Graphical Method of Solution Questions in Gujarati

(N/A) બનેલા સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$y = \frac{1}{2}x$
એટલે કે,$x - 2y = 0$ ......$(1)$
$3x + 4y = 20$ ......$(2)$
ચાલો આ સમીકરણોને આલેખની રીતે દર્શાવીએ. આ માટે,આપણને દરેક સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલોની જરૂર છે. આપણે આ ઉકેલો નીચેના કોષ્ટકોમાં આપીએ છીએ:

$x$	$0$	$2$
$y = \frac{x}{2}$	$0$	$1$

$x$	$0$	$\frac{20}{3}$	$4$
$y = \frac{20 - 3x}{4}$	$5$	$0$	$2$

ધોરણ $IX$ માંથી યાદ કરો કે દરેક સુરેખ સમીકરણ માટે અનંત ઉકેલો હોય છે. તેથી,તમે દરેક કોઈ પણ બે કિંમતો પસંદ કરી શકો છો,જે આપણે પસંદ કરી છે તેના કરતા અલગ હોઈ શકે છે. જ્યારે એક ચલ શૂન્ય હોય,ત્યારે સમીકરણ એક ચલવાળા સુરેખ સમીકરણમાં ફેરવાય છે,જેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $(2)$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $4y = 20$ મળે છે,એટલે કે $y = 5$. તેવી જ રીતે,સમીકરણ $(2)$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $3x = 20$ મળે છે,એટલે કે $x = \frac{20}{3}$. પરંતુ $\frac{20}{3}$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,તેને આલેખપત્ર પર ચોક્કસ રીતે દર્શાવવું સરળ રહેશે નહીં. તેથી,આપણે $y = 2$ પસંદ કરીએ છીએ,જે $x = 4$ આપે છે,જે એક પૂર્ણાંક કિંમત છે.
કોષ્ટકોમાં આપેલા ઉકેલોને અનુરૂપ બિંદુઓ $A(0, 0), B(2, 1)$ અને $P(0, 5), Q(4, 2)$ ને આલેખ પર દર્શાવો. હવે રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ દોરો,જે સમીકરણો $x - 2y = 0$ અને $3x + 4y = 20$ નું નિરૂપણ કરે છે.

(N/A) ધારો કે $1$ પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1$ રબરની કિંમત ₹ $y$ છે. બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$2x + 3y = 9$ $.......(1)$
$4x + 6y = 18$ $.......(2)$
આને આલેખની રીતે દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક રેખા માટે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
સમીકરણ $(1)$ માટે,$y = \frac{9 - 2x}{3}$:

$x$	$0$	$4.5$
$y$	$3$	$0$

સમીકરણ $(2)$ માટે,$y = \frac{18 - 4x}{6}$:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$1$

જ્યારે આપણે આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ,ત્યારે આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી છે. આ એટલા માટે છે કારણ કે બંને સમીકરણો સમાન છે,એટલે કે સમીકરણ $(2)$ એ સમીકરણ $(1)$ ના $2$ ગણા છે.

(N/A) સમીકરણોને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ.
સમીકરણ $x+2y-4=0$ માટે:

$x$	$0$	$4$
$y = \frac{4-x}{2}$	$2$	$0$

આપણે બિંદુઓ $R(0, 2)$ અને $S(4, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને $x+2y-4=0$ દર્શાવતી રેખા મેળવીએ છીએ.
સમીકરણ $2x+4y-12=0$ માટે:

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{12-2x}{4}$	$3$	$0$

આપણે બિંદુઓ $P(0, 3)$ અને $Q(6, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને $2x+4y-12=0$ દર્શાવતી રેખા મેળવીએ છીએ.
આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને રેખાઓ ક્યાંય પણ એકબીજાને છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.

(N/A) ધારો કે આફતાબની હાલની ઉંમર $x$ છે અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $y$ છે.
સાત વર્ષ પહેલાં:
આફતાબની ઉંમર $= x - 7$
તેની પુત્રીની ઉંમર $= y - 7$
પ્રશ્ન મુજબ,$(x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42$ $...(1)$
હવે પછીના ત્રણ વર્ષ પછી:
આફતાબની ઉંમર $= x + 3$
તેની પુત્રીની ઉંમર $= y + 3$
પ્રશ્ન મુજબ,$(x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6$ $...(2)$
બીજગણિતીય નિરૂપણ:
$x - 7y = -42$
$x - 3y = 6$
$x - 7y = -42$ માટે,$x = 7y - 42$:

$x$	$-7$	$0$	$7$
$y$	$5$	$6$	$7$

$x - 3y = 6$ માટે,$x = 3y + 6$:

$x$	$6$	$3$	$0$
$y$	$0$	$-1$	$-2$

(N/A) ધારો કે એક બેટની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક દડાની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$3x + 6y = 3900$
$x + 3y = 1300$
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 6y = 3900$ માટે,તેને $x + 2y = 1300$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય,તેથી $x = 1300 - 2y$.
| $x$ | $300$ | $100$ | $-100$ |
| $y$ | $500$ | $600$ | $700$ |
બીજા સમીકરણ $x + 3y = 1300$ માટે,$x = 1300 - 3y$.
| $x$ | $400$ | $700$ | $1000$ |
| $y$ | $300$ | $200$ | $100$ |
ભૌમિતિક નિરૂપણ આપેલા આલેખમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) ધારો કે $1\, kg$ સફરજનની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1\, kg$ દ્રાક્ષની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$2x + y = 160$
$4x + 2y = 300$
સમીકરણ $2x + y = 160$ માટે,$y = 160 - 2x$. ઉકેલનું કોષ્ટક:

$x$	$50$	$60$	$70$
$y$	$60$	$40$	$20$

સમીકરણ $4x + 2y = 300$ માટે,$y = \frac{300 - 4x}{2} = 150 - 2x$. ઉકેલનું કોષ્ટક:

$x$	$70$	$80$	$75$
$y$	$10$	$-10$	$0$

ભૌમિતિક નિરૂપણમાં બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) ચાલો સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ના આલેખ દોરીએ. આ માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ,જે નીચેના કોષ્ટકોમાં આપેલા છે:
સમીકરણ $(1)$ માટે: $x+3y=6$

$x$	$0$	$6$
$y = \frac{6-x}{3}$	$2$	$0$

સમીકરણ $(2)$ માટે: $2x-3y=12$

$x$	$0$	$3$
$y = \frac{2x-12}{3}$	$-4$	$-2$

આલેખપત્ર પર રેખા $(1)$ માટે બિંદુઓ $A(0, 2), B(6, 0)$ અને રેખા $(2)$ માટે $P(0, -4), Q(3, -2)$ ને અંકિત કરો. બિંદુઓને જોડીને રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ બનાવો.
આપણે જોઈએ છીએ કે રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ બંનેમાં એક બિંદુ $B(6, 0)$ સામાન્ય છે. કારણ કે રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે,તેથી સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે. ઉકેલ $x=6$ અને $y=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $\frac{5}{3}$ વડે ગુણતા:
$\frac{5}{3} \times (3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5}) = \frac{5}{3} \times 6$
$5x - 8y + 1 = 10$
આમ,$5x - 8y - 9 = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ એટલે કે $5x - 8y + 1 = 0$ અને સમીકરણ $(2)$ એટલે કે $5x - 8y - 9 = 0$ ની સરખામણી કરતા,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે પરંતુ અચળ પદ અલગ છે.
તેથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે પેન્ટની સંખ્યા $x$ છે અને સ્કર્ટની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બનતા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y = 2x - 2$ $...(1)$
$y = 4x - 4$ $...(2)$
આ સુરેખ સમીકરણોની જોડીને આલેખની રીતે ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ:
સમીકરણ $(1)$,$y = 2x - 2$ માટે:

$x$	$2$	$0$
$y$	$2$	$-2$

સમીકરણ $(2)$,$y = 4x - 4$ માટે:

$x$	$0$	$1$
$y$	$-4$	$0$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવીને અને રેખાઓ દોરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, 0)$ પર છેદે છે.
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = 0$ છે.
તેથી,ચંપાએ $1$ પેન્ટ અને $0$ સ્કર્ટ ખરીદ્યા હતા.

(N/A) ધારો કે છોકરીઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$x + y = 10$
$x - y = 4$
$x + y = 10$ માટે,$x = 10 - y$:

$x$	$5$	$4$	$6$
$y$	$5$	$6$	$4$

$x - y = 4$ માટે,$x = 4 + y$:

$x$	$5$	$4$	$3$
$y$	$1$	$0$	$-1$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખાઓ બિંદુ $(7, 3)$ પર છેદે છે.
તેથી,છોકરીઓની સંખ્યા $7$ અને છોકરાઓની સંખ્યા $3$ છે.

(N/A) ધારો કે $1$ પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને $1$ પેનની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજગણિતીય નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$5x + 7y = 50$
$7x + 5y = 46$
$5x + 7y = 50$ માટે,$x = \frac{50 - 7y}{5}$ મળે.

