Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 2y - 5 = 0$
$2x - 3y - 7 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = 3, b_{1} = 2, c_{1} = -5$
$a_{2} = 2, b_{2} = -3, c_{2} = -7$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડીનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે અને તે સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \frac{4}{3} x + 2 y - 8 = 0$
$2) 2 x + 3 y - 12 = 0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = \frac{4}{3}, b_{1} = 2, c_{1} = -8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 3, c_{2} = -12$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$
અહીં $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવાથી,તેમને અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ સુસંગત છે.

(M = -1) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = 11$ $...(1)$
$2x - 4y = -24$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$2x = 11 - 3y$
$x = \frac{11 - 3y}{2}$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2\left(\frac{11 - 3y}{2}\right) - 4y = -24$
$11 - 3y - 4y = -24$
$11 - 7y = -24$
$-7y = -24 - 11$
$-7y = -35$
$y = 5$
હવે,$x$ શોધવા માટે $y = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{11 - 3(5)}{2} = \frac{11 - 15}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
આમ,ઉકેલ $x = -2$ અને $y = 5$ છે.
હવે,$m$ શોધવા માટે આ કિંમતોને $y = mx + 3$ માં મૂકતા:
$5 = m(-2) + 3$
$5 - 3 = -2m$
$2 = -2m$
$m = -1$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$5x - 15y = 8$ --- $(1)$
$3x - 9y = \frac{24}{5}$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 5, b_1 = -15, c_1 = 8$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = \frac{24}{5}$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{24/5} = \frac{8 \times 5}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{3}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $x + y = 9$ છે (સમીકરણ $1$).
જ્યારે સંખ્યામાં $27$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે અંકો ઉલટાઈ જાય છે,તેથી નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
આમ,$(10x + y) + 27 = 10y + x$.
પદોને ગોઠવતા: $10x - x + y - 10y = -27$,જેનું સાદું રૂપ $9x - 9y = -27$ થાય છે.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y = -3$ મળે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 9 + (-3)$,જે $2x = 6$ આપે છે,તેથી $x = 3$.
$x = 3$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $3 + y = 9$,તેથી $y = 6$.
આમ,તે સંખ્યા $10(3) + 6 = 36$ છે.

(A) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડીને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે,તો તેને સુસંગત સમીકરણો કહેવાય છે.
$1$. જો રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદતી હોય,તો સમીકરણોને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,જેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
$2$. જો રેખાઓ સંપાતી હોય,તો સમીકરણોને અનંત ઉકેલ મળે છે,જેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આમ,બંને કિસ્સામાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળતો હોવાથી,રેખાઓ છેદતી અથવા સંપાતી હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની જોડી $y=0$ અને $y=-7$ છે.
$y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$y=-7$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે જે તેનાથી $7$ એકમ નીચે આવેલી છે.
આ બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદશે નહીં.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સમાંતર હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$3x + 2ky - 2 = 0$
$2x + 5y + 1 = 0$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 2k, c_1 = -2$ અને $a_2 = 2, b_2 = 5, c_2 = 1$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{3}{2} = \frac{2k}{5}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times 5 = 2 \times 2k$,જેનો અર્થ થાય છે કે $15 = 4k$.
તેથી,$k = \frac{15}{4}$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $cx - y - 2 = 0$ અને $6x - 2y - 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = c, b_1 = -1, c_1 = -2$ અને $a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -3$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{c}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{-2}{-3}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{c}{6} = \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ થાય છે.
અહીં $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$ હોવાથી,$c$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમાનતાઓને એકસાથે સંતોષે.
તેથી,$c$ ની કોઈ પણ કિંમત માટે આ સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો મળશે નહીં.

