Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 2y - 5 = 0$
$2x - 3y - 7 = 0$
इनकी तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर:
$a_{1} = 3, b_{1} = 2, c_{1} = -5$
$a_{2} = 2, b_{2} = -3, c_{2} = -7$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म एक अद्वितीय हल रखता है और यह संगत है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{4}{3} x + 2 y - 8 = 0$
$2) 2 x + 3 y - 12 = 0$
मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = \frac{4}{3}, b_{1} = 2, c_{1} = -8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 3, c_{2} = -12$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$,रेखाएं संपाती हैं।
चूंकि रेखाएं संपाती हैं,इसलिए इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(M = -1) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 11$ $...(1)$
$2x - 4y = -24$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$2x = 11 - 3y$
$x = \frac{11 - 3y}{2}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left(\frac{11 - 3y}{2}\right) - 4y = -24$
$11 - 3y - 4y = -24$
$11 - 7y = -24$
$-7y = -24 - 11$
$-7y = -35$
$y = 5$
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $y = 5$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = \frac{11 - 3(5)}{2} = \frac{11 - 15}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
अतः,हल $x = -2$ और $y = 5$ है।
अब,$m$ का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों को $y = mx + 3$ में रखने पर:
$5 = m(-2) + 3$
$5 - 3 = -2m$
$2 = -2m$
$m = -1$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 15y = 8$ --- $(1)$
$3x - 9y = \frac{24}{5}$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 5, b_1 = -15, c_1 = 8$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = \frac{24}{5}$
अब,अनुपातों की गणना करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{24/5} = \frac{8 \times 5}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{3}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(B) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $x + y = 9$ है (समीकरण $1$)।
जब संख्या में $27$ जोड़ा जाता है,तो अंक उलट जाते हैं,इसलिए नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
अतः,$(10x + y) + 27 = 10y + x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $10x - x + y - 10y = -27$,जो सरल होकर $9x - 9y = -27$ बनता है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $x - y = -3$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 9 + (-3)$,जिससे $2x = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = 3$।
$x = 3$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $3 + y = 9$,अतः $y = 6$।
अतः,वह संख्या $10(3) + 6 = 36$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के एक युग्म को संगत कहा जाता है यदि उसका कम से कम एक हल हो।
$1$. यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो निकाय का एक अद्वितीय हल होता है,और इसकी शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
$2$. यदि रेखाएँ संपाती हैं,तो निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं,और इसकी शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में कम से कम एक हल प्राप्त होता है,इसलिए रेखाएँ या तो प्रतिच्छेदी होंगी या संपाती।

(B) दिए गए समीकरणों का युग्म $y=0$ और $y=-7$ है।
$y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।
$y=-7$ $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा को दर्शाता है जो उससे $7$ इकाई नीचे स्थित है।
चूंकि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं,इसलिए वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के समांतर होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण:
$3x + 2ky - 2 = 0$
$2x + 5y + 1 = 0$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 2k, c_1 = -2$ और $a_2 = 2, b_2 = 5, c_2 = 1$ है।
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ होना चाहिए।
मान रखने पर,हमें $\frac{3}{2} = \frac{2k}{5}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times 5 = 2 \times 2k$,जिसका अर्थ है $15 = 4k$।
अतः,$k = \frac{15}{4}$।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $cx - y - 2 = 0$ और $6x - 2y - 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = c, b_1 = -1, c_1 = -2$ और $a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -3$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{c}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{-2}{-3}$।
यह $\frac{c}{6} = \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$,इसलिए $c$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समानताओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$c$ के किसी भी मान के लिए समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल नहीं होंगे।

