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Graphical Method of Solution Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Pair of Linear Equations in Two Variables · Graphical Method of Solution
105+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 105 questions in Hindi
1
Medium
आइए हम एक उदाहरण लें: अखिला ₹ $20$ लेकर मेले में जाती है और वह चकरी (Giant Wheel) की सवारी करना चाहती है और 'हूपला' (Hoopla) खेल खेलना चाहती है। इस स्थिति को बीजगणितीय और ग्राफीय (ज्यामितीय) रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) प्राप्त समीकरणों का युग्म है:
$y = \frac{1}{2}x$
अर्थात,$x - 2y = 0$ ......$(1)$
$3x + 4y = 20$ ......$(2)$
आइए इन समीकरणों को ग्राफीय रूप में निरूपित करें। इसके लिए,हमें प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो हलों की आवश्यकता है। हम इन हलों को नीचे दी गई सारणियों में देते हैं:
कक्षा $IX$ से याद करें कि प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसलिए,आप में से प्रत्येक कोई भी दो मान चुन सकता है,जो हमारे द्वारा चुने गए मानों से भिन्न हो सकते हैं। जब एक चर शून्य होता है,तो समीकरण एक चर वाले रैखिक समीकरण में बदल जाता है,जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,समीकरण $(2)$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $4y = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = 5$। इसी प्रकार,समीकरण $(2)$ में $y = 0$ रखने पर,हमें $3x = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \frac{20}{3}$। लेकिन चूंकि $\frac{20}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए इसे ग्राफ पेपर पर सटीक रूप से अंकित करना आसान नहीं होगा। इसलिए,हम $y = 2$ चुनते हैं,जो $x = 4$ देता है,जो एक पूर्णांक मान है।
सारणियों में दिए गए हलों के संगत बिंदुओं $A(0, 0), B(2, 1)$ और $P(0, 5), Q(4, 2)$ को आलेखित करें। अब रेखाएं $AB$ और $PQ$ खींचें,जो समीकरणों $x - 2y = 0$ और $3x + 4y = 20$ को निरूपित करती हैं।
$y = \frac{1}{2}x$
अर्थात,$x - 2y = 0$ ......$(1)$
$3x + 4y = 20$ ......$(2)$
आइए इन समीकरणों को ग्राफीय रूप में निरूपित करें। इसके लिए,हमें प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो हलों की आवश्यकता है। हम इन हलों को नीचे दी गई सारणियों में देते हैं:
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y = \frac{x}{2}$ | $0$ | $1$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{20}{3}$ | $4$ |
| $y = \frac{20 - 3x}{4}$ | $5$ | $0$ | $2$ |
कक्षा $IX$ से याद करें कि प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसलिए,आप में से प्रत्येक कोई भी दो मान चुन सकता है,जो हमारे द्वारा चुने गए मानों से भिन्न हो सकते हैं। जब एक चर शून्य होता है,तो समीकरण एक चर वाले रैखिक समीकरण में बदल जाता है,जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,समीकरण $(2)$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $4y = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = 5$। इसी प्रकार,समीकरण $(2)$ में $y = 0$ रखने पर,हमें $3x = 20$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \frac{20}{3}$। लेकिन चूंकि $\frac{20}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए इसे ग्राफ पेपर पर सटीक रूप से अंकित करना आसान नहीं होगा। इसलिए,हम $y = 2$ चुनते हैं,जो $x = 4$ देता है,जो एक पूर्णांक मान है।
सारणियों में दिए गए हलों के संगत बिंदुओं $A(0, 0), B(2, 1)$ और $P(0, 5), Q(4, 2)$ को आलेखित करें। अब रेखाएं $AB$ और $PQ$ खींचें,जो समीकरणों $x - 2y = 0$ और $3x + 4y = 20$ को निरूपित करती हैं।
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Medium
रोमिला एक स्टेशनरी की दुकान पर गई और ₹ $9$ में $2$ पेंसिल और $3$ रबर खरीदे। उसकी सहेली सोनाली ने रोमिला के पास पेंसिल और रबर की नई किस्म देखी और उसने भी उसी तरह की $4$ पेंसिल और $6$ रबर ₹ $18$ में खरीदे। इस स्थिति को बीजगणितीय और ग्राफीय रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि $1$ पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ है और $1$ रबर का मूल्य ₹ $y$ है। बीजगणितीय निरूपण निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया गया है:
$2x + 3y = 9$ $.......(1)$
$4x + 6y = 18$ $.......(2)$
इसे ग्राफीय रूप में दर्शाने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$ के लिए,$y = \frac{9 - 2x}{3}$:
समीकरण $(2)$ के लिए,$y = \frac{18 - 4x}{6}$:
जब हम इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं,तो हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ संपाती (coincide) हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों समीकरण समतुल्य हैं,अर्थात समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का $2$ गुना है।
$2x + 3y = 9$ $.......(1)$
$4x + 6y = 18$ $.......(2)$
इसे ग्राफीय रूप में दर्शाने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$ के लिए,$y = \frac{9 - 2x}{3}$:
| $x$ | $0$ | $4.5$ |
| $y$ | $3$ | $0$ |
समीकरण $(2)$ के लिए,$y = \frac{18 - 4x}{6}$:
| $x$ | $0$ | $3$ |
| $y$ | $3$ | $1$ |
