Graphical Method of Solution Questions in Gujarati

(D) સમીકરણ $3x + 4y = 6$ માટે:
$4y = 6 - 3x$
$y = \frac{6 - 3x}{4}$
જો $x = -2$,તો $y = \frac{6 - 3(-2)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
જો $x = 2$,તો $y = \frac{6 - 3(2)}{4} = \frac{0}{4} = 0$.

$x$	$-2$	$2$
$y$	$3$	$0$

બિંદુઓ $(-2, 3)$ અને $(2, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
સમીકરણ $3x + 4y = 19$ માટે:
$4y = 19 - 3x$
$y = \frac{19 - 3x}{4}$
જો $x = 5$,તો $y = \frac{19 - 3(5)}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
જો $x = 1$,તો $y = \frac{19 - 3(1)}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$x$	$5$	$1$
$y$	$1$	$4$

બિંદુઓ $(5, 1)$ અને $(1, 4)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને રેખા દોરો.
આ બંને રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી,તેથી આ સમીકરણોની જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી. ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(N/A) અહીં,$3x+3y=15$ ના દરેક પદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y=5$ સમીકરણ મળે છે.
આમ,બંને સમીકરણો સમાન છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે બંને રેખાઓ એક જ છે.
તેથી,તેઓ સંપાતી છે. આનો અર્થ એ છે કે અનંત ઉકેલો મળે છે. આલેખ દોરવા માટે,આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:
$x+y=5$
$\therefore y=5-x$
$x=0$ માટે,$y=5-0=5$
$x=5$ માટે,$y=5-5=0$
અને
$3x+3y=15$
$\therefore 3y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{3}$
$\therefore y=5-x$
$\therefore$ બંને કોષ્ટકો સમાન છે.

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

$\therefore$ આલેખપત્ર પર $x+y=5$ (અથવા $3x+3y=15$,એટલે કે $x+y=5$) ના ઉકેલ ગણના બે બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ ને અંકિત કરો અને તેમને જોડીને રેખા દોરો.
અહીં,બંને સમીકરણોના આલેખ સમાન છે. ઉપરાંત,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા પર અનંત બિંદુઓ છે,અને તે બધા ઉકેલ ગણ બનાવે છે. આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ ગણ ${(x, y) \mid x+y=5, x, y \in R}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) \, y + x = 5 \implies y = 5 - x$
$2) \, y - x = 9 \implies y = 9 + x$
આલેખ દોરવા માટે, આપણે દરેક રેખા માટે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$y = 5 - x$ માટે: જો $x = 0, y = 5$; જો $x = 5, y = 0$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ છે.
$y = 9 + x$ માટે: જો $x = 0, y = 9$; જો $x = -9, y = 0$. બિંદુઓ $(0, 9)$ અને $(-9, 0)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે બીજગણિતીય રીતે ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(y + x) + (y - x) = 5 + 9 \implies 2y = 14 \implies y = 7$.
$y = 7$ ને $y + x = 5$ માં મૂકતા: $7 + x = 5 \implies x = -2$.
આમ, છેદબિંદુ $(-2, 7)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) 3x + 6y = 4$
$2) 2x + 4y = \frac{8}{3}$
સમીકરણ $(2)$ ને $\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{3}{2}(2x + 4y) = \frac{3}{2} \times \frac{8}{3}$
$3x + 6y = 4$
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી તે સંપાતી રેખાઓ છે.
આથી,આ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો મળે છે. ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 3x + 6y = 4; x, y \in R \}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x$
$x = 0$ માટે,$y = 7$. $x = 2$ માટે,$y = 3$. $x = 3$ માટે,$y = 1$.
$2) x - 2y = 6 \implies x = 6 + 2y$
$y = 0$ માટે,$x = 6$. $y = -1$ માટે,$x = 4$. $y = -2$ માટે,$x = 2$.
આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,બંને રેખાઓ $(4, -1)$ બિંદુએ છેદે છે.
આમ,ઉકેલ $x = 4$ અને $y = -1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) y = 2$
$2) x + 4y = 10$
પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $y = 2$ એ એક આડી રેખા દર્શાવે છે જે તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં $y$-યામ $2$ છે.
પગલું $2$: બીજા સમીકરણ $x + 4y = 10$ માટે,સમીકરણમાં $y = 2$ મૂકતા:
$x + 4(2) = 10$
$x + 8 = 10$
$x = 10 - 8$
$x = 2$
પગલું $3$: બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(2, 2)$ છે.
આલેખની રીતે,રેખા $y = 2$ એ એક આડી રેખા છે,અને $x + 4y = 10$ એ $(10, 0)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. બંને રેખાઓ $(2, 2)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y = 5$
$2) 5x - 2y = 4$
સમીકરણ $(1)$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 5$. જો $y = 0$,તો $x = 5$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(5, 0)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ માટે,જો $x = 0$,તો $-2y = 4 \implies y = -2$. જો $y = 0$,તો $5x = 4 \implies x = 0.8$. બિંદુઓ $(0, -2)$ અને $(0.8, 0)$ છે.
આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા,છેદબિંદુ $(2, 3)$ મળે છે.
ચકાસણી: $2 + 3 = 5$ (સાચું) અને $5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4$ (સાચું).
આમ,ઉકેલ $(2, 3)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, 2x - 3y = 5$
$2) \, 4x - 6y = -13$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -5$
$a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = 13$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{13}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ ક્યાંય છેદતી નથી,તેથી આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી $(\varnothing)$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) 4x + y = 7$
$2) 16x + 4y = 28$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ભાગતા:
$4x + y = 7$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તેઓ આલેખ પર એક જ રેખા દર્શાવે છે.
$x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,આપણે $y$ ની અનુરૂપ કિંમત શોધી શકીએ છીએ જેથી $y = 7 - 4x$ થાય.
તેથી,આ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
ઉકેલ ગણ ${(x, y) \mid 4x + y = 7; x, y \in R}$ છે.

