Construction of Tangents to a Circle Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ વર્તુળ માટે સ્પર્શકોની જોડી નીચે મુજબ રચી શકાય છે:
$1.$ સમતલમાં કોઈ બિંદુ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈને,$6 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. $O$ થી $10 \, cm$ દૂર એક બિંદુ $P$ નક્કી કરો.
$OP$ ને જોડો.
$2.$ $OP$ નો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $PO$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$3.$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક વર્તુળ દોરો.
$4.$ ધારો કે આ વર્તુળ અગાઉના વર્તુળને બિંદુ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
$5.$ $PQ$ અને $PR$ ને જોડો. $PQ$ અને $PR$ એ જરૂરી સ્પર્શકો છે.
સ્પર્શકો $PQ$ અને $PR$ ની લંબાઈ દરેક $8 \, cm$ છે.
સમર્થન:
આ રચનાને એ સાબિત કરીને સમર્થન આપી શકાય છે કે $PQ$ અને $PR$ એ વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $6 \, cm$ છે) ના સ્પર્શકો છે. આ માટે,$OQ$ અને $OR$ ને જોડો.
$\angle PQO$ એ અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$\therefore \angle PQO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OQ \perp PQ$
$OQ$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવો જ જોઈએ. તેવી જ રીતે,$PR$ પણ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.

(N/A) આપેલ વર્તુળ પરના સ્પર્શકો નીચે મુજબ દોરી શકાય છે:
$1.$ આપેલ સમતલ પર $O$ કેન્દ્ર લઈને $4 \, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો.
$2.$ $O$ ને કેન્દ્ર લઈને $6 \, cm$ ત્રિજ્યાનું બીજું વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ પર એક બિંદુ $P$ લો અને $OP$ ને જોડો.
$3.$ $OP$ નો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $PO$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$4.$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો. તે આપેલ વર્તુળને બિંદુઓ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
$5.$ $PQ$ અને $PR$ ને જોડો. $PQ$ અને $PR$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
અવલોકન કરી શકાય છે કે $PQ$ અને $PR$ દરેકની લંબાઈ $4.47 \, cm$ છે.
$\triangle PQO$ માં:
$PQ$ સ્પર્શક હોવાથી,$\angle PQO = 90^{\circ}$.
$PO = 6 \, cm$ (કર્ણ),
$QO = 4 \, cm$ (ત્રિજ્યા).
$\triangle PQO$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા,આપણને મળે છે:
$PQ^2 + QO^2 = PO^2$
$PQ^2 + (4)^2 = (6)^2$
$PQ^2 + 16 = 36$
$PQ^2 = 36 - 16$
$PQ^2 = 20$
$PQ = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \, cm$.
સમર્થન:
આ રચનાને એ સાબિત કરીને સમર્થન આપી શકાય છે કે $PQ$ અને $PR$ એ વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $4 \, cm$ છે) ના સ્પર્શકો છે. આ માટે,$OQ$ અને $OR$ ને જોડો.
$\angle OQP$ એ અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો હોવાથી,$\angle OQP = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow OQ \perp PQ$.
$OQ$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવો જ જોઈએ. તેવી જ રીતે,$PR$ પણ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.

(N/A) આપેલ વર્તુળ પર સ્પર્શકો નીચે મુજબ દોરી શકાય છે:
$1.$ સમતલ પર કોઈ બિંદુ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ,$3 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2.$ તેનો એક વ્યાસ લો અને તેને બંને બાજુ લંબાવો. આ વ્યાસ પર બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવા લો કે જેથી $OP = OQ = 7 \, cm$ થાય.
$3.$ $OP$ અને $OQ$ ના લંબદ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $T$ અને $U$ એ અનુક્રમે $OP$ અને $OQ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$4.$ $T$ અને $U$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $TO$ તથા $UO$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈ,બે વર્તુળો દોરો. આ બે વર્તુળો મૂળ વર્તુળને અનુક્રમે $V, W$ અને $X, Y$ બિંદુઓમાં છેદશે. $PV, PW, QX$ અને $QY$ ને જોડો. આ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
યથાર્થતા:
આ રચનાની યથાર્થતા એ સાબિત કરીને આપી શકાય છે કે $PV, PW, QX$ અને $QY$ એ વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $3 \, cm$ છે) ના સ્પર્શકો છે. આ માટે,$OV, OW, OX$ અને $OY$ ને જોડો.
$\angle PVO$ એ અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$\therefore \angle PVO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OV \perp PV$
$OV$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી,$PV$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક જ હોય.
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય છે કે $PW, QX$ અને $QY$ પણ વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