जब हम इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं,तो हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ संपाती (coincide) हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों समीकरण समतुल्य हैं,अर्थात समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का $2$ गुना है।
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View Solution3
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दो पटरियों को समीकरणों $x+2y-4=0$ और $2x+4y-12=0$ द्वारा निरूपित किया गया है। इस स्थिति को ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए।
Solution
(N/A) समीकरणों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं।
समीकरण $x+2y-4=0$ के लिए:
हम बिंदुओं $R(0, 2)$ और $S(4, 0)$ को आलेखित करके $x+2y-4=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
समीकरण $2x+4y-12=0$ के लिए:
हम बिंदुओं $P(0, 3)$ और $Q(6, 0)$ को आलेखित करके $2x+4y-12=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के समांतर हैं।
समीकरण $x+2y-4=0$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $4$ |
| $y = \frac{4-x}{2}$ | $2$ | $0$ |
हम बिंदुओं $R(0, 2)$ और $S(4, 0)$ को आलेखित करके $x+2y-4=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
समीकरण $2x+4y-12=0$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $6$ |
| $y = \frac{12-2x}{4}$ | $3$ | $0$ |
हम बिंदुओं $P(0, 3)$ और $Q(6, 0)$ को आलेखित करके $2x+4y-12=0$ को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त करते हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के समांतर हैं।
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Difficult
आफताब अपनी पुत्री से कहता है,"सात वर्ष पूर्व,मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से तीन वर्ष बाद,मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।" इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) माना आफताब की वर्तमान आयु $x$ है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ है।
सात वर्ष पूर्व:
आफताब की आयु $= x - 7$
पुत्री की आयु $= y - 7$
प्रश्न के अनुसार,$(x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42$ $...(1)$
तीन वर्ष बाद:
आफताब की आयु $= x + 3$
पुत्री की आयु $= y + 3$
प्रश्न के अनुसार,$(x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6$ $...(2)$
बीजगणितीय निरूपण:
$x - 7y = -42$
$x - 3y = 6$
$x - 7y = -42$ के लिए,$x = 7y - 42$:
$x - 3y = 6$ के लिए,$x = 3y + 6$:
सात वर्ष पूर्व:
आफताब की आयु $= x - 7$
पुत्री की आयु $= y - 7$
प्रश्न के अनुसार,$(x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42$ $...(1)$
तीन वर्ष बाद:
आफताब की आयु $= x + 3$
पुत्री की आयु $= y + 3$
प्रश्न के अनुसार,$(x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6$ $...(2)$
बीजगणितीय निरूपण:
$x - 7y = -42$
$x - 3y = 6$
$x - 7y = -42$ के लिए,$x = 7y - 42$:
| $x$ | $-7$ | $0$ | $7$ |
| $y$ | $5$ | $6$ | $7$ |
$x - 3y = 6$ के लिए,$x = 3y + 6$:
| $x$ | $6$ | $3$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
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Difficult
एक क्रिकेट टीम के कोच ने ₹ $3900$ में $3$ बल्ले और $6$ गेंदें खरीदीं। बाद में,उन्होंने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की $3$ और गेंदें ₹ $1300$ में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय और ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि एक बल्ले का मूल्य ₹ $x$ है और एक गेंद का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$3x + 6y = 3900$
$x + 3y = 1300$
प्रथम समीकरण $3x + 6y = 3900$ के लिए,इसे सरल करके $x + 2y = 1300$ लिखा जा सकता है,अतः $x = 1300 - 2y$।
| $x$ | $300$ | $100$ | $-100$ |
| $y$ | $500$ | $600$ | $700$ |
दूसरे समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए,$x = 1300 - 3y$।
| $x$ | $400$ | $700$ | $1000$ |
| $y$ | $300$ | $200$ | $100$ |
ज्यामितीय निरूपण दिए गए ग्राफ में दर्शाया गया है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$3x + 6y = 3900$
$x + 3y = 1300$
प्रथम समीकरण $3x + 6y = 3900$ के लिए,इसे सरल करके $x + 2y = 1300$ लिखा जा सकता है,अतः $x = 1300 - 2y$।
| $x$ | $300$ | $100$ | $-100$ |
| $y$ | $500$ | $600$ | $700$ |
दूसरे समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए,$x = 1300 - 3y$।
| $x$ | $400$ | $700$ | $1000$ |
| $y$ | $300$ | $200$ | $100$ |
ज्यामितीय निरूपण दिए गए ग्राफ में दर्शाया गया है।
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View Solution6
Medium
एक दिन $2\, kg$ सेब और $1\, kg$ अंगूर का मूल्य ₹ $160$ था। एक महीने बाद,$4\, kg$ सेब और $2\, kg$ अंगूर का मूल्य ₹ $300$ हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय और ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
Solution
(N/A) माना $1\, kg$ सेब का मूल्य ₹ $x$ है और $1\, kg$ अंगूर का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$2x + y = 160$
$4x + 2y = 300$
समीकरण $2x + y = 160$ के लिए,$y = 160 - 2x$। हल सारणी:
समीकरण $4x + 2y = 300$ के लिए,$y = \frac{300 - 4x}{2} = 150 - 2x$। हल सारणी:
ज्यामितीय निरूपण में दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं,जो दर्शाती हैं कि इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$2x + y = 160$
