Substitution Method Questions in Hindi

(N/A) चरण $1:$ हम किसी भी एक समीकरण को चुनते हैं और एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण $(2)$ पर विचार करें।
$x + 2y = 3$
इसे $x = 3 - 2y$ $...(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $2:$ समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$7(3 - 2y) - 15y = 2$
$21 - 14y - 15y = 2$
$-29y = 2 - 21$
$-29y = -19$
अतः,$y = \frac{19}{29}$
चरण $3:$ $y$ के इस मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 3 - 2\left(\frac{19}{29}\right)$
$x = 3 - \frac{38}{29}$
$x = \frac{87 - 38}{29} = \frac{49}{29}$
अतः,हल $x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}$ है।

(N/A) माना आफताब की वर्तमान आयु $s$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $t$ वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,सात वर्ष पूर्व:
$(s - 7) = 7(t - 7)$
$s - 7 = 7t - 49$
$s - 7t = -42$ $...(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,तीन वर्ष बाद:
$(s + 3) = 3(t + 3)$
$s + 3 = 3t + 9$
$s - 3t = 6$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $s = 3t + 6$ प्राप्त होता है।
$s$ का यह मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3t + 6) - 7t = -42$
$-4t + 6 = -42$
$-4t = -48$
$t = 12$
अब,$t = 12$ का मान $s = 3t + 6$ में रखने पर:
$s = 3(12) + 6 = 36 + 6 = 42$
अतः,आफताब की वर्तमान आयु $42$ वर्ष और उसकी पुत्री की आयु $12$ वर्ष है।

(A) $x+y=14$ $....(1)$
$x-y=4$ $....(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$x=14-y$ $....(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(14-y)-y=4$
$14-2y=4$
$14-4=2y$
$10=2y$
$y=5$ $....(4)$
अब,$y=5$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x=14-5$
$x=9$
अतः,हल $x=9$ और $y=5$ है।

(S=9, T=6) $s-t=3$ $...(1)$
$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $s$ को $t$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$s = t + 3$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $s$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{t+3}{3} + \frac{t}{2} = 6$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ ($3$ और $2$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$2(t+3) + 3t = 36$
$2t + 6 + 3t = 36$
$5t + 6 = 36$
$5t = 30$
$t = 6$ $...(4)$
अब,$t = 6$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$s = 6 + 3$
$s = 9$
अतः,हल $s = 9$ और $t = 6$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - y = 3$ $...(1)$
$9x - 3y = 9$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 3x - 3$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9x - 3(3x - 3) = 9$
$9x - 9x + 9 = 9$
$9 = 9$
चूंकि $9 = 9$ एक सत्य कथन है जो $x$ के सभी मानों के लिए मान्य है,अतः ये दोनों समीकरण संपाती रेखाएं हैं।
इसलिए,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
चरों के बीच का संबंध $y = 3x - 3$ द्वारा दिया गया है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$0.2 x + 0.3 y = 1.3$ $...(1)$
$0.4 x + 0.5 y = 2.3$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$0.2 x = 1.3 - 0.3 y$
$x = \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.4 \left( \frac{1.3 - 0.3 y}{0.2} \right) + 0.5 y = 2.3$
$2(1.3 - 0.3 y) + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.6 y + 0.5 y = 2.3$
$2.6 - 0.1 y = 2.3$
$2.6 - 2.3 = 0.1 y$
$0.3 = 0.1 y$
$y = \frac{0.3}{0.1} = 3$
अब,$y = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = \frac{1.3 - 0.3(3)}{0.2}$
$x = \frac{1.3 - 0.9}{0.2}$
$x = \frac{0.4}{0.2} = 2$
अतः,हल $x = 2$ और $y = 3$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 0$ $...(1)$
$\sqrt{3} x - \sqrt{8} y = 0$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$x = -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}}$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3} \left( -\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{2}} \right) - \sqrt{8} y = 0$
$-\frac{3 y}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} y = 0$
$y$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$y \left( -\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\sqrt{2} \right) = 0$
चूंकि कोष्ठक में दी गई राशि शून्य नहीं है,इसलिए $y = 0$ होगा।
$y = 0$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = -\frac{\sqrt{3} (0)}{\sqrt{2}} = 0$
अतः,हल $x = 0$ और $y = 0$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2$
$(2) \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}$
चरण $1$: समीकरणों को सरल कीजिए।
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करने पर: $9x - 10y = -12$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ को $6$ से गुणा करने पर: $2x + 3y = 13$ --- $(4)$
चरण $2$: समीकरण $(4)$ से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कीजिए:
$2x = 13 - 3y$
$x = \frac{13 - 3y}{2}$ --- $(5)$
चरण $3$: समीकरण $(5)$ का मान $(3)$ में प्रतिस्थापित कीजिए:
$9(\frac{13 - 3y}{2}) - 10y = -12$
$2$ से गुणा करने पर: $9(13 - 3y) - 20y = -24$
$117 - 27y - 20y = -24$
$-47y = -24 - 117$
$-47y = -141$
$y = \frac{141}{47} = 3$
चरण $4$: $y = 3$ का मान $(5)$ में रखिए:
$x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,हल $x = 2, y = 3$ है।