(N/A) સ્પર્શકો નીચે મુજબ દોરી શકાય છે:
$1.$ $O$ કેન્દ્ર લઈને $5\, cm$ ત્રિજ્યાનું એક વર્તુળ દોરો.
$2.$ વર્તુળના પરિઘ પર એક બિંદુ $A$ લો અને $OA$ ને જોડો. બિંદુ $A$ પર $OA$ ને લંબ દોરો.
$3.$ $OA$ સાથે $120^{\circ} (180^{\circ} - 60^{\circ})$ નો ખૂણો બનાવતી ત્રિજ્યા $OB$ દોરો.
$4.$ બિંદુ $B$ પર $OB$ ને લંબ દોરો. ધારો કે બંને લંબ બિંદુ $P$ પર છેદે છે. $PA$ અને $PB$ એ $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલા જરૂરી સ્પર્શકો છે.
સમર્થન:
આ રચનાને $\angle APB = 60^{\circ}$ સાબિત કરીને સમર્થન આપી શકાય છે.
આપણી રચના મુજબ:
$\angle OAP = 90^{\circ}$ (સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે)
$\angle OBP = 90^{\circ}$ (સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે)
અને $\angle AOB = 120^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે.
ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં:
$\angle OAP + \angle AOB + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + 120^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$300^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$\angle APB = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$
આ રચનાનું સમર્થન કરે છે.

(N/A) આપેલા વર્તુળો પર સ્પર્શકો નીચે મુજબ દોરી શકાય છે:
$1.$ $8 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો. $A$ અને $B$ ને કેન્દ્ર લઈને અનુક્રમે $4 \, cm$ અને $3 \, cm$ ત્રિજ્યાના બે વર્તુળો દોરો.
$2.$ રેખાખંડ $AB$ નો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $C$ છે. $C$ ને કેન્દ્ર લઈને $AC$ (અથવા $BC$) ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો,જે આપેલા વર્તુળોને બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ માં છેદશે. $BP, BQ, AS$ અને $AR$ ને જોડો. આ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
યથાર્થતા:
આ રચનાની યથાર્થતા એ સાબિત કરીને આપી શકાય છે કે $AS$ અને $AR$ એ વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર $B$ અને ત્રિજ્યા $3 \, cm$ છે) ના સ્પર્શકો છે અને $BP$ અને $BQ$ એ વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર $A$ અને ત્રિજ્યા $4 \, cm$ છે) ના સ્પર્શકો છે. આ માટે,$AP, AQ, BS$ અને $BR$ ને જોડો.
$\angle ASB$ એ અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$\therefore \angle ASB = 90^{\circ}$
$\Rightarrow BS \perp AS$
$BS$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી,$AS$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવો જ જોઈએ. તેવી જ રીતે,$AR, BP$ અને $BQ$ એ સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $AB = 6 \, cm$,$BC = 8 \, cm$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ હોય તેવો $\triangle ABC$ રચો.
$2$. $BD \perp AC$ દોરો. કારણ કે $\angle BDC = 90^{\circ}$ છે,તેથી $B, C, D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ $BC$ હશે કારણ કે $\angle BDC = 90^{\circ}$ એ $D$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.
$3$. ધારો કે $O$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OB = OC = 4 \, cm$ ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થશે (કારણ કે $\angle BDC = 90^{\circ}$).
$4$. $A$ માંથી આ વર્તુળ પર સ્પર્શકો દોરવા માટે,$AO$ ને જોડો. $AO$ નો દ્વિભાજક $M$ મેળવો. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળ,$O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળને $B$ અને $E$ માં છેદે છે. $AE$ ને જોડો. આમ,$AB$ અને $AE$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
સમર્થન:
$OE$ ને જોડો. $AB$ એ $B$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,$\angle ABO = 90^{\circ}$. $AE$ એ $E$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,$\angle AEO = 90^{\circ}$. $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં,$OB$ અને $OE$ ત્રિજ્યાઓ છે. $AB$ અને $AE$ એ બાહ્ય બિંદુ $A$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,$AB = AE$.