$4x + 2y = 300$
समीकरण $2x + y = 160$ के लिए,$y = 160 - 2x$। हल सारणी:
| $x$ | $50$ | $60$ | $70$ |
| $y$ | $60$ | $40$ | $20$ |
समीकरण $4x + 2y = 300$ के लिए,$y = \frac{300 - 4x}{2} = 150 - 2x$। हल सारणी:
| $x$ | $70$ | $80$ | $75$ |
| $y$ | $10$ | $-10$ | $0$ |
ज्यामितीय निरूपण में दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं,जो दर्शाती हैं कि इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
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View Solution7
Difficult
आलेखीय विधि से जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म
$x+3y=6$ $...(1)$
और $2x-3y=12$ $...(2)$
संगत है या नहीं? यदि संगत है,तो उन्हें आलेखीय विधि से हल कीजिए।
$x+3y=6$ $...(1)$
और $2x-3y=12$ $...(2)$
संगत है या नहीं? यदि संगत है,तो उन्हें आलेखीय विधि से हल कीजिए।
Solution
(N/A) आइए समीकरण $(1)$ और $(2)$ के आलेख खींचते हैं। इसके लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं,जो नीचे दी गई तालिकाओं में दिए गए हैं:
समीकरण $(1)$ के लिए: $x+3y=6$
समीकरण $(2)$ के लिए: $2x-3y=12$
ग्राफ पेपर पर रेखा $(1)$ के लिए बिंदु $A(0, 2), B(6, 0)$ और रेखा $(2)$ के लिए $P(0, -4), Q(3, -2)$ को आलेखित कीजिए। बिंदुओं को मिलाकर रेखाएँ $AB$ और $PQ$ खींचिए।
हम देखते हैं कि रेखाओं $AB$ और $PQ$ दोनों में एक बिंदु $B(6, 0)$ उभयनिष्ठ है। चूँकि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है। हल $x=6$ और $y=0$ है।
समीकरण $(1)$ के लिए: $x+3y=6$
| $x$ | $0$ | $6$ |
| $y = \frac{6-x}{3}$ | $2$ | $0$ |
समीकरण $(2)$ के लिए: $2x-3y=12$
| $x$ | $0$ | $3$ |
| $y = \frac{2x-12}{3}$ | $-4$ | $-2$ |
ग्राफ पेपर पर रेखा $(1)$ के लिए बिंदु $A(0, 2), B(6, 0)$ और रेखा $(2)$ के लिए $P(0, -4), Q(3, -2)$ को आलेखित कीजिए। बिंदुओं को मिलाकर रेखाएँ $AB$ और $PQ$ खींचिए।
हम देखते हैं कि रेखाओं $AB$ और $PQ$ दोनों में एक बिंदु $B(6, 0)$ उभयनिष्ठ है। चूँकि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है। हल $x=6$ और $y=0$ है।
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Medium
आलेखीय रूप से ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है,अद्वितीय हल है या अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $\frac{5}{3}$ से गुणा करने पर:
$\frac{5}{3} \times (3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5}) = \frac{5}{3} \times 6$
$5x - 8y + 1 = 10$
अतः,$5x - 8y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ यानी $5x - 8y + 1 = 0$ और समीकरण $(2)$ यानी $5x - 8y - 9 = 0$ की तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांक समान हैं लेकिन अचर पद भिन्न हैं।
इसलिए,ये रेखाएँ समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।
$5x - 8y + 1 = 0$ $...(1)$
$3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5} = 6$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $\frac{5}{3}$ से गुणा करने पर:
$\frac{5}{3} \times (3x - \frac{24}{5}y + \frac{3}{5}) = \frac{5}{3} \times 6$
$5x - 8y + 1 = 10$
अतः,$5x - 8y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ यानी $5x - 8y + 1 = 0$ और समीकरण $(2)$ यानी $5x - 8y - 9 = 0$ की तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांक समान हैं लेकिन अचर पद भिन्न हैं।
इसलिए,ये रेखाएँ समांतर हैं और इनका कोई हल नहीं है।
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DifficultMCQ
चंपा पैंट और स्कर्ट खरीदने के लिए एक 'सेल' में गई। जब उसके दोस्तों ने उससे पूछा कि उसने प्रत्येक की कितनी संख्या खरीदी है,तो उसने उत्तर दिया,"स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंट की संख्या के दोगुने से दो कम है। साथ ही,स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंट की संख्या के चार गुना से चार कम है"। उसके दोस्तों को यह पता लगाने में मदद करें कि चंपा ने कितनी पैंट और स्कर्ट खरीदीं।
A
$1$ पैंट,$0$ स्कर्ट
B
$2$ पैंट,$2$ स्कर्ट
C
$0$ पैंट,$1$ स्कर्ट
D
$1$ पैंट,$2$ स्कर्ट
Solution
(A) मान लीजिए कि पैंट की संख्या $x$ है और स्कर्ट की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बनने वाले समीकरण हैं:
$y = 2x - 2$ $...(1)$
$y = 4x - 4$ $...(2)$
रैखिक समीकरणों के इस युग्म को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$,$y = 2x - 2$ के लिए:
समीकरण $(2)$,$y = 4x - 4$ के लिए:
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके और रेखाएँ खींचने पर,हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,हल $x = 1$ और $y = 0$ है।
इसलिए,चंपा ने $1$ पैंट और $0$ स्कर्ट खरीदी।
प्रश्न के अनुसार,बनने वाले समीकरण हैं:
$y = 2x - 2$ $...(1)$
$y = 4x - 4$ $...(2)$
रैखिक समीकरणों के इस युग्म को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम प्रत्येक समीकरण के लिए दो हल ज्ञात करते हैं:
समीकरण $(1)$,$y = 2x - 2$ के लिए:
| $x$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $2$ | $-2$ |
समीकरण $(2)$,$y = 4x - 4$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $-4$ | $0$ |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके और रेखाएँ खींचने पर,हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,हल $x = 1$ और $y = 0$ है।
