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Elimination Method Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Pair of Linear Equations in Two Variables · Elimination Method
57+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 57 questions in Hindi
1
MediumMCQ
यदि $x=a$ और $y=b$ समीकरणों $x-y=2$ और $x+y=4$ का हल है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?
A
$3$ और $1$
B
$3$ और $5$
C
$5$ और $3$
D
$-1$ और $-3$
Solution
(A) दिया गया है कि $(x=a, y=b)$ रैखिक समीकरणों के निकाय का हल है:
$x-y=2$ $\cdots$ $(i)$
$x+y=4$ $\cdots$ $(ii)$
चूंकि $(a, b)$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए हम $x=a$ और $y=b$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a-b=2$ $\cdots$ $(iii)$
$a+b=4$ $\cdots$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(a-b) + (a+b) = 2 + 4$
$2a = 6$
$a = 3$
अब $a=3$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$
अतः,$a$ और $b$ के मान क्रमशः $3$ और $1$ हैं।
$x-y=2$ $\cdots$ $(i)$
$x+y=4$ $\cdots$ $(ii)$
चूंकि $(a, b)$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए हम $x=a$ और $y=b$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a-b=2$ $\cdots$ $(iii)$
$a+b=4$ $\cdots$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(a-b) + (a+b) = 2 + 4$
$2a = 6$
$a = 3$
अब $a=3$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$
अतः,$a$ और $b$ के मान क्रमशः $3$ और $1$ हैं।
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MediumMCQ
अरुणा के पास केवल $Rs. 1$ और $Rs. 2$ के सिक्के हैं। यदि उसके पास सिक्कों की कुल संख्या $50$ है और उसके पास कुल राशि $Rs. 75$ है,तो $Rs. 1$ और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या क्रमशः क्या है?
A
$35$ और $15$
B
$25$ और $25$
C
$35$ और $20$
D
$15$ और $35$
Solution
(B) माना $Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $x$ है और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या $y$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $50$ है,इसलिए $x + y = 50$ (समीकरण $i$)।
कुल राशि $Rs. 75$ है,इसलिए $1x + 2y = 75$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 50$
$y = 25$।
अब,$y = 25$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$x + 25 = 50$
$x = 25$।
अतः,$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $25$ है और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या $25$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $50$ है,इसलिए $x + y = 50$ (समीकरण $i$)।
कुल राशि $Rs. 75$ है,इसलिए $1x + 2y = 75$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 50$
$y = 25$।
अब,$y = 25$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$x + 25 = 50$
$x = 25$।
अतः,$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $25$ है और $Rs. 2$ के सिक्कों की संख्या $25$ है।
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View Solution3
Medium
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभावित हल ज्ञात करने के लिए विलोपन विधि का उपयोग करें:
$2x + 3y = 8$ $...(1)$
$4x + 6y = 7$ $...(2)$
$2x + 3y = 8$ $...(1)$
$4x + 6y = 7$ $...(2)$
Solution
(D) चरण $1$: $x$ के गुणांकों को समान करने के लिए समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $1$ से गुणा करें। तब हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$4x + 6y = 16$ $...(3)$
$4x + 6y = 7$ $...(4)$
चरण $2$: समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$
अर्थात,$0 = 9$,जो कि एक असत्य कथन है।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।
$4x + 6y = 16$ $...(3)$
$4x + 6y = 7$ $...(4)$
चरण $2$: समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$
अर्थात,$0 = 9$,जो कि एक असत्य कथन है।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।
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View Solution4
Difficult
निम्नलिखित समस्या के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और विलोपन विधि द्वारा उनके हल ज्ञात कीजिए (यदि उनका अस्तित्व है):
यदि हम अंश में $1$ जोड़ दें और हर में से $1$ घटा दें,तो एक भिन्न $1$ में बदल जाती है। यदि हम केवल हर में $1$ जोड़ दें,तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
यदि हम अंश में $1$ जोड़ दें और हर में से $1$ घटा दें,तो एक भिन्न $1$ में बदल जाती है। यदि हम केवल हर में $1$ जोड़ दें,तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
Solution
(N/A) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{x+1}{y-1} = 1 \implies x+1 = y-1 \implies x-y = -2$ $...(1)$
$\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = y+1 \implies 2x-y = 1$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x-y) - (x-y) = 1 - (-2)$
$2x - y - x + y = 1 + 2$
$x = 3$ $...(3)$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 - y = -2$
$-y = -2 - 3$
$-y = -5$
$y = 5$
अतः,भिन्न $\frac{3}{5}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{x+1}{y-1} = 1 \implies x+1 = y-1 \implies x-y = -2$ $...(1)$
$\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = y+1 \implies 2x-y = 1$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x-y) - (x-y) = 1 - (-2)$
$2x - y - x + y = 1 + 2$
$x = 3$ $...(3)$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3 - y = -2$
$-y = -2 - 3$
$-y = -5$
$y = 5$
अतः,भिन्न $\frac{3}{5}$ है।
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View Solution5
Medium
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
पाँच वर्ष पूर्व,नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात,नूरी की आयु सोनू की आयु की दोगुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
पाँच वर्ष पूर्व,नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात,नूरी की आयु सोनू की आयु की दोगुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
Solution
(N/A) माना नूरी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पाँच वर्ष पूर्व,नूरी की आयु $(x-5)$ थी और सोनू की आयु $(y-5)$ थी।
$(x-5) = 3(y-5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ $...(1)$
दस वर्ष पश्चात,नूरी की आयु $(x+10)$ होगी और सोनू की आयु $(y+10)$ होगी।
$(x+10) = 2(y+10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x - 3(20) = -10$
$x - 60 = -10$
$x = 50$
अतः,नूरी की वर्तमान आयु $50$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $20$ वर्ष है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पाँच वर्ष पूर्व,नूरी की आयु $(x-5)$ थी और सोनू की आयु $(y-5)$ थी।
$(x-5) = 3(y-5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ $...(1)$
दस वर्ष पश्चात,नूरी की आयु $(x+10)$ होगी और सोनू की आयु $(y+10)$ होगी।
$(x+10) = 2(y+10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x - 3(20) = -10$
$x - 60 = -10$
$x = 50$
अतः,नूरी की वर्तमान आयु $50$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $20$ वर्ष है।
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View Solution6
MediumMCQ
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और विलोपन विधि द्वारा उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग $9$ है। इस संख्या का $9$ गुना,संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का $2$ गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग $9$ है। इस संख्या का $9$ गुना,संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का $2$ गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$18$
B
$81$
C
$27$
D
$72$
Solution
(A) माना कि इकाई का अंक $x$ है और दहाई का अंक $y$ है। अतः,संख्या $10y + x$ होगी।
प्रथम शर्त के अनुसार,अंकों का योग $9$ है:
$x + y = 9$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,संख्या का $9$ गुना,अंकों को पलटने से बनी संख्या के $2$ गुने के बराबर है:
$9(10y + x) = 2(10x + y)$
$90y + 9x = 20x + 2y$
$88y - 11x = 0$
$11$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$8y - x = 0$ या $-x + 8y = 0$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + 8y) = 9 + 0$
$9y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 1 = 9$
$x = 8$
अतः,वह संख्या $10y + x = 10(1) + 8 = 18$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार,अंकों का योग $9$ है:
$x + y = 9$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,संख्या का $9$ गुना,अंकों को पलटने से बनी संख्या के $2$ गुने के बराबर है:
$9(10y + x) = 2(10x + y)$
$90y + 9x = 20x + 2y$
$88y - 11x = 0$
$11$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$8y - x = 0$ या $-x + 8y = 0$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (-x + 8y) = 9 + 0$
$9y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 1 = 9$
$x = 8$
अतः,वह संख्या $10y + x = 10(1) + 8 = 18$ है।
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View Solution7
Medium
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए।
मीना ₹ $2000$ निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ $50$ तथा ₹ $100$ के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल $25$ नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ $50$ और ₹ $100$ के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
मीना ₹ $2000$ निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ $50$ तथा ₹ $100$ के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल $25$ नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ $50$ और ₹ $100$ के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
Solution
(A) माना कि ₹ $50$ के नोटों की संख्या $x$ है और ₹ $100$ के नोटों की संख्या $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$1$. नोटों की कुल संख्या $25$ है,इसलिए $x + y = 25$ $...(1)$
$2$. नोटों का कुल मूल्य ₹ $2000$ है,इसलिए $50x + 100y = 2000$ $...(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $50$ से गुणा करें:
$50x + 50y = 1250$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(50x + 100y) - (50x + 50y) = 2000 - 1250$
$50y = 750$
$y = 15$
$y = 15$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 15 = 25$
$x = 10$
अतः,मीना ने ₹ $50$ के $10$ नोट और ₹ $100$ के $15$ नोट प्राप्त किए।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$1$. नोटों की कुल संख्या $25$ है,इसलिए $x + y = 25$ $...(1)$
$2$. नोटों का कुल मूल्य ₹ $2000$ है,इसलिए $50x + 100y = 2000$ $...(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $50$ से गुणा करें:
$50x + 50y = 1250$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(50x + 100y) - (50x + 50y) = 2000 - 1250$