(N/A) બંગડી વડે દોરેલા વર્તુળ (જેનું કેન્દ્ર અજ્ઞાત છે) માટે સ્પર્શકોની રચના:
$1$. બે સમાંતર ન હોય તેવી જીવાઓ $BC$ અને $CD$ દોરો.
$2$. $BC$ અને $CD$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો. આ લંબદ્વિભાજકો જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $E$ છે.
$3$. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $A$ લો. $AE$ ને જોડો.
$4$. $AE$ નો મધ્યબિંદુ $F$ મેળવો. $F$ ને કેન્દ્ર અને $FA$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો.
$5$. ધારો કે આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને બિંદુ $B$ અને $G$ માં છેદે છે. $AB$ અને $AG$ ને જોડો.
$AB$ અને $AG$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
સમર્થન:
$EB$ અને $EG$ ને જોડો. $\angle ABE$ એ અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો છે,તેથી $\angle ABE = 90^{\circ}$. $EB$ એ ત્રિજ્યા હોવાથી,$AB$ એ સ્પર્શક છે. તેવી જ રીતે,$\angle AGE = 90^{\circ}$,તેથી $AG$ એ સ્પર્શક છે.

(B) ધારો કે બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 35^{\circ}$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર,સ્પર્શ બિંદુઓ અને સ્પર્શકોના છેદબિંદુ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણમાં,સ્પર્શ બિંદુઓ પાસેના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોય છે (કારણ કે ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે).
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha + 90^{\circ} + \theta + 90^{\circ} = 360^{\circ}.$
$\alpha + \theta = 180^{\circ}.$
$\alpha = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}.$

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે અને બે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ છે. સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ છે.
ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં,સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ છે (કારણ કે સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે).
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\angle AOB + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB + 240^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(A) ખરું.
વર્તુળમાં,બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો અને સ્પર્શબિંદુઓને કેન્દ્ર સાથે જોડતા રેખાખંડો દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો પૂરક હોય છે (એટલે કે,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\phi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\theta + \phi = 180^{\circ}$.
અહીં સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $170^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $180^{\circ} - 170^{\circ} = 10^{\circ}$ થશે.
$10^{\circ} > 0^{\circ}$ હોવાથી,આવા સ્પર્શકોની જોડીની રચના કરવી ભૌમિતિક રીતે શક્ય છે.