(D) આલેખની મદદથી સમીકરણો $x + 2y = -4$ અને $3x + 4y = -6$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે:
$1$. પ્રથમ સમીકરણ $x + 2y = -4$ માટે,જો $x = 0$ હોય,તો $y = -2$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = -4$. આ રેખા $(0, -2)$ અને $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. બીજા સમીકરણ $3x + 4y = -6$ માટે,જો $x = 0$ હોય,તો $y = -1.5$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = -2$. આ રેખા $(0, -1.5)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. બીજગણિતીય રીતે ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = -8$. આને બીજા સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(3x + 4y) - (2x + 4y) = -6 - (-8)$,જે આપણને $x = 2$ આપે છે.
$4$. $x = 2$ ને $x + 2y = -4$ માં મૂકતા: $2 + 2y = -4 \implies 2y = -6 \implies y = -3$.
$5$. છેદબિંદુ $(2, -3)$ છે.

(A) આલેખની મદદથી સમીકરણો $x + y = 8$ અને $x - y = 2$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે:
$1$. સમીકરણ $x + y = 8$ માટે,બે બિંદુઓ શોધો: જો $x = 0$ હોય,તો $y = 8$; જો $x = 8$ હોય,તો $y = 0$. આ રેખા $(0, 8)$ અને $(8, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. સમીકરણ $x - y = 2$ માટે,બે બિંદુઓ શોધો: જો $x = 0$ હોય,તો $y = -2$; જો $x = 2$ હોય,તો $y = 0$. આ રેખા $(0, -2)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. આ બંને રેખાઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દોરતા,તે $(5, 3)$ બિંદુએ છેદે છે.
$4$. તેથી,ઉકેલ $x = 5$ અને $y = 3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \ 2x + 3y = 12$
$2) \ 2x + 3y = 6$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -12$
$a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -6$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-6} = 2$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની આ જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\varnothing$ છે.

