ માં અને $\overline{A_5B_4}$ એ $\overline{AB}$ ને $N$ માં છેદે.
આમ,આપણને બિંદુઓ $M$ અને $N$ મળે છે જે $\overline{AB}$ ને $A$ થી $2: 3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $AM : MN : NB = 2: 3: 4$.
સમર્થન: અહીં,$\overleftrightarrow{AX}$,$\overleftrightarrow{AB}$ અને $\overleftrightarrow{BY}$ છેદિકાઓ પર $\overline{A_2B_7} \parallel \overline{A_5B_4}$ દ્વારા બનતા અંતઃખંડો પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$AM : MN : NB = AA_2 : A_2A_5 : A_5A_9 = B_9B_7 : B_7B_4 : B_4B = 2: 3: 4$.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8.2 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ દોરો.
$2$. રેખાખંડ $\overline{PQ}$ ની નીચે બિંદુ $P$ આગળ લઘુકોણ $\angle QPX$ રચો.
$3$. બિંદુ $P$ થી શરૂ કરીને,કિરણ $PX$ પર $3 + 7 = 10$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_{10}$ ને $Q$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_{10}Q$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{PQ}$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે.
$6$. બિંદુ $R$ એ $\overline{PQ}$ નું $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જેથી $PR:RQ = 3:7$ થાય.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $10 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
$2$. $\overline{AB}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. કિરણ $AX$ પર $3 + 8 = 11$ બિંદુઓ $A_1, A_2, ..., A_{11}$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = ... = A_{10}A_{11}$ થાય.
$4$. $B$ ને $A_{11}$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_{11}B$ ને સમાંતર રેખા દોરો ($\angle AA_{11}B$ જેટલો ખૂણો બનાવીને) જે $\overline{AB}$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે.
$6$. આમ,$P$ એ બિંદુ છે જે $\overline{AB}$ નું $3:8$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $9\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{XY}$ દોરો.
$2$. બિંદુ $X$ આગળ $\overline{XY}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $XP$ દોરો.
$3$. કિરણ $XP$ પર $2 + 5 = 7$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $XA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ થાય.
$4$. $A_7$ ને $Y$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_2$ માંથી $A_7Y$ ને સમાંતર રેખા દોરો (અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન બનાવીને) જે $\overline{XY}$ ને બિંદુ $Z$ માં છેદે.
$6$. આમ,બિંદુ $Z$ એ $\overline{XY}$ નું $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$2$. $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. કિરણ $AX$ પર $3 + 5 = 8$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_8$ ને $B$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_8B$ ને સમાંતર રેખા દોરો (અનુકોણ સમાન બનાવીને) જે $AB$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે.
$6$. આમ,$M$ એ $AB$ પરનું એવું બિંદુ છે જે તેને $3 : 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7.5\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{XY}$ દોરો.
$2$. બિંદુ $X$ આગળ રેખાખંડ $\overline{XY}$ ની નીચે એક લઘુકોણ $\angle YXA$ બનાવો.
$3$. $X$ થી શરૂ કરીને,કિરણ $XA$ પર $3 + 4 + 5 = 12$ બિંદુઓ $X_1, X_2, ..., X_{12}$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $XX_1 = X_1X_2 = ... = X_{11}X_{12}$ થાય.
$4$. બિંદુ $X_{12}$ ને $Y$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $X_3$ અને $X_7$ માંથી (કારણ કે $3$ અને $3+4=7$),$X_{12}Y$ ને સમાંતર રેખાઓ દોરો જે $\overline{XY}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે.
$6$. આમ,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $\overline{XY}$ નું $3:4:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8.5 \text{ cm}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ દોરો.
$2$. $\overline{PQ}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કોઈ પણ કિરણ $PY$ દોરો.
$3$. કિરણ $PY$ પર $4 + 7 = 11$ બિંદુઓ $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{10}A_{11}$ થાય.
$4$. $A_{11}$ ને $Q$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_4$ માંથી (ગુણોત્તર $4:7$ હોવાથી),$A_{11}Q$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{PQ}$ ને બિંદુ $X$ માં છેદે.
$6$. આમ,$X$ એ $\overline{PQ}$ પરનું એવું બિંદુ છે જે તેને $4 : 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{ AB }$ દોરો.
$2$. બિંદુ $A$ આગળ રેખાખંડ $\overline{ AB }$ સાથે લઘુકોણ બનાવતો કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને કિરણ $AX$ પર $5$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ એવા લો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ થાય.
$4$. $A_5$ ને $B$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_2$ માંથી $A_5B$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{ AB }$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે.
$6$. આમ,$M$ એ $\overline{ AB }$ પરનું માંગેલું બિંદુ છે જેથી $AM : AB = 2 : 5$ થાય.

(N/A) સોપાન $1$: ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
સોપાન $2$: બિંદુ $A$ આગળ રેખાખંડ $\overline{AB}$ સાથે લઘુકોણ $\angle BAX$ રચો.
સોપાન $3$: કિરણ $AX$ પર પરિકરની મદદથી $2 + 3 + 5 = 10$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ એવા મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ થાય.
સોપાન $4$: છેલ્લા બિંદુ $A_{10}$ ને બિંદુ $B$ સાથે જોડો.
સોપાન $5$: બિંદુ $A_2$ અને $A_5$ માંથી (કારણ કે $2$ અને $2+3=5$),$A_{10}B$ ને સમાંતર રેખાઓ દોરો જે $\overline{AB}$ ને અનુક્રમે બિંદુ $P$ અને $Q$ માં છેદે.
સોપાન $6$: બિંદુ $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $2:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું બિંદુ $P$ તે રેખાખંડને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: $AP$ અને $PB$.
વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ દ્વારા રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું વિભાજન (જ્યાં $P$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે) એ બનતા બે રેખાખંડોની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{AP}{PB}$ છે.
આમ,$P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $\frac{AP}{PB}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.