$50y = 750$
$y = 15$
$y = 15$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 15 = 25$
$x = 10$
अतः,मीना ने ₹ $50$ के $10$ नोट और ₹ $100$ के $15$ नोट प्राप्त किए।
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View Solution8
Medium
निम्नलिखित समस्या के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और विलोपन विधि का उपयोग करके उनके हल ज्ञात कीजिए:
एक पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ $27$ अदा किए,जबकि सूसी ने पाँच दिनों तक पुस्तक रखने के लिए ₹ $21$ अदा किए। नियत किराया और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
एक पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ $27$ अदा किए,जबकि सूसी ने पाँच दिनों तक पुस्तक रखने के लिए ₹ $21$ अदा किए। नियत किराया और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि प्रथम तीन दिनों का नियत किराया $Rs$ $x$ है और उसके बाद प्रत्येक दिन का अतिरिक्त किराया $Rs$ $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
सरिता के लिए: पुस्तक $7$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $4$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 4y = 27$ $...(1)$
सूसी के लिए: पुस्तक $5$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $2$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 2y = 21$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 27 - 21$
$2y = 6$
$y = 3$ $...(3)$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 4(3) = 27$
$x + 12 = 27$
$x = 15$
अतः,नियत किराया $Rs$ $15$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया $Rs$ $3$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
सरिता के लिए: पुस्तक $7$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $4$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 4y = 27$ $...(1)$
सूसी के लिए: पुस्तक $5$ दिनों तक रखी गई थी। इसमें $3$ दिन नियत और $2$ दिन अतिरिक्त हैं। अतः,$x + 2y = 21$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 27 - 21$
$2y = 6$
$y = 3$ $...(3)$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 4(3) = 27$
$x + 12 = 27$
$x = 15$
अतः,नियत किराया $Rs$ $15$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया $Rs$ $3$ है।
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View Solution9
Difficult
समीकरणों के युग्म को हल कीजिए:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13$
$\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2$
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13$
$\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2$
Solution
(N/A) दिए गए समीकरणों के युग्म को इस प्रकार लिखें:
$2\left(\frac{1}{x}\right) + 3\left(\frac{1}{y}\right) = 13$ $...(1)$
$5\left(\frac{1}{x}\right) - 4\left(\frac{1}{y}\right) = -2$ $...(2)$
ये समीकरण मानक रूप $ax + by + c = 0$ में नहीं हैं। यदि हम $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$ प्रतिस्थापित करें,तो समीकरण $(1)$ और $(2)$ से हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 13$ $...(3)$
$5p - 4q = -2$ $...(4)$
अब,हम इन समीकरणों को विलोपन विधि से हल करते हैं। समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8p + 12q = 52$ $...(5)$
$15p - 12q = -6$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$23p = 46 \implies p = 2$
$p = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(2) + 3q = 13 \implies 4 + 3q = 13 \implies 3q = 9 \implies q = 3$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$ और $q = \frac{1}{y}$,इसलिए:
$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः,हल $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है।
$2\left(\frac{1}{x}\right) + 3\left(\frac{1}{y}\right) = 13$ $...(1)$
$5\left(\frac{1}{x}\right) - 4\left(\frac{1}{y}\right) = -2$ $...(2)$
ये समीकरण मानक रूप $ax + by + c = 0$ में नहीं हैं। यदि हम $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$ प्रतिस्थापित करें,तो समीकरण $(1)$ और $(2)$ से हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 13$ $...(3)$
$5p - 4q = -2$ $...(4)$
अब,हम इन समीकरणों को विलोपन विधि से हल करते हैं। समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8p + 12q = 52$ $...(5)$
$15p - 12q = -6$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$23p = 46 \implies p = 2$
$p = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(2) + 3q = 13 \implies 4 + 3q = 13 \implies 3q = 9 \implies q = 3$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$ और $q = \frac{1}{y}$,इसलिए:
$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः,हल $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है।
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View Solution10
Difficult
निम्नलिखित समीकरण युग्म को रैखिक समीकरण युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$
$\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$
$\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$
$\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$
Solution
(A) माना कि $\frac{1}{x-1} = p$ और $\frac{1}{y-2} = q$ है। तब दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$5p + q = 2$ $...(1)$
$6p - 3q = 1$ $...(2)$
इन्हें हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$15p + 3q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6p - 3q) + (15p + 3q) = 1 + 6$
$21p = 7$
$p = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$p = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + q = 2$
$\frac{5}{3} + q = 2$
$q = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$p$ और $q$ के मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।
$5p + q = 2$ $...(1)$
$6p - 3q = 1$ $...(2)$
इन्हें हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करें:
$15p + 3q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6p - 3q) + (15p + 3q) = 1 + 6$
$21p = 7$
$p = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$p = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + q = 2$
$\frac{5}{3} + q = 2$
$q = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$p$ और $q$ के मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।
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View Solution11
Difficult
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2$
$\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{y}} = -1$
$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2$
$\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{y}} = -1$
Solution
(X=4, Y=9) माना कि $\frac{1}{\sqrt{x}} = p$ और $\frac{1}{\sqrt{y}} = q$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 2$ $...(1)$
$4p - 9q = -1$ $...(2)$
$q$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6p + 9q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(4p - 9q) + (6p + 9q) = -1 + 6$
$10p = 5$
$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$p = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(\frac{1}{2}) + 3q = 2$
$1 + 3q = 2$
$3q = 1$
$q = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$
$q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9$
अतः,हल $x = 4, y = 9$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2p + 3q = 2$ $...(1)$
$4p - 9q = -1$ $...(2)$
$q$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6p + 9q = 6$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(4p - 9q) + (6p + 9q) = -1 + 6$
$10p = 5$
$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$p = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(\frac{1}{2}) + 3q = 2$
$1 + 3q = 2$
$3q = 1$
$q = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$
$q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9$
अतः,हल $x = 4, y = 9$ है।
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Medium
निम्नलिखित समीकरण युग्म को रैखिक समीकरण युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{4}{x} + 3y = 14$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$
$\frac{4}{x} + 3y = 14$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{4}{x} + 3y = 14$ $...(1)$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$ $...(2)$
माना $\frac{1}{x} = p$। इसे समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$4p + 3y = 14$ $...(3)$
$3p - 4y = 23$ $...(4)$
विलोपन विधि का उपयोग करते हुए,समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16p + 12y = 56$ $...(5)$
$9p - 12y = 69$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$25p = 125$
$p = 5$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{1}{x} = 5$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{5}$।
$p = 5$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$4(5) + 3y = 14$
$20 + 3y = 14$
$3y = 14 - 20$
$3y = -6$
$y = -2$
अतः,हल $x = \frac{1}{5}$ और $y = -2$ है।
$\frac{4}{x} + 3y = 14$ $...(1)$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$ $...(2)$
माना $\frac{1}{x} = p$। इसे समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$4p + 3y = 14$ $...(3)$
$3p - 4y = 23$ $...(4)$
विलोपन विधि का उपयोग करते हुए,समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16p + 12y = 56$ $...(5)$
$9p - 12y = 69$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ और $(6)$ को जोड़ने पर:
$25p = 125$
$p = 5$
चूंकि $p = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{1}{x} = 5$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{5}$।
$p = 5$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$4(5) + 3y = 14$
$20 + 3y = 14$
$3y = 14 - 20$
$3y = -6$
$y = -2$
अतः,हल $x = \frac{1}{5}$ और $y = -2$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$
$\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$
$\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$
$\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$
A
$x = 4, y = 5$
B
$x = 5, y = 4$
C
$x = 2, y = 3$
D
$x = 3, y = 2$
Solution
(A) माना कि $u = \frac{1}{x-1}$ और $v = \frac{1}{y-2}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$\frac{5}{3} + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$u$ और $v$ के मूल मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$\frac{5}{3} + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$u$ और $v$ के मूल मान वापस रखने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $x = 4, y = 5$ है।
