Division of a Line Segment Questions in Hindi

(N/A) $7.6 \, cm$ लंबाई के एक रेखाखंड को $5: 8$ के अनुपात में निम्नलिखित प्रकार से विभाजित किया जा सकता है:
$1.$ $7.6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए और रेखाखंड $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$2.$ $AX$ पर $13 (= 5 + 8)$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{13}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{12}A_{13}$ हो।
$3.$ $BA_{13}$ को मिलाइए।
$4.$ बिंदु $A_5$ से होकर $BA_{13}$ के समांतर एक रेखा खींचिए (जो $\angle AA_{13}B$ के बराबर कोण बनाती हो),जो $AB$ को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$C$ वह बिंदु है जो $7.6 \, cm$ के रेखाखंड $AB$ को $5: 8$ के वांछित अनुपात में विभाजित करता है।
$AC$ और $CB$ की लंबाई मापी जा सकती है। वे क्रमशः $2.9 \, cm$ और $4.7 \, cm$ हैं।
औचित्य:
रचना के अनुसार,$A_5C \parallel A_{13}B$ है। त्रिभुज $AA_{13}B$ के लिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_5}{A_5A_{13}}$
रचना से,$AA_5$ में $5$ समान भाग हैं और $A_5A_{13}$ में $8$ समान भाग हैं।
अतः,$\frac{AA_5}{A_5A_{13}} = \frac{5}{8}$।
इस प्रकार,$\frac{AC}{CB} = \frac{5}{8}$। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(A) एक रेखाखंड $AB$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम $AB$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचते हैं।
फिर हम किरण $AX$ पर समान दूरी पर $p+q$ बिंदु अंकित करते हैं,मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{p+q}$,ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{p+q-1}A_{p+q}$ हो।
हम अंतिम बिंदु $A_{p+q}$ को $B$ से मिलाते हैं।
फिर,हम बिंदु $A_p$ से $A_{p+q}B$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जो $AB$ को बिंदु $P$ पर काटती है।
यह बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,किरण $AX$ पर अंकित किए जाने वाले बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $p+q$ है।

(C) हम जानते हैं कि,एक रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,पहले एक किरण $AX$ खींचते हैं जो एक न्यून कोण $\angle BAX$ बनाती है,फिर समान दूरी पर $m+n$ बिंदु अंकित करते हैं।
यहाँ,$m=5$ और $n=7$ है।
अतः,इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $= m+n = 5+7 = 12$ है।

(D) एक रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम पहले रेखाखंड के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण खींचते हैं।
फिर,हम किरण पर समान दूरी पर $m+n$ बिंदु अंकित करते हैं।
यहाँ,अनुपात $4:7$ है,इसलिए आवश्यक बिंदुओं की कुल संख्या $4+7 = 11$ है।
इसलिए,हम किरण $AX$ पर $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ बिंदु अंकित करते हैं।
रचना को पूरा करने के लिए अंतिम बिंदु $A_{11}$ को बिंदु $B$ से जोड़ा जाता है।

(A) रेखाखंड $AB$ को $m: n$ (यहाँ $5: 6$) के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. $AB$ के साथ एक न्यून कोण $\angle BAX$ बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचें।
$2$. $\angle ABY = \angle BAX$ बनाकर $AX$ के समानांतर एक किरण $BY$ खींचें।
$3$. $AX$ पर $m$ बिंदु $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{5})$ और $BY$ पर $n$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{6})$ इस प्रकार अंकित करें कि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{4}A_{5}$ और $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \ldots = B_{5}B_{6}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{m}$ (जो $A_{5}$ है) को बिंदु $B_{n}$ (जो $B_{6}$ है) से जोड़ें। रेखाखंड $A_{5}B_{6}$,$AB$ को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करता है,जो $AB$ को $5: 6$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) असत्य।
अनुपात $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ को सरल करने पर यह $1 : 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,किसी रेखाखंड को दिए गए $m : n$ अनुपात में विभाजित करने की मानक ज्यामितीय रचना विधि के लिए $m$ और $n$ का धनात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है।
चूंकि $2 \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है और धनात्मक पूर्णांक नहीं है,इसलिए मानक रूलर और परकार (कंपास) रचना विधि का उपयोग करके इस अनुपात में रेखाखंड को विभाजित करना संभव नहीं है।