(C) $1$. સમીકરણ $x+y=10$ માટે,જો $x=0$ તો $y=10$; જો $y=0$ તો $x=10$. આ રેખા $(0,10)$ અને $(10,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. સમીકરણ $x-y=4$ માટે,જો $x=0$ તો $y=-4$; જો $y=0$ તો $x=4$. આ રેખા $(0,-4)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવતા: $(x+y=10)$ અને $(x-y=4)$ નો સરવાળો કરતા $2x=14$ મળે,તેથી $x=7$. $x=7$ ને $x+y=10$ માં મૂકતા $y=3$ મળે. છેદબિંદુ $(7,3)$ છે.
$4$. ત્રિકોણ બે રેખાઓના છેદબિંદુ $(7,3)$ અને $X$-અક્ષ સાથેના તેમના છેદબિંદુઓ $(4,0)$ અને $(10,0)$ દ્વારા બને છે.
$5$. આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(7,3), (4,0)$ અને $(10,0)$ છે.

(D) $1$. સમીકરણ $x + 3y = 6$ માટે: જો $x = 0$,તો $3y = 6 \implies y = 2$. જો $y = 0$,તો $x = 6$. બિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(6, 0)$ છે.
$2$. સમીકરણ $2x - 3y = 12$ માટે: જો $x = 0$,તો $-3y = 12 \implies y = -4$. જો $y = 0$,તો $2x = 12 \implies x = 6$. બિંદુઓ $(0, -4)$ અને $(6, 0)$ છે.
$3$. સમીકરણો ઉકેલતા: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(x + 3y) + (2x - 3y) = 6 + 12 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. $x = 6$ ને $x + 3y = 6$ માં મૂકતા,$6 + 3y = 6 \implies y = 0$. છેદબિંદુ $(6, 0)$ છે.
$4$. ત્રિકોણ આ બે રેખાઓ અને $Y$-અક્ષ દ્વારા બને છે. શિરોબિંદુઓ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(6, 0)$,પ્રથમ રેખાનો $Y$-અંતઃખંડ $(0, 2)$ અને બીજી રેખાનો $Y$-અંતઃખંડ $(0, -4)$ છે.
$5$. આમ,શિરોબિંદુઓ $(6, 0), (0, 2), (0, -4)$ છે.

$(A)$ ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $6$ છે,તેથી $x + y = 6$.
છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા કરતા $2$ ઓછી છે,તેથી $y = x - 2$,જેને $x - y = 2$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$1) x + y = 6$
$2) x - y = 2$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 6 + 2 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા: $4 + y = 6 \rightarrow y = 2$.
આમ,$4$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ છે.

(A) સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ છીએ:
$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -9$
$a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -\frac{27}{2}$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-27/2} = \frac{9 \times 2}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે,તેથી આ સમીકરણોની જોડી સુસંગત છે.

(D) ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે દરેક રેખા માટે બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ:
$2x + 3y = 8$ માટે:
જો $x = 1$ હોય,તો $2(1) + 3y = 8 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. બિંદુ: $(1, 2)$.
જો $x = 4$ હોય,તો $2(4) + 3y = 8 \implies 3y = 0 \implies y = 0$. બિંદુ: $(4, 0)$.
$x + 2y = 5$ માટે:
જો $x = 1$ હોય,તો $1 + 2y = 5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. બિંદુ: $(1, 2)$.
જો $x = 3$ હોય,તો $3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. બિંદુ: $(3, 1)$.
બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ $(1, 2)$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$2x + 3y = 4$ --- $(1)$
$6x + 9y = 17$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = 9, c_2 = 17$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{17}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,તેમનો કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી,જેનો અર્થ છે કે આ સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$x+y-3=0$ --- $(1)$
$3x+3y-9=0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x+y-3=0$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તેઓ એક જ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,રેખા $x+y=3$ પરના દરેક બિંદુ આ સમીકરણ સંહતિનો ઉકેલ છે.
આમ,આ સંહતિને અનંત ઉકેલો છે,અને ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(C) $x$ અને $y$ બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ $x = 6$ અને $y = 4$ આપેલ છે.
આ સમીકરણો અનુક્રમે $y$-અક્ષ અને $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ અનન્ય ઉકેલ $(x, y)$ આપે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને બિંદુ $(6, 4)$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{(6, 4)\}$ છે.