$x$	$3$	$10$	$-4$
$y$	$5$	$0$	$10$

$7x + 5y = 46$ માટે,$x = \frac{46 - 5y}{7}$ મળે.

$x$	$8$	$3$	$-2$
$y$	$-2$	$5$	$12$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખાઓ બિંદુ $(3, 5)$ પર છેદે છે.
તેથી,એક પેન્સિલની કિંમત ₹ $3$ અને એક પેનની કિંમત ₹ $5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4, c_{1} = 8$
$a_{2} = 7, b_{2} = 6, c_{2} = -9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 9, b_{1} = 3, c_{1} = 12$
$a_{2} = 18, b_{2} = 6, c_{2} = 24$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે અને તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 6, b_{1} = -3, c_{1} = 10$
$a_{2} = 2, b_{2} = -1, c_{2} = 9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{10}{9}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે. તેથી,આ રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદશે નહીં અને આ સમીકરણોની જોડી માટે કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x - 3y = 8$ (અથવા $2x - 3y - 8 = 0$)
$4x - 6y = 9$ (અથવા $4x - 6y - 9 = 0$)
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 2, b_{1} = -3, c_{1} = -8$
$a_{2} = 4, b_{2} = -6, c_{2} = -9$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડનો કોઈ ઉકેલ નથી અને તે અસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7 \implies \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7 = 0$
$2) 9 x - 10 y = 14 \implies 9 x - 10 y - 14 = 0$
$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ અને $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = \frac{5}{3}, c_{1} = -7$
$a_{2} = 9, b_{2} = -10, c_{2} = -14$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$-10x + 6y = -22$ (સમીકરણ $2$)
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 5, b_{1} = -3, c_{1} = 11$
$a_{2} = -10, b_{2} = 6, c_{2} = -22$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવાથી,તેમને અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો:
$x+y=5$
$2x+2y=10$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સુરેખ સમીકરણો સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે અને તેથી તેને અનંત ઉકેલો છે. આમ,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.
$x+y=5$ માટે,$x = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

$2x+2y=10$ માટે,$x = \frac{10-2y}{2} = 5-y$:

$x$	$4$	$3$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે આ રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી છે. તેથી,આપેલ સમીકરણોની જોડી માટે અનંત ઉકેલો શક્ય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો $x-y=8$ અને $3x-3y=16$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી,જેનો અર્થ છે કે સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી અસુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2x + y - 6 = 0$ અને $4x - 2y - 4 = 0$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6$
$a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે,તેથી સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.
$2x + y - 6 = 0 \implies y = 6 - 2x$ માટે:
જો $x=0, y=6$; જો $x=1, y=4$; જો $x=2, y=2$.
$4x - 2y - 4 = 0 \implies y = 2x - 2$ માટે:
જો $x=0, y=-2$; જો $x=1, y=0$; જો $x=2, y=2$.
આમ,રેખાઓ $(2, 2)$ બિંદુએ છેદે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x - 2y - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$4x - 4y - 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2$
$a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5$
હવે,ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી અસુસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) ધારો કે બગીચાની પહોળાઈ $x$ છે અને લંબાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$y - x = 4$ $...(1)$
$y + x = 36$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = x + 4$. કિંમતોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$8$	$12$
$y$	$4$	$12$	$16$

સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 36 - x$. કિંમતોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$36$	$16$
$y$	$36$	$0$	$20$

આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેઓ $(16, 20)$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,બગીચાની પહોળાઈ $16\, m$ અને લંબાઈ $20\, m$ છે.

(N/A) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે પરસ્પર છેદતી રેખાઓની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માં,$a_1 = 2$ અને $b_1 = 3$ છે.
આપણે $a_2$ અને $b_2$ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $\frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}$ થાય.
જો આપણે $a_2 = 3$ અને $b_2 = 2$ લઈએ,તો $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$ થાય,જે શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,એક આવું સમીકરણ $3x + 2y - 5 = 0$ છે (અથવા શરતનું પાલન કરતું અન્ય કોઈ પણ સમીકરણ).

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સમાંતર હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ છે.
આ શરતનું પાલન કરવા માટે,આપણે $a_2 = 4$ અને $b_2 = 6$ લઈ શકીએ (જેથી $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ થાય) અને $c_2$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$ થાય.
ધારો કે $c_2 = -10$. તેથી સમીકરણ $4x + 6y - 10 = 0$ મળે.
શરત ચકાસતા: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-10}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$ થાય છે.
આમ,$4x + 6y - 10 = 0$ એ એક યોગ્ય જવાબ છે.

