Construction of Similar Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,हमें एक अन्य त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ त्रिभुज $ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ गुनी हों।
रचना के चरण:
$1.$ शीर्ष $A$ के विपरीत ओर $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$2.$ $BX$ पर $4$ ($\frac{3}{4}$ में $3$ और $4$ में से बड़ी संख्या) बिंदु $B_1, B_2, B_3$ और $B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$3.$ $B_4C$ को मिलाइए और $B_3$ से (तीसरा बिंदु,क्योंकि $\frac{3}{4}$ में $3$ और $4$ में से छोटी संख्या $3$ है) $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$4.$ $C'$ से $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\Delta A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
आइए अब देखें कि यह रचना अभीष्ट त्रिभुज कैसे देती है।
चूँकि $B_3C' \parallel B_4C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{BC'}{C'C} = \frac{BB_3}{B_3B_4} = \frac{3}{1}$ है।
इसलिए,$\frac{BC}{BC'} = \frac{BC' + C'C}{BC'} = 1 + \frac{C'C}{BC'} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,अर्थात $\frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4}$ है।
साथ ही,$C'A' \parallel CA$ है। इसलिए,$\Delta A'BC' \sim \Delta ABC$ है।
अतः,$\frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4}$।

(N/A) दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हों।
रचना के चरण:
$1.$ $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $BX$ खींचिए,जो शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो।
$2.$ $BX$ पर $5$ बिंदु ($\frac{5}{3}$ में $5$ और $3$ में से बड़ी संख्या $5$ है) $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ और $B_{5}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{3}B_{4} = B_{4}B_{5}$ हो।
$3.$ $B_{3}$ (तीसरा बिंदु,$\frac{5}{3}$ में $3$ और $5$ में से छोटी संख्या $3$ है) को $C$ से मिलाइए और $B_{5}$ से होकर $B_{3}C$ के समांतर एक रेखा खींचिए,जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $C^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करे।
$4.$ $C^{\prime}$ से होकर $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए,जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $A^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\Delta A^{\prime}BC^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
रचना की औचित्य के लिए,ध्यान दें कि $\Delta ABC \sim \Delta A^{\prime}BC^{\prime}$.
इसलिए,$\frac{AB}{A^{\prime}B} = \frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = \frac{BC}{BC^{\prime}}$.
परंतु,$\frac{BC}{BC^{\prime}} = \frac{BB_{3}}{BB_{5}} = \frac{3}{5}$.
अतः,$\frac{BC^{\prime}}{BC} = \frac{5}{3}$,और इसलिए,$\frac{A^{\prime}B}{AB} = \frac{A^{\prime}C^{\prime}}{AC} = \frac{BC^{\prime}}{BC} = \frac{5}{3}$.