(C) સુરેખ સમીકરણોની જોડી પરસ્પર આધારિત હોય તે માટે,તેઓ એક જ રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમના સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$.
આપેલ સમીકરણ: $-5x + 7y - 2 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 = -5, b_1 = 7, c_1 = -2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ માટે,આપણે આપેલ સમીકરણને અચળાંક $k$ વડે ગુણીએ છીએ. ધારો કે $k = 2$:
$2(-5x + 7y - 2) = 2(0)$
$-10x + 14y - 4 = 0$
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $10x - 14y + 4 = 0$ મળે છે.
આને વિકલ્પ $(C)$ સાથે સરખાવતા: $10x - 14y = -4$ એ $10x - 14y + 4 = 0$ ને સમાન છે.

(C) જો કોઈ રેખીય સમીકરણોની જોડીનો અનન્ય ઉકેલ $(x=2, y=-3)$ હોય,તો આ કિંમતો બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી હોવી જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A): x+y=1 \implies 2+(-3) = -1 \neq 1$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(B): 2x-y=1 \implies 2(2)-(-3) = 4+3 = 7 \neq 1$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(C): x-4y-14=0 \implies 2-4(-3)-14 = 2+12-14 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
$5x-y-13=0 \implies 5(2)-(-3)-13 = 10+3-13 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
વિકલ્પ $(C)$ માં બંને સમીકરણો $(x=2, y=-3)$ દ્વારા સંતોષાય છે અને રેખાઓ સંપાતી નથી,તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.
નોંધ: વિકલ્પ $(D)$ સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે,જેના અનંત ઉકેલો હોય છે,અનન્ય નહીં.

(A) હા,આ વિધાન સત્ય છે.
આપેલ સમીકરણો:
$1) -x + 2y + 2 = 0$
$2) \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = -1, b_1 = 2, c_1 = 2$
$a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{4}, c_2 = -1$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1/4} = -8$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (એટલે કે $-2 \neq -8$) હોવાથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનન્ય ઉકેલ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે કોઈ ઉકેલ ન હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો:
$6x + y - 6 = 0$ --- $(i)$
$2x - y = 0$ --- $(ii)$
અહીં,$a_1 = 6, b_1 = 1, c_1 = -6$ અને $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq -1)$ હોવાથી,આ રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ છે,'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવું નથી.

(B) ના,આપેલ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$3x + y - 3 = 0$ અને $2x + \frac{2}{3}y - 2 = 0$
અહીં,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -3$
$a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = -2$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનંત ઉકેલો છે,કોઈ ઉકેલ નથી તેમ કહી શકાય નહીં.

(A) બે રેખાઓ સંપાતી હોય તેની શરત તેમના સહગુણકોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં લખો:
$1) -2x - 3y - 1 = 0$
$2) 4x + 6y + 2 = 0$
અહીં,સહગુણકો છે:
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1$
$a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
કારણ કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2}$,તેથી આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડ ત્યારે સુસંગત કહેવાય જો તેને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય. આ નીચેની શરતો હેઠળ થાય છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$-3x - 4y - 12 = 0$
$3x + 4y - 12 = 0$
અહીં,$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12$ અને $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-12} = 1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડ અસુસંગત છે.

(A) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો તે સુસંગત છે. તેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$Eq_1: \frac{3}{5} x - y - \frac{1}{2} = 0$
$Eq_2: \frac{1}{5} x - 3 y - \frac{1}{6} = 0$
$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ અને $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = \frac{3}{5}, b_1 = -1, c_1 = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{1}{5}, b_2 = -3, c_2 = -\frac{1}{6}$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{1/5} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq \frac{1}{3})$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ સુસંગત છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી સુસંગત ત્યારે કહેવાય જો તેને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય. તેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$2ax + by - a = 0$
$4ax + 2by - 2a = 0$
અહીં,$a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a$ અને $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-a}{-2a} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે. તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડી સુસંગત છે.