(A) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ની સંહતિનો ઉકેલ ખાલી ગણ (કોઈ ઉકેલ ન મળે) હોય,તો તે રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.
આ શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો $x + 2y - 3 = 0$ અને $5x + ky + 7 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -3$ અને $a_2 = 5, b_2 = k, c_2 = 7$ છે.
સમાંતર રેખાઓ માટેની શરત લાગુ પાડતા: $\frac{1}{5} = \frac{2}{k}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $k = 5 \times 2 = 10$ મળે છે.
અસમાનતાની શરત તપાસતા: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{7}$. કારણ કે $\frac{1}{5} \neq \frac{-3}{7}$,તેથી આ શરત સંતોષાય છે.
આમ,$k$ ની કિંમત $10$ છે.

(D) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ એ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આ સ્વરૂપમાં,ચલ $x$ અને $y$ નો ઘાતાંક $1$ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $x^{2}+x-3=0$ એ એક ચલ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$B$: $x^{2}+y=0$ એ સુરેખ નથી કારણ કે ચલ $x$ નો ઘાતાંક $2$ છે.
$C$: $x-3=y^{2}$ એ સુરેખ નથી કારણ કે ચલ $y$ નો ઘાતાંક $2$ છે.
$D$: $x+3=y$ ને $x - y + 3 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે $ax + by + c = 0$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1, b=-1, c=3$.
તેથી,$x+3=y$ એ બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ છે.