(N/A) $1.$ एक रेखाखंड $AB = 4 \, cm$ खींचिए। बिंदु $A$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करेंगे। अब,$AC = 5 \, cm$ और $BC = 6 \, cm$ है और $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो रेखा $AB$ के साथ शीर्ष $C$ की विपरीत दिशा में एक न्यून कोण बनाती हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $3$ बिंदु $A_1, A_2, A_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ हो।
$4.$ $BA_3$ को मिलाइए और $A_2$ से होकर $BA_3$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
रचना से,$B'C' \parallel BC$ है।
$\therefore \angle AB'C' = \angle ABC$ (संगत कोण)।
$\triangle AB'C'$ और $\triangle ABC$ में,
$\angle AB'C' = \angle ABC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),
$\angle B'AC' = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC}$ .......... $(1)$
$\triangle AA_2B'$ और $\triangle AA_3B$ में,
$\angle A_2AB' = \angle A_3AB$ (उभयनिष्ठ कोण),
$\angle AA_2B' = \angle AA_3B$ (संगत कोण)।
$\therefore \triangle AA_2B' \sim \triangle AA_3B$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) $1.$ $5\, cm$ का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $6\, cm$ और $7\, cm$ त्रिज्या के चाप लगाइए। मान लीजिए ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः $5\, cm$,$6\, cm$ और $7\, cm$ है।
$2.$ रेखा $AB$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4.$ $BA_5$ को मिलाइए और $A_7$ से होकर $BA_5$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AB' = \frac{7}{5} AB$,$B'C' = \frac{7}{5} BC$,और $AC' = \frac{7}{5} AC$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle AB'C'$ में:
$\angle ABC = \angle AB'C'$ (संगत कोण)
$\angle BAC = \angle B'AC'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $1$)
$\triangle AA_5B$ और $\triangle AA_7B'$ में:
$\angle A_5AB = \angle A_7AB'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle AA_5B = \angle AA_7B'$ (संगत कोण)
$\triangle AA_5B \sim \triangle AA_7B'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{AA_5}{AA_7} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$
$\Rightarrow AB' = \frac{7}{5} AB, B'C' = \frac{7}{5} BC, AC' = \frac{7}{5} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $CA = CB$,आधार $AB = 8\, cm$ और शीर्षलंब $AD = 4\, cm$ है (जहाँ $D$,$AB$ का मध्यबिंदु है)।
एक $\triangle AB'C'$ जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं,उसे निम्न प्रकार से बनाया जा सकता है:
$1.$ $8\, cm$ का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $AB$ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्यबिंदु $D$ प्राप्त कीजिए। मान लीजिए लंब रेखा $OO'$ है।
$2.$ $D$ को केंद्र मानकर,लंब रेखा पर $4\, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करे। $AC$ और $BC$ को मिलाकर समद्विबाहु $\triangle ABC$ बनाइए।
$3.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$4.$ $AX$ पर $3$ बिंदु $A_1, A_2,$ और $A_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ हो।
$5.$ $BA_2$ को मिलाइए। $A_3$ से $BA_2$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6.$ $B'$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
चूँकि $A_2B \parallel A_3B'$,$\triangle AA_3B'$ में आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AB}{AB'} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$AB' = \frac{3}{2}AB$ है।
चूँकि $BC \parallel B'C'$,$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ है। इसलिए,$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $B'C' = \frac{3}{2}BC$ और $AC' = \frac{3}{2}AC$ है। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(A) $\angle B = 45^{\circ}, \angle A = 105^{\circ}$
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$105^{\circ} + 45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$
वांछित त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 7 \, cm$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$ के साथ एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाते हुए किरण $BX$ खींचिए जो शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_4$ से $B_3C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ वांछित त्रिभुज है।
औचित्य:
$\triangle ABC$ और $\triangle A'BC'$ में,
$\angle ABC = \angle A'BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle ACB = \angle A'C'B$ (संगत कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle A'BC'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} \dots(1)$
$\triangle BB_3C$ और $\triangle BB_4C'$ में,
$\angle B_3BC = \angle B_4BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C = \angle BB_4C'$ (संगत कोण)
$\triangle BB_3C \sim \triangle BB_4C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC}{BC'} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4} \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A'B = \frac{4}{3} AB$,$BC' = \frac{4}{3} BC$,और $A'C' = \frac{4}{3} AC$। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) यह दिया गया है कि कर्ण के अतिरिक्त भुजाओं की लंबाई $4 \,cm$ और $3 \,cm$ है। स्पष्ट है कि ये एक-दूसरे पर लंब होंगी।
वांछित त्रिभुज की रचना निम्न प्रकार से की जा सकती है:
$1.$ एक रेखाखंड $AB = 4 \,cm$ खींचिए। $A$ पर $90^{\circ}$ का कोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए।
$2.$ $A$ को केंद्र मानकर $3 \,cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण को $C$ पर प्रतिच्छेद करे। $BC$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ वांछित त्रिभुज है।
$3.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AY$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$4.$ $AY$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$5.$ $A_3B$ को मिलाइए। $A_5$ से होकर $A_3B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ वांछित त्रिभुज है।
औचित्य:
रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AB' = \frac{5}{3} AB, B'C' = \frac{5}{3} BC, AC' = \frac{5}{3} AC$.
$\triangle ABC$ और $\triangle AB'C'$ में,
$\angle ABC = \angle AB'C'$ (संगत कोण)
$\angle BAC = \angle B'AC'$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'}$ .......$(1)$
$\triangle AA_3B$ और $\triangle AA_5B'$ में,
$\angle A_3AB = \angle A_5AB'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle AA_3B = \angle AA_5B'$ (संगत कोण)
$\therefore \triangle AA_3B \sim \triangle AA_5B'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{AA_3}{AA_5} = \frac{3}{5}$ .........$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{3}{5}$
$AB' = \frac{5}{3} AB, B'C' = \frac{5}{3} BC, AC' = \frac{5}{3} AC$
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) एक $\triangle A'BC'$ जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ हों,उसे निम्नलिखित प्रकार से खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 6 \, cm$,$AB = 5 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$3.$ रेखाखंड $BX$ पर $4$ बिंदु (क्योंकि $\frac{3}{4}$ में $4$ बड़ी संख्या है),$B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_4C$ को मिलाइए और $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य $A'B = \frac{3}{4} AB$,$BC' = \frac{3}{4} BC$,$A'C' = \frac{3}{4} AC$ सिद्ध करके दिया जा सकता है।
$\triangle A'BC'$ और $\triangle ABC$ में:
$\angle A'C'B = \angle ACB$ (संगत कोण)
$\angle A'BC' = \angle ABC$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle A'BC' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ ........$(1)$
$\triangle BB_3C'$ और $\triangle BB_4C$ में:
$\angle B_3BC' = \angle B_4BC$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C' = \angle BB_4C$ (संगत कोण)
$\therefore \triangle BB_3C' \sim \triangle BB_4C$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC'}{BC} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4}$ ........$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{3}{4}$
$A'B = \frac{3}{4} AB, BC' = \frac{3}{4} BC, A'C' = \frac{3}{4} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(B) एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप $\frac{3}{7}$ के स्केल फैक्टर वाले त्रिभुज की रचना करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचें।
$2$. $BX$ पर समान दूरी पर $7$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}, B_{7})$ अंकित करें,क्योंकि भिन्न $\frac{3}{7}$ का हर $7$ है।
$3$. अगला चरण अंतिम बिंदु $B_{7}$ को $C$ से जोड़ना है ताकि रचना के लिए आधार रेखा निर्धारित की जा सके।

