Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(X=1/2, Y=1/3) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2$ ...$(1)$
$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$ ...$(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 \Rightarrow 3p + 2q = 12$ ...$(3)$
$\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2p + 3q = 13$ ...$(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9p + 6q = 36$ ...$(5)$
$4p + 6q = 26$ ...$(6)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(6)$ બાદ કરતા:
$(9p - 4p) + (6q - 6q) = 36 - 26$
$5p = 10 \Rightarrow p = 2$
$p = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3(2) + 2q = 12$
$6 + 2q = 12 \Rightarrow 2q = 6 \Rightarrow q = 3$
હવે,$p = \frac{1}{x} = 2$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ મળે.
અને $q = \frac{1}{y} = 3$ હોવાથી,$y = \frac{1}{3}$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $6x + 3y = 6xy$
$(2)$ $2x + 4y = 5xy$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા:
$(1)$ પરથી: $\frac{6x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{6xy}{xy} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6$
$(2)$ પરથી: $\frac{2x}{xy} + \frac{4y}{xy} = \frac{5xy}{xy} \implies \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$(3)$ $3u + 6v = 6$
$(4)$ $4u + 2v = 5$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$12u + 6v = 15$ $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(12u + 6v) - (3u + 6v) = 15 - 6$
$9u = 9 \implies u = 1$
$u = 1$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3(1) + 6v = 6 \implies 6v = 3 \implies v = \frac{1}{2}$
તેથી,$u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$
અને $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(N/A) ધારો કે $u = \frac{1}{3x+y}$ અને $v = \frac{1}{3x-y}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$u + v = \frac{3}{4}$ --- $(1)$
$\frac{1}{2}u - \frac{1}{2}v = -\frac{1}{8}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$u - v = -\frac{1}{4}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u + v) + (u - v) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$2u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$u = \frac{1}{4}$
$u = \frac{1}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{4} + v = \frac{3}{4}$
$v = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$3x+y = \frac{1}{u} = 4$ --- $(4)$
$3x-y = \frac{1}{v} = 2$ --- $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$6x = 6 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$3(1) + y = 4 \implies y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 1, y = 1$ છે.

(A) ધારો કે રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $x\, \text{કિમી/કલાક}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, \text{કિમી/કલાક}$ છે.
તરતી વખતે રીતુની ઝડપ:
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (Upstream) $= (x - y)\, \text{કિમી/કલાક}$
પ્રવાહની દિશામાં (Downstream) $= (x + y)\, \text{કિમી/કલાક}$
પ્રશ્ન મુજબ:
પ્રવાહની દિશામાં: $2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10$ $...(1)$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં: $2(x - y) = 4 \Rightarrow x - y = 2$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 6$ મુકતા:
$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$
આમ, રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $6\, \text{કિમી/કલાક}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $4\, \text{કિમી/કલાક}$ છે.

(A) ધારો કે એક સ્ત્રીને કામ પૂરું કરતા લાગતા દિવસો $x$ છે અને એક પુરુષને લાગતા દિવસો $y$ છે.
તેથી,એક સ્ત્રી દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x}$.
એક પુરુષ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{y}$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$4(\frac{2}{x} + \frac{5}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ $(i)$
$3(\frac{3}{x} + \frac{6}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{3}$ $(ii)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2p + 5q = \frac{1}{4} \Rightarrow 8p + 20q = 1$ $(iii)$
$3p + 6q = \frac{1}{3} \Rightarrow 9p + 18q = 1$ $(iv)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p}{-20 + 18} = \frac{q}{9 - 8} = \frac{1}{144 - 180}$
$\frac{p}{-2} = \frac{q}{-1} = \frac{1}{-36}$
$p = \frac{1}{18}$ અને $q = \frac{1}{36}$.
તેથી,$x = 18$ અને $y = 36$.
આમ,$1$ સ્ત્રીને કામ પૂરું કરતા $18$ દિવસ અને $1$ પુરુષને $36$ દિવસ લાગે છે.

(N/A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $u \ km/h$ અને બસની ઝડપ $v \ km/h$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
કિસ્સો $1$: $60 \ km$ ટ્રેન દ્વારા અને $240 \ km$ બસ દ્વારા મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય = $4 \ \text{કલાક}$.
$\frac{60}{u} + \frac{240}{v} = 4 \quad ...(1)$
કિસ્સો $2$: $100 \ km$ ટ્રેન દ્વારા અને $200 \ km$ બસ દ્વારા મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય = $4 \ \text{કલાક }+ 10 \ \text{મિનિટ }= 4 + \frac{10}{60} = 4 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} \ \text{કલાક}$.
$\frac{100}{u} + \frac{200}{v} = \frac{25}{6} \quad ...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{u} = p$ અને $\frac{1}{v} = q$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$60p + 240q = 4 \quad ...(3)$
$100p + 200q = \frac{25}{6} \implies 600p + 1200q = 25 \quad ...(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$600p + 2400q = 40 \quad ...(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$(600p + 2400q) - (600p + 1200q) = 40 - 25$
$1200q = 15 \implies q = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80}$
$q = \frac{1}{80}$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$60p + 240(\frac{1}{80}) = 4$
$60p + 3 = 4 \implies 60p = 1 \implies p = \frac{1}{60}$
તેથી,$p = \frac{1}{u} = \frac{1}{60}$ અને $q = \frac{1}{v} = \frac{1}{80}$ હોવાથી:
$u = 60 \ km/h$ અને $v = 80 \ km/h$.
આમ,ટ્રેનની ઝડપ $60 \ km/h$ અને બસની ઝડપ $80 \ km/h$ છે.

