Substitution Method Questions in Gujarati

(N/A) પગલું $1:$ આપણે કોઈપણ એક સમીકરણ પસંદ કરીએ અને એક ચલને બીજા ચલના સ્વરૂપમાં લખીએ. ચાલો સમીકરણ $(2)$ લઈએ.
$x + 2y = 3$
તેને $x = 3 - 2y$ $...(3)$ તરીકે લખી શકાય.
પગલું $2:$ સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$7(3 - 2y) - 15y = 2$
$21 - 14y - 15y = 2$
$-29y = 2 - 21$
$-29y = -19$
તેથી,$y = \frac{19}{29}$
પગલું $3:$ $y$ ની આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 3 - 2\left(\frac{19}{29}\right)$
$x = 3 - \frac{38}{29}$
$x = \frac{87 - 38}{29} = \frac{49}{29}$
તેથી,ઉકેલ $x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}$ છે.

(N/A) ધારો કે આફતાબની હાલની ઉંમર $s$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $t$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સાત વર્ષ પહેલાં:
$(s - 7) = 7(t - 7)$
$s - 7 = 7t - 49$
$s - 7t = -42$ $...(1)$
બીજી શરત મુજબ,ત્રણ વર્ષ પછી:
$(s + 3) = 3(t + 3)$
$s + 3 = 3t + 9$
$s - 3t = 6$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $s = 3t + 6$ મળે છે.
આ $s$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(3t + 6) - 7t = -42$
$-4t + 6 = -42$
$-4t = -48$
$t = 12$
હવે,$t = 12$ ની કિંમત $s = 3t + 6$ માં મૂકતા:
$s = 3(12) + 6 = 36 + 6 = 42$
આમ,આફતાબની હાલની ઉંમર $42$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની ઉંમર $12$ વર્ષ છે.

(A) $x+y=14$ $....(1)$
$x-y=4$ $....(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$x=14-y$ $....(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(14-y)-y=4$
$14-2y=4$
$14-4=2y$
$10=2y$
$y=5$ $....(4)$
હવે,$y=5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x=14-5$
$x=9$
આમ,ઉકેલ $x=9$ અને $y=5$ મળે છે.

(S=9, T=6) $s-t=3$ $...(1)$
$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $s$ ને $t$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીએ છીએ:
$s = t + 3$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $s$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $6$ ($3$ અને $2$ નો લ.સા.અ.) વડે ગુણતા:
$2(t+3) + 3t = 36$
$2t + 6 + 3t = 36$
$5t + 6 = 36$
$5t = 30$
$t = 6$ $...(4)$
હવે,$t = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$s = 6 + 3$
$s = 9$
તેથી,ઉકેલ $s = 9$ અને $t = 6$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$3x - y = 3$ $...(1)$
$9x - 3y = 9$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$y = 3x - 3$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$9x - 3(3x - 3) = 9$
$9x - 9x + 9 = 9$
$9 = 9$
અહીં $9 = 9$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું વિધાન છે,તેથી આ બંને સમીકરણો સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,આપેલા સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.
ચલ વચ્ચેનો સંબંધ $y = 3x - 3$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો છે:
$0.2 x + 0.3 y = 1.3$ $...(1)$
$0.4 x + 0.5 y = 2.3$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$0.2 x = 1.3 - 0.3 y$
$x = \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$0.4 \left( \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2} \right) + 0.5 y = 2.3$
$2(1.3 - 0.3 y) + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.6 y + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.1 y = 2.3$
$2.6 - 2.3 = 0.1 y$
$0.3 = 0.1 y$
$y = \frac{0.3}{0.1} = 3$
હવે,$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{1.3 - 0.3(3)}{0.2}$
$x = \frac{1.3 - 0.9}{0.2}$
$x = \frac{0.4}{0.2} = 2$
તેથી,ઉકેલ $x = 2$ અને $y = 3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 0$ $...(1)$
$\sqrt{3} x - \sqrt{8} y = 0$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$x = -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} \left( -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}} \right) - \sqrt{8} y = 0$
$-\frac{3 y}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} y = 0$
$y$ સામાન્ય લેતા:
$y \left( -\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) = 0$
અહીં કૌંસમાં રહેલી કિંમત શૂન્ય નથી,તેથી $y = 0$ મળે.
$y = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = -\frac{\sqrt{3} (0)}{\sqrt{2}} = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 0$ અને $y = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2$
$(2) \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}$
પગલું $1$: સમીકરણોનું સાદું રૂપ આપો.
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણતા: $9x - 10y = -12$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $6$ વડે ગુણતા: $2x + 3y = 13$ --- $(4)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(4)$ માંથી $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$2x = 13 - 3y$
$x = \frac{13 - 3y}{2}$ --- $(5)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(5)$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકો:
$9(\frac{13 - 3y}{2}) - 10y = -12$
$2$ વડે ગુણતા: $9(13 - 3y) - 20y = -24$
$117 - 27y - 20y = -24$
$-47y = -24 - 117$
$-47y = -141$
$y = \frac{141}{47} = 3$
પગલું $4$: $y = 3$ ની કિંમત $(5)$ માં મૂકો:
$x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
આમ,ઉકેલ $x = 2, y = 3$ છે.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે અને બીજી સંખ્યા $y$ છે,જ્યાં $y > x$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$y = 3x$ $...(1)$
$y - x = 26$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3x - x = 26$
$2x = 26$
$x = 13$ $...(3)$
$x$ ની આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 3(13) = 39$
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $13$ અને $39$ છે.