(N/A) આપેલ છે કે,એક બિંદુ $M^{\prime}$ એ $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કેન્દ્રથી $6\, cm$ ના અંતરે આવેલું છે.
રચનાના પગલાં:
$1.$ $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$2.$ $OM^{\prime}$ ને જોડો અને તેનો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $OM^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$3.$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો જે આપેલ વર્તુળ $(O, 4\, cm)$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
$4.$ $PM^{\prime}$ અને $QM^{\prime}$ ને જોડો. $PM^{\prime}$ અને $QM^{\prime}$ એ $M^{\prime}$ માંથી વર્તુળ $C(O, 4\, cm)$ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) આપેલ છે: $O$ કેન્દ્ર અને $3\, cm$ તથા $5\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા બે એકકેન્દ્રીય વર્તુળો. આપણે બહારના વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ માંથી અંદરના વર્તુળ પર સ્પર્શકોની જોડી દોરવાની છે.
રચનાના પગલાં:
$1.$ $O$ કેન્દ્ર અને $3\, cm$ તથા $5\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા બે એકકેન્દ્રીય વર્તુળો દોરો.
$2.$ બહારના વર્તુળ પર કોઈ બિંદુ $P$ લો. $OP$ ને જોડો.
$3.$ $OP$ નો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M'$ એ $OP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$4.$ $M'$ ને કેન્દ્ર અને $OM'$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક તૂટક વર્તુળ દોરો જે અંદરના વર્તુળને $M$ અને $P'$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$5.$ $PM$ અને $PP'$ ને જોડો. આમ,$PM$ અને $PP'$ એ જરૂરી સ્પર્શકો છે.
$6.$ $PM$ અને $PP'$ માપતા,આપણને જણાય છે કે $PM = PP' = 4\, cm$.
વાસ્તવિક ગણતરી:
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMP$ માં,$\angle PMO = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $OP^2 = PM^2 + OM^2$
$PM^2 = OP^2 - OM^2$
$PM^2 = (5)^2 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$
$PM = \sqrt{16} = 4\, cm$.
આમ,બંને સ્પર્શકોની લંબાઈ $4\, cm$ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1.$ $O$ કેન્દ્ર અને $4 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2.$ એક ત્રિજ્યા $OA$ દોરો અને તેને $B$ સુધી લંબાવો જેથી $OA = AB = 4 \, cm$ થાય. આમ,$OB = 8 \, cm$ થશે.
$3.$ $A$ ને કેન્દ્ર ગણીને $AO = 4 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$4.$ $BP$ અને $BQ$ ને જોડો. $BP$ અને $BQ$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
સમર્થન:
$\triangle OAP$ માં,$OA = OP = 4 \, cm$ (ત્રિજ્યાઓ) અને $AP = 4 \, cm$ ($A$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યા).
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\triangle OAP$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle OAP = 60^{\circ}$.
$OAB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BAP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\triangle BAP$ માં,$BA = AP = 4 \, cm$. તેથી,$\triangle BAP$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle ABP = \angle APB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle ABQ = 30^{\circ}$.
આમ,$\angle PBQ = \angle ABP + \angle ABQ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
માપન:
કેન્દ્ર $O$ અને છેદબિંદુ $B$ વચ્ચેનું અંતર $OB = OA + AB = 4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ છે.

(N/A) માહિતી: $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના બહારના ભાગમાં બિંદુ $B$ એ રીતે લો કે જેથી $AB = 8 \, cm$ થાય.
રચના: બિંદુ $B$ માંથી $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને બે સ્પર્શકો દોરો.
રચનાના પગલાં:
$1$. $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહાર બિંદુ $B$ એ રીતે લો કે જેથી $AB = 8 \, cm$ થાય.
$2$. રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
$3$. $\overline{AB}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો જે મૂળ વર્તુળને $X$ અને $Y$ બિંદુમાં છેદે.
$5$. કિરણો $\overrightarrow{BX}$ અને $\overrightarrow{BY}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{BX}$ અને $\overleftrightarrow{BY}$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
ગણતરી: $\triangle AXB$ માં,$\angle AXB = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળનો ખૂણો). પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AX^2 + BX^2$.
$8^2 = 5^2 + BX^2 \implies 64 = 25 + BX^2 \implies BX^2 = 39 \implies BX = \sqrt{39} \approx 6.24 \, cm$.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈ આશરે $6.24 \, cm$ છે.