(A-D) ધારો કે અનીની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને બિજુની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
આપેલ છે કે તેમની ઉંમરનો તફાવત $3\, \text{વર્ષ}$ છે,તેથી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: $x - y = 3$ અથવા કિસ્સો $II$: $y - x = 3$.
અનીના પિતા ધરમની ઉંમર $= 2x$ વર્ષ.
બિજુની બહેન કેથીની ઉંમર $= y/2$ વર્ષ.
ધરમ અને કેથીની ઉંમરનો તફાવત $30\, \text{વર્ષ}$ છે,તેથી $2x - y/2 = 30,$ જેનું સાદું રૂપ $4x - y = 60$ થાય છે.
કિસ્સો $I$: $x - y = 3$ અને $4x - y = 60$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતાં: $(4x - y) - (x - y) = 60 - 3 \implies 3x = 57 \implies x = 19$.
તેથી $y = 19 - 3 = 16$.
કિસ્સો $II$: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
$4x - y = 60$ માં કિંમત મૂકતા: $4x - (x + 3) = 60 \implies 3x = 63 \implies x = 21$.
તેથી $y = 21 + 3 = 24$.
આમ,અની અને બિજુની ઉંમર કાં તો $(19, 16)$ વર્ષ અથવા $(21, 24)$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે બે મિત્રો પાસે રહેલી મૂડી અનુક્રમે $Rs$ $x$ અને $Rs$ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: "મિત્ર,મને સો આપ! તો હું તારા કરતાં બમણો ધનવાન બની જઈશ."
$x + 100 = 2(y - 100)$
$x + 100 = 2y - 200$
$x - 2y = -300$ $...(i)$
બીજી શરત મુજબ: "જો તું મને દસ આપીશ,તો હું તારા કરતાં છ ગણો ધનવાન બની જઈશ."
$6(x - 10) = y + 10$
$6x - 60 = y + 10$
$6x - y = 70$ $...(ii)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$12x - 2y = 140$ $...(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300)$
$11x = 440$
$x = 40$
$x = 40$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$40 - 2y = -300$
$-2y = -340$
$y = 170$
આમ,તેમની પાસે રહેલી મૂડી અનુક્રમે $Rs$ $40$ અને $Rs$ $170$ છે.

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને લાગતો સમય $t\, \text{કલાક}$ છે. અંતર $d = xt$ $...(i)$.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો ઝડપ $(x + 10)\, km/h$ હોય,તો સમય $(t - 2)\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$(x + 10)(t - 2) = d$
$xt - 2x + 10t - 20 = d$
$d = xt$ હોવાથી,$-2x + 10t = 20$,અથવા $-x + 5t = 10$ $...(ii)$.
બીજી શરત મુજબ,જો ઝડપ $(x - 10)\, km/h$ હોય,તો સમય $(t + 3)\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$(x - 10)(t + 3) = d$
$xt + 3x - 10t - 30 = d$
$d = xt$ હોવાથી,$3x - 10t = 30$ $...(iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$-2x + 10t = 20$ $...(iv)$ મળે છે.
$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - 10t) + (-2x + 10t) = 30 + 20$
$x = 50\, km/h$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $x = 50$ મુકતા:
$-50 + 5t = 10$
$5t = 60$
$t = 12\, \text{કલાક}$.
અંતર $d = xt = 50 \times 12 = 600\, km$.

(36) ધારો કે હારની સંખ્યા $x$ છે અને એક હારમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $y$ છે.
વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= x \times y = xy$.
પ્રથમ શરત મુજબ:
જો દરેક હારમાં $3$ વિદ્યાર્થીઓ વધારે હોય,તો $1$ હાર ઓછી થાય છે.
$(x - 1)(y + 3) = xy$
$xy + 3x - y - 3 = xy$
$3x - y = 3$ $...(i)$
બીજી શરત મુજબ:
જો દરેક હારમાં $3$ વિદ્યાર્થીઓ ઓછા હોય,તો $2$ હાર વધારે થાય છે.
$(x + 2)(y - 3) = xy$
$xy - 3x + 2y - 6 = xy$
$-3x + 2y = 6$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - y) + (-3x + 2y) = 3 + 6$
$y = 9$
સમીકરણ $(i)$ માં $y = 9$ મૂકતા:
$3x - 9 = 3$
$3x = 12$
$x = 4$
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= xy = 4 \times 9 = 36$.

(A) આપેલ છે કે,$\angle C = 3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$.
$3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$ પરથી,આપણને $3 \angle B = 2 \angle A + 2 \angle B$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\angle B = 2 \angle A$ અથવા $2 \angle A - \angle B = 0 \dots (i)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle C = 3 \angle B$ હોવાથી,આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા: $\angle A + \angle B + 3 \angle B = 180^{\circ}$,જે $\angle A + 4 \angle B = 180^{\circ} \dots (ii)$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $8 \angle A - 4 \angle B = 0 \dots (iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$9 \angle A = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 20^{\circ}$.
$\angle A = 20^{\circ}$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$20^{\circ} + 4 \angle B = 180^{\circ}$ મળે છે,તેથી $4 \angle B = 160^{\circ}$,જે $\angle B = 40^{\circ}$ આપે છે.
અંતે,$\angle C = 3 \angle B = 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$ અને $\angle C = 120^{\circ}$ છે.