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Medium
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को रैखिक समीकरण युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
$\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$2$) $\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
चरण $1$: अंश के प्रत्येक पद को हर $xy$ से विभाजित करके समीकरणों को सरल करें:
समीकरण $(1)$ बनता है: $\frac{7x}{xy} - \frac{2y}{xy} = 5 \implies \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5$
समीकरण $(2)$ बनता है: $\frac{8x}{xy} + \frac{7y}{xy} = 15 \implies \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15$
चरण $2$: मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(i)$ $-2u + 7v = 5$
(ii) $7u + 8v = 15$
चरण $3$: विलोपन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें।
समीकरण $(i)$ को $7$ से और (ii) को $2$ से गुणा करें:
$-14u + 49v = 35$
$14u + 16v = 30$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $65v = 65 \implies v = 1$।
चरण $4$: $v = 1$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$-2u + 7(1) = 5 \implies -2u = -2 \implies u = 1$।
चरण $5$: $x$ और $y$ ज्ञात करें:
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1$।
अंतिम उत्तर: $x = 1, y = 1$।
$1$) $\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$2$) $\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
चरण $1$: अंश के प्रत्येक पद को हर $xy$ से विभाजित करके समीकरणों को सरल करें:
समीकरण $(1)$ बनता है: $\frac{7x}{xy} - \frac{2y}{xy} = 5 \implies \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5$
समीकरण $(2)$ बनता है: $\frac{8x}{xy} + \frac{7y}{xy} = 15 \implies \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15$
चरण $2$: मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(i)$ $-2u + 7v = 5$
(ii) $7u + 8v = 15$
चरण $3$: विलोपन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें।
समीकरण $(i)$ को $7$ से और (ii) को $2$ से गुणा करें:
$-14u + 49v = 35$
$14u + 16v = 30$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $65v = 65 \implies v = 1$।
चरण $4$: $v = 1$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$-2u + 7(1) = 5 \implies -2u = -2 \implies u = 1$।
चरण $5$: $x$ और $y$ ज्ञात करें:
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1$।
अंतिम उत्तर: $x = 1, y = 1$।
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Difficult
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4$
$\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2$
$\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4$
$\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2$
Solution
(X=3, Y=2) माना $u = \frac{1}{x+y}$ और $v = \frac{1}{x-y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$10u + 2v = 4$ --- $(1)$
$15u - 5v = -2$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$50u + 10v = 20$
$30u - 10v = -4$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $80u = 16$,अतः $u = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$।
$u = \frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{1}{5}) + 2v = 4 \implies 2 + 2v = 4 \implies 2v = 2 \implies v = 1$।
अब,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
और $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर: $2x = 6 \implies x = 3$।
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $2y = 4 \implies y = 2$।
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$10u + 2v = 4$ --- $(1)$
$15u - 5v = -2$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$50u + 10v = 20$
$30u - 10v = -4$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $80u = 16$,अतः $u = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$।
$u = \frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{1}{5}) + 2v = 4 \implies 2 + 2v = 4 \implies 2v = 2 \implies v = 1$।
अब,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
और $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर: $2x = 6 \implies x = 3$।
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $2y = 4 \implies y = 2$।
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।
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Difficult
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$px + qy = p - q$
$qx - py = p + q$
$px + qy = p - q$
$qx - py = p + q$
Solution
(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$px + qy = p - q \quad \dots(1)$
$qx - py = p + q \quad \dots(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $p$ से और समीकरण $(2)$ को $q$ से गुणा करने पर:
$p(px + qy) = p(p - q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \quad \dots(3)$
$q(qx - py) = q(p + q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2)$
$p^2x + q^2x = p^2 + q^2$
$x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2$
$x = \frac{p^2 + q^2}{p^2 + q^2} = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$p(1) + qy = p - q$
$p + qy = p - q$
$qy = -q$
$y = -1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।
$px + qy = p - q \quad \dots(1)$
$qx - py = p + q \quad \dots(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $p$ से और समीकरण $(2)$ को $q$ से गुणा करने पर:
$p(px + qy) = p(p - q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \quad \dots(3)$
$q(qx - py) = q(p + q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2)$
$p^2x + q^2x = p^2 + q^2$
$x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2$
$x = \frac{p^2 + q^2}{p^2 + q^2} = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$p(1) + qy = p - q$
$p + qy = p - q$
$qy = -q$
$y = -1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।
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Difficult
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$ax + by = c$
$bx + ay = 1 + c$
$ax + by = c$
$bx + ay = 1 + c$
Solution
(N/A) $ax + by = c \dots(1)$
$bx + ay = 1 + c \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $a$ से और समीकरण $(2)$ को $b$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2x + aby = ac \dots(3)$
$b^2x + aby = b + bc \dots(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(a^2 - b^2)x = ac - bc - b$
$x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a \left[ \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2} \right] + by = c$
$by = c - \frac{ac(a - b) - ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{c(a^2 - b^2) - (a^2c - abc - ab)}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{abc - b^2c + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{bc(a - b) + ab}{a^2 - b^2}$
$y = \frac{c(a - b) + a}{a^2 - b^2}$
$bx + ay = 1 + c \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $a$ से और समीकरण $(2)$ को $b$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2x + aby = ac \dots(3)$
$b^2x + aby = b + bc \dots(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(a^2 - b^2)x = ac - bc - b$
$x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}$
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a \left[ \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2} \right] + by = c$
$by = c - \frac{ac(a - b) - ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{c(a^2 - b^2) - (a^2c - abc - ab)}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{abc - b^2c + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{bc(a - b) + ab}{a^2 - b^2}$
$y = \frac{c(a - b) + a}{a^2 - b^2}$
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Medium
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$
$ax + by = a^2 + b^2$
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$
$ax + by = a^2 + b^2$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0 \quad \dots(1)$
$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $b$ से और समीकरण $(2)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$b^2x - aby = 0 \quad \dots(3)$
$a^2x + aby = a(a^2 + b^2) = a^3 + ab^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(b^2x - aby) + (a^2x + aby) = 0 + a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$
$x = a$
$x = a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$b(a) - ay = 0$
$ab - ay = 0$
$ay = ab$
$y = b$
अतः,हल $x = a$ और $y = b$ है।
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0 \quad \dots(1)$
$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots(2)$
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $b$ से और समीकरण $(2)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$b^2x - aby = 0 \quad \dots(3)$
$a^2x + aby = a(a^2 + b^2) = a^3 + ab^2 \quad \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(b^2x - aby) + (a^2x + aby) = 0 + a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$
$x = a$
$x = a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$b(a) - ay = 0$
$ab - ay = 0$
$ay = ab$
$y = b$
अतः,हल $x = a$ और $y = b$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
$4x + \frac{6}{y} = 15$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$
$4x + \frac{6}{y} = 15$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$
A
$3, 2$
B
$4, 6$
C
$11, 13$
D
$8, 5$
Solution
(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$4x + \frac{6}{y} = 15$ ..... $(i)$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$ ..... $(ii)$
मान लीजिए $u = \frac{1}{y}$,तो समीकरण इस प्रकार होंगे:
$4x + 6u = 15$ ..... $(iii)$
$6x - 8u = 14$ ..... $(iv)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $4$ से और समीकरण $(iv)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16x + 24u = 60$ ..... $(v)$
$18x - 24u = 42$ ..... $(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$(16x + 18x) + (24u - 24u) = 60 + 42$
$34x = 102$
$x = \frac{102}{34} = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$4(3) + 6u = 15$
$12 + 6u = 15$
$6u = 15 - 12 = 3$
$u = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि $u = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $y = 2$.