(N/A) માહિતી: બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહારના ભાગમાં બિંદુ $A$ લો.
રચના: $A$ માંથી વર્તુળને સ્પર્શકો દોરવાના છે.
$(1)$ બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહારના ભાગમાં બિંદુ $A$ લો.
$(2)$ આ વર્તુળમાં બે સમાંતર ન હોય તેવી જીવાઓ $\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ દોરો.
$(3)$ $\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો જે એકબીજાને $O$ માં છેદે. અહીં,$O$ એ બંગડીની મદદથી દોરેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$(4)$ $\overline{OA}$ દોરો.
$(5)$ $\overline{OA}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને $\overline{OA}$ નું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$(6)$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો જે પ્રથમ વર્તુળને $X$ અને $Y$ માં છેદે.
$(7)$ કિરણો $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AY}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{AX}$ અને $\overleftrightarrow{AY}$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) માહિતી: $\overline{AB}$ દોરો જેથી $AB = 10 \, cm$ થાય. $\odot(A, 3 \, cm)$ અને $\odot(B, 4 \, cm)$ દોરો.
રચના: દરેક વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી બીજા વર્તુળ પર સ્પર્શકો દોરવા.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overline{AB}$ દોરો જેથી $AB = 10 \, cm$ થાય. $\odot(A, 3 \, cm)$ અને $\odot(B, 4 \, cm)$ દોરો.
$(2)$ $\overline{AB}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$(3)$ $\odot(M, MA)$ દોરો જે $\odot(A, 3 \, cm)$ ને $S$ અને $T$ માં અને $\odot(B, 4 \, cm)$ ને $X$ અને $Y$ માં છેદે.
$(4)$ $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AY}$ તેમજ $\overrightarrow{BS}$ અને $\overrightarrow{BT}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{AX}$ અને $\overleftrightarrow{AY}$ એ $A$ માંથી $\odot(B, 4 \, cm)$ પરના સ્પર્શકો છે અને $\overleftrightarrow{BS}$ અને $\overleftrightarrow{BT}$ એ $B$ માંથી $\odot(A, 3 \, cm)$ પરના સ્પર્શકો છે.