इसलिए,चंपा ने $1$ पैंट और $0$ स्कर्ट खरीदी।
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Difficult
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।
कक्षा $X$ के $10$ विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली (क्विज़) में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से $4$ अधिक हो,तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
कक्षा $X$ के $10$ विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली (क्विज़) में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से $4$ अधिक हो,तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना लड़कियों की संख्या $x$ है और लड़कों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$x + y = 10$
$x - y = 4$
$x + y = 10$ के लिए,$x = 10 - y$:
$x - y = 4$ के लिए,$x = 4 + y$:
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएँ बिंदु $(7, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,लड़कियों की संख्या $7$ है और लड़कों की संख्या $3$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$x + y = 10$
$x - y = 4$
$x + y = 10$ के लिए,$x = 10 - y$:
| $x$ | $5$ | $4$ | $6$ |
| $y$ | $5$ | $6$ | $4$ |
$x - y = 4$ के लिए,$x = 4 + y$:
| $x$ | $5$ | $4$ | $3$ |
| $y$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएँ बिंदु $(7, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,लड़कियों की संख्या $7$ है और लड़कों की संख्या $3$ है।
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Easy
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।
$5$ पेंसिल और $7$ कलमों का कुल मूल्य ₹ $50$ है,जबकि $7$ पेंसिल और $5$ कलमों का कुल मूल्य ₹ $46$ है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
$5$ पेंसिल और $7$ कलमों का कुल मूल्य ₹ $50$ है,जबकि $7$ पेंसिल और $5$ कलमों का कुल मूल्य ₹ $46$ है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि $1$ पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ है और $1$ कलम का मूल्य ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$5x + 7y = 50$
$7x + 5y = 46$
$5x + 7y = 50$ के लिए,$x = \frac{50 - 7y}{5}$ है।
$7x + 5y = 46$ के लिए,$x = \frac{46 - 5y}{7}$ है।
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएं बिंदु $(3, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,एक पेंसिल का मूल्य ₹ $3$ और एक कलम का मूल्य ₹ $5$ है।
प्रश्न के अनुसार,बीजगणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$5x + 7y = 50$
$7x + 5y = 46$
$5x + 7y = 50$ के लिए,$x = \frac{50 - 7y}{5}$ है।
| $x$ | $3$ | $10$ | $-4$ |
| $y$ | $5$ | $0$ | $10$ |
$7x + 5y = 46$ के लिए,$x = \frac{46 - 5y}{7}$ है।
| $x$ | $8$ | $3$ | $-2$ |
| $y$ | $-2$ | $5$ | $12$ |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएं बिंदु $(3, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,एक पेंसिल का मूल्य ₹ $3$ और एक कलम का मूल्य ₹ $5$ है।
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EasyMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
A
एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं
B
समांतर हैं
C
संपाती हैं
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4, c_{1} = 8$
$a_{2} = 7, b_{2} = 6, c_{2} = -9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ है,अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4, c_{1} = 8$
$a_{2} = 7, b_{2} = 6, c_{2} = -9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ है,अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
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EasyMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
A
एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं
B
समांतर हैं
C
संपाती हैं
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दिए गए समीकरण हैं:
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 9, b_{1} = 3, c_{1} = 12$
$a_{2} = 18, b_{2} = 6, c_{2} = 24$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$9x + 3y + 12 = 0$
$18x + 6y + 24 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 9, b_{1} = 3, c_{1} = 12$
$a_{2} = 18, b_{2} = 6, c_{2} = 24$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
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MediumMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके,ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,समांतर हैं या संपाती हैं:
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
A
एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं
B
समांतर हैं
C
संपाती हैं
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 6, b_{1} = -3, c_{1} = 10$
$a_{2} = 2, b_{2} = -1, c_{2} = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,ये रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगी और इस समीकरण युग्म का कोई हल संभव नहीं है।
$6x - 3y + 10 = 0$
$2x - y + 9 = 0$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 6, b_{1} = -3, c_{1} = 10$