(C) रैखिक समीकरणों के एक युग्म के आश्रित होने के लिए,उन्हें एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनके गुणांक समानुपाती होने चाहिए: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$।
दिया गया समीकरण: $-5x + 7y - 2 = 0$।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a_1 = -5, b_1 = 7, c_1 = -2$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण के लिए,हम दिए गए समीकरण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा करते हैं। मान लीजिए $k = 2$:
$2(-5x + 7y - 2) = 2(0)$
$-10x + 14y - 4 = 0$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $10x - 14y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना विकल्प $(C)$ से करने पर: $10x - 14y = -4$ समीकरण $10x - 14y + 4 = 0$ के समतुल्य है।

(C) यदि किसी रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल $(x=2, y=-3)$ है,तो ये मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(A): x+y=1 \implies 2+(-3) = -1 \neq 1$. (गलत)
विकल्प $(B): 2x-y=1 \implies 2(2)-(-3) = 4+3 = 7 \neq 1$. (गलत)
विकल्प $(C): x-4y-14=0 \implies 2-4(-3)-14 = 2+12-14 = 0$. (संतुष्ट)
$5x-y-13=0 \implies 5(2)-(-3)-13 = 10+3-13 = 0$. (संतुष्ट)
चूंकि विकल्प $(C)$ के दोनों समीकरण $(x=2, y=-3)$ द्वारा संतुष्ट होते हैं और रेखाएं संपाती नहीं हैं,इसलिए हल अद्वितीय है।
नोट: विकल्प $(D)$ संपाती रेखाओं को दर्शाता है,जिनके अनंत हल होते हैं,न कि अद्वितीय।

(A) हाँ,यह सत्य है।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) -x + 2y + 2 = 0$
$2) \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = -1, b_1 = 2, c_1 = 2$
$a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{4}, c_2 = -1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1/4} = -8$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $-2 \neq -8$),इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

(B) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$6x + y - 6 = 0$ --- $(i)$
$2x - y = 0$ --- $(ii)$
यहाँ,$a_1 = 6, b_1 = 1, c_1 = -6$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq -1)$,इसलिए ये रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है,'कोई हल नहीं' नहीं है।

(B) नहीं,दिए गए समीकरण युग्म इस प्रकार हैं:
$3x + y - 3 = 0$ और $2x + \frac{2}{3}y - 2 = 0$
यहाँ,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -3$
$a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = -2$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{2}$ है,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं,न कि कोई हल नहीं।

(A) दो रेखाओं के संपाती होने की शर्त उनके गुणांकों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लिखें:
$1) -2x - 3y - 1 = 0$
$2) 4x + 6y + 2 = 0$
यहाँ,गुणांक हैं:
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1$
$a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2}$,इसलिए दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म संपाती रेखाओं को निरूपित करता है।

(B) रैखिक समीकरण युग्म संगत तब होता है जब उसका कम से कम एक हल हो। यह निम्नलिखित स्थितियों में होता है:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$-3x - 4y - 12 = 0$
$3x + 4y - 12 = 0$
यहाँ,$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12$ और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-12} = 1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

(A) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। इसकी शर्तें हैं:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$Eq_1: \frac{3}{5} x - y - \frac{1}{2} = 0$
$Eq_2: \frac{1}{5} x - 3 y - \frac{1}{6} = 0$
$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ और $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = \frac{3}{5}, b_1 = -1, c_1 = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{1}{5}, b_2 = -3, c_2 = -\frac{1}{6}$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{1/5} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(3 \neq \frac{1}{3})$,इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
अतः,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(A) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। इसकी शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$2ax + by - a = 0$
$4ax + 2by - 2a = 0$
यहाँ,$a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a$ और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-a}{-2a} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए इस निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।