(N/A) माना कि पहली संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $y$ है,जहाँ $y > x$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$y = 3x$ $...(1)$
$y - x = 26$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x - x = 26$
$2x = 26$
$x = 13$ $...(3)$
$x$ का यह मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 3(13) = 39$
अतः,वे दो संख्याएँ $13$ और $39$ हैं।

(C) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार,पिता की आयु पुत्र की आयु की छह गुनी है:
$x = 6y$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,चार वर्ष बाद,पिता की आयु पुत्र की आयु की चार गुनी होगी:
$(x + 4) = 4(y + 4)$
$x + 4 = 4y + 16$
$x - 4y = 12$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $x$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$6y - 4y = 12$
$2y = 12$
$y = 6$
अब,$y = 6$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x = 6(6) = 36$
अतः,पुत्र की वर्तमान आयु $6$ वर्ष और पिता की वर्तमान आयु $36$ वर्ष है।

(A) माना कि बड़ा कोण $x$ है और छोटा कोण $y$ है।
हम जानते हैं कि संपूरक कोणों के युग्म के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$x + y = 180^{\circ}$ $...(1)$
$x - y = 18^{\circ}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 180^{\circ} - y$ $...(3)$
$x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(180^{\circ} - y) - y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 2y = 18^{\circ}$
$180^{\circ} - 18^{\circ} = 2y$
$162^{\circ} = 2y$
$y = 81^{\circ}$ $...(4)$
$y$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 180^{\circ} - 81^{\circ}$
$x = 99^{\circ}$
अतः,दोनों कोण $99^{\circ}$ और $81^{\circ}$ हैं।

(A) माना कि एक बल्ले का मूल्य $x$ है और एक गेंद का मूल्य $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$7x + 6y = 3800$ $...(1)$
$3x + 5y = 1750$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$6y = 3800 - 7x$
$y = \frac{3800 - 7x}{6}$ $...(3)$
$y$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 5\left(\frac{3800 - 7x}{6}\right) = 1750$
समीकरण को सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$18x + 5(3800 - 7x) = 10500$
$18x + 19000 - 35x = 10500$
$-17x = 10500 - 19000$
$-17x = -8500$
$x = 500$
अब,$x = 500$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$y = \frac{3800 - 7(500)}{6}$
$y = \frac{3800 - 3500}{6}$
$y = \frac{300}{6} = 50$
अतः,एक बल्ले का मूल्य ₹ $500$ है और एक गेंद का मूल्य ₹ $50$ है।

(D) माना कि नियत भाड़ा ₹ $x$ है और प्रति $km$ भाड़ा ₹ $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$x + 10y = 105$ $(1)$
$x + 15y = 155$ $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = 105 - 10y$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $x$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(105 - 10y) + 15y = 155$
$105 + 5y = 155$
$5y = 155 - 105$
$5y = 50$
$y = 10$
$y = 10$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = 105 - 10(10)$
$x = 105 - 100$
$x = 5$
अतः,नियत भाड़ा ₹ $5$ है और प्रति $km$ भाड़ा ₹ $10$ है।
$25 \, km$ की दूरी के लिए कुल भाड़ा:
$x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = ₹ 255$.