(C) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,પિતાની ઉંમર પુત્રની ઉંમર કરતાં છ ગણી છે:
$x = 6y$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,ચાર વર્ષ પછી,પિતાની ઉંમર પુત્રની ઉંમર કરતાં ચાર ગણી હશે:
$(x + 4) = 4(y + 4)$
$x + 4 = 4y + 16$
$x - 4y = 12$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$6y - 4y = 12$
$2y = 12$
$y = 6$
હવે,$y = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x = 6(6) = 36$
તેથી,પુત્રની હાલની ઉંમર $6$ વર્ષ અને પિતાની હાલની ઉંમર $36$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે મોટો ખૂણો $x$ છે અને નાનો ખૂણો $y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂરકકોણોની જોડીના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$x + y = 180^{\circ}$ $...(1)$
$x - y = 18^{\circ}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 180^{\circ} - y$ $...(3)$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(180^{\circ} - y) - y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 2y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 18^{\circ} = 2y$
$162^{\circ} = 2y$
$y = 81^{\circ}$ $...(4)$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 180^{\circ} - 81^{\circ}$
$x = 99^{\circ}$
આમ,બે ખૂણાઓ $99^{\circ}$ અને $81^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે એક બેટની કિંમત $x$ છે અને એક દડાની કિંમત $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$7x + 6y = 3800$ $...(1)$
$3x + 5y = 1750$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$6y = 3800 - 7x$
$y = \frac{3800 - 7x}{6}$ $...(3)$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x + 5\left(\frac{3800 - 7x}{6}\right) = 1750$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$18x + 5(3800 - 7x) = 10500$
$18x + 19000 - 35x = 10500$
$-17x = 10500 - 19000$
$-17x = -8500$
$x = 500$
હવે,$x = 500$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{3800 - 7(500)}{6}$
$y = \frac{3800 - 3500}{6}$
$y = \frac{300}{6} = 50$
આમ,એક બેટની કિંમત ₹ $500$ અને એક દડાની કિંમત ₹ $50$ છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચિત ભાડું ₹ $x$ છે અને પ્રતિ $km$ ભાડું ₹ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$x + 10y = 105$ $(1)$
$x + 15y = 155$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 105 - 10y$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(105 - 10y) + 15y = 155$
$105 + 5y = 155$
$5y = 155 - 105$
$5y = 50$
$y = 10$
$y = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = 105 - 10(10)$
$x = 105 - 100$
$x = 5$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું ₹ $5$ છે અને પ્રતિ $km$ ભાડું ₹ $10$ છે.
$25 \, km$ ના અંતર માટે કુલ ભાડું:
$x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = ₹ 255$.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે. તેથી અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $11(x+2) = 9(y+2) \implies 11x + 22 = 9y + 18 \implies 11x - 9y = -4$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6(x+3) = 5(y+3) \implies 6x + 18 = 5y + 15 \implies 6x - 5y = -3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$5y = 6x + 3 \implies y = \frac{6x+3}{5}$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $11x - 9(\frac{6x+3}{5}) = -4$.
$5$ વડે ગુણતા: $55x - 9(6x+3) = -20 \implies 55x - 54x - 27 = -20 \implies x = 7$.
હવે,$y$ શોધો: $y = \frac{6(7)+3}{5} = \frac{42+3}{5} = \frac{45}{5} = 9$.
તેથી,માંગેલ અપૂર્ણાંક $\frac{7}{9}$ છે.