(B) रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो। यह तब होता है जब:
$1$. $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल)
$2$. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल)
दिए गए समीकरण:
$x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2(2x + 6y) = 22 \implies 4x + 12y = 22 \implies 2x + 6y = 11$ (समीकरण $2$)
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
समीकरण $1$ के लिए: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
समीकरण $2$ के लिए: $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{-11} = 1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म $\lambda x + 3y + 7 = 0$ और $2x + 6y - 14 = 0$ है।
रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
यहाँ,$a_1 = \lambda, b_1 = 3, c_1 = 7$ और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -14$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें $\frac{\lambda}{2} = \frac{3}{6} = \frac{7}{-14}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों को सरल करने पर,$\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x - 2y = 8$
$5x - 10y = c$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -8$
$a_2 = 5, b_2 = -10, c_2 = -c$
रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{5}$ और $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ है,इसलिए $c$ के किसी भी मान के लिए इस प्रणाली का अद्वितीय हल नहीं हो सकता है।
यदि $c = 40$ है,तो $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{5}$ होगा,जिसका अर्थ है कि प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
यदि $c \neq 40$ है,तो प्रणाली का कोई हल नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(D) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $4x + 5y = 2$ और $(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1$ हैं।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2p + 7q}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{p + 8q}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2q - p + 1}$ है।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ को बराबर करने पर:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{5}{p + 8q} \implies 4(p + 8q) = 5(2p + 7q) \implies 4p + 32q = 10p + 35q \implies 6p + 3q = 0 \implies q = -2p$ (समीकरण $1$)।
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2}$ को बराबर करने पर:
$\frac{4}{2p + 7q} = \frac{2}{2q - p + 1} \implies 4(2q - p + 1) = 2(2p + 7q) \implies 8q - 4p + 4 = 4p + 14q \implies 8p + 6q = 4 \implies 4p + 3q = 2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $q = -2p$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$4p + 3(-2p) = 2 \implies 4p - 6p = 2 \implies -2p = 2 \implies p = -1$।
अब,$q = -2(-1) = 2$।
अतः,$p = -1$ और $q = 2$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$21x + 47y = 110$ --- $(1)$
$47x + 21y = 162$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(21x + 47x) + (47y + 21y) = 110 + 162$
$68x + 68y = 272$
$68$ से भाग देने पर:
$x + y = 4$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(47x - 21x) + (21y - 47y) = 162 - 110$
$26x - 26y = 52$
$26$ से भाग देने पर:
$x - y = 2$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 4$
$y = 1$
अतः,हल $x = 3, y = 1$ है।

(B) दिए गए समीकरणों के आलेख खींचने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं:
$x-y+2=0$ के लिए:

$x$	$0$	$-2$
$y=x+2$	$2$	$0$

$4x-y-4=0$ के लिए:

$x$	$0$	$1$
$y=4x-4$	$-4$	$0$

ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $A(0, 2)$,$B(-2, 0)$,$P(0, -4)$ और $Q(1, 0)$ को अंकित कीजिए और रेखाएं $AB$ और $PQ$ खींचिए। ये रेखाएं बिंदु $R(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बना त्रिभुज $\triangle BQR$ है,जिसके शीर्ष $B(-2, 0)$,$Q(1, 0)$ और $R(2, 4)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $= BQ = |1 - (-2)| = 3$ इकाई।
ऊंचाई $= R$ का $y$-निर्देशांक $= 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म $\lambda x + y = \lambda^2$ और $x + \lambda y = 1$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ और $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ प्राप्त होते हैं।
$(i)$ कोई हल न होने के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda^2 \neq 1$। $\lambda = 1$ के लिए यह संभव नहीं है। $\lambda = -1$ के लिए,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$। अतः,$\lambda = -1$ के लिए कोई हल नहीं है।
$(ii)$ अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda = \lambda^3$। यह $\lambda = 1$ के लिए सत्य है।
$(iii)$ अद्वितीय हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$। अतः,$\pm 1$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी वास्तविक मानों के लिए अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$kx + 3y = k - 3$
$12x + ky = k$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$
$a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$
रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \neq \frac{-(k - 3)}{-k}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$
अब,शर्त $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ की जाँच करने पर:
यदि $k = 6$ है,तो $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ और $\frac{k-3}{k} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. चूँकि $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $k = 6$ के लिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $k = -6$ है,तो $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ और $\frac{k-3}{k} = \frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$. चूँकि $-\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}$,इसलिए यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$k$ का वह मान जिसके लिए कोई हल नहीं है,वह $-6$ है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$x + 2y - 1 = 0$ .....$(i)$
$(a - b)x + (a + b)y - (a + b - 2) = 0$ .....$(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -1$
$a_2 = (a - b), b_2 = (a + b), c_2 = -(a + b - 2)$
अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} = \frac{-1}{-(a + b - 2)}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b} \Rightarrow a + b = 2a - 2b \Rightarrow a = 3b$ .....$(iii)$
अंतिम दो भागों को लेने पर:
$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b - 2} \Rightarrow 2a + 2b - 4 = a + b \Rightarrow a + b = 4$ .....$(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $a$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$3b + b = 4 \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$
$b = 1$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$a = 3(1) = 3$
अतः,$a = 3$ और $b = 1$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$-x + py - 1 = 0 \quad ...(i)$
$px - y - 1 = 0 \quad ...(ii)$
इन्हें मानक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -1, b_1 = p, c_1 = -1$ (समीकरण $i$ से)
$a_2 = p, b_2 = -1, c_2 = -1$ (समीकरण $ii$ से)
रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल न होने के लिए,रेखाएं समांतर होनी चाहिए,जिसका अर्थ है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{-1}{p} = \frac{p}{-1} \Rightarrow p^2 = 1 \Rightarrow p = \pm 1$
शर्त $\frac{p}{-1} \neq \frac{-1}{-1}$ को लेने पर:
$\frac{p}{-1} \neq 1 \Rightarrow p \neq -1$
अतः,$p = \pm 1$ और $p \neq -1$ होने के कारण,$p$ का केवल एक ही मान $p = 1$ संभव है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
$-3x + 5y - 7 = 0 \dots (i)$
$2px - 3y - 1 = 0 \dots (ii)$
इन्हें मानक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = -3, b_1 = 5, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = -3, c_2 = -1$
रेखाओं के एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
मान रखने पर:
$\frac{-3}{2p} \neq \frac{5}{-3}$
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(-3) \times (-3) \neq 5 \times (2p)$
$9 \neq 10p$
$p \neq \frac{9}{10}$
अतः,$p$ के $\frac{9}{10}$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) माना कि दो व्यक्तियों की आय क्रमशः ₹ $9x$ और ₹ $7x$ है और उनके खर्च क्रमशः ₹ $4y$ और ₹ $3y$ हैं।
चूंकि $\text{आय} - \text{खर्च} = \text{बचत}$,इसलिए:
$9x - 4y = 2000$ $...(1)$
$7x - 3y = 2000$ $...(2)$
इन समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करें:
$27x - 12y = 6000$ $...(3)$
$28x - 12y = 8000$ $...(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000$
$x = 2000$
$x = 2000$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$9(2000) - 4y = 2000$
$18000 - 4y = 2000$
$4y = 16000$
$y = 4000$
अतः,उनकी मासिक आय $9x = 9 \times 2000 = ₹ 18,000$ और $7x = 7 \times 2000 = ₹ 14,000$ है।

(A) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
जब अंकों को उलट दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$(10x + y) + (10y + x) = 66$ है।
$11x + 11y = 66$,जो सरल होकर $x + y = 6$ हो जाता है $...(1)$।
यह दिया गया है कि अंकों का अंतर $2$ है,इसलिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $1$: $x - y = 2$ $...(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2x = 8 \implies x = 4$। $(1)$ में $x=4$ रखने पर,$y = 2$ प्राप्त होता है। संख्या $42$ है।
स्थिति $2$: $y - x = 2$ $...(3)$।
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $2y = 8 \implies y = 4$। $(1)$ में $y=4$ रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है। संख्या $24$ है।
अतः,ऐसी दो संख्याएँ हैं: $42$ और $24$।