(A) सत्य।
दिया गया अनुपात $= \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,दोनों पदों को $\sqrt{3}$ से गुणा करें:
$\sqrt{3} \times \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3 : 1$।
चूंकि $3 : 1$ दो धनात्मक पूर्णांकों का अनुपात है,इसलिए एक सहायक किरण पर $3 + 1 = 4$ समान भाग बनाकर पटरी और परकार की सहायता से एक रेखाखंड को इस अनुपात में विभाजित करना संभव है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) $1.$ $AB = 7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाती हो।
$3.$ $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4.$ $A_8B$ को मिलाइए।
$5.$ $A_3$ से,$A_3P \parallel A_8B$ खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे (इसके लिए $A_3$ पर $\angle BA_8A$ के बराबर कोण बनाइए)।
अतः,$P$ वह बिंदु है जो $AB$ को $3: 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
इस प्रकार,$AP: PB = 3: 5$ है।
औचित्य:
माना $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ है।
$\triangle ABA_8$ में,हमारे पास $A_3P \parallel A_8B$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$AP: PB = 3: 5$ सिद्ध होता है।

(N/A) डेटा: $5.9\,cm$ लंबाई का $\overline{ AB }$ दिया गया है।
रचना: $\overline{ AB }$ को $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ के विभिन्न अर्धतलों में $\overline{ AB }$ को समाहित करते हुए,$\overrightarrow{ AX }$ और $\overrightarrow{ BY }$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ सर्वांगसम न्यून कोण हों।
$(2)$ उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए। इसी प्रकार,केंद्र $A_{1}$ और समान त्रिज्या लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{2}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए ताकि $A-A_{1}-A_{2}$ हो। इसी प्रकार,समान त्रिज्या और केंद्र $A_{k}$ लेकर $\overrightarrow{ AX }$ को $A_{k+1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए चाप खींचिए ताकि $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{ AX }$ पर पाँच बिंदु $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ और $A_{5}$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ हो।
$(3)$ अब,समान त्रिज्या और केंद्र $B$ से शुरू करके,$\overrightarrow{ BY }$ पर सात बिंदु $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ और $B_{7}$ प्राप्त कीजिए ताकि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ खींचिए जो $\overline{ AB }$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$M \in \overline{ AB }$ वह बिंदु है जो $\overline{ AB }$ को $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
औचित्य: यहाँ $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$ है। चूँकि $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ और $\Delta BB_{7}M$ के बीच पत्राचार $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ एक समरूपता है।
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.