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।
$4x + \frac{6}{y} = 15$ ..... $(i)$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$ ..... $(ii)$
मान लीजिए $u = \frac{1}{y}$,तो समीकरण इस प्रकार होंगे:
$4x + 6u = 15$ ..... $(iii)$
$6x - 8u = 14$ ..... $(iv)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $4$ से और समीकरण $(iv)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16x + 24u = 60$ ..... $(v)$
$18x - 24u = 42$ ..... $(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$(16x + 18x) + (24u - 24u) = 60 + 42$
$34x = 102$
$x = \frac{102}{34} = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$4(3) + 6u = 15$
$12 + 6u = 15$
$6u = 15 - 12 = 3$
$u = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि $u = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $y = 2$.
अतः,हल $x = 3$ और $y = 2$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8, \quad x, y \neq 0$
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8, \quad x, y \neq 0$
A
$\frac{1}{5}, \frac{1}{4}$
B
$\frac{1}{6}, \frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{6}, \frac{1}{5}$
D
$\frac{1}{5}, \frac{1}{9}$
Solution
(B) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$ ........ $(i)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8$ ........ $(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{u}{2} - v = -1 \Rightarrow u - 2v = -2$ ........ $(iii)$
$u + \frac{v}{2} = 8 \Rightarrow 2u + v = 16$ ........ $(iv)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(iv)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4u + 2v = 32$ ........ $(v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ को जोड़ने पर:
$(u - 2v) + (4u + 2v) = -2 + 32$
$5u = 30 \Rightarrow u = 6$
$u = 6$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$2(6) + v = 16 \Rightarrow 12 + v = 16 \Rightarrow v = 4$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 6$,इसलिए $x = \frac{1}{6}$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 4$,इसलिए $y = \frac{1}{4}$।
अतः,हल $x = \frac{1}{6}$ और $y = \frac{1}{4}$ है।
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$ ........ $(i)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8$ ........ $(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{u}{2} - v = -1 \Rightarrow u - 2v = -2$ ........ $(iii)$
$u + \frac{v}{2} = 8 \Rightarrow 2u + v = 16$ ........ $(iv)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(iv)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4u + 2v = 32$ ........ $(v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ को जोड़ने पर:
$(u - 2v) + (4u + 2v) = -2 + 32$
$5u = 30 \Rightarrow u = 6$
$u = 6$ का मान समीकरण $(iv)$ में रखने पर:
$2(6) + v = 16 \Rightarrow 12 + v = 16 \Rightarrow v = 4$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 6$,इसलिए $x = \frac{1}{6}$।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 4$,इसलिए $y = \frac{1}{4}$।
अतः,हल $x = \frac{1}{6}$ और $y = \frac{1}{4}$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0$
A
$a^{2}, b^{2}$
B
$a^{-2}, b^{2}$
C
$a^{3}, b^{3}$
D
$a^{2}, b^{-2}$
Solution
(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
समीकरण $(i)$ को $\frac{1}{a}$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ को काटने पर:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
अतः,हल $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है।
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
समीकरण $(i)$ को $\frac{1}{a}$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ को काटने पर:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
अतः,हल $x = a^{2}$ और $y = b^{2}$ है।
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DifficultMCQ
समीकरणों के युग्म $\frac{x}{10} + \frac{y}{5} - 1 = 0$ और $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15$ का हल ज्ञात कीजिए। अतः,यदि $y = \lambda x + 5$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$x = -340, y = -165, \lambda = -\frac{1}{2}$
B
$x = 340, y = -165, \lambda = -\frac{1}{2}$
C
$x = 340, y = 165, \lambda = -\frac{1}{2}$
D
$x = 340, y = -165, \lambda = \frac{1}{2}$
Solution
(B) दिए गए समीकरणों का युग्म है:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $10$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y = 10 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
समीकरण $(iv)$ में से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
संबंध $y = \lambda x + 5$ में $x = 340$ और $y = -165$ रखने पर:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 340, y = -165$ है और $\lambda = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $10$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y = 10 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
समीकरण $(iv)$ में से समीकरण $(v)$ को घटाने पर:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
संबंध $y = \lambda x + 5$ में $x = 340$ और $y = -165$ रखने पर:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 340, y = -165$ है और $\lambda = -\frac{1}{2}$ है।
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MediumMCQ
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $2x + y = 4$ और $x + 3y = 7$.
A
$(0, 0)$
B
$(1, 2)$
C
$(1, -1)$
D
$(-1, 3)$
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y = 4$ --- $(1)$
$x + 3y = 7$ --- $(2)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2(x + 3y) = 2(7) \implies 2x + 6y = 14$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 14 - 4$
$5y = 10$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।
$2x + y = 4$ --- $(1)$
$x + 3y = 7$ --- $(2)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2(x + 3y) = 2(7) \implies 2x + 6y = 14$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 14 - 4$
$5y = 10$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।
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MediumMCQ
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 2, 4x + 3y = 25$.
A
$(0, 0)$
B
$(1, 2)$
C
$(4, 3)$
D
$(8, 5)$
Solution
(C) सबसे पहले,हम समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 2$ को $12$ से गुणा करते हैं ताकि इसे पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण में बदला जा सके:
$3x + 4y = 24$ .......... $(1)$
$4x + 3y = 25$ .......... $(2)$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करते हैं:
$12x + 16y = 96$ .......... $(3)$
$12x + 9y = 75$ .......... $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(12x - 12x) + (16y - 9y) = 96 - 75$
$7y = 21$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(3) = 24$
$3x + 12 = 24$
$3x = 12$
$x = 4$
अतः,दिए गए समीकरण युग्म का हल $(x, y) = (4, 3)$ है।
$3x + 4y = 24$ .......... $(1)$
$4x + 3y = 25$ .......... $(2)$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करते हैं:
$12x + 16y = 96$ .......... $(3)$
$12x + 9y = 75$ .......... $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(12x - 12x) + (16y - 9y) = 96 - 75$
$7y = 21$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(3) = 24$
$3x + 12 = 24$
$3x = 12$
$x = 4$
अतः,दिए गए समीकरण युग्म का हल $(x, y) = (4, 3)$ है।
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MediumMCQ
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $5x + 6y = 14$ और $3x - 2y = -14$.