(C) किसी दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसका स्केल फैक्टर $\frac{m}{n}$ हो,जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं,किरण $BX$ पर अंकित किए जाने वाले बिंदुओं की संख्या $m$ और $n$ में से जो बड़ी संख्या होती है,उसके बराबर होती है।
इस प्रश्न में,स्केल फैक्टर $\frac{8}{5}$ है।
अंश $m = 8$ और हर $n = 5$ की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $8$ है।
अतः,किरण $BX$ पर समान दूरी पर स्थित बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $8$ है।

(B) असत्य।
$\frac{7}{3}$ के अनुपात के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए,हमें किरण $BX$ को $7$ समान भागों में विभाजित करना होगा (क्योंकि $7 > 3$ है)।
रचना के चरण:
$1.$ $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$2.$ $BX$ पर $7$ बिंदु $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$3.$ $B_{3}$ को $C$ से मिलाइए (क्योंकि हर $3$ है)।
$4.$ $B_{7}$ से $B_{3}C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे।
दिया गया कथन दावा करता है कि $B_{6}C'$ को $B_{3}C$ के समानांतर खींचा गया है,जो गलत है क्योंकि अनुपात $\frac{7}{3}$ है,इसलिए समानांतर रेखा $B_{7}$ से खींची जानी चाहिए,न कि $B_{6}$ से।

(A) $1$. सबसे पहले,एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ खींचिए जहाँ $AB = BC = CA = 4\, cm$ हो।
$2$. शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए। $A_3$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $B'$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. त्रिभुज $AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\triangle ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{5}$ है।
$7$. चूँकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए कोण समान रहते हैं (प्रत्येक $60^{\circ}$)। अतः,नया त्रिभुज भी समबाहु है।