આપેલ સમીકરણો:
$(a-b)x + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2 \dots(1)$
$(a+b)(x+y) = a^2 + b^2 \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b)x + (a+b)y = a^2 + b^2 \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$[(a-b)x + (a+b)y] - [(a+b)x + (a+b)y] = (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 + b^2)$
$(a-b-a-b)x = -2ab - 2b^2$
$-2bx = -2b(a+b)$
$x = a+b$
$x = a+b$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$(a-b)(a+b) + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$a^2 - b^2 + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$(a+b)y = -2ab$
$y = \frac{-2ab}{a+b}$

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$(1)$ $152x - 378y = -74$
$(2)$ $-378x + 152y = -604$
પગલું $1$: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(152x - 378x) + (-378y + 152y) = -74 - 604$
$-226x - 226y = -678$
$-226$ વડે ભાગતા:
$x + y = 3$ --- $(3)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(152x - (-378x)) + (-378y - 152y) = -74 - (-604)$
$530x - 530y = 530$
$530$ વડે ભાગતા:
$x - y = 1$ --- $(4)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ને ઉકેલતા:
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 4 \implies x = 2$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2y = 2 \implies y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 2, y = 1$ છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
$(4y + 20) + (-4x) = 180$
$-4x + 4y = 160$
$-x + y = 40$ $...(i)$
તે જ રીતે,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$(3y - 5) + (-7x + 5) = 180$
$-7x + 3y = 180$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-3x + 3y = 120$ $...(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(-7x + 3y) - (-3x + 3y) = 180 - 120$
$-4x = 60$
$x = -15$
સમીકરણ $(i)$ માં $x = -15$ મુકતા:
$-(-15) + y = 40$
$15 + y = 40$
$y = 25$
હવે,ખૂણાઓના માપ:
$\angle A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120^{\circ}$
$\angle B = 3y - 5 = 3(25) - 5 = 70^{\circ}$
$\angle C = -4x = -4(-15) = 60^{\circ}$
$\angle D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 110^{\circ}$

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y - 5 = 0$ ... $(i)$
$px - 6y - 8 = 0$ ... $(ii)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -5$
$a_2 = p, b_2 = -6, c_2 = -8$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6}$
$\frac{2}{p} \neq -\frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$p \neq -4$
આમ,$p$ ની $-4$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સમીકરણોની જોડીને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,એટલે કે $p \in \mathbb{R} - \{-4\}$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી છે:
$2x + 3y = 7$ ... $(i)$
$2px + py = 28 - qy$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને ફરીથી ગોઠવતા:
$2px + (p + q)y = 28$
સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = (p + q), c_2 = -28$
શરત લાગુ પાડતા:
$\frac{2}{2p} = \frac{3}{p + q} = \frac{-7}{-28}$
$\frac{1}{p} = \frac{3}{p + q} = \frac{1}{4}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને લેતા:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{4} \Rightarrow p = 4$
બીજા અને ત્રીજા ભાગને લેતા:
$\frac{3}{p + q} = \frac{1}{4} \Rightarrow p + q = 12$
$p = 4$ ને $p + q = 12$ માં મૂકતા:
$4 + q = 12 \Rightarrow q = 8$
આમ,$p = 4$ અને $q = 8$ મળે છે.

(N/A) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
આ સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
આપેલ ઉકેલ $x = -1$ અને $y = 3$ હોવાથી,આ કિંમતો બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરશે:
$1$) $a_1(-1) + b_1(3) + c_1 = 0 \Rightarrow -a_1 + 3b_1 + c_1 = 0$
$2$) $a_2(-1) + b_2(3) + c_2 = 0 \Rightarrow -a_2 + 3b_2 + c_2 = 0$
આપણે સહગુણકો માટે એવી કિંમતો પસંદ કરી શકીએ જે આ શરતોનું પાલન કરે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a_1 = 1, b_1 = 1$ લઈએ,તો $-1 + 3(1) + c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = -2$. તેથી,$x + y - 2 = 0$.
જો $a_2 = 1, b_2 = 2$ લઈએ,તો $-1 + 3(2) + c_2 = 0 \Rightarrow -1 + 6 + c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -5$. તેથી,$x + 2y - 5 = 0$.
આમ,$a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ ના અસંખ્ય સંયોજનો શક્ય છે જે આપેલ ઉકેલ અને અનન્ય ઉકેલની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી આપણે આવી અસંખ્ય જોડીઓ લખી શકીએ છીએ.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$2x + y = 23$ $(i)$
$4x - y = 19$ $(ii)$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(2x + y) + (4x - y) = 23 + 19$
$6x = 42$
$x = 7$
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 7$ મૂકતા:
$2(7) + y = 23$
$14 + y = 23$
$y = 23 - 14 = 9$
હવે,જરૂરી કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$5y - 2x = 5(9) - 2(7) = 45 - 14 = 31$
$\frac{y}{x} - 2 = \frac{9}{7} - 2 = \frac{9 - 14}{7} = -\frac{5}{7}$
આમ,કિંમતો $31$ અને $-\frac{5}{7}$ છે.