A
$(2, 2)$
B
$(1, 0)$
C
$(1, 3)$
D
$(-2, 4)$
Solution
(D) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 6y = 14$ ............ $(1)$
$3x - 2y = -14$ ............ $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3(3x - 2y) = 3(-14) \implies 9x - 6y = -42$ ............ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(5x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + (-42)$
$14x = -28$
$x = \frac{-28}{14} = -2$
$x = -2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(-2) + 6y = 14$
$-10 + 6y = 14$
$6y = 14 + 10$
$6y = 24$
$y = \frac{24}{6} = 4$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 4)$ है।
$5x + 6y = 14$ ............ $(1)$
$3x - 2y = -14$ ............ $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3(3x - 2y) = 3(-14) \implies 9x - 6y = -42$ ............ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(5x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + (-42)$
$14x = -28$
$x = \frac{-28}{14} = -2$
$x = -2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(-2) + 6y = 14$
$-10 + 6y = 14$
$6y = 14 + 10$
$6y = 24$
$y = \frac{24}{6} = 4$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 4)$ है।
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MediumMCQ
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $0.4 x + 0.3 y = 1.7, 0.7 x - 0.2 y = 0.8$
A
$(2, 3)$
B
$(3, 2)$
C
$(-2, -2)$
D
$(-3, 0)$
Solution
(A) दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को $10$ से गुणा करने पर:
$4x + 3y = 17$ ............. $(1)$
$7x - 2y = 8$ ............. $(2)$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 6y = 34$
$21x - 6y = 24$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(8x + 21x) + (6y - 6y) = 34 + 24$
$29x = 58$
$x = \frac{58}{29} = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$4(2) + 3y = 17$
$8 + 3y = 17$
$3y = 17 - 8$
$3y = 9$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
$4x + 3y = 17$ ............. $(1)$
$7x - 2y = 8$ ............. $(2)$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 6y = 34$
$21x - 6y = 24$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(8x + 21x) + (6y - 6y) = 34 + 24$
$29x = 58$
$x = \frac{58}{29} = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$4(2) + 3y = 17$
$8 + 3y = 17$
$3y = 17 - 8$
$3y = 9$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$x + 3y - 6 = 0$
$2x - y = 5$
$x + 3y - 6 = 0$
$2x - y = 5$
A
$(2, 2)$
B
$(7, 0)$
C
$(0, 0)$
D
$(3, 1)$
Solution
(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 3y = 6$
$(2) 2x - y = 5$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$3(2x - y) = 3(5) \implies 6x - 3y = 15$ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ को जोड़ें:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 6 + 15$
$7x = 21$
$x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(3) - y = 5$
$6 - y = 5$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (3, 1)$ है।
$(1) x + 3y = 6$
$(2) 2x - y = 5$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$3(2x - y) = 3(5) \implies 6x - 3y = 15$ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ को जोड़ें:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 6 + 15$
$7x = 21$
$x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(3) - y = 5$
$6 - y = 5$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (3, 1)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$4x - 3y = 5$
$\frac{5}{2}x - y = 4$
$4x - 3y = 5$
$\frac{5}{2}x - y = 4$
A
$(2, 1)$
B
$(1, 1)$
C
$(1, 0)$
D
$(0, 0)$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \quad 4x - 3y = 5$
$(2) \quad \frac{5}{2}x - y = 4$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3 \times (\frac{5}{2}x - y) = 3 \times 4$
$\frac{15}{2}x - 3y = 12 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(\frac{15}{2}x - 3y) - (4x - 3y) = 12 - 5$
$\frac{15}{2}x - 4x = 7$
$\frac{15x - 8x}{2} = 7$
$\frac{7x}{2} = 7$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{5}{2}(2) - y = 4$
$5 - y = 4$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (2, 1)$ है।
$(1) \quad 4x - 3y = 5$
$(2) \quad \frac{5}{2}x - y = 4$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3 \times (\frac{5}{2}x - y) = 3 \times 4$
$\frac{15}{2}x - 3y = 12 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(\frac{15}{2}x - 3y) - (4x - 3y) = 12 - 5$
$\frac{15}{2}x - 4x = 7$
$\frac{15x - 8x}{2} = 7$
$\frac{7x}{2} = 7$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{5}{2}(2) - y = 4$
$5 - y = 4$
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (2, 1)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$\frac{x}{2} + \frac{3y}{5} + 1 = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{1}{3} = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{3y}{5} + 1 = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{1}{3} = 0$
A
$(1, 1)$
B
$(4, -5)$
C
$(2, 1)$
D
$(3, 5)$
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{x}{2} + \frac{3y}{5} = -1$
$2) \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{3}$
$x$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(\frac{x}{2} + \frac{3y}{5}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = -1 - \frac{1}{3}$
$\frac{3y}{5} - \frac{y}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{9y - 5y}{15} = -\frac{4}{3}$
$\frac{4y}{15} = -\frac{4}{3}$
$y = -\frac{4}{3} \times \frac{15}{4} = -5$
$y = -5$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{-5}{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$x = 4$
अतः,हल $(x, y) = (4, -5)$ है।
$1) \frac{x}{2} + \frac{3y}{5} = -1$
$2) \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{3}$
$x$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(\frac{x}{2} + \frac{3y}{5}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = -1 - \frac{1}{3}$
$\frac{3y}{5} - \frac{y}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{9y - 5y}{15} = -\frac{4}{3}$
$\frac{4y}{15} = -\frac{4}{3}$
$y = -\frac{4}{3} \times \frac{15}{4} = -5$
$y = -5$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{-5}{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$x = 4$
अतः,हल $(x, y) = (4, -5)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:
$9x + 7y = 55$
$7x + 9y = 57$
$9x + 7y = 55$
$7x + 9y = 57$
A
$(9, -3)$
B
$(2, 0)$
C
$(3, 4)$
D
$(1, 3)$
Solution
(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 9x + 7y = 55$
$(2) \ 7x + 9y = 57$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(9x + 7x) + (7y + 9y) = 55 + 57$
$16x + 16y = 112$
$16$ से भाग देने पर:
$x + y = 7 \quad (3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(9x - 7x) + (7y - 9y) = 55 - 57$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 7 \implies y = 4$
अतः,हल $(x, y) = (3, 4)$ है।
$(1) \ 9x + 7y = 55$
$(2) \ 7x + 9y = 57$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(9x + 7x) + (7y + 9y) = 55 + 57$
$16x + 16y = 112$
$16$ से भाग देने पर:
$x + y = 7 \quad (3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(9x - 7x) + (7y - 9y) = 55 - 57$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 7 \implies y = 4$
अतः,हल $(x, y) = (3, 4)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$11x + 13y = 61$
$13x + 11y = 59$
$11x + 13y = 61$
$13x + 11y = 59$
A
$(3, 4)$
B
$(1, 4)$
C
$(0, 9)$
D
$(2, 3)$
Solution
(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 11x + 13y = 61$
$(2) \ 13x + 11y = 59$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(11x + 13x) + (13y + 11y) = 61 + 59$
$24x + 24y = 120$
$24$ से भाग देने पर:
$x + y = 5$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(13x - 11x) + (11y - 13y) = 59 - 61$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 5 + (-1)$
$2x = 4 \implies x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
$(1) \ 11x + 13y = 61$
$(2) \ 13x + 11y = 59$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(11x + 13x) + (13y + 11y) = 61 + 59$
$24x + 24y = 120$
$24$ से भाग देने पर:
$x + y = 5$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(13x - 11x) + (11y - 13y) = 59 - 61$
$2x - 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x - y = -1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 5 + (-1)$
$2x = 4 \implies x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$5(x-2) + 3y = 1$
$3(x+1) + 5(y-3) = 1$
$5(x-2) + 3y = 1$
$3(x+1) + 5(y-3) = 1$
A
$(1, 2)$
B
$(3, 4)$
C
$(1, 4)$
D
$(0, 9)$
Solution
(A) सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को सरल कीजिए:
$1$) $5(x-2) + 3y = 1 \implies 5x - 10 + 3y = 1 \implies 5x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2$) $3(x+1) + 5(y-3) = 1 \implies 3x + 3 + 5y - 15 = 1 \implies 3x + 5y = 13$ (समीकरण $2$)
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $1$ को $5$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा कीजिए:
$25x + 15y = 55$ (समीकरण $3$)
$9x + 15y = 39$ (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $4$ को घटाने पर:
$(25x - 9x) + (15y - 15y) = 55 - 39$
$16x = 16 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$5(1) + 3y = 11$
$5 + 3y = 11$
$3y = 6 \implies y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।
$1$) $5(x-2) + 3y = 1 \implies 5x - 10 + 3y = 1 \implies 5x + 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$2$) $3(x+1) + 5(y-3) = 1 \implies 3x + 3 + 5y - 15 = 1 \implies 3x + 5y = 13$ (समीकरण $2$)
$y$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $1$ को $5$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा कीजिए:
$25x + 15y = 55$ (समीकरण $3$)
$9x + 15y = 39$ (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $4$ को घटाने पर:
$(25x - 9x) + (15y - 15y) = 55 - 39$
$16x = 16 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$5(1) + 3y = 11$
$5 + 3y = 11$
$3y = 6 \implies y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:
$7(y+3)-2(x+2)=14$
$4(y-2)+3(x-3)=2$
$7(y+3)-2(x+2)=14$
