Elimination Method Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $(x=a, y=b)$ એ સુરેખ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ છે:
$x-y=2$ $\cdots$ $(i)$
$x+y=4$ $\cdots$ $(ii)$
કારણ કે $(a, b)$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી આપણે $x=a$ અને $y=b$ ને સમીકરણોમાં મૂકીએ:
$a-b=2$ $\cdots$ $(iii)$
$a+b=4$ $\cdots$ $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a-b) + (a+b) = 2 + 4$
$2a = 6$
$a = 3$
હવે $a=3$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$
આમ,$a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $3$ અને $1$ છે.

(B) ધારો કે $Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $Rs. 2$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $50$ છે,તેથી $x + y = 50$ (સમીકરણ $i$).
કુલ રકમ $Rs. 75$ છે,તેથી $1x + 2y = 75$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 50$
$y = 25$.
હવે,$y = 25$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$x + 25 = 50$
$x = 25$.
આમ,$Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $25$ છે અને $Rs. 2$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $25$ છે.

(D) પગલું $1$: $x$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $1$ વડે ગુણો. તેથી આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
$4x + 6y = 16$ $...(3)$
$4x + 6y = 7$ $...(4)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતાં:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$
એટલે કે,$0 = 9$,જે એક અસત્ય વિધાન છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની આ જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$\frac{x+1}{y-1} = 1 \implies x+1 = y-1 \implies x-y = -2$ $...(1)$
$\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = y+1 \implies 2x-y = 1$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2x-y) - (x-y) = 1 - (-2)$
$2x - y - x + y = 1 + 2$
$x = 3$ $...(3)$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3 - y = -2$
$-y = -2 - 3$
$-y = -5$
$y = 5$
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{3}{5}$ છે.

(N/A) ધારો કે નૂરીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને સોનુની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પાંચ વર્ષ પહેલાં,નૂરીની ઉંમર $(x-5)$ હતી અને સોનુની ઉંમર $(y-5)$ હતી.
$(x-5) = 3(y-5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ $...(1)$
દસ વર્ષ પછી,નૂરીની ઉંમર $(x+10)$ હશે અને સોનુની ઉંમર $(y+10)$ હશે.
$(x+10) = 2(y+10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતાં:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x - 3(20) = -10$
$x - 60 = -10$
$x = 50$
આમ,નૂરીની હાલની ઉંમર $50$ વર્ષ છે અને સોનુની હાલની ઉંમર $20$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $y$ છે. તેથી,સંખ્યા $10y + x$ થશે.
પ્રથમ શરત મુજબ,અંકોનો સરવાળો $9$ છે:
$x + y = 9$ $...(1)$
બીજી શરત મુજબ,સંખ્યાના $9$ ગણા એ અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યાના $2$ ગણા છે:
$9(10y + x) = 2(10x + y)$
$90y + 9x = 20x + 2y$
$88y - 11x = 0$
$11$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$8y - x = 0$ અથવા $-x + 8y = 0$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + 8y) = 9 + 0$
$9y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 1 = 9$
$x = 8$
તેથી,સંખ્યા $10y + x = 10(1) + 8 = 18$ છે.