(B) લંબચોરસના ગુણધર્મ મુજબ,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
લંબાઈ માટે: $x + 3y = 13$ --- $(i)$
પહોળાઈ માટે: $3x + y = 7$ --- $(ii)$
આ સુરેખ સમીકરણોની જોડીને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$9x + 3y = 21$ --- $(iii)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરો:
$(9x + 3y) - (x + 3y) = 21 - 13$
$8x = 8$
$x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1 + 3y = 13$
$3y = 12$
$y = 4$
આમ,$x$ અને $y$ ની જરૂરી કિંમતો અનુક્રમે $1$ અને $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(i) \ x + y = 3.3$
$(ii) \ \frac{0.6}{3x - 2y} = -1$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી:
$0.6 = -1(3x - 2y)$
$0.6 = -3x + 2y$
$3x - 2y = -0.6 \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$2x + 2y = 6.6 \quad (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - 2y) + (2x + 2y) = -0.6 + 6.6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$
$x = 1.2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1.2 + y = 3.3$
$y = 3.3 - 1.2$
$y = 2.1$
આમ,ઉકેલ $x = 1.2$ અને $y = 2.1$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4$ $(i)$
બંને બાજુ $LCM(3, 4) = 12$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$4x + 3y = 48$ $(iii)$
અને બીજું સમીકરણ છે:
$\frac{5x}{6} - \frac{y}{8} = 4$ $(ii)$
બંને બાજુ $LCM(6, 8) = 24$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$20x - 3y = 96$ $(iv)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4x + 3y) + (20x - 3y) = 48 + 96$
$24x = 144$
$x = \frac{144}{24} = 6$
હવે,$x = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(6) + 3y = 48$
$24 + 3y = 48$
$3y = 48 - 24$
$3y = 24$
$y = 8$
આમ,ઉકેલ $x = 6$ અને $y = 8$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$43x + 67y = -24 .....(i)$
$67x + 43y = 24 .....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(43 + 67)x + (67 + 43)y = -24 + 24$
$110x + 110y = 0$
$110(x + y) = 0$
$x + y = 0 \Rightarrow x = -y .....(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(67 - 43)x + (43 - 67)y = 24 - (-24)$
$24x - 24y = 48$
$24(x - y) = 48$
$x - y = 2 .....(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $x = -y$ ની કિંમત $(iv)$ માં મૂકતા:
$-y - y = 2$
$-2y = 2$
$y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$x = -(-1) = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = -1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2} \implies \frac{x+y}{2xy} = \frac{2}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \quad ...(i)$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10} \implies \frac{2x-y}{xy} = \frac{-10}{3} \implies \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{-10}{3} \quad ...(ii)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = u$ અને $\frac{1}{y} = v$. તેથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$v + u = \frac{4}{3} \quad ...(iii)$
$2v - u = \frac{-10}{3} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(v + u) + (2v - u) = \frac{4}{3} - \frac{10}{3}$
$3v = \frac{-6}{3} = -2 \implies v = \frac{-2}{3}$
$v = \frac{-2}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$u + (\frac{-2}{3}) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
અહીં $u = \frac{1}{x} = 2$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ મળે.
અહીં $v = \frac{1}{y} = \frac{-2}{3}$ હોવાથી,$y = \frac{-3}{2}$ મળે.
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{2}, y = \frac{-3}{2}$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $2x + y = 4$ અને $2x - y = 4$ છે.
રેખા $2x + y = 4$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$2$
$y = 4 - 2x$	$4$	$0$
બિંદુઓ	$A(0, 4)$	$B(2, 0)$

રેખા $2x - y = 4$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$2$
$y = 2x - 4$	$-4$	$0$
બિંદુઓ	$C(0, -4)$	$B(2, 0)$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને રેખાઓ બિંદુ $B(2, 0)$ પર છેદે છે અને $y$-અક્ષને બિંદુઓ $A(0, 4)$ અને $C(0, -4)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ અને $y$-અક્ષ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 4)$,$B(2, 0)$ અને $C(0, -4)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $y$-અક્ષ પર છે,જેની લંબાઈ $AC = |4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $B(2, 0)$ થી $y$-અક્ષનું લંબ અંતર છે,જે $2$ એકમ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ ચોરસ એકમ.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(0, 4), (2, 0), (0, -4)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સુરેખ સમીકરણોની જોડી ઉકેલીએ:
$x + y = 2$ --- $(i)$
$2x - y = 1$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1 + y = 2$
$y = 1$
ઉકેલ બિંદુ $(1, 1)$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાને $y - 1 = m(x - 1)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $m$ એ રેખાનો ઢાળ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $m = 1$ લઈએ,તો સમીકરણ $y - 1 = x - 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય.
ઢાળ $m$ ની અસંખ્ય કિંમતો શક્ય હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી આવી અસંખ્ય રેખાઓ મળી શકે છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y$ અને $40^{\circ}$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી:
$x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x + y = 140^{\circ} \quad \dots(i)$
વળી,બે ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત $30^{\circ}$ આપેલ છે:
$x - y = 30^{\circ} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 140^{\circ} + 30^{\circ}$
$2x = 170^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$85^{\circ} + y = 140^{\circ}$
$y = 140^{\circ} - 85^{\circ} = 55^{\circ}$
આમ,$x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે $85^{\circ}$ અને $55^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે સલીમની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,બે વર્ષ પહેલાં:
$x - 2 = 3(y - 2)$
$x - 2 = 3y - 6$
$x - 3y = -4$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,છ વર્ષ પછી:
$x + 6 = 2(y + 6) + 4$
$x + 6 = 2y + 12 + 4$
$x - 2y = 10$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતાં:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-4)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 4$
$y = 14$
$y = 14$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$x - 2(14) = 10$
$x - 28 = 10$
$x = 38$
આમ,સલીમની હાલની ઉંમર $38$ વર્ષ અને તેની પુત્રીની હાલની ઉંમર $14$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને તેમના બે બાળકોની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $S$ વર્ષ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $x = 2S$ ... $(i)$
$20$ વર્ષ પછી,પિતાની ઉંમર $(x + 20)$ વર્ષ થશે.
$20$ વર્ષ પછી,દરેક બાળકની ઉંમરમાં $20$ વર્ષનો વધારો થશે,તેથી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(S + 20 + 20) = (S + 40)$ વર્ષ થશે.
બીજી શરત મુજબ: $x + 20 = S + 40$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $S = x/2$ ની કિંમત બીજી શરતમાં મૂકતા:
$x + 20 = x/2 + 40$
$x - x/2 = 40 - 20$
$x/2 = 20$
$x = 40$
આમ,પિતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $6x$ છે,જે આપેલ ગુણોત્તર $5:6$ પર આધારિત છે.
બીજી શરત મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાંથી $8$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $4:5$ બને છે.
તેથી,$\frac{5x - 8}{6x - 8} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $5(5x - 8) = 4(6x - 8)$.
$25x - 40 = 24x - 32$.
$25x - 24x = 40 - 32$.
$x = 8$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $5x = 5 \times 8 = 40$ છે.
બીજી સંખ્યા $6x = 6 \times 8 = 48$ છે.
આમ,જરૂરી સંખ્યાઓ $40$ અને $48$ છે.