$4(y-2)+3(x-3)=2$
A
$(1, 2)$
B
$(5, 1)$
C
$(3, 4)$
D
$(1, 4)$
Solution
(B) सबसे पहले,दिए गए समीकरणों को सरल करें:
समीकरण $1$: $7y + 21 - 2x - 4 = 14 \implies -2x + 7y = -3$
समीकरण $2$: $4y - 8 + 3x - 9 = 2 \implies 3x + 4y = 19$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करें:
$-6x + 21y = -9$
$6x + 8y = 38$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $29y = 29 \implies y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $3x + 4(1) = 19 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
अतः,हल $(x, y) = (5, 1)$ है।
समीकरण $1$: $7y + 21 - 2x - 4 = 14 \implies -2x + 7y = -3$
समीकरण $2$: $4y - 8 + 3x - 9 = 2 \implies 3x + 4y = 19$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करें:
$-6x + 21y = -9$
$6x + 8y = 38$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $29y = 29 \implies y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $3x + 4(1) = 19 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
अतः,हल $(x, y) = (5, 1)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$4x - 3y = 8$
$6x - y = \frac{29}{3}$
$4x - 3y = 8$
$6x - y = \frac{29}{3}$
A
$(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$
B
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C
$(\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$
D
$(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$
Solution
(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \quad 4x - 3y = 8$
$(2) \quad 6x - y = \frac{29}{3}$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$18x - 3y = 29 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(18x - 3y) - (4x - 3y) = 29 - 8$
$14x = 21$
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6(\frac{3}{2}) - y = \frac{29}{3}$
$9 - y = \frac{29}{3}$
$y = 9 - \frac{29}{3} = \frac{27 - 29}{3} = -\frac{2}{3}$
अतः,हल $(x, y) = (\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$ है।
$(1) \quad 4x - 3y = 8$
$(2) \quad 6x - y = \frac{29}{3}$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$18x - 3y = 29 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(18x - 3y) - (4x - 3y) = 29 - 8$
$14x = 21$
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6(\frac{3}{2}) - y = \frac{29}{3}$
$9 - y = \frac{29}{3}$
$y = 9 - \frac{29}{3} = \frac{27 - 29}{3} = -\frac{2}{3}$
अतः,हल $(x, y) = (\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$5x - 3y = 1$
$2x + 5y = 19$
$5x - 3y = 1$
$2x + 5y = 19$
A
$(2, 3)$
B
$(-2, 1)$
C
$(1, 4)$
D
$(3, 2)$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 5x - 3y = 1$
$(2) \ 2x + 5y = 19$
$y$ को विलोपित करने के लिए, समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$25x - 15y = 5 \quad (3)$
$6x + 15y = 57 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(25x + 6x) + (-15y + 15y) = 5 + 57$
$31x = 62$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(2) - 3y = 1$
$10 - 3y = 1$
$-3y = -9$
$y = 3$
अतः, हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
$(1) \ 5x - 3y = 1$
$(2) \ 2x + 5y = 19$
$y$ को विलोपित करने के लिए, समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$25x - 15y = 5 \quad (3)$
$6x + 15y = 57 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(25x + 6x) + (-15y + 15y) = 5 + 57$
$31x = 62$
$x = 2$
$x = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(2) - 3y = 1$
$10 - 3y = 1$
$-3y = -9$
$y = 3$
अतः, हल $(x, y) = (2, 3)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$2x + y = \frac{3}{2}$
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$2x + y = \frac{3}{2}$
A
$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
B
$\left(2, \frac{1}{2}\right)$
C
$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
D
$\left(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $x + 2y = \frac{3}{2}$
$(2)$ $2x + y = \frac{3}{2}$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $1$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$4x + 2y = 3$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(4x - x) + (2y - 2y) = 3 - \frac{3}{2}$
$3x = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2} + 2y = \frac{3}{2}$
$2y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y = \frac{1}{2}$
अतः,हल $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
$(1)$ $x + 2y = \frac{3}{2}$
$(2)$ $2x + y = \frac{3}{2}$
$y$ का विलोपन करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $1$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$4x + 2y = 3$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(4x - x) + (2y - 2y) = 3 - \frac{3}{2}$
$3x = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2} + 2y = \frac{3}{2}$
$2y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y = \frac{1}{2}$
अतः,हल $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
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EasyMCQ
एक थैली में कुछ $25$ पैसे के सिक्के और कुछ $50$ पैसे के सिक्के हैं। सिक्कों की कुल संख्या $100$ है और थैली में कुल राशि रु. $42.50$ है। थैली में प्रत्येक मूल्य के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$25$ पैसे: $30$,$50$ पैसे: $70$
B
$25$ पैसे: $70$,$50$ पैसे: $30$
C
$25$ पैसे: $50$,$50$ पैसे: $50$
D
$25$ पैसे: $40$,$50$ पैसे: $60$
Solution
(A) माना कि $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $100$ है,इसलिए $x + y = 100$ (समीकरण $1$)।
$25$ पैसे के $x$ सिक्कों का मूल्य $0.25x$ रुपये है और $50$ पैसे के $y$ सिक्कों का मूल्य $0.50y$ रुपये है।
कुल राशि रु. $42.50$ है,इसलिए $0.25x + 0.50y = 42.50$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $0.25$ से गुणा करने पर: $0.25x + 0.25y = 25$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $3$ को घटाने पर: $(0.25x + 0.50y) - (0.25x + 0.25y) = 42.50 - 25$।
इसे सरल करने पर $0.25y = 17.50$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 17.50 / 0.25 = 70$।
$y = 70$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 70 = 100$,इसलिए $x = 30$।
अतः,थैली में $25$ पैसे के $30$ सिक्के और $50$ पैसे के $70$ सिक्के हैं।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $100$ है,इसलिए $x + y = 100$ (समीकरण $1$)।
$25$ पैसे के $x$ सिक्कों का मूल्य $0.25x$ रुपये है और $50$ पैसे के $y$ सिक्कों का मूल्य $0.50y$ रुपये है।
कुल राशि रु. $42.50$ है,इसलिए $0.25x + 0.50y = 42.50$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $0.25$ से गुणा करने पर: $0.25x + 0.25y = 25$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $3$ को घटाने पर: $(0.25x + 0.50y) - (0.25x + 0.25y) = 42.50 - 25$।
इसे सरल करने पर $0.25y = 17.50$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 17.50 / 0.25 = 70$।
$y = 70$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 70 = 100$,इसलिए $x = 30$।
अतः,थैली में $25$ पैसे के $30$ सिक्के और $50$ पैसे के $70$ सिक्के हैं।
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MediumMCQ
$3$ पेन और $4$ पेंसिल की कुल कीमत Rs. $23$ है और $2$ पेन और $3$ पेंसिल की कुल कीमत Rs. $16$ है। प्रत्येक पेन और पेंसिल की कीमत ज्ञात कीजिए।
A
पेन: Rs. $5$,पेंसिल: Rs. $2$
B
पेन: Rs. $4$,पेंसिल: Rs. $3$
C
पेन: Rs. $6$,पेंसिल: Rs. $1$
D
पेन: Rs. $3$,पेंसिल: Rs. $4$
Solution
(A) माना कि एक पेन की कीमत Rs. $x$ है और एक पेंसिल की कीमत Rs. $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$3x + 4y = 23$ --- $(1)$
$2x + 3y = 16$ --- $(2)$
इसे हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x + 8y = 46$ --- $(3)$
$6x + 9y = 48$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(6x + 9y) - (6x + 8y) = 48 - 46$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(2) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
अतः,एक पेन की कीमत Rs. $5$ और एक पेंसिल की कीमत Rs. $2$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$3x + 4y = 23$ --- $(1)$
$2x + 3y = 16$ --- $(2)$
इसे हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x + 8y = 46$ --- $(3)$
$6x + 9y = 48$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(6x + 9y) - (6x + 8y) = 48 - 46$
$y = 2$
$y = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4(2) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
अतः,एक पेन की कीमत Rs. $5$ और एक पेंसिल की कीमत Rs. $2$ है।
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MediumMCQ
एक डिब्बे में $25$ पैसे के कुछ सिक्के और $50$ पैसे के कुछ सिक्के हैं। कुल $20$ सिक्के हैं और उनका कुल मूल्य $7$ रुपये है। $25$ पैसे और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$12$ सिक्के $25$ पैसे के और $8$ सिक्के $50$ पैसे के
B
$8$ सिक्के $25$ पैसे के और $12$ सिक्के $50$ पैसे के
C
$10$ सिक्के $25$ पैसे के और $10$ सिक्के $50$ पैसे के
D
$15$ सिक्के $25$ पैसे के और $5$ सिक्के $50$ पैसे के
Solution
(A) माना कि $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $20$ है,इसलिए $x + y = 20$ (समीकरण $1$)।
सिक्कों का कुल मूल्य $7$ रुपये है,जो $700$ पैसे के बराबर है। अतः,$25x + 50y = 700$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $25$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 28$ प्राप्त होता है (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20$,जिससे $y = 8$ प्राप्त होता है।
$y = 8$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 8 = 20$,जिससे $x = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$25$ पैसे के $12$ सिक्के और $50$ पैसे के $8$ सिक्के हैं।
प्रश्न के अनुसार,सिक्कों की कुल संख्या $20$ है,इसलिए $x + y = 20$ (समीकरण $1$)।
सिक्कों का कुल मूल्य $7$ रुपये है,जो $700$ पैसे के बराबर है। अतः,$25x + 50y = 700$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $25$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 28$ प्राप्त होता है (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20$,जिससे $y = 8$ प्राप्त होता है।
$y = 8$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x + 8 = 20$,जिससे $x = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$25$ पैसे के $12$ सिक्के और $50$ पैसे के $8$ सिक्के हैं।
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Medium
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए: $0.3 x + 0.4 y = 1$ और $6 x + 8 y = 20$.