(N/A) માહિતી: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ દોરો.
રચના: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ ને સ્પર્શકોની એવી જોડ દોરો કે જેથી તેમના છેદબિંદુ $A$ આગળ સ્પર્શકો વચ્ચેના ખૂણાનું માપ $60^\circ$ થાય.
$(1)$ $\odot(P, 4 \text{ cm})$ દોરો અને બે ત્રિજ્યાઓ $\overline{PR}$ અને $\overline{PQ}$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $m\angle RPQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થાય.
$(2)$ $R$ માંથી,$\overline{PR}$ ને લંબ રેખા દોરો.
$(3)$ $Q$ માંથી,$\overline{PQ}$ ને લંબ રેખા દોરો.
$(4)$ ધારો કે સ્ટેપ $(2)$ અને સ્ટેપ $(3)$ માં દોરેલી રેખાઓ $A$ માં છેદે છે.
આમ,$\overleftrightarrow{AR}$ અને $\overleftrightarrow{AQ}$ એ જરૂરી સ્પર્શકો છે કે જેથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ $60^\circ$ થાય.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $P$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ $3\, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો.
$2$. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $R$ એ રીતે લો કે જેથી $PR = 6\, cm$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $PR$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $MP$ (અથવા $MR$) જેટલી ત્રિજ્યા લઈને બીજું વર્તુળ દોરો.
$5$. આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને જે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેમને $A$ અને $B$ નામ આપો.
$6$. $RA$ અને $RB$ જોડો. આમ,$RA$ અને $RB$ એ બિંદુ $R$ માંથી વર્તુળ $\odot(P, 3\, cm)$ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. $O$ કેન્દ્ર અને $4 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા વાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2$. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $X$ એ રીતે લો કે જેથી $OX = 7 \text{ cm}$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $OX$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $OX$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદશે.
$5$. $XP$ અને $XQ$ જોડો. આ બિંદુ $X$ માંથી વર્તુળ પરના જરૂરી સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $P$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $5 \,cm$ ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો.
$2$. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $A$ એ રીતે લો કે જેથી $PA = 9 \,cm$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $PA$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $PA$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $MA$ (અથવા $MP$) જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને બે બિંદુઓ $B$ અને $C$ માં છેદશે.
$5$. $AB$ અને $AC$ ને જોડો. આમ,$AB$ અને $AC$ એ બિંદુ $A$ માંથી વર્તુળ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) પગલું $1$: એક ગોળ વાટકાને કાગળ પર ઊંધો મૂકો અને તેની કિનારી પર પેન્સિલ ફેરવીને વર્તુળ દોરો.
પગલું $2$: વર્તુળનું કેન્દ્ર અજ્ઞાત હોવાથી,વર્તુળની બે સમાંતર ન હોય તેવી જીવાઓ $AB$ અને $CD$ દોરો.
પગલું $3$: જીવાઓ $AB$ અને $CD$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો. આ લંબદ્વિભાજકો જે બિંદુએ છેદે છે તે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
પગલું $4$: વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $P$ લો.
પગલું $5$: $OP$ ને જોડો અને $OP$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $OP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
પગલું $6$: $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને બિંદુઓ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
પગલું $7$: $PQ$ અને $PR$ ને જોડો. $PQ$ અને $PR$ એ બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $O$ કેન્દ્ર અને $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2$. કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતો વ્યાસ $\overline{PQ}$ દોરો.
$3$. વ્યાસ $\overline{PQ}$ ને બંને બાજુ લંબાવો જેથી બિંદુઓ $A$ અને $B$ મળે,જ્યાં $A-P-Q$ અને $P-Q-B$ થાય. ધારો કે $OA = OB = 6\, cm$ (અથવા ત્રિજ્યા કરતાં વધુ કોઈપણ અંતર).
$4$. લંબદ્વિભાજક દોરીને $\overline{OA}$ અને $\overline{OB}$ ના મધ્યબિંદુઓ મેળવો. ધારો કે આ મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1$ અને $M_2$ છે.
$5$. $M_1$ ને કેન્દ્ર અને $M_1O$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. તે મૂળ વર્તુળને બે બિંદુઓમાં છેદે છે. $A$ ને આ બિંદુઓ સાથે જોડીને $A$ માંથી સ્પર્શકો મેળવો.
$6$. તેવી જ રીતે,$M_2$ ને કેન્દ્ર અને $M_2O$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. તે મૂળ વર્તુળને બે બિંદુઓમાં છેદે છે. $B$ ને આ બિંદુઓ સાથે જોડીને $B$ માંથી સ્પર્શકો મેળવો.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $P$ કેન્દ્ર અને $3 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો.
$2$. $P$ માંથી પસાર થતો વ્યાસ $\overline{ AB }$ દોરો.
$3$. રેખાખંડ $\overline{ AB }$ ને બંને બાજુ લંબાવો. $A$ ની બાજુએ બિંદુ $X$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $PX = 7 \, cm$ થાય અને $B$ ની બાજુએ બિંદુ $Y$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $PY = 7 \, cm$ થાય.
$4$. $X$ માંથી સ્પર્શકો દોરવા માટે,$\overline{ PX }$ નું મધ્યબિંદુ $M_1$ મેળવો. $M_1$ ને કેન્દ્ર અને $M_1P$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. તે મૂળ વર્તુળને બિંદુ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
$5$. $XQ$ અને $XR$ જોડો. આ $X$ માંથી દોરેલા માંગેલા સ્પર્શકો છે.
$6$. તેવી જ રીતે,$Y$ માંથી સ્પર્શકો દોરવા માટે,$\overline{ PY }$ નું મધ્યબિંદુ $M_2$ મેળવો. $M_2$ ને કેન્દ્ર અને $M_2P$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. તે મૂળ વર્તુળને બિંદુ $S$ અને $T$ માં છેદે છે.
$7$. $YS$ અને $YT$ જોડો. આ $Y$ માંથી દોરેલા માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $9\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{ AB }$ દોરો.
$2$. $A$ ને કેન્દ્ર લઈ $3\, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો. $B$ ને કેન્દ્ર લઈ $3.5\, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો.
$3$. $B$ માંથી $\odot( A, 3\, cm )$ પર સ્પર્શકો દોરવા માટે:
અ. $\overline{ AB }$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને $\overline{ AB }$ નું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
બ. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ $\odot( A, 3\, cm )$ ને બિંદુ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
ક. $BP$ અને $BQ$ જોડો. આ $B$ માંથી કેન્દ્ર $A$ વાળા વર્તુળ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.
$4$. $A$ માંથી $\odot( B, 3.5\, cm )$ પર સ્પર્શકો દોરવા માટે:
અ. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો (જે પગલાં $3$બ માં દોરેલા વર્તુળ જેવું જ છે). આ વર્તુળ $\odot( B, 3.5\, cm )$ ને બિંદુ $R$ અને $S$ માં છેદે છે.
બ. $AR$ અને $AS$ જોડો. આ $A$ માંથી કેન્દ્ર $B$ વાળા વર્તુળ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $11\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{ XY }$ દોરો.
$2$. $X$ ને કેન્દ્ર લઈ $4\, cm$ ત્રિજ્યાનું અને $Y$ ને કેન્દ્ર લઈ $3\, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો.
$3$. $\overline{ XY }$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MX$ (અથવા $MY$) જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો. આ વર્તુળ,$X$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં તથા $Y$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળને બિંદુઓ $C$ અને $D$ માં છેદશે.
$5$. $XA$ અને $XB$ જોડો,જે $X$ માંથી $Y$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પરના સ્પર્શકો છે.
$6$. $YC$ અને $YD$ જોડો,જે $Y$ માંથી $X$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પરના સ્પર્શકો છે.