(A) ધારો કે ₹ $50$ ની નોટોની સંખ્યા $x$ છે અને ₹ $100$ ની નોટોની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$1$. નોટોની કુલ સંખ્યા $25$ છે,તેથી $x + y = 25$ $...(1)$
$2$. નોટોનું કુલ મૂલ્ય ₹ $2000$ છે,તેથી $50x + 100y = 2000$ $...(2)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $50$ વડે ગુણો:
$50x + 50y = 1250$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(50x + 100y) - (50x + 50y) = 2000 - 1250$
$50y = 750$
$y = 15$
$y = 15$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 15 = 25$
$x = 10$
આમ,મીનાએ ₹ $50$ ની $10$ નોટો અને ₹ $100$ ની $15$ નોટો મેળવી.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ ત્રણ દિવસ માટેનું નિશ્ચિત ભાડું $Rs$ $x$ છે અને ત્યારબાદના દરેક દિવસનું વધારાનું ભાડું $Rs$ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
સરિતા માટે: પુસ્તક $7$ દિવસ રાખવામાં આવ્યું હતું. જેમાં $3$ દિવસ નિશ્ચિત અને $4$ દિવસ વધારાના છે. તેથી,$x + 4y = 27$ $...(1)$
સુસી માટે: પુસ્તક $5$ દિવસ રાખવામાં આવ્યું હતું. જેમાં $3$ દિવસ નિશ્ચિત અને $2$ દિવસ વધારાના છે. તેથી,$x + 2y = 21$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 27 - 21$
$2y = 6$
$y = 3$ $...(3)$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 4(3) = 27$
$x + 12 = 27$
$x = 15$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું $Rs$ $15$ છે અને દરેક વધારાના દિવસનું ભાડું $Rs$ $3$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણોની જોડીને આ રીતે લખીએ:
$2\left(\frac{1}{x}\right) + 3\left(\frac{1}{y}\right) = 13$ $...(1)$
$5\left(\frac{1}{x}\right) - 4\left(\frac{1}{y}\right) = -2$ $...(2)$
આ સમીકરણો પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં નથી. જો આપણે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$ આદેશ લઈએ,તો સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી આપણને મળે:
$2p + 3q = 13$ $...(3)$
$5p - 4q = -2$ $...(4)$
હવે,આ સમીકરણોને લોપની રીતથી ઉકેલીએ. સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8p + 12q = 52$ $...(5)$
$15p - 12q = -6$ $...(6)$
સમીકરણ $(5)$ અને $(6)$ નો સરવાળો કરતા:
$23p = 46 \implies p = 2$
$p = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2(2) + 3q = 13 \implies 4 + 3q = 13 \implies 3q = 9 \implies q = 3$
આપણે જાણીએ છીએ કે $p = \frac{1}{x}$ અને $q = \frac{1}{y}$,તેથી:
$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{1}{x-1} = p$ અને $\frac{1}{y-2} = q$ છે. તો આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ લખી શકાય:
$5p + q = 2$ $...(1)$
$6p - 3q = 1$ $...(2)$
આને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$15p + 3q = 6$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6p - 3q) + (15p + 3q) = 1 + 6$
$21p = 7$
$p = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$p = \frac{1}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + q = 2$
$\frac{5}{3} + q = 2$
$q = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$p$ અને $q$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 5$ છે.

(X=4, Y=9) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{x}} = p$ અને $\frac{1}{\sqrt{y}} = q$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2p + 3q = 2$ $...(1)$
$4p - 9q = -1$ $...(2)$
$q$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6p + 9q = 6$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4p - 9q) + (6p + 9q) = -1 + 6$
$10p = 5$
$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$p = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{1}{2}) + 3q = 2$
$1 + 3q = 2$
$3q = 1$
$q = \frac{1}{3}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$
$q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 9$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{4}{x} + 3y = 14$ $...(1)$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$ $...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$. આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$4p + 3y = 14$ $...(3)$
$3p - 4y = 23$ $...(4)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$16p + 12y = 56$ $...(5)$
$9p - 12y = 69$ $...(6)$
સમીકરણ $(5)$ અને $(6)$ નો સરવાળો કરતા:
$25p = 125$
$p = 5$
અહીં $p = \frac{1}{x}$ હોવાથી,$\frac{1}{x} = 5$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{5}$.
$p = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$4(5) + 3y = 14$
$20 + 3y = 14$
$3y = 14 - 20$
$3y = -6$
$y = -2$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{5}$ અને $y = -2$ છે.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x-1}$ અને $v = \frac{1}{y-2}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$\frac{5}{3} + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$u$ અને $v$ ની મૂળ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$2$) $\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
પગલું $1$: અંશના દરેક પદને છેદ $xy$ વડે ભાગીને સમીકરણોને સરળ બનાવો:
સમીકરણ $(1)$ આ મુજબ બનશે: $\frac{7x}{xy} - \frac{2y}{xy} = 5 \implies \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5$
સમીકરણ $(2)$ આ મુજબ બનશે: $\frac{8x}{xy} + \frac{7y}{xy} = 15 \implies \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15$
પગલું $2$: ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$(i)$ $-2u + 7v = 5$
(ii) $7u + 8v = 15$
પગલું $3$: લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો.
સમીકરણ $(i)$ ને $7$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$-14u + 49v = 35$
$14u + 16v = 30$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $65v = 65 \implies v = 1$.
પગલું $4$: $v = 1$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$-2u + 7(1) = 5 \implies -2u = -2 \implies u = 1$.
પગલું $5$: $x$ અને $y$ શોધો:
$u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
$v = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1$.
અંતિમ જવાબ: $x = 1, y = 1$.