Solution
(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 0.3 x + 0.4 y = 1$
$2) 6 x + 8 y = 20$
दशमलव हटाने के लिए समीकरण $(1)$ को $10$ से गुणा करने पर: $3 x + 4 y = 10$ (समीकरण $3$)।
अब,समीकरण $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6 x + 8 y = 20$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $(2)$ और समीकरण $(4)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि वे समान हैं: $6 x + 8 y = 20$।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए इसके अनंत हल हैं।
हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 3 x + 4 y = 10, x, y \in R \}$ है।
$1) 0.3 x + 0.4 y = 1$
$2) 6 x + 8 y = 20$
दशमलव हटाने के लिए समीकरण $(1)$ को $10$ से गुणा करने पर: $3 x + 4 y = 10$ (समीकरण $3$)।
अब,समीकरण $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6 x + 8 y = 20$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $(2)$ और समीकरण $(4)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि वे समान हैं: $6 x + 8 y = 20$।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए इसके अनंत हल हैं।
हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 3 x + 4 y = 10, x, y \in R \}$ है।
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View Solution41
EasyMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए: $2x + 5y = 7$ और $4x + 10y = 12$।
A
$(1, 4)$
B
$(-2, 1)$
C
$(-1, -5)$
D
$\text{कोई हल नहीं}$
Solution
(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 5y = 7$ --- $(i)$
$4x + 10y = 12$ --- $(ii)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 10y = 14$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 10y) - (4x + 10y) = 14 - 12$
$0 = 2$
चूँकि $0 = 2$ एक असत्य कथन है,इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है। अतः,यह निकाय असंगत है।
$2x + 5y = 7$ --- $(i)$
$4x + 10y = 12$ --- $(ii)$
$x$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 10y = 14$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 10y) - (4x + 10y) = 14 - 12$
$0 = 2$
चूँकि $0 = 2$ एक असत्य कथन है,इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है। अतः,यह निकाय असंगत है।
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View Solution42
DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए: $(a \neq 0, b \neq 0)$
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
A
$\left(2, \frac{1}{2}\right)$
B
$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
C
$\left(\frac{1}{2}, -1\right)$
D
$\left(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$
Solution
(C) माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 3y = 1$ ....... $(1)$
$x + y = 1$ ........... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर $2x + 2y = 2$ प्राप्त होता है ....... $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x + (-1) = 1$
$x = 2$
चूंकि $x = \frac{1}{a} = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -1$,इसलिए $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = \left(\frac{1}{2}, -1\right)$ है।
$2x + 3y = 1$ ....... $(1)$
$x + y = 1$ ........... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर $2x + 2y = 2$ प्राप्त होता है ....... $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x + (-1) = 1$
$x = 2$
चूंकि $x = \frac{1}{a} = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -1$,इसलिए $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = \left(\frac{1}{2}, -1\right)$ है।
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View Solution43
DifficultMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए: $(a \neq 0, b \neq 0)$
$\frac{5}{a} + \frac{3}{2b} = 1$
$\frac{1}{2a} - \frac{3}{b} = 1$
$\frac{5}{a} + \frac{3}{2b} = 1$
$\frac{1}{2a} - \frac{3}{b} = 1$
A
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B
$(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$
C
$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
D
$(\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$
Solution
(D) माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$5x + \frac{3}{2}y = 1$ और $\frac{1}{2}x - 3y = 1$
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $10x + 3y = 2$ प्राप्त होता है ... $(1)$
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $x - 6y = 2$ प्राप्त होता है ... $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करके समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$20x + 6y = 4$
$x - 6y = 2$
जोड़ने पर $21x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$।
$x = \frac{2}{7}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{2}{7}) + 3y = 2$
$\frac{20}{7} + 3y = 2$
$3y = 2 - \frac{20}{7} = \frac{14 - 20}{7} = -\frac{6}{7}$
$y = -\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{7}$।
चूंकि $x = \frac{1}{a} = \frac{2}{7}$ है,इसलिए $a = \frac{7}{2}$।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -\frac{2}{7}$ है,इसलिए $b = -\frac{7}{2}$।
अतः,हल $(a, b) = (\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$ है।
$5x + \frac{3}{2}y = 1$ और $\frac{1}{2}x - 3y = 1$
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $10x + 3y = 2$ प्राप्त होता है ... $(1)$
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $x - 6y = 2$ प्राप्त होता है ... $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करके समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$20x + 6y = 4$
$x - 6y = 2$
जोड़ने पर $21x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$।
$x = \frac{2}{7}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$10(\frac{2}{7}) + 3y = 2$
$\frac{20}{7} + 3y = 2$
$3y = 2 - \frac{20}{7} = \frac{14 - 20}{7} = -\frac{6}{7}$
$y = -\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{7}$।
चूंकि $x = \frac{1}{a} = \frac{2}{7}$ है,इसलिए $a = \frac{7}{2}$।
चूंकि $y = \frac{1}{b} = -\frac{2}{7}$ है,इसलिए $b = -\frac{7}{2}$।
अतः,हल $(a, b) = (\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$ है।
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View Solution44
MediumMCQ
निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए: $(a \neq 0, b \neq 0)$
$\frac{2}{a} = -1 - \frac{3}{b}$
$\frac{9}{b} = \frac{4}{a} + 7$
$\frac{2}{a} = -1 - \frac{3}{b}$
$\frac{9}{b} = \frac{4}{a} + 7$
A
$(-1, 3)$
B
$(1, 3)$
C
$(-1, -3)$
D
$(1, -3)$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = -1$ --- $(1)$
$\frac{4}{a} - \frac{9}{b} = -7$ --- $(2)$
माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 3y = -1$ --- $(3)$
$4x - 9y = -7$ --- $(4)$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(3)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = -3$ --- $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$(4x - 9y) + (6x + 9y) = -7 + (-3)$
$10x = -10$
$x = -1$
चूंकि $x = \frac{1}{a}$,इसलिए $\frac{1}{a} = -1$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(-1) + 3y = -1$
$-2 + 3y = -1$
$3y = 1$
$y = \frac{1}{3}$
चूंकि $y = \frac{1}{b}$,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$,जिससे $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = (-1, 3)$ है।
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = -1$ --- $(1)$
$\frac{4}{a} - \frac{9}{b} = -7$ --- $(2)$
माना $\frac{1}{a} = x$ और $\frac{1}{b} = y$ है। तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2x + 3y = -1$ --- $(3)$
$4x - 9y = -7$ --- $(4)$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(3)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = -3$ --- $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$(4x - 9y) + (6x + 9y) = -7 + (-3)$
$10x = -10$
$x = -1$
चूंकि $x = \frac{1}{a}$,इसलिए $\frac{1}{a} = -1$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$2(-1) + 3y = -1$
$-2 + 3y = -1$
$3y = 1$
$y = \frac{1}{3}$
चूंकि $y = \frac{1}{b}$,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$,जिससे $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(a, b) = (-1, 3)$ है।
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View Solution45
DifficultMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: $\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$ और $\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$.