(A) ધારો કે ખંડ $A$ અને $B$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો $A$ માંથી $B$ માં $10$ વિદ્યાર્થીઓ મોકલવામાં આવે,તો વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સમાન થાય છે:
$x - 10 = y + 10$
$\Rightarrow x - y = 20$ ---$(i)$
બીજી શરત મુજબ,જો $B$ માંથી $A$ માં $20$ વિદ્યાર્થીઓ મોકલવામાં આવે,તો $A$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $B$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કરતા બમણી થાય છે:
$x + 20 = 2(y - 20)$
$x + 20 = 2y - 40$
$\Rightarrow x - 2y = -60$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ (ii) બાદ કરતા:
$(x - y) - (x - 2y) = 20 - (-60)$
$x - y - x + 2y = 80$
$y = 80$
$y = 80$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x - 80 = 20$
$x = 100$
આમ,ખંડ $A$ માં $100$ વિદ્યાર્થીઓ અને ખંડ $B$ માં $80$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ બે દિવસ માટેનું નિશ્ચિત ભાડું $Rs. x$ છે અને ત્યારબાદના દરેક દિવસ માટેનું વધારાનું ભાડું $Rs. y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,લતિકાએ છ દિવસ માટે રાખેલ પુસ્તક માટે $Rs. 22$ ચૂકવ્યા (પ્રથમ $2$ દિવસ + $4$ વધારાના દિવસ):
$x + 4y = 22$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,આનંદે ચાર દિવસ માટે રાખેલ પુસ્તક માટે $Rs. 16$ ચૂકવ્યા (પ્રથમ $2$ દિવસ + $2$ વધારાના દિવસ):
$x + 2y = 16$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 22 - 16$
$2y = 6$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2(3) = 16$
$x + 6 = 16$
$x = 10$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું $Rs. 10$ છે અને દરેક વધારાના દિવસનું ભાડું $Rs. 3$ છે.

(C) ધારો કે સાચા જવાબોની સંખ્યા $x$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $(120-x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મેળવેલા કુલ ગુણ $90$ છે.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x \times 1 - (120 - x) \times \frac{1}{2} = 90$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x - 60 + \frac{x}{2} = 90$.
બંને બાજુ $60$ ઉમેરતા: $x + \frac{x}{2} = 150$.
પદોને જોડતા: $\frac{3x}{2} = 150$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{150 \times 2}{3} = 100$.
આમ,જયંતીએ $100$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા હતા.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle A + \angle C = (6x + 10)^{\circ} + (x + y)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 7x + y = 170 \quad \dots(i)$
તે જ રીતે,$\angle B + \angle D = (5x)^{\circ} + (3y - 10)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 5x + 3y = 190 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $21x + 3y = 510 \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(21x + 3y) - (5x + 3y) = 510 - 190$
$16x = 320 \Rightarrow x = 20$
$x = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$7(20) + y = 170 \Rightarrow 140 + y = 170 \Rightarrow y = 30$
હવે,ખૂણાઓના માપ:
$\angle A = 6(20) + 10 = 130^{\circ}$
$\angle B = 5(20) = 100^{\circ}$
$\angle C = 20 + 30 = 50^{\circ}$
$\angle D = 3(30) - 10 = 80^{\circ}$
આમ,$x = 20$,$y = 30$ અને ખૂણાઓ $130^{\circ}, 100^{\circ}, 50^{\circ}, 80^{\circ}$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એ તેની બાજુઓ બનાવતી રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે. આ બિંદુઓ શોધવા માટે આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીશું.
જોડી $1$: $5x - y = 5$ અને $x + 2y = 1$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 5x - 5$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(5x - 5) = 1 \implies x + 10x - 10 = 1 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. તેથી $y = 5(1) - 5 = 0$. શિરોબિંદુ: $(1, 0)$.
જોડી $2$: $x + 2y = 1$ અને $6x + y = 17$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 17 - 6x$. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(17 - 6x) = 1 \implies x + 34 - 12x = 1 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. તેથી $y = 17 - 6(3) = -1$. શિરોબિંદુ: $(3, -1)$.
જોડી $3$: $5x - y = 5$ અને $6x + y = 17$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(5x - y) + (6x + y) = 5 + 17 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. $x = 2$ ને $5x - y = 5$ માં મૂકતા: $5(2) - y = 5 \implies 10 - y = 5 \implies y = 5$. શિરોબિંદુ: $(2, 5)$.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (3, -1)$ અને $(2, 5)$ છે.

(C) ધારો કે ટેબલની મૂળ કિંમત $Rs.\, x$ છે અને ખુરશીની મૂળ કિંમત $Rs.\, y$ છે.
ટેબલ પર $10\%$ નફા સાથે વેચાણ કિંમત $x + 0.10x = 1.10x$ થાય.
ખુરશી પર $25\%$ નફા સાથે વેચાણ કિંમત $y + 0.25y = 1.25y$ થાય.
આપેલ છે કે,$1.10x + 1.25y = 1050$. $100$ વડે ગુણતા,આપણને $110x + 125y = 105000$ મળે ....$(1)$
જો ટેબલ $25\%$ નફા પર અને ખુરશી $10\%$ નફા પર વેચવામાં આવે,તો વેચાણ કિંમત $1.25x + 1.10y = 1065$ થાય.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $125x + 110y = 106500$ મળે ....$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$235x + 235y = 211500 \implies x + y = 900$ ....$(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$-15x + 15y = -1500 \implies x - y = 100$ ....$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = 1000 \implies x = 500$.
$(3)$ માં $x = 500$ મૂકતા:
$500 + y = 900 \implies y = 400$.
આમ,ટેબલની મૂળ કિંમત $Rs.\, 500$ અને ખુરશીની મૂળ કિંમત $Rs.\, 400$ છે.