(A) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે સંપાતી રેખાઓની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - 8 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ છે.
બીજું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણને કોઈપણ શૂન્યતર અચળાંક $k$ વડે ગુણી શકીએ છીએ. ધારો કે $k = 2$.
સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(2x + 3y - 8) = 2(0)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x + 6y - 16 = 0$ થાય છે.
શરત તપાસતા: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે. આમ,$4x + 6y - 16 = 0$ એ સાચો જવાબ છે.

(N/A) સમીકરણ $x-y+1=0$ માટે,આપણે $x=y-1$ લખી શકીએ છીએ. મૂલ્યોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$

સમીકરણ $3x+2y-12=0$ માટે,આપણે $x=\frac{12-2y}{3}$ લખી શકીએ છીએ. મૂલ્યોનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$4$	$2$	$0$
$y$	$0$	$3$	$6$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને બે છેદતી રેખાઓ મળે છે. આ રેખાઓ એકબીજાને $(2,3)$ બિંદુએ છેદે છે અને $x$-અક્ષને $(-1,0)$ અને $(4,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
આમ,આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(2,3)$,$(-1,0)$ અને $(4,0)$ છે.

(D) ધારો કે એક પેન્સિલની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક રબરની કિંમત ₹ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,રચાતા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y = 9$ $...(1)$
$4x + 6y = 18$ $...(2)$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણ $(2)$ એ સમીકરણ $(1)$ કરતા બમણું છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x + 3y = 9$ મળે છે,જે સમીકરણ $(1)$ જેવું જ છે.
આમ,બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,એટલે કે તે સંપાતી રેખાઓ છે.
તેથી,$x$ અને $y$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે જે આ સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે. આથી,દરેક પેન્સિલ અને રબરની ચોક્કસ કિંમત નક્કી કરી શકાતી નથી.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$x + 2y - 4 = 0$ $...(1)$
$2x + 4y - 12 = 0$ $...(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4$
$a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12$
હવે,સહગુણકોનો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,પાટાઓ એકબીજાને છેદશે નહીં.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$6x - 3y + 10 = 0$ ... $(1)$
$2x - y + 9 = 0$ ... $(2)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે અને ક્યાંય છેદતી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણો $x + 2y + 5 = 0$ અને $-3x - 6y + 1 = 0$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5$
$a_2 = -3, b_2 = -6, c_2 = 1$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) સમીકરણ $x=a$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ $y=b$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર એક સમક્ષિતિજ રેખા દર્શાવે છે,જે $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે.
જ્યારે આ બંને રેખાઓને એક જ કાર્તેઝિયન સમતલ પર દોરવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ રેખા $x=a$ અને સમક્ષિતિજ રેખા $y=b$ એકબીજાને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
છેદબિંદુનો $x$-યામ $a$ છે અને $y$-યામ $b$ છે.
તેથી,આ રેખાઓ બિંદુ $(a, b)$ પર છેદે છે.

(D) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંપાતી હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $3x - y + 8 = 0$ અને $6x - ky + 16 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = 8$ અને $a_2 = 6, b_2 = -k, c_2 = 16$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-k} = \frac{8}{16}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$ પરથી,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$4x + 3y - 1 = 5 \implies 4x + 3y = 6$
$12x + 9y = 15$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 6$
$a_2 = 12, b_2 = 9, c_2 = 15$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે અને સંપાતી નથી. તેથી,જવાબ 'ના' છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x+2y-3=0$ અને $3x+6y-9=0$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1=1, b_1=2, c_1=-3$
$a_2=3, b_2=6, c_2=-9$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે અને તે સુસંગત છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ ન હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$2x + 4y - 3 = 0$
$x - 2y = 0$
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3$ અને $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-2} = -2$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(2 \neq -2)$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે,'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવું નથી.

(B) બે રેખાઓ સંપાતી હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$3x + \frac{1}{7}y - 3 = 0$
$7x + 3y - 7 = 0$
અહીં,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3$
$a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{7}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/7}{3} = \frac{1}{21}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી નથી. તેઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંપાતી હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{1}{2}x + 1y + \frac{2}{5} = 0$
$2) 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
અહીં,$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$ અને $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2/5}{5/16} = \frac{2}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{32}{25}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે,સંપાતી નથી. તેથી,આપેલ સમીકરણો સંપાતી રેખાઓની જોડી દર્શાવતા નથી.