(B) જો સુરેખ સમીકરણોની જોડને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય,તો તે સુસંગત કહેવાય છે. આ સ્થિતિ નીચે મુજબ છે:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (અનન્ય ઉકેલ)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (અનંત ઉકેલો)
આપેલ સમીકરણો:
$x + 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$2(2x + 6y) = 22 \implies 4x + 12y = 22 \implies 2x + 6y = 11$ (સમીકરણ $2$)
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
સમીકરણ $1$ માટે: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
સમીકરણ $2$ માટે: $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{-11} = 1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ અસુસંગત છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + 3y + 7 = 0$ અને $2x + 6y - 14 = 0$ છે.
સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
અહીં,$a_1 = \lambda, b_1 = 3, c_1 = 7$ અને $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -14$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda}{2} = \frac{3}{6} = \frac{7}{-14}$ મળે છે.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,તેથી $\lambda$ ની કોઈપણ કિંમત માટે શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ સંતોષી શકાતી નથી.
તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ:
$x - 2y = 8$
$5x - 10y = c$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -8$
$a_2 = 5, b_2 = -10, c_2 = -c$
સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{5}$ અને $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$ છે.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,$c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે આ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ મળી શકે નહીં.
જો $c = 40$ હોય,તો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{5}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે.
જો $c \neq 40$ હોય,તો સમીકરણોને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની જોડ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $4x + 5y = 2$ અને $(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2p + 7q}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{p + 8q}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2q - p + 1}$ છે.
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ને સરખાવતા:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{5}{p + 8q} \implies 4(p + 8q) = 5(2p + 7q) \implies 4p + 32q = 10p + 35q \implies 6p + 3q = 0 \implies q = -2p$ (સમીકરણ $1$).
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$ ને સરખાવતા:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{2}{2q - p + 1} \implies 4(2q - p + 1) = 2(2p + 7q) \implies 8q - 4p + 4 = 4p + 14q \implies 8p + 6q = 4 \implies 4p + 3q = 2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $q = -2p$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$4p + 3(-2p) = 2 \implies 4p - 6p = 2 \implies -2p = 2 \implies p = -1$.
હવે,$q = -2(-1) = 2$.
આમ,$p = -1$ અને $q = 2$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$21x + 47y = 110$ --- $(1)$
$47x + 21y = 162$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(21x + 47x) + (47y + 21y) = 110 + 162$
$68x + 68y = 272$
$68$ વડે ભાગતા:
$x + y = 4$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(47x - 21x) + (21y - 47y) = 162 - 110$
$26x - 26y = 52$
$26$ વડે ભાગતા:
$x - y = 2$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3 + y = 4$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 3, y = 1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોના આલેખ દોરવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણ માટે બે ઉકેલો શોધીએ છીએ:
$x-y+2=0$ માટે:

$x$	$0$	$-2$
$y=x+2$	$2$	$0$

$4x-y-4=0$ માટે:

$x$	$0$	$1$
$y=4x-4$	$-4$	$0$

આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $A(0, 2)$,$B(-2, 0)$,$P(0, -4)$ અને $Q(1, 0)$ ને દર્શાવો અને રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ દોરો. આ રેખાઓ બિંદુ $R(2, 4)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle BQR$ છે,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-2, 0)$,$Q(1, 0)$ અને $R(2, 4)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $= BQ = |1 - (-2)| = 3$ એકમ.
વેધ $= R$ નો $y$-યામ $= 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\lambda x + y = \lambda^2$ અને $x + \lambda y = 1$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ અને $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ મળે છે.
$(i)$ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda^2 \neq 1$. $\lambda = 1$ માટે આ શક્ય નથી. $\lambda = -1$ માટે,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$. આમ,$\lambda = -1$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
$(ii)$ અનંત ઉકેલો માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ અને $\lambda = \lambda^3$. આ $\lambda = 1$ માટે સાચું છે.
$(iii)$ અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$. આમ,$\pm 1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$kx + 3y = k - 3$
$12x + ky = k$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$
$a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \neq \frac{-(k - 3)}{-k}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$
હવે,$\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ શરત તપાસતા:
જો $k = 6$ હોય,તો $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{k-3}{k} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. અહીં $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$k = 6$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $k = -6$ હોય,તો $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ અને $\frac{k-3}{k} = \frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$. અહીં $-\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય જેના માટે કોઈ ઉકેલ નથી તે $-6$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$x + 2y - 1 = 0$ .....$(i)$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$ .....$(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -1$
$a_2 = (a - b), b_2 = (a + b), c_2 = -(a + b - 2)$
અનંત ઉકેલો માટેની શરત છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} = \frac{-1}{-(a + b - 2)}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} \Rightarrow a + b = 2a - 2b \Rightarrow a = 3b$ .....$(iii)$
છેલ્લા બે ભાગ લેતા:
$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b - 2} \Rightarrow 2a + 2b - 4 = a + b \Rightarrow a + b = 4$ .....$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$3b + b = 4 \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$b = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$a = 3(1) = 3$
આમ,$a = 3$ અને $b = 1$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો મળશે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$-x + py - 1 = 0 \quad ...(i)$
$px - y - 1 = 0 \quad ...(ii)$
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = -1, b_1 = p, c_1 = -1$ (સમીકરણ $i$ પરથી)
$a_2 = p, b_2 = -1, c_2 = -1$ (સમીકરણ $ii$ પરથી)
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \Rightarrow p^2 = 1 \Rightarrow p = \pm 1$
શરત $\frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$ લેતા:
$\frac{p}{-1} \neq 1 \Rightarrow p \neq -1$
આમ,$p = \pm 1$ અને $p \neq -1$ હોવાથી,$p$ ની માત્ર એક જ કિંમત $p = 1$ શક્ય છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$-3x + 5y - 7 = 0 \dots (i)$
$2px - 3y - 1 = 0 \dots (ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = -3, b_1 = 5, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = -3, c_2 = -1$
રેખાઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદે તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-3}{2p} \neq \frac{5}{-3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(-3) \times (-3) \neq 5 \times (2p)$
$9 \neq 10p$
$p \neq \frac{9}{10}$
આમ,$p$ ની $\frac{9}{10}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે રેખાઓ એક અનન્ય બિંદુએ છેદશે.

(A) ધારો કે બે વ્યક્તિઓની આવક અનુક્રમે ₹ $9x$ અને ₹ $7x$ છે અને તેમનો ખર્ચ અનુક્રમે ₹ $4y$ અને ₹ $3y$ છે.
આવક - ખર્ચ = બચત હોવાથી,આપણને મળે છે:
$9x - 4y = 2000$ $...(1)$
$7x - 3y = 2000$ $...(2)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$27x - 12y = 6000$ $...(3)$
$28x - 12y = 8000$ $...(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000$
$x = 2000$
$x = 2000$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$9(2000) - 4y = 2000$
$18000 - 4y = 2000$
$4y = 16000$
$y = 4000$
તેથી,તેમની માસિક આવક $9x = 9 \times 2000 = ₹ 18,000$ અને $7x = 7 \times 2000 = ₹ 14,000$ છે.

(A) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(10x + y) + (10y + x) = 66$.
$11x + 11y = 66$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 6$ થાય છે $...(1)$.
આપેલ છે કે અંકોનો તફાવત $2$ છે,તેથી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: $x - y = 2$ $...(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 8 \implies x = 4$. $(1)$ માં $x=4$ મૂકતા,$y = 2$ મળે છે. સંખ્યા $42$ છે.
કિસ્સો $2$: $y - x = 2$ $...(3)$.
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $2y = 8 \implies y = 4$. $(1)$ માં $y=4$ મૂકતા,$x = 2$ મળે છે. સંખ્યા $24$ છે.
આમ,આવી બે સંખ્યાઓ શક્ય છે: $42$ અને $24$.