$a_{2} = 2, b_{2} = -1, c_{2} = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है,इसलिए दिए गए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,ये रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगी और इस समीकरण युग्म का कोई हल संभव नहीं है।
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EasyMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं या असंगत।
$2x - 3y = 8$; $4x - 6y = 9$
$2x - 3y = 8$; $4x - 6y = 9$
A
संगत
B
असंगत
C
आश्रित
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x - 3y = 8$ (या $2x - 3y - 8 = 0$)
$4x - 6y = 9$ (या $4x - 6y - 9 = 0$)
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 2, b_{1} = -3, c_{1} = -8$
$a_{2} = 4, b_{2} = -6, c_{2} = -9$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत है।
$2x - 3y = 8$ (या $2x - 3y - 8 = 0$)
$4x - 6y = 9$ (या $4x - 6y - 9 = 0$)
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 2, b_{1} = -3, c_{1} = -8$
$a_{2} = 4, b_{2} = -6, c_{2} = -9$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत है।
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EasyMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं या असंगत।
$\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7$; $9 x - 10 y = 14$
$\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7$; $9 x - 10 y = 14$
A
संगत
B
असंगत
C
आश्रित
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7 \implies \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7 = 0$
$2) 9 x - 10 y = 14 \implies 9 x - 10 y - 14 = 0$
$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ और $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = \frac{5}{3}, c_{1} = -7$
$a_{2} = 9, b_{2} = -10, c_{2} = -14$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
$1) \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7 \implies \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7 = 0$
$2) 9 x - 10 y = 14 \implies 9 x - 10 y - 14 = 0$
$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ और $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = \frac{5}{3}, c_{1} = -7$
$a_{2} = 9, b_{2} = -10, c_{2} = -14$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
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EasyMCQ
अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं या असंगत।
$5x - 3y = 11$; $-10x + 6y = -22$
$5x - 3y = 11$; $-10x + 6y = -22$
A
संगत
B
असंगत
C
आश्रित
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$-10x + 6y = -22$ (समीकरण $2$)
मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 5, b_{1} = -3, c_{1} = 11$
$a_{2} = -10, b_{2} = 6, c_{2} = -22$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
चूंकि रेखाएं संपाती हैं,इसलिए इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
$5x - 3y = 11$ (समीकरण $1$)
$-10x + 6y = -22$ (समीकरण $2$)
मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ से तुलना करने पर:
$a_{1} = 5, b_{1} = -3, c_{1} = 11$
$a_{2} = -10, b_{2} = 6, c_{2} = -22$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
चूंकि रेखाएं संपाती हैं,इसलिए इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
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Difficult
निम्नलिखित में से रैखिक समीकरणों के कौन से युग्म संगत/असंगत हैं? यदि संगत हैं,तो ग्राफ़ीय विधि से हल ज्ञात कीजिए:
$x+y=5, \quad 2x+2y=10$
$x+y=5, \quad 2x+2y=10$
Solution
(N/A) दिए गए समीकरण:
$x+y=5$
$2x+2y=10$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रैखिक समीकरण संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
$x+y=5$ के लिए,$x = 5-y$:
$2x+2y=10$ के लिए,$x = \frac{10-2y}{2} = 5-y$:
ग्राफ़ से यह देखा जा सकता है कि ये रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर स्थित हैं। इसलिए,दिए गए समीकरणों के युग्म के लिए अपरिमित रूप से अनेक हल संभव हैं।
$x+y=5$
$2x+2y=10$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रैखिक समीकरण संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं और इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म संगत है।
$x+y=5$ के लिए,$x = 5-y$:
| $x$ | $4$ | $3$ | $2$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
$2x+2y=10$ के लिए,$x = \frac{10-2y}{2} = 5-y$:
| $x$ | $4$ | $3$ | $2$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
ग्राफ़ से यह देखा जा सकता है कि ये रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर स्थित हैं। इसलिए,दिए गए समीकरणों के युग्म के लिए अपरिमित रूप से अनेक हल संभव हैं।
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Medium
निम्नलिखित में से रैखिक समीकरणों का कौन सा युग्म संगत/असंगत है? यदि संगत है,तो ग्राफ़ीय विधि से हल ज्ञात कीजिए: $x-y=8, 3x-3y=16$.
Solution
(N/A) दिए गए समीकरण $x-y=8$ और $3x-3y=16$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा रैखिक समीकरण युग्म संगत/असंगत है? यदि संगत है,तो ग्राफ़ीय विधि से हल ज्ञात कीजिए: $2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0$.