(N/A) विलोपन विधि द्वारा:
$x+y=5$ $...(1)$
$2x-3y=4$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x+2y=10$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x+2y) - (2x-3y) = 10 - 4$
$5y = 6$
$y = \frac{6}{5}$ $...(4)$
$y$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \frac{6}{5} = 5$
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{25-6}{5} = \frac{19}{5}$
अतः,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$।
प्रतिस्थापन विधि द्वारा:
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5 - y$ $...(5)$
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(5-y) - 3y = 4$
$10 - 2y - 3y = 4$
$10 - 5y = 4$
$-5y = 4 - 10$
$-5y = -6$
$y = \frac{6}{5}$
$y$ का मान समीकरण $(5)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
अतः,$x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$।

(N/A) विलोपन विधि द्वारा:
$3x + 4y = 10$ $...(1)$
$2x - 2y = 2$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x - 4y = 4$ $...(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$7x = 14$
$x = 2$ $...(4)$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(2) + 4y = 10$
$6 + 4y = 10$
$4y = 4$
$y = 1$
अतः,$x = 2, y = 1$।
प्रतिस्थापन विधि द्वारा:
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 2 + 2y$
$x = 1 + y$ $...(5)$
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(1 + y) + 4y = 10$
$3 + 3y + 4y = 10$
$7y = 7$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(5)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 1 + 1 = 2$
इसलिए,$x = 2, y = 1$।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x - 5y = 4$
$2) 9x - 2y = 7$
विलोपन विधि:
$x$ के गुणांकों को समान करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$9x - 15y = 12$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7$
$-13y = 5$
$y = -5/13$
$y = -5/13$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x - 5(-5/13) = 4$
$3x + 25/13 = 4$
$3x = 4 - 25/13 = (52 - 25)/13 = 27/13$
$x = 9/13$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(1)$ से,$3x = 5y + 4$,इसलिए $x = (5y + 4)/3$.
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$9((5y + 4)/3) - 2y = 7$
$3(5y + 4) - 2y = 7$
$15y + 12 - 2y = 7$
$13y = -5$
$y = -5/13$
अतः $x = (5(-5/13) + 4)/3 = (-25/13 + 52/13)/3 = (27/13)/3 = 9/13$.
इस प्रकार,हल $x = 9/13$ और $y = -5/13$ है.

(X=2, Y=-3) दिए गए समीकरण:
$(1)$ $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$
$(2)$ $x - \frac{y}{3} = 3$
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करके सरल करने पर: $3x + 4y = -6$ $(3)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करके सरल करने पर: $3x - y = 9$ $(4)$
विलोपन विधि:
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9$
$5y = -15 \implies y = -3$
$y = -3$ को समीकरण $(4)$ में रखने पर: $3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(4)$ से,$y = 3x - 9$
इस मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर: $3x + 4(3x - 9) = -6$
$3x + 12x - 36 = -6 \implies 15x = 30 \implies x = 2$
$x = 2$ को $y = 3x - 9$ में रखने पर: $y = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$
अंतिम हल: $x = 2, y = -3$.

(N/A) मान लीजिए कि बेंगलुरु के बस स्टैंड से मल्लेश्वरम का किराया ₹ $x$ है और यशवंतपुर का किराया ₹ $y$ है। दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास है:
$2x + 3y = 46$,अर्थात $2x + 3y - 46 = 0$ $...(1)$
$3x + 5y = 74$,अर्थात $3x + 5y - 74 = 0$ $...(2)$
वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication method) द्वारा समीकरणों को हल करने के लिए,हम गुणांकों का उपयोग इस प्रकार करते हैं:
$\frac{x}{(3)(-74) - (5)(-46)} = \frac{y}{(-46)(3) - (-74)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (3)(3)}$
अर्थात,$\frac{x}{-222 + 230} = \frac{y}{-138 + 148} = \frac{1}{10 - 9}$
अर्थात,$\frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1}$
अतः,$\frac{x}{8} = 1$ और $\frac{y}{10} = 1$,जिससे $x = 8$ और $y = 10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बेंगलुरु के बस स्टैंड से मल्लेश्वरम का किराया ₹ $8$ है और यशवंतपुर का किराया ₹ $10$ है।

