Construction of Tangents to a Circle Questions in Hindi

(N/A) दिए गए वृत्त के लिए स्पर्श रेखा युग्म की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ समतल में किसी बिंदु $O$ को केंद्र मानकर,$6 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। $O$ से $10 \, cm$ की दूरी पर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए।
$OP$ को मिलाइए।
$2.$ $OP$ का समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PO$ का मध्य-बिंदु है।
$3.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर,एक वृत्त खींचिए।
$4.$ मान लीजिए यह वृत्त पिछले वृत्त को बिंदु $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखाओं $PQ$ और $PR$ की लंबाई प्रत्येक $8 \, cm$ है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $6 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OQ$ और $OR$ को मिलाइए।
$\angle PQO$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle PQO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OQ \perp PQ$
चूँकि $OQ$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PQ$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$PR$ भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ निम्नलिखित रूप से खींची जा सकती हैं:
$1.$ दिए गए तल पर $O$ को केंद्र मानकर $4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ $O$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त पर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए और $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PO$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए यह दिए गए वृत्त को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
यह देखा जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ प्रत्येक की लंबाई $4.47 \, cm$ है।
$\triangle PQO$ में:
चूँकि $PQ$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle PQO = 90^{\circ}$।
$PO = 6 \, cm$ (कर्ण),
$QO = 4 \, cm$ (त्रिज्या)।
$\triangle PQO$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ^2 + QO^2 = PO^2$
$PQ^2 + (4)^2 = (6)^2$
$PQ^2 + 16 = 36$
$PQ^2 = 36 - 16$
$PQ^2 = 20$
$PQ = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \, cm$।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $4 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OQ$ और $OR$ को मिलाइए।
चूँकि $\angle OQP$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle OQP = 90^{\circ}$।
$\Rightarrow OQ \perp PQ$।
चूँकि $OQ$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PQ$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$PR$ भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ समतल पर किसी बिंदु $O$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ इसका एक व्यास लीजिए और इसे दोनों ओर बढ़ाइए। इस व्यास पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लीजिए कि $OP = OQ = 7 \, cm$ हो।
$3.$ $OP$ और $OQ$ का समद्विभाजन कीजिए। मान लीजिए कि $T$ और $U$ क्रमशः $OP$ और $OQ$ के मध्य-बिंदु हैं।
$4.$ $T$ और $U$ को केंद्र मानकर और $TO$ तथा $UO$ को त्रिज्या मानकर,दो वृत्त खींचिए। ये दो वृत्त मूल वृत्त को क्रमशः $V, W$ और $X, Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे। $PV, PW, QX$ और $QY$ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PV, PW, QX$ और $QY$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $3 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OV, OW, OX$ और $OY$ को मिलाइए।
$\angle PVO$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle PVO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OV \perp PV$
चूँकि $OV$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PV$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए।
इसी प्रकार,यह दिखाया जा सकता है कि $PW, QX$ और $QY$ भी वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) स्पर्श रेखाओं की रचना निम्नलिखित प्रकार से की जा सकती है:
$1.$ $O$ केंद्र मानकर $5\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ वृत्त की परिधि पर एक बिंदु $A$ लीजिए और $OA$ को मिलाइए। बिंदु $A$ पर $OA$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$3.$ $OA$ के साथ $120^{\circ} (180^{\circ} - 60^{\circ})$ का कोण बनाती हुई एक त्रिज्या $OB$ खींचिए।
$4.$ बिंदु $B$ पर $OB$ के लंबवत एक रेखा खींचिए। मान लीजिए कि दोनों लंबवत रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $PA$ और $PB$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं जो $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य $\angle APB = 60^{\circ}$ सिद्ध करके दिया जा सकता है।
हमारी रचना के अनुसार:
$\angle OAP = 90^{\circ}$ (स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)
$\angle OBP = 90^{\circ}$ (स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)
और $\angle AOB = 120^{\circ}$
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
चतुर्भुज $OAPB$ में:
$\angle OAP + \angle AOB + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + 120^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$300^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$\angle APB = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) दिए गए वृत्तों पर स्पर्श रेखाओं की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ $8 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर क्रमशः $4 \, cm$ और $3 \, cm$ त्रिज्या के दो वृत्त खींचिए।
$2.$ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $AB$ का मध्य-बिंदु $C$ है। $C$ को केंद्र मानकर $AC$ (या $BC$) त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए,जो दिए गए वृत्तों को बिंदुओं $P, Q, R$ और $S$ पर प्रतिच्छेद करेगा। $BP, BQ, AS$ और $AR$ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AS$ और $AR$ उस वृत्त (जिसका केंद्र $B$ और त्रिज्या $3 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं और $BP$ और $BQ$ उस वृत्त (जिसका केंद्र $A$ और त्रिज्या $4 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$AP, AQ, BS$ और $BR$ को मिलाइए।
$\angle ASB$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle ASB = 90^{\circ}$
$\Rightarrow BS \perp AS$
चूँकि $BS$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $AS$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$AR, BP$ और $BQ$ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $AB = 6 \, cm$,$BC = 8 \, cm$ और $\angle B = 90^{\circ}$ के साथ $\triangle ABC$ की रचना करें।
$2$. $BD \perp AC$ खींचें। चूंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $B, C, D$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $BC$ होगा क्योंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$ बिंदु $D$ पर समकोण बनाता है।
$3$. मान लीजिए $O$,$BC$ का मध्य बिंदु है। $O$ को केंद्र और $OB = OC = 4 \, cm$ त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचें। यह वृत्त $B, C$ और $D$ से होकर गुजरेगा (क्योंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$)।
$4$. $A$ से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए,$AO$ को मिलाएँ। $AO$ का लंब समद्विभाजक $M$ ज्ञात करें। $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचें। मान लीजिए कि यह वृत्त,$O$ केंद्र वाले वृत्त को $B$ और $E$ पर काटता है। $AE$ को मिलाएँ। इस प्रकार,$AB$ और $AE$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$OE$ को मिलाएँ। चूंकि $AB$,$B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\angle ABO = 90^{\circ}$। चूंकि $AE$,$E$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\angle AEO = 90^{\circ}$। $O$ केंद्र वाले वृत्त में,$OB$ और $OE$ त्रिज्याएँ हैं। चूंकि $AB$ और $AE$ बाह्य बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $AB = AE$।