A
संगत
B
असंगत
C
आश्रित
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिए गए समीकरण $2x + y - 6 = 0$ और $4x - 2y - 4 = 0$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6$
$a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए समीकरण युग्म संगत है।
$2x + y - 6 = 0 \implies y = 6 - 2x$ के लिए:
यदि $x=0, y=6$; यदि $x=1, y=4$; यदि $x=2, y=2$.
$4x - 2y - 4 = 0 \implies y = 2x - 2$ के लिए:
यदि $x=0, y=-2$; यदि $x=1, y=0$; यदि $x=2, y=2$.
अतः,रेखाएं $(2, 2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6$
$a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए समीकरण युग्म संगत है।
$2x + y - 6 = 0 \implies y = 6 - 2x$ के लिए:
यदि $x=0, y=6$; यदि $x=1, y=4$; यदि $x=2, y=2$.
$4x - 2y - 4 = 0 \implies y = 2x - 2$ के लिए:
यदि $x=0, y=-2$; यदि $x=1, y=0$; यदि $x=2, y=2$.
अतः,रेखाएं $(2, 2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
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View Solution21
Medium
निम्नलिखित में से कौन सा रैखिक समीकरण युग्म संगत/असंगत है? यदि संगत है,तो ग्राफ़ीय विधि से हल ज्ञात कीजिए: $2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0$.
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2x - 2y - 2 = 0$ (समीकरण $1$)
$4x - 4y - 5 = 0$ (समीकरण $2$)
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2$
$a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5$
अब,अनुपातों की तुलना करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
$2x - 2y - 2 = 0$ (समीकरण $1$)
$4x - 4y - 5 = 0$ (समीकरण $2$)
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2$
$a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5$
अब,अनुपातों की तुलना करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
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Difficult
एक आयताकार बगीचे का अर्ध-परिमाप $36\, m$ है,जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से $4\, m$ अधिक है। बगीचे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना बगीचे की चौड़ाई $x$ है और लंबाई $y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$y - x = 4$ $...(1)$
$y + x = 36$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y = x + 4$। मानों की सारणी इस प्रकार है:
समीकरण $(2)$ से,$y = 36 - x$। मानों की सारणी इस प्रकार है:
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि वे $(16, 20)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,बगीचे की चौड़ाई $16\, m$ और लंबाई $20\, m$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$y - x = 4$ $...(1)$
$y + x = 36$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$y = x + 4$। मानों की सारणी इस प्रकार है:
| $x$ | $0$ | $8$ | $12$ |
| $y$ | $4$ | $12$ | $16$ |
समीकरण $(2)$ से,$y = 36 - x$। मानों की सारणी इस प्रकार है:
| $x$ | $0$ | $36$ | $16$ |
| $y$ | $36$ | $0$ | $20$ |
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि वे $(16, 20)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,बगीचे की चौड़ाई $16\, m$ और लंबाई $20\, m$ है।
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Easy
दी गई रैखिक समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,दो चरों में एक अन्य ऐसी रैखिक समीकरण लिखिए ताकि इस प्रकार बने युग्म का ज्यामितीय निरूपण प्रतिच्छेदी रेखाएँ हो।
Solution
(N/A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के प्रतिच्छेदी रेखाएँ होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
दी गई समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ में,$a_1 = 2$ और $b_1 = 3$ है।
हमें $a_2$ और $b_2$ को इस प्रकार चुनना है कि $\frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}$ हो।
यदि हम $a_2 = 3$ और $b_2 = 2$ लेते हैं,तो $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,एक ऐसी समीकरण $3x + 2y - 5 = 0$ है (या शर्त को पूरा करने वाली कोई अन्य समीकरण)।
दी गई समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ में,$a_1 = 2$ और $b_1 = 3$ है।
हमें $a_2$ और $b_2$ को इस प्रकार चुनना है कि $\frac{2}{a_2} \neq \frac{3}{b_2}$ हो।
यदि हम $a_2 = 3$ और $b_2 = 2$ लेते हैं,तो $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,एक ऐसी समीकरण $3x + 2y - 5 = 0$ है (या शर्त को पूरा करने वाली कोई अन्य समीकरण)।
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Easy
दिए गए रैखिक समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,दो चरों वाला एक अन्य ऐसा रैखिक समीकरण लिखिए ताकि इस प्रकार बने युग्म का ज्यामितीय निरूपण समांतर रेखाएँ हों।
Solution
(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के समांतर होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,हम $a_2 = 4$ और $b_2 = 6$ चुन सकते हैं (जिससे $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ हो जाए) और $c_2$ को इस प्रकार चुनें कि $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$ हो।
माना $c_2 = -10$ है। अतः समीकरण $4x + 6y - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-10}$,जो सरल करने पर $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$ होता है।