(B) दिए गए समीकरण $4x + py + 8 = 0$ और $2x + 2y + 2 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 4, b_{1} = p, c_{1} = 8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 2, c_{2} = 2$
रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{4}{2} \neq \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 \neq \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$p \neq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$4$ को छोड़कर $p$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।

(A) रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $kx + 3y - (k - 3) = 0$ और $12x + ky - k = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ और $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k}$।
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k^2 = 36$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \pm 6$।
$\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$ से,हमें $3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$k = 0$ या $k = 6$।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $k = 6$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x - 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$3x - 9y - 2 = 0$ ... $(2)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -3$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = -2$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y - 5 = 0$
$3x + 2y - 8 = 0$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -8$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(1)(-8) - (2)(-5)} = \frac{y}{(-5)(3) - (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-8 + 10} = \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 - 3}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1}$
अतः,$x = 2$ और $y = 1$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 5y - 20 = 0$ --- $(1)$
$6x - 10y - 40 = 0$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -20$
$a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -40$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती (coincident) हैं।
अतः,इस रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x - 3y - 7 = 0$ ... $(1)$
$3x - 3y - 15 = 0$ ... $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $\frac{1}{3} \neq 1$),इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9}$
$\frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{24} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{24}{6} = 4$
$y$ के लिए: $\frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \implies y = \frac{-6}{6} = -1$
अतः,अद्वितीय हल $x = 4, y = -1$ है।

(A) दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x + 3y - 7 = 0$
$(a-b)x + (a+b)y - (3a + b - 2) = 0$
रैखिक समीकरण युग्म $\frac{a_1}{a_2}x + \frac{b_1}{b_2}y + \frac{c_1}{c_2} = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
यहाँ,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{a-b}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{a+b}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-(3a+b-2)} = \frac{7}{3a+b-2}$ है।
अनुपातों की तुलना करने पर:
$1) \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} \implies 2a + 2b = 3a - 3b \implies a - 5b = 0 \implies a = 5b$ (समीकरण $1$)
$2) \frac{2}{a-b} = \frac{7}{3a+b-2} \implies 6a + 2b - 4 = 7a - 7b \implies a - 9b = -4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $a = 5b$ रखने पर:
$5b - 9b = -4 \implies -4b = -4 \implies b = 1$.
अब,$b = 1$ को $a = 5b$ में रखने पर:
$a = 5(1) = 5$.
अतः,$a = 5$ और $b = 1$ अभीष्ट मान हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$8x + 5y = 9$ $...(i)$
$3x + 2y = 4$ $...(ii)$
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण $(ii)$ से:
$3x = 4 - 2y \implies x = \frac{4 - 2y}{3}$ $...(iii)$
$(iii)$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$8(\frac{4 - 2y}{3}) + 5y = 9$
$32 - 16y + 15y = 27$
$-y = 27 - 32$
$-y = -5 \implies y = 5$
$y = 5$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$x = \frac{4 - 2(5)}{3} = \frac{4 - 10}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
अतः,$x = -2, y = 5$.
वज्र-गुणन विधि:
$8x + 5y - 9 = 0$
$3x + 2y - 4 = 0$
सूत्र $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$
$\frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 - 15}$
$\frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$
$x = -2, y = 5$.