(D) ધારો કે મોટા પાઇપને પૂલ ભરતા લાગતો સમય $x$ કલાક છે અને નાના પાઇપને લાગતો સમય $y$ કલાક છે.
$1$ કલાકમાં,મોટો પાઇપ પૂલનો $1/x$ ભાગ ભરે છે અને નાનો પાઇપ $1/y$ ભાગ ભરે છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો બંને પાઇપનો ઉપયોગ થાય,તો તેઓ $12$ કલાકમાં પૂલ ભરે છે:
$1/x + 1/y = 1/12$ --- (સમીકરણ $1$)
બીજી શરત મુજબ,મોટો પાઇપ $4$ કલાક અને નાનો પાઇપ $9$ કલાક કામ કરે ત્યારે અડધો પૂલ ભરાય છે:
$4/x + 9/y = 1/2$ --- (સમીકરણ $2$)
ધારો કે $u = 1/x$ અને $v = 1/y$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$u + v = 1/12$ --- (સમીકરણ $3$)
$4u + 9v = 1/2$ --- (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ ને $4$ વડે ગુણતા: $4u + 4v = 4/12 = 1/3$.
આને સમીકરણ $4$ માંથી બાદ કરતા: $(4u + 9v) - (4u + 4v) = 1/2 - 1/3$.
$5v = 1/6$,તેથી $v = 1/30$.
$v = 1/30$ ને સમીકરણ $3$ માં મૂકતા: $u + 1/30 = 1/12$.
$u = 1/12 - 1/30 = (5 - 2)/60 = 3/60 = 1/20$.
$u = 1/x = 1/20$ હોવાથી,$x = 20$ કલાક.
$v = 1/y = 1/30$ હોવાથી,$y = 30$ કલાક.
આમ,મોટા પાઇપને $20$ કલાક અને નાના પાઇપને $30$ કલાકનો સમય અલગથી પૂલ ભરતા લાગશે.

(4:1) આપેલ સમીકરણો $2x + y = 6$ અને $2x - y + 2 = 0$ છે.
સમીકરણ $2x + y = 6$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$3$
$y$	$6$	$0$
બિંદુઓ	$B$	$A$

સમીકરણ $2x - y + 2 = 0$ માટેનું કોષ્ટક:

$x$	$0$	$-1$
$y$	$2$	$0$
બિંદુઓ	$D$	$C$

ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ અનુક્રમે $\triangle ACE$ અને $\triangle BDE$ ના ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
હવે,$A_1 = \triangle ACE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times PE = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
અને $A_2 = \triangle BDE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BD \times QE = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
તેથી,$A_1 : A_2 = 8 : 2 = 4 : 1$.
આમ,સમીકરણોની જોડી આલેખ પર બિંદુ $E(1, 4)$ પર છેદે છે,એટલે કે $x = 1$ અને $y = 4$.

(D) ધારો કે એક પેનની કિંમત $Rs.\, x$ છે અને એક પેન્સિલ બોક્સની કિંમત $Rs.\, y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$4x + 4y = 100$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x + y = 25$ મળે છે (સમીકરણ $i$).
બીજી શરત મુજબ,$3x = y + 15$,જેને $3x - y = 15$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (3x - y) = 25 + 15$
$4x = 40$
$x = 10$
$x = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$10 + y = 25$
$y = 15$
આમ,પેનની કિંમત $Rs.\, 10$ અને પેન્સિલ બોક્સની કિંમત $Rs.\, 15$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$3x - y = 3 \quad ...(i)$
$2x - 3y = 2 \quad ...(ii)$
$x + 2y = 8 \quad ...(iii)$
ધારો કે રેખાઓ $(i), (ii),$ અને $(iii)$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC,$ અને $CA$ દર્શાવે છે.
$1$. શિરોબિંદુ $B$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y = 9$
તેમાંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા: $(9x - 3y) - (2x - 3y) = 9 - 2 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3(1) - y = 3 \Rightarrow y = 0$.
તેથી,શિરોબિંદુ $B$ એ $(1, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુ $C$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = 16$.
તેમાંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 16 - 2 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા: $x + 2(2) = 8 \Rightarrow x = 4$.
તેથી,શિરોબિંદુ $C$ એ $(4, 2)$ છે.
$3$. શિરોબિંદુ $A$ શોધવા માટે,રેખાઓ $(iii)$ અને $(i)$ ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 2y = 6$.
તેમાં સમીકરણ $(iii)$ ઉમેરતા: $(6x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 8 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3(2) - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3$.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ એ $(2, 3)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, 3), B(1, 0),$ અને $C(4, 2)$ છે.