(X=3, Y=2) ધારો કે $u = \frac{1}{x+y}$ અને $v = \frac{1}{x-y}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$10u + 2v = 4$ --- $(1)$
$15u - 5v = -2$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$50u + 10v = 20$
$30u - 10v = -4$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $80u = 16$,તેથી $u = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{5}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$10(\frac{1}{5}) + 2v = 4 \implies 2 + 2v = 4 \implies 2v = 2 \implies v = 1$.
હવે,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
અને $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 6 \implies x = 3$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અને $y = 2$ છે.

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$px + qy = p - q \quad \dots(1)$
$qx - py = p + q \quad \dots(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $p$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $q$ વડે ગુણતા:
$p(px + qy) = p(p - q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \quad \dots(3)$
$q(qx - py) = q(p + q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \quad \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2)$
$p^2x + q^2x = p^2 + q^2$
$x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2$
$x = \frac{p^2 + q^2}{p^2 + q^2} = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$p(1) + qy = p - q$
$p + qy = p - q$
$qy = -q$
$y = -1$
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = -1$ છે.

(N/A) $ax + by = c \dots(1)$
$bx + ay = 1 + c \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $a$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a^2x + aby = ac \dots(3)$
$b^2x + aby = b + bc \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(a^2 - b^2)x = ac - bc - b$
$x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a \left[ \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2} \right] + by = c$
$by = c - \frac{ac(a - b) - ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{c(a^2 - b^2) - (a^2c - abc - ab)}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{abc - b^2c + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{bc(a - b) + ab}{a^2 - b^2}$
$y = \frac{c(a - b) + a}{a^2 - b^2}$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0 \quad \dots(1)$
$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots(2)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $b$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$b^2x - aby = 0 \quad \dots(3)$
$a^2x + aby = a(a^2 + b^2) = a^3 + ab^2 \quad \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(b^2x - aby) + (a^2x + aby) = 0 + a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$
$x = a$
$x = a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$b(a) - ay = 0$
$ab - ay = 0$
$ay = ab$
$y = b$
આમ,ઉકેલ $x = a$ અને $y = b$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$4x + \frac{6}{y} = 15$ ..... $(i)$
$6x - \frac{8}{y} = 14, y \neq 0$ ..... $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{y}$,તો સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$4x + 6u = 15$ ..... $(iii)$
$6x - 8u = 14$ ..... $(iv)$
$u$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(iii)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(iv)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$16x + 24u = 60$ ..... $(v)$
$18x - 24u = 42$ ..... $(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા:
$(16x + 18x) + (24u - 24u) = 60 + 42$
$34x = 102$
$x = \frac{102}{34} = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(3) + 6u = 15$
$12 + 6u = 15$
$6u = 15 - 12 = 3$
$u = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
અહીં $u = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $y = 2$.
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અને $y = 2$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1$ ........ $(i)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8$ ........ $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{u}{2} - v = -1 \Rightarrow u - 2v = -2$ ........ $(iii)$
$u + \frac{v}{2} = 8 \Rightarrow 2u + v = 16$ ........ $(iv)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(iv)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4u + 2v = 32$ ........ $(v)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u - 2v) + (4u + 2v) = -2 + 32$
$5u = 30 \Rightarrow u = 6$
$u = 6$ ની કિંમત સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$2(6) + v = 16 \Rightarrow 12 + v = 16 \Rightarrow v = 4$
હવે,$u = \frac{1}{x} = 6$ હોવાથી $x = \frac{1}{6}$.
અને $v = \frac{1}{y} = 4$ હોવાથી $y = \frac{1}{4}$.
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{6}$ અને $y = \frac{1}{4}$ છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = a + b \quad .....(i)$