(A) माना कि भिन्न का अंश $x$ है और हर $y$ है। अतः भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $11(x+2) = 9(y+2) \implies 11x + 22 = 9y + 18 \implies 11x - 9y = -4$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $6(x+3) = 5(y+3) \implies 6x + 18 = 5y + 15 \implies 6x - 5y = -3$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$5y = 6x + 3 \implies y = \frac{6x+3}{5}$.
इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $11x - 9(\frac{6x+3}{5}) = -4$.
$5$ से गुणा करने पर: $55x - 9(6x+3) = -20 \implies 55x - 54x - 27 = -20 \implies x = 7$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = \frac{6(7)+3}{5} = \frac{42+3}{5} = \frac{45}{5} = 9$.
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

(N/A) माना जैकब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
स्थिति $1$: पाँच वर्ष बाद,जैकब की आयु $(x + 5)$ होगी और उसके पुत्र की आयु $(y + 5)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$(x + 5) = 3(y + 5) \implies x + 5 = 3y + 15 \implies x - 3y = 10$ (समीकरण $1$)।
स्थिति $2$: पाँच वर्ष पूर्व,जैकब की आयु $(x - 5)$ थी और उसके पुत्र की आयु $(y - 5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,$(x - 5) = 7(y - 5) \implies x - 5 = 7y - 35 \implies x - 7y = -30$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 3y + 10$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(3y + 10) - 7y = -30 \implies -4y = -40 \implies y = 10$।
$y = 10$ को $x = 3y + 10$ में रखने पर: $x = 3(10) + 10 = 40$।
अतः,जैकब की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु $10$ वर्ष है।

(A) माना पिता का वजन $x \, kg$ है और पुत्र का वजन $y \, kg$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल वजन $x + y = 70$ है (समीकरण $1$)।
पुत्र का वजन पिता के वजन का छठा हिस्सा है,इसलिए $y = \frac{1}{6}x$,जिसका अर्थ है $x = 6y$ या $x - 6y = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में $x = 6y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6y + y = 70$
$7y = 70$
$y = 10 \, kg$.
अब,$y = 10$ को $x = 6y$ में रखने पर:
$x = 6 \times 10 = 60 \, kg$.
अतः,पिता का वजन $60 \, kg$ और पुत्र का वजन $10 \, kg$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 11$ .......... $(i)$
$2x - y = -1$ .......... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 2x + 1$ .......... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ से $y$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(2x + 1) = 11$
$2x + 6x + 3 = 11$
$8x + 3 = 11$
$8x = 8$
$x = 1$
अब,$x = 1$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y = 2(1) + 1$
$y = 2 + 1$
$y = 3$
अतः,हल $(x, y) = (1, 3)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 7y = 18$ ..... $(1)$
$6x - 14y = 12$ ..... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$3x - 7y = 6$ ..... $(3)$
समीकरण $(1)$ से,हमें $3x = 18 + 7y$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(18 + 7y) - 7y = 6$
$18 = 6$
यह एक विरोधाभास है,क्योंकि $18$ कभी भी $6$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है,जिसका अर्थ है कि हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(A) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार: $x + 2y = 70$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $2x + y = 95$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 70 - 2y$ प्राप्त होता है।
$x$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(70 - 2y) + y = 95$
$140 - 4y + y = 95$
$140 - 3y = 95$
$-3y = 95 - 140$
$-3y = -45$
$y = 15$
अब,$y = 15$ का मान $x = 70 - 2y$ में रखने पर:
$x = 70 - 2(15)$
$x = 70 - 30 = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष और पुत्र की वर्तमान आयु $15$ वर्ष है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y = 7$
$2) 5x + 12y = 7$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = 7 - y$ $(3)$
समीकरण $(3)$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(7 - y) + 12y = 7$
$35 - 5y + 12y = 7$
$35 + 7y = 7$
$7y = 7 - 35$
$7y = -28$
$y = -4$
अब,$y = -4$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x = 7 - (-4)$
$x = 7 + 4$
$x = 11$
अतः,हल $(x, y) = (11, -4)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 5x - 3y = 1$
$2) 2x + 5y = 19$
समीकरण $(1)$ से,$5x = 1 + 3y$,इसलिए $x = \frac{1 + 3y}{5}$.
$x$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{1 + 3y}{5}) + 5y = 19$
हर को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$2(1 + 3y) + 25y = 95$
$2 + 6y + 25y = 95$
$31y = 93$
$y = 3$
अब,$y = 3$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = \frac{1 + 3(3)}{5} = \frac{1 + 9}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
अतः,हल $(x, y) = (2, 3)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $2x - y + 3 = 0$
$(2)$ $y = 2x - \frac{3}{2}$
समीकरण $(2)$ से $y$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - (2x - \frac{3}{2}) + 3 = 0$
$2x - 2x + \frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3}{2} + 3 = 0$
$\frac{3 + 6}{2} = 0$
$\frac{9}{2} = 0$
चूंकि $\frac{9}{2} \neq 0$,यह कथन एक विरोधाभास है।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है,जिसका अर्थ है कि रेखाएं समांतर हैं। सही विकल्प $A$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x - 3y = -11$
$2) \, 4x - 6y + 22 = 0$
समीकरण $(2)$ से,हम लिख सकते हैं $4x - 6y = -22$,जिसे सरल करने पर $2(2x - 3y) = -22$ प्राप्त होता है,अर्थात $2x - 3y = -11$.
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
इसका अर्थ है कि इस निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$2x - 3y = -11$ को संतुष्ट करने वाला कोई भी युग्म $(x, y)$ एक हल है।
अतः,हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 2x - 3y = -11; \, x, y \in R \}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3x + y + 1 = 0$
$(2)$ $2x - 3y + 8 = 0$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = -3x - 1$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 3(-3x - 1) + 8 = 0$
$2x + 9x + 3 + 8 = 0$
$11x + 11 = 0$
$11x = -11$
$x = -1$
अब,$x = -1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$y = -3(-1) - 1$
$y = 3 - 1$
$y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (-1, 2)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 8x - 3y = 1$
$2) 34x - 3y = 14$
समीकरण $(1)$ से,हम $3y$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$3y = 8x - 1$
$y = (8x - 1) / 3$
$y$ का यह मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$34x - 3((8x - 1) / 3) = 14$
$34x - (8x - 1) = 14$
$34x - 8x + 1 = 14$
$26x = 13$
$x = 13 / 26 = 1/2$
अब,$x = 1/2$ का मान $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = (8(1/2) - 1) / 3$
$y = (4 - 1) / 3$
$y = 3 / 3 = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1/2, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 8y = 19$
$(2) 2x + 11y = 28$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = 19 - 8y$
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(19 - 8y) + 11y = 28$
$38 - 16y + 11y = 28$
$38 - 5y = 28$
$-5y = 28 - 38$
$-5y = -10$
$y = 2$
अब,$y = 2$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = 19 - 8(2)$
$x = 19 - 16$
$x = 3$
अतः,हल $(x, y) = (3, 2)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x + 3y = 7$
$2) \, 6x + 9y = 23$
गुणांकों के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{23}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) x + 11y = 1$
$(2) 8x + 13y = 2$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 1 - 11y$ प्राप्त होता है।
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8(1 - 11y) + 13y = 2$
$8 - 88y + 13y = 2$
$8 - 75y = 2$
$-75y = 2 - 8$
$-75y = -6$
$y = \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25}$.
अब,$y = \frac{2}{25}$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = 1 - 11(\frac{2}{25})$
$x = 1 - \frac{22}{25} = \frac{25 - 22}{25} = \frac{3}{25}$.
अतः,हल $(x, y) = (\frac{3}{25}, \frac{2}{25})$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $8x + 5y = 9$
$(2)$ $3x + 2y = 4$
समीकरण $(2)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$2y = 4 - 3x$
$y = \frac{4 - 3x}{2}$
$y$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x + 5(\frac{4 - 3x}{2}) = 9$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$16x + 5(4 - 3x) = 18$
$16x + 20 - 15x = 18$
$x + 20 = 18$
$x = 18 - 20$
$x = -2$
अब,$x = -2$ का मान $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{4 - 3(-2)}{2}$
$y = \frac{4 + 6}{2}$
$y = \frac{10}{2}$
$y = 5$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 5)$ है।