अतः,$4x + 6y - 10 = 0$ एक सही उत्तर है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,हम $a_2 = 4$ और $b_2 = 6$ चुन सकते हैं (जिससे $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ हो जाए) और $c_2$ को इस प्रकार चुनें कि $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$ हो।
माना $c_2 = -10$ है। अतः समीकरण $4x + 6y - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-10}$,जो सरल करने पर $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{4}{5}$ होता है।
अतः,$4x + 6y - 10 = 0$ एक सही उत्तर है।
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EasyMCQ
दिए गए रैखिक समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,दो चरों में एक अन्य ऐसा रैखिक समीकरण लिखिए ताकि इस प्रकार बने युग्म का ज्यामितीय निरूपण संपाती रेखाएँ हों।
A
$4x + 6y - 16 = 0$
B
$2x + 3y - 10 = 0$
C
$4x + 6y - 8 = 0$
D
$2x + 3y + 8 = 0$
Solution
(A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती रेखाएँ होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
दूसरा समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण को किसी भी शून्येतर अचर $k$ से गुणा कर सकते हैं। मान लीजिए $k = 2$ है।
समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(2x + 3y - 8) = 2(0)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x + 6y - 16 = 0$ हो जाता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$।
चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। अतः,$4x + 6y - 16 = 0$ एक सही उत्तर है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ है।
दूसरा समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण को किसी भी शून्येतर अचर $k$ से गुणा कर सकते हैं। मान लीजिए $k = 2$ है।
समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(2x + 3y - 8) = 2(0)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x + 6y - 16 = 0$ हो जाता है।
शर्त की जाँच करने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$।
चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। अतः,$4x + 6y - 16 = 0$ एक सही उत्तर है।
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Easy
समीकरणों $x-y+1=0$ और $3x+2y-12=0$ के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए।
Solution
(N/A) समीकरण $x-y+1=0$ के लिए,हम $x=y-1$ लिख सकते हैं। मानों की तालिका इस प्रकार है:
समीकरण $3x+2y-12=0$ के लिए,हम $x=\frac{12-2y}{3}$ लिख सकते हैं। मानों की तालिका इस प्रकार है:
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। ये रेखाएँ एक-दूसरे को $(2,3)$ बिंदु पर काटती हैं और $x$-अक्ष को $(-1,0)$ और $(4,0)$ पर काटती हैं।
अतः,इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $(2,3)$,$(-1,0)$ और $(4,0)$ हैं।
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
समीकरण $3x+2y-12=0$ के लिए,हम $x=\frac{12-2y}{3}$ लिख सकते हैं। मानों की तालिका इस प्रकार है:
| $x$ | $4$ | $2$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $3$ | $6$ |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। ये रेखाएँ एक-दूसरे को $(2,3)$ बिंदु पर काटती हैं और $x$-अक्ष को $(-1,0)$ और $(4,0)$ पर काटती हैं।
अतः,इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $(2,3)$,$(-1,0)$ और $(4,0)$ हैं।
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Medium
$2$ पेंसिल और $3$ रबर की कीमत ₹ $9$ है,और $4$ पेंसिल और $6$ रबर की कीमत ₹ $18$ है। प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक रबर की कीमत ज्ञात कीजिए।
Solution
(D) माना कि एक पेंसिल की कीमत ₹ $x$ है और एक रबर की कीमत ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,निर्मित रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y = 9$ $...(1)$
$4x + 6y = 18$ $...(2)$
हम देखते हैं कि समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का ठीक $2$ गुना है।
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x + 3y = 9$ प्राप्त होता है,जो समीकरण $(1)$ के समान है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएं हैं।
अतः,$x$ और $y$ के लिए अनंत हल मौजूद हैं जो इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए,हम प्रत्येक पेंसिल और रबर की एक अद्वितीय कीमत निर्धारित नहीं कर सकते हैं।
प्रश्न के अनुसार,निर्मित रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y = 9$ $...(1)$
$4x + 6y = 18$ $...(2)$
हम देखते हैं कि समीकरण $(2)$,समीकरण $(1)$ का ठीक $2$ गुना है।
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x + 3y = 9$ प्राप्त होता है,जो समीकरण $(1)$ के समान है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएं हैं।
अतः,$x$ और $y$ के लिए अनंत हल मौजूद हैं जो इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए,हम प्रत्येक पेंसिल और रबर की एक अद्वितीय कीमत निर्धारित नहीं कर सकते हैं।
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Difficult
दो पटरियों को समीकरणों $x + 2y - 4 = 0$ और $2x + 4y - 12 = 0$ द्वारा दर्शाया गया है। क्या पटरियाँ एक-दूसरे को काटेंगी?