(N/A) લોપની રીત દ્વારા:
$x+y=5$ $...(1)$
$2x-3y=4$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2x+2y=10$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2x+2y) - (2x-3y) = 10 - 4$
$5y = 6$
$y = \frac{6}{5}$ $...(4)$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + \frac{6}{5} = 5$
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{25-6}{5} = \frac{19}{5}$
તેથી,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$.
આદેશની રીત દ્વારા:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x = 5 - y$ $...(5)$
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2(5-y) - 3y = 4$
$10 - 2y - 3y = 4$
$10 - 5y = 4$
$-5y = 4 - 10$
$-5y = -6$
$y = \frac{6}{5}$
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $(5)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
તેથી,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$.

(N/A) લોપની રીત દ્વારા:
$3x + 4y = 10$ $...(1)$
$2x - 2y = 2$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$4x - 4y = 4$ $...(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$7x = 14$
$x = 2$ $...(4)$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3(2) + 4y = 10$
$6 + 4y = 10$
$4y = 4$
$y = 1$
આમ,$x = 2, y = 1$.
આદેશની રીત દ્વારા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2x = 2 + 2y$
$x = 1 + y$ $...(5)$
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3(1 + y) + 4y = 10$
$3 + 3y + 4y = 10$
$7y = 7$
$y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(5)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 1 + 1 = 2$
તેથી,$x = 2, y = 1$.

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$1) 3x - 5y = 4$
$2) 9x - 2y = 7$
લોપની રીત:
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$9x - 15y = 12$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7$
$-13y = 5$
$y = -5/13$
$y = -5/13$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x - 5(-5/13) = 4$
$3x + 25/13 = 4$
$3x = 4 - 25/13 = (52 - 25)/13 = 27/13$
$x = 9/13$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3x = 5y + 4$,તેથી $x = (5y + 4)/3$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$9((5y + 4)/3) - 2y = 7$
$3(5y + 4) - 2y = 7$
$15y + 12 - 2y = 7$
$13y = -5$
$y = -5/13$
તેથી $x = (5(-5/13) + 4)/3 = (-25/13 + 52/13)/3 = (27/13)/3 = 9/13$.
આમ,ઉકેલ $x = 9/13$ અને $y = -5/13$ છે.

(X=2, Y=-3) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$
$(2)$ $x - \frac{y}{3} = 3$
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપતા: $3x + 4y = -6$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપતા: $3x - y = 9$ $(4)$
લોપની રીત:
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9$
$5y = -15 \implies y = -3$
$y = -3$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા: $3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(4)$ પરથી,$y = 3x - 9$
આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $3x + 4(3x - 9) = -6$
$3x + 12x - 36 = -6 \implies 15x = 30 \implies x = 2$
$x = 2$ ને $y = 3x - 9$ માં મૂકતા: $y = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$
અંતિમ ઉકેલ: $x = 2, y = -3$.