(D) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ એ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
$1$. વિકલ્પ $A$ માં,$\frac{3}{x}$ પદ તેને સુરેખ સમીકરણ રહેવા દેતું નથી.
$2$. વિકલ્પ $B$ માં,$\frac{1}{y}$ પદ તેને સુરેખ સમીકરણ રહેવા દેતું નથી.
$3$. વિકલ્પ $C$ માં,ચલની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$4$. વિકલ્પ $D$ માં,$x = y$ ને $1x - 1y + 0 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપને અનુરૂપ છે અને તેની ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલા સમીકરણો $x = 1$ અને $y = 2$ છે.
આ સમીકરણો કાર્તેઝિયન સમતલમાં બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
રેખા $x = 1$ એ $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
રેખા $y = 2$ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ એ બિંદુ છે જ્યાં $x$-યામ $1$ અને $y$-યામ $2$ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ ક્રમયુક્ત જોડ $(1, 2)$ ધરાવતો ગણ છે,જેને $\{(1, 2)\}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$1$) $x + 2 = 0$
$2$) $y - 1 = 0$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = -2$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$y = 1$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 1)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $5x - 5y = -5$ અને $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} + \frac{3}{2} = 0$ છે.
પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $5x - 5y = -5$. $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y = -1$ મળે છે.
પગલું $2$: બીજા સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} = -\frac{3}{2}$. $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $x - y = -1$ મળે છે.
પગલું $3$: બંને સમીકરણોનું સાદું રૂપ એક જ સુરેખ સમીકરણ $x - y = -1$ માં પરિણમે છે,તેથી તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
પગલું $4$: સંપાતી રેખાઓની જોડીને અનંત ઉકેલો હોય છે. તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $2x + 6y = 10$ અને $3x + 9y - 15 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x + 3y = 5$.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા: $x + 3y - 5 = 0$,જેનો અર્થ છે $x + 3y = 5$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{5}{5}$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x+y+1=0$ અને $3x+3y+2=0$ છે.
તેમને $a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=1, c_1=1$ અને $a_2=3, b_2=3, c_2=2$ મળે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને ક્યાંય છેદતી નથી,જેનો અર્થ છે કે આ સમીકરણ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ ખાલી ગણ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માટે,અનન્ય ઉકેલ હોવાની શરત $a_{1}/a_{2} \neq b_{1}/b_{2}$ છે,જે $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ ને સમાન છે.
અહીં,$a_{1} = 2, b_{1} = 1, c_{1} = -4$ અને $a_{2} = 1, b_{2} = 2, c_{2} = -5$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા: $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3$.
કારણ કે $3 \neq 0$,તેથી સમીકરણોની આ જોડને અનન્ય ઉકેલ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $2x + y = 6$ $(1)$ અને $x + \frac{1}{2}y = 4$ $(2)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + y = 8$ મળે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$2x + y = 6$
$2x + y = 8$
અહીં,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે,પરંતુ અચળ પદો અલગ છે $(6 \neq 8)$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 7$
$2) 5x - 2y = 4$
રેખાઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 7$ અને $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = 4$ છે.
આપણે સહગુણકોનો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી છેદતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 4y = 10$ --- $(1)$
$3x + 4y = 15$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 10$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 15$
હવે,ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{4} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે અને ક્યાંય છેદતી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$x + y = 7$ ---$(1)$
$3x + 3y = 21$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7$ ---$(3)$
અહીં સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે,જે એક જ રેખા છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણોની જોડી અસંગત છે.
આપેલ સમીકરણો $2x + 3y = 5$ અને $2x + 3y = 8$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ અને $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 8$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ $(1 = 1 \neq \frac{5}{8})$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને તેનો કોઈ સામાન્ય ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડી અસંગત છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$2x + y = 3$ (સમીકરણ $1$)
$x + 2y = 4$ (સમીકરણ $2$)
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$
$a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = 4$
હવે,સહગુણકોનો ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીનો ઉકેલ અનન્ય છે અને તે સુસંગત છે.

(C) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ: $3x = 2y - 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં લાવવા માટે,આપણે બધા પદોને સમીકરણની ડાબી બાજુએ લાવીશું.
બંને બાજુથી $2y$ બાદ કરતા: $3x - 2y = -1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $3x - 2y + 1 = 0$.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -2$ અને $c = 1$ મળે છે.
આમ,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $3x - 2y + 1 = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = -3$ છે,જેને $0x + 1y + 3 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$x$ નો સહગુણક $a = 0$ છે.
$y$ નો સહગુણક $b = 1$ છે.
અચળ પદ $c = 3$ છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x=4$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax+by+c=0$ માં $1x + 0y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો $a=1$,$b=0$ અને $c=-4$ મળે છે.
તેથી,$b$ ની કિંમત $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $3x - 2y = 2$ અને $6x - 4y = 4$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a_2 = 6, b_2 = -4, c_2 = 4$.
હવે,ગુણોત્તર શોધો:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સંપાતી રેખાઓ છે.

(C) બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના ઢાળ સમાન હોય.
આપેલ રેખા $x+3y=5$ છે,જેને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા $3y = -x + 5$ અથવા $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ મળે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
આ રેખાને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{3}$ જ હોય અને તે $x+3y=k$ સ્વરૂપની હોય,જ્યાં $k$ કોઈ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોને તપાસતા,સમીકરણ $x+3y=10$ માં $x$ અને $y$ ના સહગુણકો મૂળ રેખા જેવા જ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ઢાળ સમાન છે.
તેથી,$x+3y=10$ એ $x+3y=5$ ને સમાંતર છે.

(A) રેખા $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $y$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $2x - y = 6$ માં $y = 0$ મૂકતા:
$2x - 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
તેથી,છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.