(N/A) ધારો કે જેકબની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેના પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
કિસ્સો $1$: પાંચ વર્ષ પછી,જેકબની ઉંમર $(x + 5)$ થશે અને તેના પુત્રની ઉંમર $(y + 5)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(x + 5) = 3(y + 5) \implies x + 5 = 3y + 15 \implies x - 3y = 10$ (સમીકરણ $1$).
કિસ્સો $2$: પાંચ વર્ષ પહેલાં,જેકબની ઉંમર $(x - 5)$ હતી અને તેના પુત્રની ઉંમર $(y - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ,$(x - 5) = 7(y - 5) \implies x - 5 = 7y - 35 \implies x - 7y = -30$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x = 3y + 10$.
આ કિંમતને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $(3y + 10) - 7y = -30 \implies -4y = -40 \implies y = 10$.
$y = 10$ ને $x = 3y + 10$ માં મૂકતા: $x = 3(10) + 10 = 40$.
તેથી,જેકબની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે અને તેના પુત્રની હાલની ઉંમર $10$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે પિતાનું વજન $x \, kg$ છે અને પુત્રનું વજન $y \, kg$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વજન $x + y = 70$ છે (સમીકરણ $1$).
પુત્રનું વજન પિતાના વજનના છઠ્ઠા ભાગનું છે,તેથી $y = \frac{1}{6}x$,જેનો અર્થ છે કે $x = 6y$ અથવા $x - 6y = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માં $x = 6y$ મૂકતા:
$6y + y = 70$
$7y = 70$
$y = 10 \, kg$.
હવે,$y = 10$ ને $x = 6y$ માં મૂકતા:
$x = 6 \times 10 = 60 \, kg$.
તેથી,પિતાનું વજન $60 \, kg$ અને પુત્રનું વજન $10 \, kg$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = 11$ .......... $(i)$
$2x - y = -1$ .......... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$y = 2x + 1$ .......... $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(2x + 1) = 11$
$2x + 6x + 3 = 11$
$8x + 3 = 11$
$8x = 8$
$x = 1$
હવે,$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y = 2(1) + 1$
$y = 2 + 1$
$y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 3)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$3x - 7y = 18$ ..... $(1)$
$6x - 14y = 12$ ..... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$3x - 7y = 6$ ..... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3x = 18 + 7y$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(18 + 7y) - 7y = 6$
$18 = 6$
આ એક વિરોધાભાસ છે,કારણ કે $18$ ક્યારેય $6$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(A) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $x + 2y = 70$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ: $2x + y = 95$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = 70 - 2y$ મળે છે.
આ $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(70 - 2y) + y = 95$
$140 - 4y + y = 95$
$140 - 3y = 95$
$-3y = 95 - 140$
$-3y = -45$
$y = 15$
હવે,$y = 15$ ની કિંમત $x = 70 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 70 - 2(15)$
$x = 70 - 30 = 40$
તેથી,પિતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ અને પુત્રની હાલની ઉંમર $15$ વર્ષ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y = 7$
$2) 5x + 12y = 7$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$x = 7 - y$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$5(7 - y) + 12y = 7$
$35 - 5y + 12y = 7$
$35 + 7y = 7$
$7y = 7 - 35$
$7y = -28$
$y = -4$
હવે,$y = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = 7 - (-4)$
$x = 7 + 4$
$x = 11$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (11, -4)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 5x - 3y = 1$
$2) 2x + 5y = 19$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$5x = 1 + 3y$,તેથી $x = \frac{1 + 3y}{5}$.
$x$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{1 + 3y}{5}) + 5y = 19$
છેદ દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$2(1 + 3y) + 25y = 95$
$2 + 6y + 25y = 95$
$31y = 93$
$y = 3$
હવે,$y = 3$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{1 + 3(3)}{5} = \frac{1 + 9}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $2x - y + 3 = 0$
$(2)$ $y = 2x - \frac{3}{2}$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x - (2x - \frac{3}{2}) + 3 = 0$
$2x - 2x + \frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3 + 6}{2} = 0$
$\frac{9}{2} = 0$
અહીં $\frac{9}{2} \neq 0$ હોવાથી,આ વિધાન વિરોધાભાસી છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x - 3y = -11$
$2) \, 4x - 6y + 22 = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $4x - 6y = -22$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2(2x - 3y) = -22$ મળે,એટલે કે $2x - 3y = -11$.
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.
$2x - 3y = -11$ નું સમાધાન કરતી કોઈપણ જોડ $(x, y)$ એ ઉકેલ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 2x - 3y = -11; \, x, y \in R \}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $3x + y + 1 = 0$
$(2)$ $2x - 3y + 8 = 0$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = -3x - 1$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(3)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2x - 3(-3x - 1) + 8 = 0$
$2x + 9x + 3 + 8 = 0$
$11x + 11 = 0$
$11x = -11$
$x = -1$
હવે,$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$y = -3(-1) - 1$
$y = 3 - 1$
$y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-1, 2)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) 8x - 3y = 1$
$2) 34x - 3y = 14$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3y$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$3y = 8x - 1$
$y = (8x - 1) / 3$
$y$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$34x - 3((8x - 1) / 3) = 14$
$34x - (8x - 1) = 14$
$34x - 8x + 1 = 14$
$26x = 13$
$x = 13 / 26 = 1/2$
હવે,$x = 1/2$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (8(1/2) - 1) / 3$
$y = (4 - 1) / 3$
$y = 3 / 3 = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1/2, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) x + 8y = 19$
$(2) 2x + 11y = 28$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$x = 19 - 8y$
આ $x$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(19 - 8y) + 11y = 28$
$38 - 16y + 11y = 28$
$38 - 5y = 28$
$-5y = 28 - 38$
$-5y = -10$
$y = 2$
હવે,$y = 2$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 19 - 8(2)$
$x = 19 - 16$
$x = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 2)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x + 3y = 7$
$2) \, 6x + 9y = 23$
સહગુણકોનો ગુણોત્તર તપાસતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{23}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી,જેને $\varnothing$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$(1) x + 11y = 1$
$(2) 8x + 13y = 2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $x = 1 - 11y$ મળે છે.
આ $x$ ની કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$8(1 - 11y) + 13y = 2$
$8 - 88y + 13y = 2$
$8 - 75y = 2$
$-75y = 2 - 8$
$-75y = -6$
$y = \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25}$.
હવે,$y = \frac{2}{25}$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 - 11(\frac{2}{25})$
$x = 1 - \frac{22}{25} = \frac{25 - 22}{25} = \frac{3}{25}$.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{3}{25}, \frac{2}{25})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $8x + 5y = 9$
$(2)$ $3x + 2y = 4$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$2y = 4 - 3x$
$y = \frac{4 - 3x}{2}$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$8x + 5(\frac{4 - 3x}{2}) = 9$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$16x + 5(4 - 3x) = 18$
$16x + 20 - 15x = 18$
$x + 20 = 18$
$x = 18 - 20$
$x = -2$
હવે,$x = -2$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{4 - 3(-2)}{2}$
$y = \frac{4 + 6}{2}$
$y = \frac{10}{2}$
$y = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 5)$ છે.