(B) ધારો કે રિક્ષાની ઝડપ $x \,km/h$ અને બસની ઝડપ $y \,km/h$ છે.
રિક્ષા દ્વારા $2 \,km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{2}{x} \,h$ છે.
બાકીનું અંતર $(14 - 2) = 12 \,km$ બસ દ્વારા કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{12}{y} \,h$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{2}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \quad ...(i)$
રિક્ષા દ્વારા $4 \,km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_3 = \frac{4}{x} \,h$ છે.
બાકીનું અંતર $(14 - 4) = 10 \,km$ બસ દ્વારા કાપવા માટે લાગતો સમય $t_4 = \frac{10}{y} \,h$ છે.
તેને $9 \,\text{મિનિટ}$ વધુ લાગે છે,તેથી કુલ સમય $\frac{1}{2} + \frac{9}{60} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \,h$ થાય.
બીજી શરત મુજબ: $\frac{4}{x} + \frac{10}{y} = \frac{13}{20} \quad ...(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2u + 12v = \frac{1}{2} \quad ...(iii)$
$4u + 10v = \frac{13}{20} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4u + 24v = 1 \quad ...(v)$
સમીકરણ $(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$(4u + 24v) - (4u + 10v) = 1 - \frac{13}{20}$
$14v = \frac{7}{20} \Rightarrow v = \frac{7}{20 \times 14} = \frac{1}{40}$.
આમ,$y = 40 \,km/h$.
$v = \frac{1}{40}$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$2u + 12(\frac{1}{40}) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2u + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$2u = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$u = \frac{1}{10}$. આમ,$x = 10 \,km/h$.
રિક્ષાની ઝડપ $10 \,km/h$ અને બસની ઝડપ $40 \,km/h$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટર બોટની ઝડપ $u \, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની દિશામાં બોટની ઝડપ $(u+v) \, km/h$ અને પ્રવાહની સામે બોટની ઝડપ $(u-v) \, km/h$ થશે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$30 \, km$ પ્રવાહની સામે અને $28 \, km$ પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $7 \, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{30}{u-v} + \frac{28}{u+v} = 7 \quad ...(i)$
બીજી શરત મુજબ,$21 \, km$ પ્રવાહની સામે અને $21 \, km$ પાછા આવતા લાગતો સમય $5 \, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{21}{u-v} + \frac{21}{u+v} = 5 \quad ...(ii)$
ધારો કે $x = \frac{1}{u+v}$ અને $y = \frac{1}{u-v}$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં કિંમત મૂકતા:
$30y + 28x = 7 \quad ...(iii)$
$21y + 21x = 5 \Rightarrow x + y = \frac{5}{21} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ પરથી,$x = \frac{5}{21} - y$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$30y + 28(\frac{5}{21} - y) = 7$
$30y + \frac{20}{3} - 28y = 7$
$2y = 7 - \frac{20}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{6}$
હવે,$x = \frac{5}{21} - \frac{1}{6} = \frac{10-7}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$.
કારણ કે $y = \frac{1}{u-v} = \frac{1}{6}$,તેથી $u-v = 6 \quad ...(v)$
કારણ કે $x = \frac{1}{u+v} = \frac{1}{14}$,તેથી $u+v = 14 \quad ...(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા:
$2u = 20 \Rightarrow u = 10 \, km/h$.
$u=10$ ની કિંમત $(vi)$ માં મૂકતા:
$10 + v = 14 \Rightarrow v = 4 \, km/h$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ $10 \, km/h$ અને પ્રવાહની ઝડપ $4 \, km/h$ છે.

(A) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
કિસ્સો $I$: અંકોના સરવાળાને $8$ વડે ગુણીને $5$ બાદ કરતા સંખ્યા મળે છે:
$8(x + y) - 5 = 10x + y$
$8x + 8y - 5 = 10x + y$
$2x - 7y = -5$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: અંકોના તફાવતને $16$ વડે ગુણીને $3$ ઉમેરતા સંખ્યા મળે છે:
$16(x - y) + 3 = 10x + y$
$16x - 16y + 3 = 10x + y$
$6x - 17y = -3$ ... $(ii)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x - 21y = -15$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(6x - 17y) - (6x - 21y) = -3 - (-15)$
$4y = 12$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2x - 7(3) = -5$
$2x - 21 = -5$
$2x = 16$
$x = 8$
તેથી,માંગેલ સંખ્યા $10x + y = 10(8) + 3 = 83$ છે.

(B) ધારો કે ફર્સ્ટ ક્લાસનું પૂરું ભાડું $x$ છે અને ટિકિટ દીઠ રિઝર્વેશન ચાર્જ $y$ છે.
કિસ્સો $I$: સ્ટેશન $A$ થી $B$ સુધીની એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ ટિકિટની કિંમત $Rs. 2530$ છે.
$x + y = 2530$ ... $(i)$
કિસ્સો $II$: સ્ટેશન $A$ થી $B$ સુધીની એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ ટિકિટ અને એક રિઝર્વ્ડ ફર્સ્ટ ક્લાસ અડધી ટિકિટની કિંમત $Rs. 3810$ છે.
અડધી ટિકિટની કિંમત $\frac{x}{2} + y$ થાય.
તેથી,$(x + y) + (\frac{x}{2} + y) = 3810$
$\frac{3x}{2} + 2y = 3810$
$3x + 4y = 7620$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$4x + 4y = 10120$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 10120 - 7620$
$x = 2500$
$x = 2500$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2500 + y = 2530$
$y = 30$
આમ,ફર્સ્ટ ક્લાસનું પૂરું ભાડું $Rs. 2500$ છે અને રિઝર્વેશન ચાર્જ $Rs. 30$ છે.

(C) ધારો કે સાડીની મૂળ કિંમત $Rs. x$ છે અને સ્વેટરની છાપેલી કિંમત $Rs. y$ છે.
કિસ્સો $I$: સાડી $8 \%$ નફા પર અને સ્વેટર $10 \%$ વળતર પર વેચતા,કુલ રકમ $= Rs. 1008$.
$1.08x + 0.90y = 1008$ --- $(i)$
કિસ્સો $II$: સાડી $10 \%$ નફા પર અને સ્વેટર $8 \%$ વળતર પર વેચતા,કુલ રકમ $= Rs. 1028$.
$1.10x + 0.92y = 1028$ --- $(ii)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(i)$ ને $92$ વડે અને $(ii)$ ને $90$ વડે ગુણતા:
$99.36x + 82.8y = 92736$ --- $(iii)$
$99x + 82.8y = 92520$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$0.36x = 216$
$x = 600$
$x = 600$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1.08(600) + 0.9y = 1008$
$648 + 0.9y = 1008$
$0.9y = 360$
$y = 400$
આમ,સાડીની મૂળ કિંમત $Rs. 600$ અને સ્વેટરની છાપેલી કિંમત $Rs. 400$ છે.