(C) રેખા $Y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $x-2y=2$ માં $x=0$ મૂકતા:
$0-2y=2$
$-2y=2$
$y=-1$
તેથી,રેખા $Y$-અક્ષને $(0,-1)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) બે ચલ $x$ અને $y$ માં સુરેખ સમીકરણોની જોડને યામ બિંદુ $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો $x = 4$ અને $y = 5$ મુજબ,$x$ ની કિંમત $4$ અને $y$ ની કિંમત $5$ નિશ્ચિત છે.
તેથી,આ બંને રેખાઓ જ્યાં છેદે છે તે અનન્ય ઉકેલ બિંદુ $(4, 5)$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ ${(4, 5)}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x+y-1=0$ અને $2x+2y-2=0$ છે.
$a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=1, c_1=-1$ અને $a_2=2, b_2=2, c_2=-2$ મળે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે,તેથી ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(C) સમીકરણ $x=0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ એ ઉગમબિંદુ છે.
ઉગમબિંદુના યામ $(0,0)$ છે.
તેથી,રેખાઓ $x=0$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = -2$ અને $y = 3$ છે.
આ સમીકરણો કાર્તેઝિયન સમતલમાં બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
રેખા $x = -2$ એ $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(-2, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
રેખા $y = 3$ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 3)$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ એ આ સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,છેદબિંદુ $(-2, 3)$ મળે છે.
ઉકેલ ગણને યામ બિંદુ ધરાવતા ગણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તેથી સાચો જવાબ $\{(-2, 3)\}$ છે.

(A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સમીકરણ $2x - y = 1$ ના આલેખ પર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બિંદુના $x$ અને $y$ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
જો ડાબી બાજુની કિંમત જમણી બાજુની કિંમત જેટલી થાય,તો તે બિંદુ આલેખ પર છે.
$A) (0, 0): 2(0) - 0 = 0 \neq 1$. તેથી,આલેખ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો નથી.
$B) (1, 1): 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$. આલેખ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$C) (3, 5): 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$. આલેખ $(3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
$D) (2, 3): 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. આલેખ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,આલેખ $(0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી.

(C) $Y-\text{અક્ષ}$ ને લંબ રેખા એ સમક્ષિતિજ રેખા હોય છે.
કોઈપણ સમક્ષિતિજ રેખાનું સામાન્ય સ્વરૂપ $y = k$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A) 3x + 2y = 5$ એ ત્રાસી રેખા દર્શાવે છે.
$B) x = 3$ એ શિરોલંબ રેખા ($X-\text{અક્ષ}$ ને લંબ) દર્શાવે છે.
$C) 2y - 3 = 0$ ને $2y = 3$ અથવા $y = 1.5$ તરીકે લખી શકાય છે. આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે,જે $Y-\text{અક્ષ}$ ને લંબ છે.
$D) x - y = 0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રાસી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $X$-અક્ષને લંબ રેખા એ શિરોલંબ રેખા હોય છે,જે $x = k$ સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
$A) x - y = 0 \implies y = x$ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી રેખા)
$B) x + y = 0 \implies y = -x$ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $-1$ ઢાળવાળી રેખા)
$C) 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$ (આ એક શિરોલંબ રેખા છે,જે $X$-અક્ષને લંબ છે)
$D) 2y - 3 = 0 \implies 2y = 3 \implies y = 3/2$ (આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે,જે $X$-અક્ષને સમાંતર છે)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જો કોઈ રેખાનું સમીકરણ $x = k$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $k$ અચળાંક છે,તો તે રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$) $3y - 1 = 0 \implies y = 1/3$ (આ રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર છે).
$B$) $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$ (આ રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર છે).
$C$) $2x + 3y = 1$ (આ રેખા બંને અક્ષોને છેદતી ત્રાંસી રેખા છે).
$D$) $2x - 3y = 1$ (આ રેખા બંને અક્ષોને છેદતી ત્રાંસી રેખા છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.