(N/A) આ વિધાન ખોટું છે.
કાર્તેઝિયન સમતલનું અવલોકન કરતા,સમીકરણ $x=7$ એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે જે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(7, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ રેખા શિરોલંબ હોવાથી,તે $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષને લંબ છે.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$3x - y - 5 = 0$ ... $(i)$
$6x - 2y - p = 0$ ... $(ii)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -5$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -p$
બે રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-p}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$
રેખાઓ સમાંતર રહે તે માટે $\frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$ હોવું જોઈએ.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$p \neq 10$ મળે.
આમ,$p$ ની $10$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે રેખાઓ સમાંતર રહેશે.

(B) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$3x + y - 1 = 0$
$(2k - 1)x + (k - 1)y - (2k + 1) = 0$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -1$ અને $a_2 = 2k - 1, b_2 = k - 1, c_2 = -(2k + 1)$ છે.
સુરેખ સમીકરણોની જોડને કોઈ ઉકેલ ન હોય તેની શરત છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
તેથી,$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} \neq \frac{-1}{-(2k + 1)}$
$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$ લેતા:
$3(k - 1) = 1(2k - 1)$
$3k - 3 = 2k - 1$
$3k - 2k = -1 + 3$
$k = 2$
આમ,$k = 2$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડને કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) સમીકરણ $5x - y = 5$ માટે,આપણે $y = 5x - 5$ લખી શકીએ છીએ. ઉકેલનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-5$	$0$	$5$

સમીકરણ $3x - y = 3$ માટે,આપણે $y = 3x - 3$ લખી શકીએ છીએ. ઉકેલનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-3$	$0$	$3$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને બે રેખાઓ મળે છે જે $(1, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
આ ત્રિકોણ આ બે રેખાઓ અને $y$-અક્ષ (જ્યાં $x = 0$ છે) દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 0)$ અને દરેક રેખા $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ $(0, -3)$ અને $(0, -5)$ છે.
આમ,શિરોબિંદુઓના યામ $(1, 0)$,$(0, -3)$ અને $(0, -5)$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણો છે:
$x-3y-2=0$ ..... $(i)$
$-2x+6y-5=0$ ..... $(ii)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
સમીકરણ $(i)$ માટે: $a_1=1, b_1=-3, c_1=-2$
સમીકરણ $(ii)$ માટે: $a_2=-2, b_2=6, c_2=-5$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા બે સીધા માર્ગો ક્યારેય એકબીજાને છેદતા નથી.

(A) આપેલ સમીકરણોની જોડ:
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે. તેથી,આ સમીકરણોની જોડ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માટે,$y = -3x - 4$:

$x$	$0$	$-1$	$-2$
$y$	$-4$	$-1$	$2$

સમીકરણ $(ii)$ માટે,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y$	$-1$	$2$	$5$

આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,તે $(-1, -1)$ બિંદુએ છેદે છે. આમ,ઉકેલ $x = -1, y = -1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ યુગ્મ છે:
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (જે અવ્યાખ્યાયિત છે)
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેઓ કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(CONSISTENT) આપેલ સમીકરણોની જોડી છે:
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [સમીકરણ $(i)$ પરથી]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [સમીકરણ $(ii)$ પરથી]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આપેલ રેખાઓ સંપાતી છે. તેથી,આ રેખાઓને અનંત ઉકેલો છે. આમ,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.
હવે,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ માટે:

$x$	$0$	$3$
$y$	$3$	$0$
બિંદુઓ	$A$	$B$

અને $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ માટે:

$x$	$0$	$1$	$3$
$y$	$3$	$2$	$0$
બિંદુઓ	$C$	$D$	$E$

બિંદુઓ $A(0,3)$ અને $B(3,0)$ ને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને રેખા $AB$ મળે છે. તેવી જ રીતે,બિંદુઓ $C(0,3), D(1,2)$ અને $E(3,0)$ ને દર્શાવતા,આપણને તે જ રેખા મળે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x=-2$ નો આલેખ એ $y$-અક્ષને સમાંતર અને તેની ડાબી બાજુ $2$ એકમ અંતરે આવેલી રેખા છે.
$y=3$ નો આલેખ એ $x$-અક્ષને સમાંતર અને તેની ઉપર $3$ એકમ અંતરે આવેલી રેખા છે.
$x=-2$,$y=3$,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલી આકૃતિ $OABC$ છે,જે એક લંબચોરસ છે.
$A$ એ $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જે $x$-અક્ષથી ઉપર $3$ એકમ અંતરે છે. તેથી,$A$ ના યામ $(0, 3)$ છે.
$C$ એ $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જે $y$-અક્ષથી ડાબી બાજુ $2$ એકમ અંતરે છે. તેથી,$C$ ના યામ $(-2, 0)$ છે.
$B$ એ $x=-2$ અને $y=3$ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે. તેથી,$B$ ના યામ $(-2, 3)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
આમ,લંબચોરસ $OABC$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ અને $C(-2, 0)$ છે.
આ લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $2$ એકમ અને $3$ એકમ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ હોવાથી,
લંબચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 3 = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(O(0,0), Q(4,4), D(6,2)) આપેલ સુરેખ સમીકરણો છે:
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓની જોડીના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. $(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ:
$y=x$ ને $3y=x$ માં મૂકતા,આપણને $3x=x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2x=0$,તેથી $x=0$. આમ,$y=0$. છેદબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$2$. $(i)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ:
$y=x$ ને $x+y=8$ માં મૂકતા,આપણને $x+x=8$ મળે છે,તેથી $2x=8$,જેનો અર્થ છે $x=4$. આમ,$y=4$. છેદબિંદુ $Q(4,4)$ છે.
$3$. $(ii)$ અને $(iii)$ નું છેદબિંદુ:
$(ii)$ પરથી,$x=3y$. આને $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $3y+y=8$ મળે છે,તેથી $4y=8$,જેનો અર્થ છે $y=2$. પછી $x=3(2)=6$. છેદબિંદુ $D(6,2)$ છે.
આમ,રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$Q(4,4)$ અને $D(6,2)$ છે.

(8) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $2x-y-4=0$,$x=3$ અને $x=5$ છે.
રેખા $2x-y-4=0$ માટે,આપણે બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:

$x$	$0$	$2$
$y=2x-4$	$-4$	$0$

બિંદુઓ $P(0, -4)$ અને $Q(2, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમાંથી પસાર થતી રેખા દોરો. આ ઉપરાંત,શિરોલંબ રેખાઓ $x=3$ અને $x=5$ દોરો.
રેખાઓ $x=3$,$x=5$,$x$-અક્ષ અને રેખા $2x-y-4=0$ દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં $x=3$ અને $x=5$ પરની બાજુઓ સમાંતર છે.
$x=3$ માટે,$y = 2(3)-4 = 2$. તેથી,બિંદુ $D$ એ $(3, 2)$ છે.
$x=5$ માટે,$y = 2(5)-4 = 6$. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(5, 6)$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ $AD = 2$ એકમ અને $BC = 6$ એકમ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $AB = 5-3 = 2$ એકમ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $8 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.

(A) $x+y=7$
$\therefore y=7-x$
$x=0$ માટે,$y=7-0=7$
$x=7$ માટે,$y=7-7=0$

$x$	$0$	$7$
$y$	$7$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $x+y=7$ ના ઉકેલ ગણના ક્રમયુક્ત જોડ $(0, 7)$ અને $(7, 0)$ ને દર્શાવો અને તેમને જોડતી રેખા દોરો.
$5x+2y=20$
$\therefore 2y=20-5x \quad \therefore y=\frac{20-5x}{2}$
$x=0$ માટે,$y=\frac{20-0}{2}=10$
$x=4$ માટે,$y=\frac{20-20}{2}=0$

$x$	$0$	$4$
$y$	$10$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $5x+2y=20$ ના ઉકેલ ગણના ક્રમયુક્ત જોડ $(0, 10)$ અને $(4, 0)$ ને દર્શાવો અને તેમને જોડતી રેખા દોરો.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ (સામાન્ય બિંદુ) $(2, 5)$ છે,જે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ $(2, 5)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $3x + 6y = 3900$ માટે:
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 2y = 1300$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{1300 - x}{2}$.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 650$. જો $x = 1300$ હોય,તો $y = 0$.

$x$	$0$	$1300$
$y$	$650$	$0$

બિંદુઓ $(0, 650)$ અને $(1300, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
સમીકરણ $x + 3y = 1300$ માટે:
આનો અર્થ છે કે $y = \frac{1300 - x}{3}$.
જો $x = 1300$ હોય,તો $y = 0$. જો $x = 100$ હોય,તો $y = 400$.

$x$	$1300$	$100$
$y$	$0$	$400$

બિંદુઓ $(1300, 0)$ અને $(100, 400)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1300, 0)$ છે,જે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ $x = 1300, y = 0$ છે.