(A) ધારો કે યોજના $A$ અને $B$ માં રોકાણ કરેલી રકમ અનુક્રમે $Rs.\, x$ અને $Rs.\, y$ છે.
$\text{કિસ્સો }\, I$: યોજના $A$ પર $8 \%$ વાર્ષિક વ્યાજ + યોજના $B$ પર $9 \%$ વાર્ષિક વ્યાજ = $1860$.
$\Rightarrow \frac{8x}{100} + \frac{9y}{100} = 1860 \Rightarrow 8x + 9y = 186000 \quad \dots(i)$
$\text{કિસ્સો }\, II$: જો રકમની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો વ્યાજ $1860 + 20 = 1880$ થાય.
$\Rightarrow \frac{9x}{100} + \frac{8y}{100} = 1880 \Rightarrow 9x + 8y = 188000 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $8$ વડે અને $(ii)$ ને $9$ વડે ગુણતા:
$64x + 72y = 1488000 \quad \dots(iii)$
$81x + 72y = 1692000 \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(81x - 64x) = 1692000 - 1488000$
$17x = 204000 \Rightarrow x = 12000$
$x = 12000$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$8(12000) + 9y = 186000$
$96000 + 9y = 186000$
$9y = 90000 \Rightarrow y = 10000$
આમ,તેણે યોજના $A$ માં $Rs.\, 12000$ અને યોજના $B$ માં $Rs.\, 10000$ નું રોકાણ કર્યું હતું.

(A) ધારો કે ભાગ $A$ અને $B$ માં કેળાની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ ભાગ $3$ કેળાના $Rs. 2$ ના દરે $+$ બીજો ભાગ $1$ કેળાના $Rs. 1$ ના દરે $=$ મળેલ કુલ રકમ.
$\frac{2}{3}x + y = 400$
$2x + 3y = 1200 \dots (i)$
કિસ્સો $II$: પ્રથમ ભાગ $1$ કેળાના $Rs. 1$ ના દરે $+$ બીજો ભાગ $5$ કેળાના $Rs. 4$ ના દરે $=$ મળેલ કુલ રકમ.
$x + \frac{4}{5}y = 460$
$5x + 4y = 2300 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8x + 12y = 4800$
$15x + 12y = 6900$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(15x - 8x) + (12y - 12y) = 6900 - 4800$
$7x = 2100$
$x = 300$
હવે,$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2(300) + 3y = 1200$
$600 + 3y = 1200$
$3y = 600$
$y = 200$
કેળાની કુલ સંખ્યા $= x + y = 300 + 200 = 500$.

(N/A) ધારો કે $1\,kg$ સફરજનની કિંમત $x$ રૂપિયા છે અને $1\,kg$ દ્રાક્ષની કિંમત $y$ રૂપિયા છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$2\,kg$ સફરજન અને $1\,kg$ દ્રાક્ષની કુલ કિંમત $160$ રૂપિયા છે.
તેથી,સમીકરણ: $2x + y = 160$ $... (1)$
બીજી શરત મુજબ,$4\,kg$ સફરજન અને $2\,kg$ દ્રાક્ષની કુલ કિંમત $300$ રૂપિયા છે.
તેથી,સમીકરણ: $4x + 2y = 300$ $... (2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતા બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $2x + y = 160$ અને $4x + 2y = 300$ છે.

ધારો કે ગણિત $IX$ ના એક પાઠ્યપુસ્તકની કિંમત રૂ. $x$ છે અને ગણિત $X$ ના એક પાઠ્યપુસ્તકની કિંમત રૂ. $y$ છે.
કુશાને ગણિત $IX$ ના $2$ પાઠ્યપુસ્તકો અને ગણિત $X$ ના $3$ પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદ્યા. તેની કુલ કિંમત $(2x + 3y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ કિંમત રૂ. $250$ છે,તેથી:
$2x + 3y = 250$ ........ $(1)$
રાજને ગણિત $IX$ ના $4$ પાઠ્યપુસ્તકો અને ગણિત $X$ ના $6$ પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદ્યા. તેની કુલ કિંમત $(4x + 6y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ કિંમત રૂ. $500$ છે,તેથી:
$4x + 6y = 500$ ........ $(2)$
આમ,સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ આપેલી પરિસ્થિતિને બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી તરીકે દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે ધોરણ $10$ ની ગણિતની વાર્ષિક પરીક્ષામાં દેવર્ષિના ગુણ $x$ છે અને મહર્ષિના ગુણ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દેવર્ષિને મળેલા ગુણ મહર્ષિના ગુણ કરતાં ત્રણ ગણા છે:
$x = 3y$
$\therefore x - 3y = 0$ .......... $(1)$
દેવર્ષિ અને મહર્ષિના ગુણનો સરવાળો $150$ છે:
$x + y = 150$ .......... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતી બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી નીચે મુજબ છે:
$x - 3y = 0$
$x + y = 150$

(N/A) ધારો કે પ્રથમ છોકરીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને બીજી છોકરીની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
તેમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $x:y = 5:7$ છે.
આથી $\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$,જેનું સાદું રૂપ $7x = 5y$ અથવા $7x - 5y = 0$ થાય છે ......... $(1)$
આઠ વર્ષ પહેલાં,પ્રથમ છોકરીની ઉંમર $(x - 8)$ વર્ષ હતી અને બીજી છોકરીની ઉંમર $(y - 8)$ વર્ષ હતી.
આઠ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $(x - 8) : (y - 8) = 7 : 13$ હતો.
આથી $\frac{x - 8}{y - 8} = \frac{7}{13}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $13(x - 8) = 7(y - 8)$ મળે.
$13x - 104 = 7y - 56$.
$13x - 7y = 104 - 56$.
$13x - 7y = 48$ ......... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતા બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $7x - 5y = 0$ અને $13x - 7y = 48$ છે.