(A) रचना के चरण:
$1.$ एक रेखाखंड $BC = 12 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ से,$BC$ पर लंबवत $AB = 5 \, cm$ की रेखा खींचिए ताकि $\angle B = 90^{\circ}$ हो।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण $\angle CBY$ बनाइए।
$5.$ किरण $BY$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2$ और $B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए।
$7.$ बिंदु $B_2$ से $B_2N \parallel B_3C$ खींचिए जो $BC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8.$ बिंदु $N$ से $NM \parallel CA$ खींचिए जो $BA$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार,$\triangle MBN$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$9.$ चूँकि $NM \parallel CA$ और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,संगत कोण बराबर होंगे। अतः,$\angle MNB = \angle ACB$। दोनों त्रिभुजों में $\angle B = 90^{\circ}$ होने के कारण,$\triangle MBN$ भी $B$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।

(A) $1.$ $6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $5 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,$BC$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $BX$ नीचे की ओर खींचिए।
$5.$ $BX$ पर पाँच बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ और $B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_5M \parallel B_3C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$7.$ बिंदु $M$ से $MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करती है। अतः,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हैं।

(N/A) सबसे पहले,आकृति में दिखाए अनुसार $AB = 4 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला समचतुर्भुज $ABCD$ खींचें और $AC$ को मिलाएं।
कक्षा $X$ की गणित की पाठ्यपुस्तक में दिए गए निर्देशों के अनुसार $\frac{2}{3}$ के स्केल फैक्टर के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज $AB'C'$ की रचना करें।
अंत में,$CD$ के समांतर रेखाखंड $C'D'$ खींचें ताकि $D'$,$AD$ पर स्थित हो।
चूंकि $\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$,इसलिए $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $C'D' \parallel CD$,इसलिए $\triangle AD'C' \sim \triangle ADC$ है। अतः,$\frac{AD'}{AD} = \frac{AC'}{AC} = \frac{C'D'}{CD} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए $AB = BC = CD = AD$ है।
अतः,$AB' = B'C' = C'D' = AD' = \frac{2}{3} AB$ है।
चूंकि चतुर्भुज $AB'C'D'$ की चारों भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $AB'C'D'$ एक समचतुर्भुज है।

(A) $1.$ $3 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2.$ एक किरण $BY$ खींचिए जो $\angle ABY = 60^{\circ}$ का कोण बनाए।
$3.$ $B$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $BY$ को बिंदु $C$ पर काटे।
$4.$ किरण $BY$ के समांतर एक किरण $AZ$ खींचिए ताकि $\angle BAZ = 120^{\circ}$ हो (चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$)।
$5.$ $A$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $AZ$ को बिंदु $D$ पर काटे।
$6.$ $CD$ को मिलाइए ताकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पूर्ण हो जाए।
$7.$ $BD$ को मिलाइए,जो समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का एक विकर्ण है।
$8.$ $B$ से नीचे की ओर एक किरण $BX$ खींचिए जो एक न्यून कोण $\angle CBX$ बनाए।
$9.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$10.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से $B_3C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर काटे।
$11.$ बिंदु $C'$ से $C'D' \parallel CD$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BD$ को $D'$ पर काटे।
$12.$ रेखाखंड $D'A'$ खींचिए जो $DA$ के समांतर हो,जहाँ $A'$,बढ़ाई गई भुजा $BA$ पर स्थित है।
$13.$ हाँ,$A'BCD'$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि रचना के अनुसार,$A'D' \parallel BC$ और $A'B \parallel D'C'$ है।