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} = 2, \quad a, b \neq 0 \quad .....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $\frac{1}{a}$ વડે ગુણતા:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} = 1 + \frac{b}{a} \quad .....(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$\left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} \right) - \left( \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{ab} \right) = 2 - \left( 1 + \frac{b}{a} \right)$
$\frac{y}{b^{2}} - \frac{y}{ab} = 1 - \frac{b}{a}$
$y \left( \frac{a - b}{ab^{2}} \right) = \frac{a - b}{a}$
$(a - b)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{y}{ab^{2}} = \frac{1}{a}$
$y = b^{2}$
$y = b^{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 2$
$\frac{x}{a^{2}} + 1 = 2$
$\frac{x}{a^{2}} = 1$
$x = a^{2}$
આમ,ઉકેલ $x = a^{2}$ અને $y = b^{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની જોડી:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1 \dots (i)$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 15 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $10$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 2y = 10 \dots (iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ ને $24$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 4y = 360 \dots (iv)$ મળે છે.
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2x + 4y = 20 \dots (v)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી સમીકરણ $(v)$ બાદ કરતા:
$(3x + 4y) - (2x + 4y) = 360 - 20$
$x = 340$
$x = 340$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$340 + 2y = 10$
$2y = -330$
$y = -165$
સંબંધ $y = \lambda x + 5$ માં $x = 340$ અને $y = -165$ મૂકતા:
$-165 = \lambda(340) + 5$
$-170 = 340\lambda$
$\lambda = -\frac{170}{340} = -\frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $x = 340, y = -165$ છે અને $\lambda = -\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y = 4$ --- $(1)$
$x + 3y = 7$ --- $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2(x + 3y) = 2(7) \implies 2x + 6y = 14$ --- $(3)$
હવે,સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 14 - 4$
$5y = 10$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 2$ ને $12$ વડે ગુણીએ જેથી તે પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળા સમીકરણમાં રૂપાંતરિત થાય:
$3x + 4y = 24$ .......... $(1)$
$4x + 3y = 25$ .......... $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$12x + 16y = 96$ .......... $(3)$
$12x + 9y = 75$ .......... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(12x - 12x) + (16y - 9y) = 96 - 75$
$7y = 21$
$y = 3$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(3) = 24$
$3x + 12 = 24$
$3x = 12$
$x = 4$
આમ,આપેલ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ $(x, y) = (4, 3)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$5x + 6y = 14$ ............ $(1)$
$3x - 2y = -14$ ............ $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3(3x - 2y) = 3(-14) \implies 9x - 6y = -42$ ............ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(5x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + (-42)$
$14x = -28$
$x = \frac{-28}{14} = -2$
$x = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(-2) + 6y = 14$
$-10 + 6y = 14$
$6y = 14 + 10$
$6y = 24$
$y = \frac{24}{6} = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (-2, 4)$ છે.

(A) દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે બંને સમીકરણોને $10$ વડે ગુણતા:
$4x + 3y = 17$ ............. $(1)$
$7x - 2y = 8$ ............. $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8x + 6y = 34$
$21x - 6y = 24$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(8x + 21x) + (6y - 6y) = 34 + 24$
$29x = 58$
$x = \frac{58}{29} = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$4(2) + 3y = 17$
$8 + 3y = 17$
$3y = 17 - 8$
$3y = 9$
$y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$(1) x + 3y = 6$
$(2) 2x - y = 5$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$3(2x - y) = 3(5) \implies 6x - 3y = 15$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ નો સરવાળો કરો:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 6 + 15$
$7x = 21$
$x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(3) - y = 5$
$6 - y = 5$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \quad 4x - 3y = 5$
$(2) \quad \frac{5}{2}x - y = 4$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3 \times (\frac{5}{2}x - y) = 3 \times 4$
$\frac{15}{2}x - 3y = 12 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(\frac{15}{2}x - 3y) - (4x - 3y) = 12 - 5$
$\frac{15}{2}x - 4x = 7$
$\frac{15x - 8x}{2} = 7$
$\frac{7x}{2} = 7$
$x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{2}(2) - y = 4$
$5 - y = 4$
$y = 1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 1)$ છે.