(C) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(x+1) = 4(y+1) \implies 5x + 5 = 4y + 4 \implies 5x - 4y = -1$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(x-5) = 1(y-5) \implies 2x - 10 = y - 5 \implies 2x - y = 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$y = 2x - 5$. આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મુકતા:
$5x - 4(2x - 5) = -1$
$5x - 8x + 20 = -1$
$-3x = -21 \implies x = 7$.
હવે,$y$ શોધો: $y = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{7}{9}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ 2x + y = 35$
$(2) \ 3x + 4y = 65$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = 35 - 2x$
$y$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(35 - 2x) = 65$
$3x + 140 - 8x = 65$
$-5x = 65 - 140$
$-5x = -75$
$x = 15$
હવે,$x = 15$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 35 - 2(15)$
$y = 35 - 30$
$y = 5$
છેલ્લે,ગુણોત્તર $\frac{x}{y}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{y} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $9$ છે,તેથી $x + y = 9$ (સમીકરણ $1$).
પ્રથમ સંખ્યાના પાંચ ગણા અને બીજી સંખ્યાના ત્રણ ગણાનો તફાવત $5$ છે,તેથી $5x - 3y = 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,આપણને $y = 9 - x$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $5x - 3(9 - x) = 5$.
$5x - 27 + 3x = 5$.
$8x = 32$.
$x = 4$.
હવે,$x = 4$ ને $y = 9 - x$ માં મૂકતા: $y = 9 - 4 = 5$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $4$ અને $5$ છે.