(N/A) ધારો કે બેંગલુરુના બસ સ્ટેન્ડથી મલ્લેશ્વરમનું ભાડું ₹ $x$ છે અને યશવંતપુરનું ભાડું ₹ $y$ છે. આપેલી માહિતી મુજબ,આપણી પાસે છે:
$2x + 3y = 46$,એટલે કે $2x + 3y - 46 = 0$ $...(1)$
$3x + 5y = 74$,એટલે કે $3x + 5y - 74 = 0$ $...(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે,આપણે સહગુણકોનો ઉપયોગ નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$\frac{x}{(3)(-74) - (5)(-46)} = \frac{y}{(-46)(3) - (-74)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (3)(3)}$
એટલે કે,$\frac{x}{-222 + 230} = \frac{y}{-138 + 148} = \frac{1}{10 - 9}$
એટલે કે,$\frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1}$
આમ,$\frac{x}{8} = 1$ અને $\frac{y}{10} = 1$,જે $x = 8$ અને $y = 10$ આપે છે.
તેથી,બેંગલુરુના બસ સ્ટેન્ડથી મલ્લેશ્વરમનું ભાડું ₹ $8$ છે અને યશવંતપુરનું ભાડું ₹ $10$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $4x + py + 8 = 0$ અને $2x + 2y + 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 4, b_{1} = p, c_{1} = 8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 2, c_{2} = 2$
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4}{2} \neq \frac{p}{2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 \neq \frac{p}{2}$ થાય.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$p \neq 4$ મળે.
આમ,$4$ સિવાયની $p$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $kx + 3y - (k - 3) = 0$ અને $12x + ky - k = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ અને $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k}$.
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k}$ પરથી,આપણને $k^2 = 36$ મળે છે,તેથી $k = \pm 6$.
$\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$ પરથી,આપણને $3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$ મળે છે. આમ,$k = 0$ અથવા $k = 6$.
બંને શરતોનું પાલન કરતું સામાન્ય મૂલ્ય $k = 6$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x - 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$3x - 9y - 2 = 0$ ... $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -3$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = -2$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,આ સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y - 5 = 0$
$3x + 2y - 8 = 0$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -8$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(1)(-8) - (2)(-5)} = \frac{y}{(-5)(3) - (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-8 + 10} = \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 - 3}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1}$
આમ,$x = 2$ અને $y = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3x - 5y - 20 = 0$ --- $(1)$
$6x - 10y - 40 = 0$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -20$
$a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -40$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,આ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x - 3y - 7 = 0$ ... $(1)$
$3x - 3y - 15 = 0$ ... $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (એટલે કે $\frac{1}{3} \neq 1$) હોવાથી,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9}$
$\frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6}$
$x$ માટે: $\frac{x}{24} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{24}{6} = 4$
$y$ માટે: $\frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \implies y = \frac{-6}{6} = -1$
આમ,અનન્ય ઉકેલ $x = 4, y = -1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y - 7 = 0$
$(a-b)x + (a+b)y - (3a + b - 2) = 0$
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $\frac{a_1}{a_2}x + \frac{b_1}{b_2}y + \frac{c_1}{c_2} = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{a-b}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{a+b}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-(3a+b-2)} = \frac{7}{3a+b-2}$ છે.
ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$1) \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} \implies 2a + 2b = 3a - 3b \implies a - 5b = 0 \implies a = 5b$ (સમીકરણ $1$)
$2) \frac{2}{a-b} = \frac{7}{3a+b-2} \implies 6a + 2b - 4 = 7a - 7b \implies a - 9b = -4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $a = 5b$ મૂકતા:
$5b - 9b = -4 \implies -4b = -4 \implies b = 1$.
હવે,$b = 1$ ને $a = 5b$ માં મૂકતા:
$a = 5(1) = 5$.
આમ,$a = 5$ અને $b = 1$ એ માંગેલી કિંમતો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$8x + 5y = 9$ $...(i)$
$3x + 2y = 4$ $...(ii)$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(ii)$ પરથી:
$3x = 4 - 2y \implies x = \frac{4 - 2y}{3}$ $...(iii)$
$(iii)$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$8(\frac{4 - 2y}{3}) + 5y = 9$
$32 - 16y + 15y = 27$
$-y = 27 - 32$
$-y = -5 \implies y = 5$
$y = 5$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{4 - 2(5)}{3} = \frac{4 - 10}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
આમ,$x = -2, y = 5$.
ચોકડી ગુણાકારની રીત:
$8x + 5y - 9 = 0$
$3x + 2y - 4 = 0$
સૂત્ર $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$
$\frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 - 15}$
$\frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$
$x = -2, y = 5$.