(N/A) माना छात्रावास का नियत मासिक व्यय $x$ है और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
विद्यार्थी $A$ के लिए: $x + 20y = 1000$ $...(1)$
विद्यार्थी $B$ के लिए: $x + 26y = 1180$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 26y) - (x + 20y) = 1180 - 1000$
$6y = 180$
$y = 30$
$y = 30$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 20(30) = 1000$
$x + 600 = 1000$
$x = 400$
अतः,छात्रावास का नियत मासिक व्यय ₹ $400$ है और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ $30$ है।

(A) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \implies 3x - y = 3$ $...(1)$
$\frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \implies 4x - y = 8$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(4x - y) - (3x - y) = 8 - 3$
$x = 5$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(5) - y = 3$
$15 - y = 3$
$y = 12$
अतः,भिन्न $\frac{5}{12}$ है।

(20) माना सही उत्तरों की संख्या $x$ है और गलत उत्तरों की संख्या $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
प्रथम स्थिति के लिए: $3x - y = 40$ $...(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $4x - 2y = 50$
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x - y = 25$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25$
$x = 15$
$x = 15$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(15) - y = 25$
$30 - y = 25$
$y = 5$
अतः,सही उत्तरों की संख्या $15$ है और गलत उत्तरों की संख्या $5$ है।
कुल प्रश्नों की संख्या $= x + y = 15 + 5 = 20$.

(A) माना कि पहली कार की गति $u \ km/h$ और दूसरी कार की गति $v \ km/h$ है।
जब कारें एक ही दिशा में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u - v) \ km/h$ होती है। चूँकि वे $5 \ \text{घंटे}$ में $100 \ km$ की दूरी तय करके मिलती हैं,इसलिए:
$5(u - v) = 100 \Rightarrow u - v = 20 \quad \dots(1)$
जब कारें एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $(u + v) \ km/h$ होती है। चूँकि वे $1 \ \text{घंटे}$ में $100 \ km$ की दूरी तय करके मिलती हैं,इसलिए:
$1(u + v) = 100 \Rightarrow u + v = 100 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(u - v) + (u + v) = 20 + 100$
$2u = 120 \Rightarrow u = 60 \ km/h$
$u = 60$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$60 + v = 100 \Rightarrow v = 40 \ km/h$
अतः,पहली कार की गति $60 \ km/h$ और दूसरी कार की गति $40 \ km/h$ है।

(A) माना कि आयत की लंबाई $x$ इकाई और चौड़ाई $y$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= x y$
प्रथम शर्त के अनुसार:
$(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$3x - 5y = 6$ ...$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$2x + 3y = 61$ ...$(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$\frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (-5)(2)}$
$\frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10}$
$\frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19}$
$x = \frac{323}{19} = 17$
$y = \frac{171}{19} = 9$
अतः,लंबाई $17$ इकाई और चौड़ाई $9$ इकाई है।

(N/A) माना कि स्थिर पानी में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
अतः धारा के अनुकूल नाव की गति $= (x+y)\, km/h$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $= (x-y)\, km/h$ होगी।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करते हुए।
प्रथम स्थिति में,$30\, km$ धारा के प्रतिकूल और $44\, km$ धारा के अनुकूल जाने में कुल $10\, \text{घंटे}$ लगते हैं:
$\frac{30}{x-y} + \frac{44}{x+y} = 10 \quad ...(1)$
दूसरी स्थिति में,$40\, km$ धारा के प्रतिकूल और $55\, km$ धारा के अनुकूल जाने में कुल $13\, \text{घंटे}$ लगते हैं:
$\frac{40}{x-y} + \frac{55}{x+y} = 13 \quad ...(2)$
माना $\frac{1}{x-y} = u$ और $\frac{1}{x+y} = v \quad ...(3)$
इन मानों को समीकरण $(1)$ और $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$30u + 44v = 10 \quad ...(4)$
$40u + 55v = 13 \quad ...(5)$
विलोपन विधि का उपयोग करके हल करने पर:
समीकरण $(4)$ को $4$ से और $(5)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
समीकरणों को घटाने पर: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}.$
$v = \frac{1}{11}$ को समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}.$
अब,$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$ और $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{11} \implies x+y = 11.$
इन्हें जोड़ने पर: $2x = 16 \implies x = 8.$
इन्हें घटाने पर: $2y = 6 \implies y = 3.$
अतः,स्थिर पानी में नाव की गति $8\, km/h$ है और धारा की गति $3\, km/h$ है।