(B) આપેલા સમીકરણો:
$1) \frac{x}{2} + \frac{3y}{5} = -1$
$2) \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{3}$
$x$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(\frac{x}{2} + \frac{3y}{5}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = -1 - \frac{1}{3}$
$\frac{3y}{5} - \frac{y}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{9y - 5y}{15} = -\frac{4}{3}$
$\frac{4y}{15} = -\frac{4}{3}$
$y = -\frac{4}{3} \times \frac{15}{4} = -5$
$y = -5$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{x}{2} + \frac{-5}{3} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$x = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (4, -5)$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \ 9x + 7y = 55$
$(2) \ 7x + 9y = 57$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(9x + 7x) + (7y + 9y) = 55 + 57$
$16x + 16y = 112$
$16$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7 \quad (3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(9x - 7x) + (7y - 9y) = 55 - 57$
$2x - 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x - y = -1 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$3 + y = 7 \implies y = 4$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 4)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ 11x + 13y = 61$
$(2) \ 13x + 11y = 59$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(11x + 13x) + (13y + 11y) = 61 + 59$
$24x + 24y = 120$
$24$ વડે ભાગતા:
$x + y = 5$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(13x - 11x) + (11y - 13y) = 59 - 61$
$2x - 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x - y = -1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 5 + (-1)$
$2x = 4 \implies x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2 + y = 5 \implies y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોને સાદું રૂપ આપો:
$1$) $5(x-2) + 3y = 1 \implies 5x - 10 + 3y = 1 \implies 5x + 3y = 11$ (સમીકરણ $1$)
$2$) $3(x+1) + 5(y-3) = 1 \implies 3x + 3 + 5y - 15 = 1 \implies 3x + 5y = 13$ (સમીકરણ $2$)
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $1$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણો:
$25x + 15y = 55$ (સમીકરણ $3$)
$9x + 15y = 39$ (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $4$ બાદ કરતા:
$(25x - 9x) + (15y - 15y) = 55 - 39$
$16x = 16 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$5(1) + 3y = 11$
$5 + 3y = 11$
$3y = 6 \implies y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપેલા સમીકરણોનું સાદું રૂપ આપો:
સમીકરણ $1$: $7y + 21 - 2x - 4 = 14 \implies -2x + 7y = -3$
સમીકરણ $2$: $4y - 8 + 3x - 9 = 2 \implies 3x + 4y = 19$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણો:
$-6x + 21y = -9$
$6x + 8y = 38$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $29y = 29 \implies y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $3x + 4(1) = 19 \implies 3x = 15 \implies x = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (5, 1)$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \quad 4x - 3y = 8$
$(2) \quad 6x - y = \frac{29}{3}$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$18x - 3y = 29 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(18x - 3y) - (4x - 3y) = 29 - 8$
$14x = 21$
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$6(\frac{3}{2}) - y = \frac{29}{3}$
$9 - y = \frac{29}{3}$
$y = 9 - \frac{29}{3} = \frac{27 - 29}{3} = -\frac{2}{3}$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{3}{2}, -\frac{2}{3})$ છે.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$(1) \ 5x - 3y = 1$
$(2) \ 2x + 5y = 19$
$y$ નો લોપ કરવા માટે, સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$25x - 15y = 5 \quad (3)$
$6x + 15y = 57 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(25x + 6x) + (-15y + 15y) = 5 + 57$
$31x = 62$
$x = 2$
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(2) - 3y = 1$
$10 - 3y = 1$
$-3y = -9$
$y = 3$
આમ, ઉકેલ $(x, y) = (2, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $x + 2y = \frac{3}{2}$
$(2)$ $2x + y = \frac{3}{2}$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $1$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$x + 2y = \frac{3}{2}$
$4x + 2y = 3$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(4x - x) + (2y - 2y) = 3 - \frac{3}{2}$
$3x = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} + 2y = \frac{3}{2}$
$2y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $100$ છે,તેથી $x + y = 100$ (સમીકરણ $1$).
$25$ પૈસાના $x$ સિક્કાઓનું મૂલ્ય $0.25x$ રૂપિયા છે અને $50$ પૈસાના $y$ સિક્કાઓનું મૂલ્ય $0.50y$ રૂપિયા છે.
કુલ રકમ રૂ. $42.50$ છે,તેથી $0.25x + 0.50y = 42.50$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $0.25$ વડે ગુણતા: $0.25x + 0.25y = 25$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા: $(0.25x + 0.50y) - (0.25x + 0.25y) = 42.50 - 25$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.25y = 17.50$ મળે,તેથી $y = 17.50 / 0.25 = 70$.
$y = 70$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 70 = 100$,તેથી $x = 30$.
આમ,થેલીમાં $25$ પૈસાના $30$ સિક્કા અને $50$ પૈસાના $70$ સિક્કા છે.