(N/A) ધારો કે હોસ્ટેલનો નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ $x$ છે અને પ્રતિ દિવસ ભોજનનો ખર્ચ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
વિદ્યાર્થી $A$ માટે: $x + 20y = 1000$ $...(1)$
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: $x + 26y = 1180$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 26y) - (x + 20y) = 1180 - 1000$
$6y = 180$
$y = 30$
$y = 30$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 20(30) = 1000$
$x + 600 = 1000$
$x = 400$
આમ,હોસ્ટેલનો નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ ₹ $400$ છે અને પ્રતિ દિવસ ભોજનનો ખર્ચ ₹ $30$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$\frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \implies 3x - y = 3$ $...(1)$
$\frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \implies 4x - y = 8$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(4x - y) - (3x - y) = 8 - 3$
$x = 5$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(5) - y = 3$
$15 - y = 3$
$y = 12$
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{5}{12}$ છે.

(20) ધારો કે સાચા જવાબોની સંખ્યા $x$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3x - y = 40$ $...(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $4x - 2y = 50$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $2x - y = 25$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25$
$x = 15$
$x = 15$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(15) - y = 25$
$30 - y = 25$
$y = 5$
તેથી,સાચા જવાબોની સંખ્યા $15$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $5$ છે.
કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $= x + y = 15 + 5 = 20$.

(A) ધારો કે પ્રથમ કારની ઝડપ $u \ km/h$ અને બીજી કારની ઝડપ $v \ km/h$ છે.
જ્યારે કાર સમાન દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u - v) \ km/h$ થાય છે. તેઓ $5 \ \text{કલાક}$ માં $100 \ km$ અંતર કાપીને મળે છે,તેથી:
$5(u - v) = 100 \Rightarrow u - v = 20 \quad \dots(1)$
જ્યારે કાર એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (એકબીજા તરફ) મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u + v) \ km/h$ થાય છે. તેઓ $1 \ \text{કલાક}$ માં $100 \ km$ અંતર કાપીને મળે છે,તેથી:
$1(u + v) = 100 \Rightarrow u + v = 100 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u - v) + (u + v) = 20 + 100$
$2u = 120 \Rightarrow u = 60 \ km/h$
$u = 60$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$60 + v = 100 \Rightarrow v = 40 \ km/h$
આમ,પ્રથમ કારની ઝડપ $60 \ km/h$ અને બીજી કારની ઝડપ $40 \ km/h$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ એકમ અને પહોળાઈ $y$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= x y$
પ્રથમ શરત મુજબ:
$(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$3x - 5y = 6$ ...$(1)$
બીજી શરત મુજબ:
$(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$2x + 3y = 61$ ...$(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$\frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (-5)(2)}$
$\frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10}$
$\frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19}$
$x = \frac{323}{19} = 17$
$y = \frac{171}{19} = 9$
આમ,લંબાઈ $17$ એકમ અને પહોળાઈ $9$ એકમ છે.

(N/A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
તેથી પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $= (x+y)\, km/h$ અને પ્રવાહની સામે હોડીની ઝડપ $= (x-y)\, km/h$ થાય.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$30\, km$ પ્રવાહની સામે અને $44\, km$ પ્રવાહની દિશામાં કુલ $10\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$\frac{30}{x-y} + \frac{44}{x+y} = 10 \quad ...(1)$
બીજા કિસ્સામાં,$40\, km$ પ્રવાહની સામે અને $55\, km$ પ્રવાહની દિશામાં કુલ $13\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$\frac{40}{x-y} + \frac{55}{x+y} = 13 \quad ...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x-y} = u$ અને $\frac{1}{x+y} = v \quad ...(3)$
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$30u + 44v = 10 \quad ...(4)$
$40u + 55v = 13 \quad ...(5)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
સમીકરણ $(4)$ ને $4$ વડે અને $(5)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
બાદબાકી કરતા: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}.$
$v = \frac{1}{11}$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}.$
હવે,$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$ અને $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{11} \implies x+y = 11.$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 16 \implies x = 8.$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 6 \implies y = 3.$
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $8\, km/h$ અને પ્રવાહની ઝડપ $3\, km/h$ છે.