(N/A) चूड़ी से खींचे गए वृत्त (जिसका केंद्र अज्ञात है) के लिए स्पर्श रेखाओं की रचना:
$1$. दो असमांतर जीवाएँ $BC$ और $CD$ खींचिए।
$2$. $BC$ और $CD$ के लंब समद्विभाजक खींचिए। जहाँ ये लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,वह बिंदु वृत्त का केंद्र $E$ है।
$3$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए। $AE$ को मिलाइए।
$4$. $AE$ का मध्यबिंदु $F$ ज्ञात कीजिए। $F$ को केंद्र और $FA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदु $B$ और $G$ पर काटता है। $AB$ और $AG$ को मिलाइए।
$AB$ और $AG$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$EB$ और $EG$ को मिलाइए। $\angle ABE$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle ABE = 90^{\circ}$। चूँकि $EB$ त्रिज्या है,इसलिए $AB$ एक स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार,$\angle AGE = 90^{\circ}$,अतः $AG$ एक स्पर्श रेखा है।

(B) माना कि दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 35^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र,स्पर्श बिंदुओं और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा निर्मित चतुर्भुज में,स्पर्श बिंदुओं पर कोण $90^{\circ}$ होते हैं (क्योंकि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)।
इस प्रकार,चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि त्रिज्याओं के बीच का कोण $\alpha$ है।
तब,$\alpha + 90^{\circ} + \theta + 90^{\circ} = 360^{\circ}.$
$\alpha + \theta = 180^{\circ}.$
$\alpha = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}.$

(D) माना वृत्त का केंद्र $O$ है और दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु $A$ और $B$ हैं।
चतुर्भुज $OAPB$ में,स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ पर कोण $90^{\circ}$ हैं (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $\angle AOB + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB + 240^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण $120^{\circ}$ होना चाहिए।

(A) सत्य।
एक वृत्त में,एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से जोड़ने वाले रेखाखंडों द्वारा केंद्र पर बना कोण संपूरक होते हैं (अर्थात,उनका योग $180^{\circ}$ होता है)।
मान लीजिए कि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है और केंद्र पर बना कोण $\phi$ है।
हम जानते हैं कि $\theta + \phi = 180^{\circ}$।
चूंकि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $170^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए केंद्र पर बना कोण $180^{\circ} - 170^{\circ} = 10^{\circ}$ होगा।
चूंकि $10^{\circ} > 0^{\circ}$ है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के ऐसे युग्म की रचना करना ज्यामितीय रूप से संभव है।