(A) ધારો કે એક પેનની કિંમત રૂ. $x$ છે અને એક પેન્સિલની કિંમત રૂ. $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$3x + 4y = 23$ --- $(1)$
$2x + 3y = 16$ --- $(2)$
આને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$6x + 8y = 46$ --- $(3)$
$6x + 9y = 48$ --- $(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(6x + 9y) - (6x + 8y) = 48 - 46$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(2) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
આમ,એક પેનની કિંમત રૂ. $5$ અને એક પેન્સિલની કિંમત રૂ. $2$ છે.

(A) ધારો કે $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $20$ છે,તેથી $x + y = 20$ (સમીકરણ $1$).
સિક્કાઓની કુલ કિંમત $7$ રૂપિયા છે,જે $700$ પૈસા થાય છે. તેથી,$25x + 50y = 700$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને $25$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 2y = 28$ મળે છે (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20$,જે આપણને $y = 8$ આપે છે.
$y = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 8 = 20$,જે આપણને $x = 12$ આપે છે.
આમ,$25$ પૈસાના $12$ સિક્કા અને $50$ પૈસાના $8$ સિક્કા છે.

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$1) 0.3 x + 0.4 y = 1$
$2) 6 x + 8 y = 20$
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $10$ વડે ગુણતા: $3 x + 4 y = 10$ (સમીકરણ $3$).
હવે,સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6 x + 8 y = 20$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $(2)$ અને સમીકરણ $(4)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને સમાન છે: $6 x + 8 y = 20$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.
ઉકેલ ગણ $\{(x, y) \mid 3 x + 4 y = 10, x, y \in R \}$ છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$2x + 5y = 7$ --- $(i)$
$4x + 10y = 12$ --- $(ii)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 10y = 14$ --- $(iii)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4x + 10y) - (4x + 10y) = 14 - 12$
$0 = 2$
અહીં $0 = 2$ એ અસત્ય વિધાન છે,તેથી આપેલા સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી. આમ,આ સમીકરણ સંહતિ સુસંગત નથી.

(C) ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2x + 3y = 1$ ....... $(1)$
$x + y = 1$ ........... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + 2y = 2$ મળે છે ....... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + (-1) = 1$
$x = 2$
અહીં $x = \frac{1}{a} = 2$ હોવાથી,$a = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અહીં $y = \frac{1}{b} = -1$ હોવાથી,$b = -1$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = \left(\frac{1}{2}, -1\right)$ છે.