(N/A) माना $\triangle PQR$ और $\triangle ABC$ समरूप त्रिभुज हैं। संगत भुजाओं के बीच का स्केल गुणक $\frac{PQ}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
रचना के चरण:
$1.$ $5 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,$6 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हों।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,कोई किरण $BX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाती हो।
$5.$ $BX$ पर चार बिंदु $B_1, B_2, B_3$ और $B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से,$B_4R \parallel B_3C$ एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $R$ पर काटती हो।
$7.$ बिंदु $R$ से,$RP \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $P$ पर मिलती हो।
तब,$\triangle PBR$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
चूँकि $B_4R \parallel B_3C$ (रचना से),
$\therefore \frac{BC}{CR} = \frac{3}{1}$।
अब,$\frac{BR}{BC} = \frac{BC + CR}{BC} = 1 + \frac{CR}{BC} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
साथ ही,$RP \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle PBR$।
और $\frac{PB}{AB} = \frac{RP}{CA} = \frac{BR}{BC} = \frac{4}{3}$।
अतः,नया त्रिभुज दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1.$ एक रेखाखंड $AB = 5 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ पर,$\angle ABY = 60^{\circ}$ की रचना कीजिए और $BY$ पर $BC = 6 \, cm$ काटिए।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए (जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो)।
$5.$ $AX$ पर $7$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = B_6B_7$ हो।
$6.$ $B_7B$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_7B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7.$ $M$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\triangle AMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{7}$ गुनी हैं।
औचित्य:
चूँकि $MN \parallel BC$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\triangle AMN \sim \triangle ABC$ है।
रचना से,$B_5M \parallel B_7B$ है। $\triangle ABB_7$ में,थेल्स प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AB_5}{AB_7} = \frac{5}{7}$ है।
चूँकि $\triangle AMN \sim \triangle ABC$,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{5}{7}$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1.$ $6 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $9 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5.$ $BX$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_2C$ को मिलाइए और $B_3$ से $B_3M \parallel B_2C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर काटती है।
$7.$ बिंदु $M$ से,$MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर काटती है।
तब,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं।
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार और माप समान होना चाहिए। यहाँ,त्रिभुज समरूप हैं (समान आकार),लेकिन उनके माप अलग हैं।
औचित्य:
चूँकि $B_3M \parallel B_2C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BC}{CM} = \frac{BB_2}{B_2B_3} = \frac{2}{1}$.
अब,$\frac{BM}{BC} = \frac{BC + CM}{BC} = 1 + \frac{CM}{BC} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
साथ ही,$MN \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle NBM$.
अतः,$\frac{NB}{AB} = \frac{NM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{2}$.

(N/A) डेटा: $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
रचना: $\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ के उस अर्धतल में जो $A$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{BX}$ खींचिए ताकि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,केंद्र $B_1$ और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B-B_1-B_2$ हो। पुनः,उसी त्रिज्या और केंद्र $B_2$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_3$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B_1-B_2-B_3$ हो।
$(4)$ रेखाखंड $\overline{B_3C}$ खींचिए।
$(5)$ $B_2$ से होकर $\overline{B_3C}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{BC}$ को $P$ पर काटे।
$(6)$ $P$ से होकर $\overline{CA}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{AB}$ को $Q$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BC}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$ है।
इसी प्रकार,$\overleftrightarrow{BC}$ और $\overleftrightarrow{BA}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$ है।