(C) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $5(x+1) = 4(y+1) \implies 5x + 5 = 4y + 4 \implies 5x - 4y = -1$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(x-5) = 1(y-5) \implies 2x - 10 = y - 5 \implies 2x - y = 5$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$y = 2x - 5$. इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5x - 4(2x - 5) = -1$
$5x - 8x + 20 = -1$
$-3x = -21 \implies x = 7$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
अतः,वह भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ 2x + y = 35$
$(2) \ 3x + 4y = 65$
समीकरण $(1)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 35 - 2x$
$y$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(35 - 2x) = 65$
$3x + 140 - 8x = 65$
$-5x = 65 - 140$
$-5x = -75$
$x = 15$
अब,$x = 15$ के मान को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = 35 - 2(15)$
$y = 35 - 30$
$y = 5$
अंत में,अनुपात $\frac{x}{y}$ की गणना करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $9$ है,इसलिए $x + y = 9$ (समीकरण $1$)।
पहली संख्या के पाँच गुने और दूसरी संख्या के तीन गुने का अंतर $5$ है,इसलिए $5x - 3y = 5$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,हमें $y = 9 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $5x - 3(9 - x) = 5$.
$5x - 27 + 3x = 5$.
$8x = 32$.
$x = 4$.
अब,$x = 4$ को $y = 9 - x$ में रखने पर: $y = 9 - 4 = 5$.
अतः,वे संख्याएँ $4$ और $5$ हैं।