(N/A) दिया गया है कि एक बिंदु $M^{\prime}$,$4\, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से $6\, cm$ की दूरी पर स्थित है।
रचना के चरण:
$1.$ $4\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए इस वृत्त का केंद्र $O$ है।
$2.$ $OM^{\prime}$ को मिलाइए और इसका समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$OM^{\prime}$ का मध्य-बिंदु है।
$3.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त $(O, 4\, cm)$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$4.$ $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ को मिलाइए। $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ बिंदु $M^{\prime}$ से वृत्त $C(O, 4\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) दिया है: $O$ केंद्र और $3\, cm$ तथा $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त। हमें बाहरी वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ से आंतरिक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचना है।
रचना के चरण:
$1.$ $O$ केंद्र और $3\, cm$ तथा $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए।
$2.$ बाहरी वृत्त पर कोई बिंदु $P$ लीजिए। $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M'$ रेखा $OP$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M'$ को केंद्र और $OM'$ को त्रिज्या मानकर,एक बिंदुंकित वृत्त खींचिए जो आंतरिक वृत्त को $M$ और $P'$ बिंदुओं पर काटता है।
$5.$ $PM$ और $PP'$ को मिलाइए। इस प्रकार,$PM$ और $PP'$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$6.$ $PM$ और $PP'$ को मापने पर,हम पाते हैं कि $PM = PP' = 4\, cm$ है।
वास्तविक गणना:
समकोण त्रिभुज $\triangle OMP$ में,$\angle PMO = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $OP^2 = PM^2 + OM^2$
$PM^2 = OP^2 - OM^2$
$PM^2 = (5)^2 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$
$PM = \sqrt{16} = 4\, cm$।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई $4\, cm$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1.$ $O$ केंद्र और $4 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2.$ एक त्रिज्या $OA$ खींचिए और इसे $B$ तक बढ़ाइए ताकि $OA = AB = 4 \, cm$ हो। अतः,$OB = 8 \, cm$ होगा।
$3.$ $A$ को केंद्र मानकर $AO = 4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर काटता है।
$4.$ $BP$ और $BQ$ को मिलाइए। $BP$ और $BQ$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$\triangle OAP$ में,$OA = OP = 4 \, cm$ (त्रिज्याएँ) और $AP = 4 \, cm$ ($A$ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या)।
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle OAP$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle OAP = 60^{\circ}$।
चूँकि $OAB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle BAP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
$\triangle BAP$ में,$BA = AP = 4 \, cm$। अतः,$\triangle BAP$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle ABP = \angle APB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle ABQ = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle PBQ = \angle ABP + \angle ABQ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
मापन:
केंद्र $O$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के बीच की दूरी $OB = OA + AB = 4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ है।

(N/A) डेटा: $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। इसके बाहरी भाग में एक बिंदु $B$ इस प्रकार लीजिए कि $AB = 8 \, cm$ हो।
रचना: बिंदु $B$ से $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींचिए।
रचना के चरण:
$1$. $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $B$ इस प्रकार लीजिए कि $AB = 8 \, cm$ हो।
$2$. रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$3$. $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो मूल वृत्त को $X$ और $Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. किरणें $\overrightarrow{BX}$ और $\overrightarrow{BY}$ खींचिए।
अतः,$\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं।
गणना: $\triangle AXB$ में,$\angle AXB = 90^\circ$ (अर्धवृत्त का कोण)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AX^2 + BX^2$।
$8^2 = 5^2 + BX^2 \implies 64 = 25 + BX^2 \implies BX^2 = 39 \implies BX = \sqrt{39} \approx 6.24 \, cm$।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई लगभग $6.24 \, cm$ है।