(N/A) $1$. $P$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યા વાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2$. એક ત્રિજ્યા $PA$ અને બીજી ત્રિજ્યા $PB$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle APB = 120^\circ$ થાય (કારણ કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે,તેથી કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થશે).
$3$. બિંદુ $A$ આગળ,$PA$ ને લંબ રેખા દોરો.
$4$. બિંદુ $B$ આગળ,$PB$ ને લંબ રેખા દોરો.
$5$. આ બંને લંબ રેખાઓ જ્યાં છેદે તેને બિંદુ $Q$ કહો. આમ,$QA$ અને $QB$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે અને $\angle AQB = 60^\circ$ થશે.

(N/A) $1$. $P$ કેન્દ્ર અને $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2$. વર્તુળના બે પરસ્પર લંબ વ્યાસ $AB$ અને $CD$ દોરો,જે કેન્દ્ર $P$ માં છેદે છે.
$3$. બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ પર,કાટખૂણિયાનો ઉપયોગ કરીને અથવા દરેક બિંદુ પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવીને વર્તુળના સ્પર્શકો દોરો.
$4$. ધારો કે $A$ અને $C$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. ત્રિજ્યા $PA$ અને $PC$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PAQC$ એક ચોરસ બનશે (કારણ કે બધા ખૂણા $90^{\circ}$ છે અને પાસપાસેની બાજુઓ ત્રિજ્યા જેટલી સમાન છે).
$5$. આમ,$A$ અને $C$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ પર એકબીજાને લંબ છે.

(N/A) $1$. $P$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યા વાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2$. એક ત્રિજ્યા $PA$ અને બીજી ત્રિજ્યા $PB$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle APB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ થાય. આનું કારણ એ છે કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો અને સ્પર્શબિંદુઓ આગળની ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો પૂરક $(180^\circ)$ હોય છે.
$3$. બિંદુ $A$ આગળ,$PA$ ને લંબ રેખા દોરો.
$4$. બિંદુ $B$ આગળ,$PB$ ને લંબ રેખા દોરો.
$5$. આ બંને લંબ રેખાઓ જ્યાં છેદે તેને બિંદુ $Q$ કહો. રેખાઓ $QA$ અને $QB$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે,અને $\angle AQB = 120^\circ$ થશે.