(N/A) जानकारी: $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 45^{\circ}$ और $PQ = 6 \text{ cm}$ वाला $\Delta PQR$ बनाइए।
रचना: $\Delta PQR$ के समरूप $\Delta PBC$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $5:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $m \angle P=60^{\circ}, m \angle Q=45^{\circ}$ और $PQ = 6 \text{ cm}$ वाला $\Delta PQR$ बनाइए।
$(2)$ $\overleftrightarrow{PQ}$ के उस अर्धतल में जो $R$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{PZ}$ खींचिए ताकि $\angle QPZ$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ किसी उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $P$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। उसी त्रिज्या और केंद्र $P_1$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P-P_1-P_2$ हो। इसी प्रकार,उसी त्रिज्या और केंद्र $P_k$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_{k+1}$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P_{k-1}-P_k-P_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है।
$(4)$ $\overline{P_3Q}$ को मिलाइए।
$(5)$ $P_5$ से होकर $\overline{P_3Q}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PQ}$ के बढ़ाए गए भाग को $B$ पर काटे।
$(6)$ $B$ से होकर $\overline{QR}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PR}$ के बढ़ाए गए भाग को $C$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta PBC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\Delta PP_5B$ में,$P-P_3-P_5$,$P-Q-B$ और $\overline{P_3Q} \parallel \overline{P_5B}$ है।
$\therefore \frac{PB}{PQ} = \frac{PP_5}{PP_3} = \frac{5}{3}$।
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ में,$P-Q-B$,$P-R-C$ और $\overline{QR} \parallel \overline{BC}$ है।
$\therefore \frac{PC}{PR} = \frac{PB}{PQ} = \frac{5}{3}$।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर प्रतिच्छेद करे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $BC$ के उस ओर,जहाँ शीर्ष $A$ नहीं है,$BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6$. $B_4C$ को मिलाइए।
$7$. $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Q$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $7 \text{ cm}$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $6 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \text{ cm}$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर काटे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ बनाइए।
$4$. $BC$ के नीचे की ओर $B$ पर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $5$ समान बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ अंकित कीजिए ताकि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर काटे।
$8$. $Y$ से $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर काटे। इस प्रकार,$\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $QR$ खींचिए।
$2$. बिंदु $Q$ पर चांदे या परकार की सहायता से $45^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $R$ पर परकार की सहायता से $60^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$4$. इन दोनों किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु को $P$ नाम दीजिए। इस प्रकार $\Delta PQR$ प्राप्त होगा।
$5$. आधार $QR$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle RQX$ बनाइए।
$6$. किरण $QX$ पर $4$ बिंदु $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4$ हो।
$7$. $Q_3$ को $R$ से मिलाइए। $Q_4$ से $Q_3R$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QR$ को $R'$ पर काटे।
$8$. $R'$ से $RP$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QP$ को $P'$ पर काटे।
$9$. $\Delta P'QR'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta PQR$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{3}$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $\Delta XYZ$ खींचिए।
$2$. शीर्ष $X$ पर $XY$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $XS$ खींचिए (जो $Z$ के विपरीत दिशा में हो)।
$3$. किरण $XS$ पर $5$ बिंदु $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 = X_4X_5$ हो।
$4$. $X_4$ को $Y$ से मिलाइए। $X_5$ से होकर $X_4Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XY$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $M$ से होकर $YZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XZ$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$\Delta XMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta XYZ$ के समरूप है और जिसकी भुजाओं का अनुपात $\frac{5}{4}$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर चांदे या परकार की सहायता से $90^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. $B$ से निकलने वाली किरण पर $5 \text{ cm}$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाइए।
$5$. $BX$ पर $3$ बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6$. $B_2$ को $C$ से मिलाइए। $B_3$ से $B_2C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7$. $Q$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BA$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $8 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर परकार और पैमाने का उपयोग करके $60^\circ$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $B$ से $60^\circ$ वाले किरण पर $6 \, cm$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. रेखाखंड $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBZ$ बनाइए।
$5$. किरण $BZ$ पर $5$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Y$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{5}$ है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6\, cm$ का रेखाखंड $YZ$ खींचिए।
$2$. $Y$ को केंद्र मानकर $4\, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
$3$. $Z$ को केंद्र मानकर $7\, cm$ त्रिज्या का एक अन्य चाप लगाइए जो पहले चाप को बिंदु $X$ पर काटे।
$4$. $XY$ और $XZ$ को मिलाकर $\Delta XYZ$ बनाइए।
$5$. $Y$ पर रेखा $YZ$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle ZYA$ बनाइए।
$6$. किरण $YA$ पर $4$ बिंदु $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $YY_1 = Y_1Y_2 = Y_2Y_3 = Y_3Y_4$ हो।
$7$. $Y_3$ को $Z$ से मिलाइए।
$8$. $Y_4$ से $Y_3Z$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YZ$ को $N$ पर काटे।
$9$. $N$ से $XZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YX$ को $M$ पर काटे।
$10$. $\Delta YMN$ अभीष्ट त्रिभुज है।