(N/A) दत्त: चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए।
रचना: $A$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
$(1)$ चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए।
$(2)$ इस वृत्त में दो असमांतर जीवाएँ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ खींचिए।
$(3)$ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ के लंब समद्विभाजक खींचिए जो एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यहाँ,$O$ चूड़ी की सहायता से खींचे गए वृत्त का केंद्र है।
$(4)$ $\overline{OA}$ खींचिए।
$(5)$ $\overline{OA}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर $\overline{OA}$ का मध्य-बिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(6)$ $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो पहले वृत्त को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(7)$ किरणें $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) डेटा: $\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3 \, cm)$ और $\odot(B, 4 \, cm)$ खींचिए।
रचना: प्रत्येक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3 \, cm)$ और $\odot(B, 4 \, cm)$ खींचिए।
$(2)$ $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(3)$ $\odot(M, MA)$ खींचिए जो $\odot(A, 3 \, cm)$ को $S$ और $T$ पर तथा $\odot(B, 4 \, cm)$ को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(4)$ $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ तथा $\overrightarrow{BS}$ और $\overrightarrow{BT}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ बिंदु $A$ से $\odot(B, 4 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं और $\overleftrightarrow{BS}$ और $\overleftrightarrow{BT}$ बिंदु $B$ से $\odot(A, 3 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) डेटा: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ खींचिए।
रचना: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार खींचिए कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का माप $60^\circ$ हो।
$(1)$ $\odot(P, 4 \text{ cm})$ खींचिए और दो त्रिज्याएँ $\overline{PR}$ और $\overline{PQ}$ इस प्रकार खींचिए कि $m\angle RPQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ हो।
$(2)$ $R$ से होकर,$\overline{PR}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(3)$ $Q$ से होकर,$\overline{PQ}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(4)$ मान लीजिए कि चरण $(2)$ और चरण $(3)$ में खींची गई रेखाएँ $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AR}$ और $\overleftrightarrow{AQ}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच के कोण का माप $60^\circ$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $P$ को केंद्र मानकर $3\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $R$ इस प्रकार लीजिए कि $PR = 6\, cm$ हो।
$3$. रेखाखंड $PR$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र मानकर और $MP$ (या $MR$) को त्रिज्या लेकर एक दूसरा वृत्त खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$6$. $RA$ और $RB$ को मिलाइए। $RA$ और $RB$ बिंदु $R$ से वृत्त $\odot(P, 3\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $O$ केंद्र और $4 \text{ cm}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $X$ इस प्रकार लीजिए कि $OX = 7 \text{ cm}$ हो।
$3$. रेखाखंड $OX$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$OX$ का मध्य बिंदु है।
$4$. $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त मूल वृत्त को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करेगा।
$5$. $XP$ और $XQ$ को मिलाइए। ये बिंदु $X$ से वृत्त पर खींची गई अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $P$ को केंद्र मानकर और $5 \,cm$ त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ इस प्रकार लीजिए कि $PA = 9 \,cm$ हो।
$3$. रेखाखंड $PA$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PA$ का मध्य बिंदु है।
$4$. $M$ को केंद्र मानकर और $MA$ (या $MP$) को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त मूल वृत्त को दो बिंदुओं $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करेगा।
$5$. $AB$ और $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$AB$ और $AC$ बिंदु $A$ से वृत्त पर खींची गई अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) चरण $1$: एक गोल कटोरे को कागज पर उल्टा रखिए और उसकी सीमा के अनुदिश पेंसिल चलाकर एक वृत्त खींचिए।
चरण $2$: चूंकि वृत्त का केंद्र अज्ञात है,इसलिए वृत्त की दो असमांतर जीवाएँ $AB$ और $CD$ खींचिए।
चरण $3$: जीवाओं $AB$ और $CD$ के लंब समद्विभाजक खींचिए। जिस बिंदु पर ये लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,वह वृत्त का केंद्र $O$ है।
चरण $4$: वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए।
चरण $5$: $OP$ को मिलाइए और $OP$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$OP$ का मध्य बिंदु है।
चरण $6$: $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण $7$: $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $O$ केंद्र और $4\, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. केंद्र $O$ से होकर जाने वाला एक व्यास $\overline{PQ}$ खींचिए।
$3$. व्यास $\overline{PQ}$ को दोनों ओर बढ़ाइए ताकि बिंदु $A$ और $B$ प्राप्त हों,जहाँ $A-P-Q$ और $P-Q-B$ हो। मान लीजिए $OA = OB = 6\, cm$ (या त्रिज्या से अधिक कोई भी दूरी)।
$4$. लंब समद्विभाजक खींचकर $\overline{OA}$ और $\overline{OB}$ के मध्य बिंदु प्राप्त कीजिए। मान लीजिए ये मध्य बिंदु क्रमशः $M_1$ और $M_2$ हैं।
$5$. $M_1$ को केंद्र और $M_1O$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह मूल वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है। $A$ को इन बिंदुओं से जोड़कर $A$ से स्पर्श रेखाएँ प्राप्त कीजिए।