(D) ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$5x + \frac{3}{2}y = 1$ અને $\frac{1}{2}x - 3y = 1$
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $10x + 3y = 2$ મળે છે ... $(1)$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $x - 6y = 2$ મળે છે ... $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણીને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરતા:
$20x + 6y = 4$
$x - 6y = 2$
સરવાળો કરતા $21x = 6$ મળે,તેથી $x = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.
$x = \frac{2}{7}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$10(\frac{2}{7}) + 3y = 2$
$\frac{20}{7} + 3y = 2$
$3y = 2 - \frac{20}{7} = \frac{14 - 20}{7} = -\frac{6}{7}$
$y = -\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{7}$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = \frac{2}{7}$ હોવાથી,$a = \frac{7}{2}$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = -\frac{2}{7}$ હોવાથી,$b = -\frac{7}{2}$.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = (\frac{7}{2}, -\frac{7}{2})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = -1$ --- $(1)$
$\frac{4}{a} - \frac{9}{b} = -7$ --- $(2)$
ધારો કે $\frac{1}{a} = x$ અને $\frac{1}{b} = y$. તેથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$2x + 3y = -1$ --- $(3)$
$4x - 9y = -7$ --- $(4)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(3)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y = -3$ --- $(5)$
સમીકરણ $(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4x - 9y) + (6x + 9y) = -7 + (-3)$
$10x = -10$
$x = -1$
અહીં $x = \frac{1}{a}$ હોવાથી,$\frac{1}{a} = -1$,તેથી $a = -1$.
$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2(-1) + 3y = -1$
$-2 + 3y = -1$
$3y = 1$
$y = \frac{1}{3}$
અહીં $y = \frac{1}{b}$ હોવાથી,$\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$,તેથી $b = 3$.
આમ,ઉકેલ $(a, b) = (-1, 3)$ છે.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x-1}$ અને $v = \frac{1}{y-2}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (4, 5)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{9}{xy}$
$(2)$ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{21}{xy}$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ગુણતા ($x \neq 0, y \neq 0$ હોવાથી):
$(1)$ $2y + 3x = 9 \implies 3x + 2y = 9$
$(2)$ $4y + 9x = 21 \implies 9x + 4y = 21$
$y$ નો લોપ કરવા માટે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2(3x + 2y) = 2(9) \implies 6x + 4y = 18$
હવે બીજા સમીકરણમાંથી આ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(9x + 4y) - (6x + 4y) = 21 - 18$
$3x = 3 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત $3x + 2y = 9$ માં મૂકતા:
$3(1) + 2y = 9$
$3 + 2y = 9 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 3)$ છે.

(D) ધારો કે $x = \frac{1}{a}$ અને $y = \frac{1}{b}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$9x + 8y = 7$ --- $(1)$
$2x - 3y = -8$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $8$ વડે ગુણતા:
$27x + 24y = 21$ --- $(3)$
$16x - 24y = -64$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$43x = -43 \implies x = -1$.
અહીં $x = \frac{1}{a} = -1$ હોવાથી,$a = -1$ મળે છે.
$x = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(-1) - 3y = -8$
$-2 - 3y = -8$
$-3y = -6 \implies y = 2$.
અહીં $y = \frac{1}{b} = 2$ હોવાથી,$b = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = \left(-1, \frac{1}{2}\right)$.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$ છે.
સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$11v - 7u = 1$ --- $(1)$
$9v - 4u = 6$ --- $(2)$
$u$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $7$ વડે ગુણતા:
$44v - 28u = 4$ --- $(3)$
$63v - 28u = 42$ --- $(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(63v - 44v) = (42 - 4)$
$19v = 38 \implies v = 2$
અહીં $v = \frac{1}{y} = 2$ હોવાથી,$y = \frac{1}{2}$ મળે.
$v = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$11(2) - 7u = 1$
$22 - 7u = 1$
$7u = 21 \implies u = 3$
અહીં $u = \frac{1}{x} = 3$ હોવાથી,$x = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ છે.

(B) ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$ છે.
આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$3u - 2v = 5$ --- $(1)$
$4u - 5v = 2$ --- $(2)$
$u$ અને $v$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$15u - 10v = 25$ --- $(3)$
$8u - 10v = 4$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$(15u - 8u) = 25 - 4$
$7u = 21 \implies u = 3$
$u = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(3) - 2v = 5$
$9 - 2v = 5$
$-2v = -4 \implies v = 2$
આમ,$\frac{1}{x} = 3$ અને $\frac{1}{y} = 2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 - 2 = 1$.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$1) 3x - 2y = 1$
$2) 5x + y = 6$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,બંને સમીકરણોમાં $y$ ના સહગુણકોનું મૂલ્ય સમાન અને ચિહ્ન વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ નો સહગુણક $-2$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $y$ નો સહગુણક $1$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $y$ ના સહગુણકને $2$ બનાવવા માટે (જેથી $-2y + 2y = 0$ થાય),આપણે બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણવું પડશે.