A
$x = 4, y = 5$
B
$x = 6, y = 3$
C
$x = 7, y = 0$
D
$x = 2, y = 1$
Solution
(A) माना कि $u = \frac{1}{x-1}$ और $v = \frac{1}{y-2}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $(x, y) = (4, 5)$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
अतः,हल $(x, y) = (4, 5)$ है।
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View Solution46
DifficultMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों को हल कीजिए: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}, \quad \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy} \quad (x \neq 0, y \neq 0)$
A
$(4, 5)$
B
$(1, 3)$
C
$(3, 2)$
D
$(7, 0)$
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}$
$(2)$ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy}$
दोनों समीकरणों को $xy$ से गुणा करने पर $(x \neq 0, y \neq 0)$:
$(1)$ $2y + 3x = 9 \implies 3x + 2y = 9$
$(2)$ $4y + 9x = 21 \implies 9x + 4y = 21$
$y$ को विलोपित करने के लिए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(3x + 2y) = 2(9) \implies 6x + 4y = 18$
अब इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर:
$(9x + 4y) - (6x + 4y) = 21 - 18$
$3x = 3 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान $3x + 2y = 9$ में रखने पर:
$3(1) + 2y = 9$
$3 + 2y = 9 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (1, 3)$ है।
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}$
$(2)$ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy}$
दोनों समीकरणों को $xy$ से गुणा करने पर $(x \neq 0, y \neq 0)$:
$(1)$ $2y + 3x = 9 \implies 3x + 2y = 9$
$(2)$ $4y + 9x = 21 \implies 9x + 4y = 21$
$y$ को विलोपित करने के लिए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(3x + 2y) = 2(9) \implies 6x + 4y = 18$
अब इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर:
$(9x + 4y) - (6x + 4y) = 21 - 18$
$3x = 3 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान $3x + 2y = 9$ में रखने पर:
$3(1) + 2y = 9$
$3 + 2y = 9 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (1, 3)$ है।
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View Solution47
MediumMCQ
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: $\frac{9}{a} + \frac{8}{b} = 7$ और $\frac{2}{a} - \frac{3}{b} = -8$.
A
$\left(2, \frac{1}{2}\right)$
B
$\left(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$
C
$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
D
$\left(-1, \frac{1}{2}\right)$
Solution
(D) माना $x = \frac{1}{a}$ और $y = \frac{1}{b}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$9x + 8y = 7$ --- $(1)$
$2x - 3y = -8$ --- $(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $8$ से गुणा करने पर:
$27x + 24y = 21$ --- $(3)$
$16x - 24y = -64$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$43x = -43 \implies x = -1$.
चूंकि $x = \frac{1}{a} = -1$,इसलिए $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(-1) - 3y = -8$
$-2 - 3y = -8$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
चूंकि $y = \frac{1}{b} = 2$,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)$।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$9x + 8y = 7$ --- $(1)$
$2x - 3y = -8$ --- $(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $8$ से गुणा करने पर:
$27x + 24y = 21$ --- $(3)$
$16x - 24y = -64$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$43x = -43 \implies x = -1$.
चूंकि $x = \frac{1}{a} = -1$,इसलिए $a = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(-1) - 3y = -8$
$-2 - 3y = -8$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
चूंकि $y = \frac{1}{b} = 2$,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)$।
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View Solution48
MediumMCQ
विलोपन विधि द्वारा निम्नलिखित समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{11}{y} - \frac{7}{x} = 1, \, \frac{9}{y} - \frac{4}{x} = 6$; $x \neq 0, \, y \neq 0$
$\frac{11}{y} - \frac{7}{x} = 1, \, \frac{9}{y} - \frac{4}{x} = 6$; $x \neq 0, \, y \neq 0$
A
$(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$
B
$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
C
$(-\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$
D
$(2, \frac{1}{2})$
Solution
(A) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
समीकरण इस प्रकार होंगे:
$11v - 7u = 1$ --- $(1)$
$9v - 4u = 6$ --- $(2)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $7$ से गुणा करने पर:
$44v - 28u = 4$ --- $(3)$
$63v - 28u = 42$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(63v - 44v) = (42 - 4)$
$19v = 38 \implies v = 2$
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 2$,इसलिए $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$v = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$11(2) - 7u = 1$
$22 - 7u = 1$
$7u = 21 \implies u = 3$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 3$,इसलिए $x = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ है।
समीकरण इस प्रकार होंगे:
$11v - 7u = 1$ --- $(1)$
$9v - 4u = 6$ --- $(2)$
$u$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $4$ से और समीकरण $(2)$ को $7$ से गुणा करने पर:
$44v - 28u = 4$ --- $(3)$
$63v - 28u = 42$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(63v - 44v) = (42 - 4)$
$19v = 38 \implies v = 2$
चूंकि $v = \frac{1}{y} = 2$,इसलिए $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$v = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$11(2) - 7u = 1$
$22 - 7u = 1$
$7u = 21 \implies u = 3$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 3$,इसलिए $x = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ है।
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View Solution49
MediumMCQ
यदि $\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$ और $\frac{4}{x}-\frac{5}{y}=2$ है,तो $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ का मान ............ है। $(x, y \neq 0)$
A
$-1$
B
$1$
C
$5$
D
$2$
Solution
(B) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$3u - 2v = 5$ --- $(1)$
$4u - 5v = 2$ --- $(2)$
$u$ और $v$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$15u - 10v = 25$ --- $(3)$
$8u - 10v = 4$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$(15u - 8u) = 25 - 4$
$7u = 21 \implies u = 3$
$u = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(3) - 2v = 5$
$9 - 2v = 5$
$-2v = -4 \implies v = 2$
अतः,$\frac{1}{x} = 3$ और $\frac{1}{y} = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 - 2 = 1$।
दिए गए समीकरण इस प्रकार हैं:
$3u - 2v = 5$ --- $(1)$
$4u - 5v = 2$ --- $(2)$
$u$ और $v$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$15u - 10v = 25$ --- $(3)$
$8u - 10v = 4$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$(15u - 8u) = 25 - 4$
$7u = 21 \implies u = 3$
$u = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(3) - 2v = 5$
$9 - 2v = 5$
$-2v = -4 \implies v = 2$
अतः,$\frac{1}{x} = 3$ और $\frac{1}{y} = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 - 2 = 1$।
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View Solution50
EasyMCQ
समीकरणों $3x - 2y = 1$ और $5x + y = 6$ से $y$ को विलोपित करने के लिए,दूसरे समीकरण को किससे गुणा किया जाना चाहिए?
A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$4$
Solution
(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x - 2y = 1$
$2) 5x + y = 6$
$y$ को विलोपित करने के लिए,दोनों समीकरणों में $y$ के गुणांकों का परिमाण समान और चिह्न विपरीत होना चाहिए।
पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-2$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ का गुणांक $1$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ के गुणांक को $2$ बनाने के लिए (ताकि $-2y + 2y = 0$ हो जाए),हमें दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करना होगा।
$1) 3x - 2y = 1$
$2) 5x + y = 6$
$y$ को विलोपित करने के लिए,दोनों समीकरणों में $y$ के गुणांकों का परिमाण समान और चिह्न विपरीत होना चाहिए।
पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-2$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ का गुणांक $1$ है।
दूसरे समीकरण में $y$ के गुणांक को $2$ बनाने के लिए (ताकि $-2y + 2y = 0$ हो जाए),हमें दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करना होगा।
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View SolutionPair of Linear Equations in Two Variables — Elimination Method · Frequently Asked Questions
1Are these Pair of Linear Equations in Two Variables questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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