$6$. इसी प्रकार,$M_2$ को केंद्र और $M_2O$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह मूल वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है। $B$ को इन बिंदुओं से जोड़कर $B$ से स्पर्श रेखाएँ प्राप्त कीजिए।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $P$ केंद्र और $3 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. $P$ से होकर जाने वाला व्यास $\overline{ AB }$ खींचिए।
$3$. रेखाखंड $\overline{ AB }$ को दोनों ओर बढ़ाइए। $A$ की ओर बिंदु $X$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PX = 7 \, cm$ हो और $B$ की ओर बिंदु $Y$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PY = 7 \, cm$ हो।
$4$. $X$ से स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए,$\overline{ PX }$ का मध्यबिंदु $M_1$ ज्ञात कीजिए। $M_1$ को केंद्र और $M_1P$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह मूल वृत्त को बिंदु $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5$. $XQ$ और $XR$ को मिलाइए। ये $X$ से खींची गई अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$6$. इसी प्रकार,$Y$ से स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए,$\overline{ PY }$ का मध्यबिंदु $M_2$ ज्ञात कीजिए। $M_2$ को केंद्र और $M_2P$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह मूल वृत्त को बिंदु $S$ और $T$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$7$. $YS$ और $YT$ को मिलाइए। ये $Y$ से खींची गई अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $9\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए।
$2$. $A$ को केंद्र मानकर $3\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। $B$ को केंद्र मानकर $3.5\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$3$. $B$ से $\odot( A, 3\, cm )$ पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए:
क. $\overline{ AB }$ का लंब समद्विभाजक खींचकर $\overline{ AB }$ का मध्य बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए।
ख. $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त $\odot( A, 3\, cm )$ को बिंदु $P$ और $Q$ पर काटता है।
ग. $BP$ और $BQ$ को मिलाइए। ये $B$ से केंद्र $A$ वाले वृत्त पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$4$. $A$ से $\odot( B, 3.5\, cm )$ पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए:
क. $M$ को केंद्र और $MB$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए (जो चरण $3$ख में खींचे गए वृत्त के समान है)। यह वृत्त $\odot( B, 3.5\, cm )$ को बिंदु $R$ और $S$ पर काटता है।
ख. $AR$ और $AS$ को मिलाइए। ये $A$ से केंद्र $B$ वाले वृत्त पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $11\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{ XY }$ खींचिए।
$2$. $X$ को केंद्र मानकर $4\, cm$ त्रिज्या का और $Y$ को केंद्र मानकर $3\, cm$ त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
$3$. $\overline{ XY }$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ ज्ञात कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र और $MX$ (या $MY$) को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त,$X$ केंद्र वाले वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर तथा $Y$ केंद्र वाले वृत्त को बिंदुओं $C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करेगा।
$5$. $XA$ और $XB$ को मिलाइए,जो $X$ से $Y$ केंद्र वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
$6$. $YC$ और $YD$ को मिलाइए,जो $Y$ से $X$ केंद्र वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) $1$. $P$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. एक त्रिज्या $PA$ और दूसरी त्रिज्या $PB$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle APB = 120^\circ$ हो (चूँकि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए केंद्र पर बना कोण $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ होगा)।
$3$. बिंदु $A$ पर,$PA$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$4$. बिंदु $B$ पर,$PB$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि ये दोनों लंबवत रेखाएँ बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः $QA$ और $QB$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं और $\angle AQB = 60^\circ$ होगा।

(N/A) $1$. $P$ केंद्र और $4\, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास $AB$ और $CD$ खींचिए,जो केंद्र $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ पर,सेट स्क्वायर का उपयोग करके या प्रत्येक बिंदु पर $90^{\circ}$ का कोण बनाकर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
$4$. मान लीजिए कि $A$ और $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि त्रिज्याएँ $PA$ और $PC$ परस्पर लंब हैं,इसलिए चतुर्भुज $PAQC$ एक वर्ग होगा (क्योंकि सभी कोण $90^{\circ}$ हैं और आसन्न भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं)।
$5$. इस प्रकार,$A$ और $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु $Q$ पर एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(N/A) $1$. $P$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2$. एक त्रिज्या $PA$ और दूसरी त्रिज्या $PB$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle APB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ हो। इसका कारण यह है कि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं पर त्रिज्याओं के बीच का कोण संपूरक $(180^\circ)$ होते हैं।
$3$. बिंदु $A$ पर,$PA$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$4$. बिंदु $B$ पर,$PB$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$5$. इन दोनों लंबवत रेखाओं को बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करने दीजिए। रेखाएँ $QA$ और $QB$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं,और $\angle AQB = 120^\circ$ होगा।