(A) माना कि बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$x = y + 3$ या $x - y = 3$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,$2x + 17 = 3y$ या $2x - 3y = -17$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $x = y + 3$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$2(y + 3) - 3y = -17$
$2y + 6 - 3y = -17$
$-y + 6 = -17$
$-y = -23$
$y = 23$।
अब,$x = y + 3$ का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात करें:
$x = 23 + 3 = 26$।
अतः,वे संख्याएँ $26$ और $23$ हैं।

(C) माना कि $x = \frac{1}{a}$ और $y = \frac{1}{b}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाएंगे:
$5x - 6y = 3$ --- $(1)$
$x + 4y = 11$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,$x = 11 - 4y$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(11 - 4y) - 6y = 3$
$55 - 20y - 6y = 3$
$55 - 26y = 3$
$26y = 52$
$y = 2$.
चूँकि $y = \frac{1}{b} = 2$,इसलिए $b = \frac{1}{2}$ है।
$y = 2$ का मान $x = 11 - 4y$ में रखने पर:
$x = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3$.
चूँकि $x = \frac{1}{a} = 3$,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$(a, b) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = y + 1 \implies y = 2x + 1$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x-5}{y-5} = \frac{5}{11} \implies 11x - 55 = 5y - 25 \implies 11x - 5y = 30$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में $y = 2x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $11x - 5(2x + 1) = 30$।
$11x - 10x - 5 = 30 \implies x = 35$।
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(35) + 1 = 70 + 1 = 71$।
अतः,वे संख्याएँ $35$ और $71$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $x + 2y = 5$
$(2)$ $2x + y = 4$
समीकरण $(1)$ से,हमें $x = 5 - 2y$ प्राप्त होता है।
$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(5 - 2y) + y = 4$
$10 - 4y + y = 4$
$10 - 3y = 4$
$-3y = 4 - 10$
$-3y = -6$
$y = 2$
अब,$y = 2$ को $x = 5 - 2y$ में रखने पर:
$x = 5 - 2(2)$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(C) दिए गए समीकरण:
$2x + y = 5$ --- $(1)$
$y - 1 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $y = 1$ प्राप्त होता है।
$y = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 1 = 5$
$2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 4 / 2$
$x = 2$
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण $3x + 2y = 8$ है।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-2) + 2y = 8$
$-6 + 2y = 8$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$2y = 8 + 6$
$2y = 14$
$2$ से भाग देने पर:
$y = 7$.

(B) दिया गया रैखिक समीकरण $2x - 5y = 3$ है।
समीकरण में $y = -1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 5(-1) = 3$
$2x + 5 = 3$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$2x = 3 - 5$
$2x = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x = -1$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $2x + 3y = 10$
$(2)$ $3x - y = 4$
समीकरण $(2)$ से,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 3x - 4$
$y$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(3x - 4) = 10$
$2x + 9x - 12 = 10$
$11x = 10 + 12$
$11x = 22$
$x = 2$
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1$ है।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{-2} + \frac{3}{y} = 1$
$-2 + \frac{3}{y} = 1$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$\frac{3}{y} = 1 + 2$
$\frac{3}{y} = 3$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने और $3$ से भाग देने पर:
$y = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 1$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y = \frac{1}{2} x$ --- $(1)$
$x + 2y = 8$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $y$ का मान समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2(\frac{1}{2} x) = 8$
$x + x = 8$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

(A) माना दहाई के स्थान का अंक $x$ है और इकाई के स्थान का अंक $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $6$ है,इसलिए $x + y = 6$ है।
साथ ही,इकाई के स्थान का अंक दहाई के स्थान के अंक का दोगुना है,इसलिए $y = 2x$ है।
पहले समीकरण में $y = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2x = 6$ प्राप्त होता है।
$3x = 6$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = 2(2) = 4$ है।
अतः,संख्या $10x + y$ है,जो $10(2) + 4 = 24$ है।

(B) दिया गया दो चरों वाला रैखिक समीकरण: $2x + 3y = 8$ है।
$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ वाले पद को समीकरण के एक तरफ अलग करते हैं।
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर: $3y = 8 - 2x$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को $3$ से भाग देने पर: $y = \frac{8 - 2x}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{8 - 2x}{3}$ है।