(N/A) डेटा: $\overline{AB}$ दिया गया है।
रचना: $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में तीन भागों में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ को समाहित करने वाले $\overleftrightarrow{AB}$ के विपरीत अर्धतलों में,$\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{BY}$ इस प्रकार खींचें कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ समान न्यूनकोण हों।
$(2)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला एक चाप खींचकर $A_1$ प्राप्त करें। इसी प्रकार,$A_1$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला चाप खींचकर $A_2$ प्राप्त करें ताकि $A-A_1-A_2$ हो। इसी तरह,$k=2, 3, 4, \dots, 8$ के लिए $A_k$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ $\overrightarrow{AX}$ पर $A_{k+1}$ प्राप्त करें। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{AX}$ पर नौ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_9$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$ हो।
$(3)$ अब,उसी त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BY}$ पर नौ बिंदु $B_1, B_2, \dots, B_9$ प्राप्त करें ताकि $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_8B_9$ हो।
$(4)$ $\overline{A_2B_7}$ और $\overline{A_5B_4}$ खींचें,ताकि $\overline{A_2B_7}$,$\overline{AB}$ को $M$ पर और $\overline{A_5B_4}$,$\overline{AB}$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,हमें बिंदु $M$ और $N$ प्राप्त होते हैं जो $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में विभाजित करते हैं,अर्थात $AM : MN : NB = 2: 3: 4$।
औचित्य: यहाँ,$\overleftrightarrow{AX}$,$\overleftrightarrow{AB}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ तिर्यक रेखाओं पर $\overline{A_2B_7} \parallel \overline{A_5B_4}$ द्वारा बनाए गए अंतःखंड समानुपाती हैं।
अतः,$AM : MN : NB = AA_2 : A_2A_5 : A_5A_9 = B_9B_7 : B_7B_4 : B_4B = 2: 3: 4$।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.2 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. रेखाखंड $\overline{PQ}$ के नीचे बिंदु $P$ पर एक न्यूनकोण $\angle QPX$ बनाइए।
$3$. बिंदु $P$ से शुरू करते हुए,किरण $PX$ पर $3 + 7 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{10}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{10}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. बिंदु $R$,$\overline{PQ}$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $PR:RQ = 3:7$ प्राप्त होता है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल का उपयोग करके $10 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$2$. $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 8 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, ..., A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = ... = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $B$ को $A_{11}$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{11}B$ के समांतर एक रेखा खींचिए ($\angle AA_{11}B$ के बराबर कोण बनाकर) जो $\overline{AB}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$P$ वह बिंदु है जो $\overline{AB}$ को $3:8$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $9\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर $\overline{XY}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $XP$ खींचिए।
$3$. किरण $XP$ पर $2 + 5 = 7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4$. $A_7$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_7Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $\overline{XY}$ को बिंदु $Z$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $Z$,$\overline{XY}$ को $2:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2$. $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4$. बिंदु $A_8$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से होकर $A_8B$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $AB$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $3 : 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7.5\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर रेखाखंड $\overline{XY}$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle YXA$ बनाइए।
$3$. $X$ से प्रारंभ करते हुए,किरण $XA$ पर $3 + 4 + 5 = 12$ बिंदु $X_1, X_2, ..., X_{12}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = ... = X_{11}X_{12}$ हो।
$4$. बिंदु $X_{12}$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $X_3$ और $X_7$ से (क्योंकि $3$ और $3+4=7$),$X_{12}Y$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{XY}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{XY}$ को $3:4:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.5 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. $\overline{PQ}$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण $PY$ खींचिए।
$3$. किरण $PY$ पर $4 + 7 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $A_{11}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_4$ से होकर (चूंकि अनुपात $4:7$ है),$A_{11}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$X$,$\overline{PQ}$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $4 : 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए।
$2$. बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{ AB }$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. परकार का उपयोग करके किरण $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{ AB }$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $\overline{ AB }$ पर स्थित वह अभीष्ट बिंदु है जिसके लिए $AM : AB = 2 : 5$ है।

(N/A) चरण $1$: एक रूलर का उपयोग करके $8\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
चरण $2$: बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाइए।
चरण $3$: किरण $AX$ पर परकार की सहायता से $2 + 3 + 5 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
चरण $4$: अंतिम बिंदु $A_{10}$ को बिंदु $B$ से मिलाइए।
चरण $5$: बिंदु $A_2$ और $A_5$ से (क्योंकि $2$ और $2+3=5$),$A_{10}B$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{AB}$ को क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चरण $6$: बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{AB}$ को $2:3:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।

(A) रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित एक बिंदु $P$ उस रेखाखंड को दो भागों में विभाजित करता है: $AP$ और $PB$।
परिभाषा के अनुसार,एक बिंदु $P$ द्वारा रेखाखंड $\overline{AB}$ का विभाजन अनुपात (जहाँ $P$,$A$ और $B$ के बीच स्थित है) बनने वाले दो रेखाखंडों की लंबाई का अनुपात होता है,जो $\frac{AP}{PB}$ है।
अतः,$P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $\frac{AP}{PB}$ के अनुपात में विभाजित करता है।