(A) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$x = y + 3$ અથવા $x - y = 3$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ,$2x + 17 = 3y$ અથવા $2x - 3y = -17$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $x = y + 3$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$2(y + 3) - 3y = -17$
$2y + 6 - 3y = -17$
$-y + 6 = -17$
$-y = -23$
$y = 23$.
હવે,$x = y + 3$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધો:
$x = 23 + 3 = 26$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $26$ અને $23$ છે.

(C) ધારો કે $x = \frac{1}{a}$ અને $y = \frac{1}{b}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$5x - 6y = 3$ --- $(1)$
$x + 4y = 11$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = 11 - 4y$.
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(11 - 4y) - 6y = 3$
$55 - 20y - 6y = 3$
$55 - 26y = 3$
$26y = 52$
$y = 2$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = 2$ હોવાથી,$b = \frac{1}{2}$ મળે.
$y = 2$ ની કિંમત $x = 11 - 4y$ માં મૂકતા:
$x = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = 3$ હોવાથી,$a = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$(a, b) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = y + 1 \implies y = 2x + 1$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{5}{11} \implies 11x - 55 = 5y - 25 \implies 11x - 5y = 30$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માં $y = 2x + 1$ મૂકતા: $11x - 5(2x + 1) = 30$.
$11x - 10x - 5 = 30 \implies x = 35$.
હવે,$y$ શોધો: $y = 2(35) + 1 = 70 + 1 = 71$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $35$ અને $71$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $x + 2y = 5$
$(2)$ $2x + y = 4$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને $x = 5 - 2y$ મળે છે.
$x$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(5 - 2y) + y = 4$
$10 - 4y + y = 4$
$10 - 3y = 4$
$-3y = 4 - 10$
$-3y = -6$
$y = 2$
હવે,$y = 2$ ને $x = 5 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 5 - 2(2)$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y = 5$ --- $(1)$
$y - 1 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $y = 1$ મળે છે.
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 1 = 5$
$2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 4 / 2$
$x = 2$
તેથી,$x$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x + 2y = 8$ છે.
સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$3(-2) + 2y = 8$
$-6 + 2y = 8$
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા:
$2y = 8 + 6$
$2y = 14$
$2$ વડે ભાગતા:
$y = 7$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x - 5y = 3$ છે.
સમીકરણમાં $y = -1$ ની કિંમત મૂકતા:
$2x - 5(-1) = 3$
$2x + 5 = 3$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$2x = 3 - 5$
$2x = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x = -1$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $2x + 3y = 10$
$(2)$ $3x - y = 4$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$y = 3x - 4$
આ $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(3x - 4) = 10$
$2x + 9x - 12 = 10$
$11x = 10 + 12$
$11x = 22$
$x = 2$
આમ,$x$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1$.
સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$\frac{4}{-2} + \frac{3}{y} = 1$
$-2 + \frac{3}{y} = 1$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા:
$\frac{3}{y} = 1 + 2$
$\frac{3}{y} = 3$
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણીને $3$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{3}{3} = 1$.
આમ,$y = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y = \frac{1}{2} x$ --- $(1)$
$x + 2y = 8$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 2(\frac{1}{2} x) = 8$
$x + x = 8$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

(A) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $6$ છે,તેથી $x + y = 6$.
વળી,એકમનો અંક એ દશકના અંક કરતા બમણો છે,તેથી $y = 2x$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = 2x$ મૂકતા: $x + 2x = 6$.
$3x = 6$,જે આપણને $x = 2$ આપે છે.
હવે,$y$ શોધો: $y = 2(2) = 4$.
તેથી,સંખ્યા $10x + y$ એટલે કે $10(2) + 4 = 24$ છે.

(B) આપેલ બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણ: $2x + 3y = 8$.
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ વાળા પદને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરીએ.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા: $3y = 8 - 2x$.
હવે,$y$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુને $3$ વડે ભાગતા: $y = \frac{8 - 2x}{3}$.
આમ,સાચું પદ $\frac{8 - 2x}{3}$ છે.