Solution
(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x + 2y - 4 = 0$ $...(1)$
$2x + 4y - 12 = 0$ $...(2)$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4$
$a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12$
अब,गुणांकों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,पटरियाँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी।
$x + 2y - 4 = 0$ $...(1)$
$2x + 4y - 12 = 0$ $...(2)$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4$
$a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12$
अब,गुणांकों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,पटरियाँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी।
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MediumMCQ
आलेखीय रूप से,समीकरणों का युग्म $6x - 3y + 10 = 0$ और $2x - y + 9 = 0$ दो रेखाओं को दर्शाता है जो:
A
केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
B
केवल दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
C
समांतर हैं।
D
संपाती हैं।
Solution
(C) दिए गए समीकरण हैं:
$6x - 3y + 10 = 0$ ... $(1)$
$2x - y + 9 = 0$ ... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
$6x - 3y + 10 = 0$ ... $(1)$
$2x - y + 9 = 0$ ... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
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MediumMCQ
समीकरणों के युग्म $x + 2y + 5 = 0$ और $-3x - 6y + 1 = 0$ के
A
एक अद्वितीय हल है
B
ठीक दो हल हैं
C
अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
D
कोई हल नहीं है
Solution
(D) दिए गए समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ और $-3x - 6y + 1 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5$
$a_2 = -3, b_2 = -6, c_2 = 1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5$
$a_2 = -3, b_2 = -6, c_2 = 1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{1} = 5$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।
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MediumMCQ
समीकरणों का युग्म $x=a$ और $y=b$ ग्राफीय रूप से उन रेखाओं को दर्शाता है जो
A
समांतर हैं
B
$(b, a)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं
C
$(a, b)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं
D
संपाती हैं
Solution
(C) समीकरण $x=a$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण $y=b$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष के समांतर है और $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, b)$ से होकर गुजरती है।
जब इन दोनों रेखाओं को एक ही कार्तीय तल पर आलेखित किया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर रेखा $x=a$ और क्षैतिज रेखा $y=b$ एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $a$ है और $y$-निर्देशांक $b$ है।
अतः,ये रेखाएँ बिंदु $(a, b)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
समीकरण $y=b$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष के समांतर है और $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, b)$ से होकर गुजरती है।
जब इन दोनों रेखाओं को एक ही कार्तीय तल पर आलेखित किया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर रेखा $x=a$ और क्षैतिज रेखा $y=b$ एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $a$ है और $y$-निर्देशांक $b$ है।
अतः,ये रेखाएँ बिंदु $(a, b)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
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View Solution32
MediumMCQ
$k$ के किस मान के लिए समीकरण $3x - y + 8 = 0$ और $6x - ky = -16$ संपाती रेखाओं को निरूपित करते हैं?
A
$1/2$
B
$-1/2$
C
$-2$
D
$2$
Solution
(D) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $3x - y + 8 = 0$ और $6x - ky + 16 = 0$ हैं।
मानक रूप से तुलना करने पर,$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = 8$ और $a_2 = 6, b_2 = -k, c_2 = 16$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-k} = \frac{8}{16}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$ से,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $3x - y + 8 = 0$ और $6x - ky + 16 = 0$ हैं।
मानक रूप से तुलना करने पर,$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = 8$ और $a_2 = 6, b_2 = -k, c_2 = 16$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-k} = \frac{8}{16}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{k} = \frac{1}{2}$ से,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।
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View Solution33
MediumMCQ
क्या समीकरण $4x + 3y - 1 = 5$ और $12x + 9y = 15$ संपाती रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करते हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
A
हाँ
B
नहीं
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
वे समांतर रेखाएँ हैं
Solution
(B) दिए गए समीकरण हैं:
$4x + 3y - 1 = 5 \implies 4x + 3y = 6$
$12x + 9y = 15$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 6$
$a_2 = 12, b_2 = 9, c_2 = 15$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ समांतर हैं और संपाती नहीं हैं। अतः,उत्तर 'नहीं' है।
$4x + 3y - 1 = 5 \implies 4x + 3y = 6$
$12x + 9y = 15$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 4, b_1 = 3, c_1 = 6$
$a_2 = 12, b_2 = 9, c_2 = 15$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ समांतर हैं और संपाती नहीं हैं। अतः,उत्तर 'नहीं' है।
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View Solution34
MediumMCQ
क्या समीकरणों का युग्म $x+2y-3=0$ और $6y+3x-9=0$ संगत है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
A
हाँ,वे संगत हैं।
B
नहीं,वे असंगत हैं।
C
हाँ,वे असंगत हैं।
D
नहीं,वे संगत हैं।
Solution
(A) दिए गए समीकरण $x+2y-3=0$ और $3x+6y-9=0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=2, c_1=-3$
$a_2=3, b_2=6, c_2=-9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं और यह संगत है।
इन्हें मानक रूप $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=2, c_1=-3$
$a_2=3, b_2=6, c_2=-9$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं और यह संगत है।
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View Solution35
Medium
क्या निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
$2x + 4y = 3$
$x = 2y$
$2x + 4y = 3$
$x = 2y$
Solution
(B) रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 4y - 3 = 0$
$x - 2y = 0$
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3$ और $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-2} = -2$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(2 \neq -2)$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है,'कोई हल नहीं' नहीं है।
दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 4y - 3 = 0$
$x - 2y = 0$
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3$ और $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-2} = -2$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $(2 \neq -2)$,रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है,'कोई हल नहीं' नहीं है।
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क्या निम्नलिखित समीकरण संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करते हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$3x + \frac{1}{7}y = 3$
$7x + 3y = 7$
$3x + \frac{1}{7}y = 3$
$7x + 3y = 7$
Solution
(B) दो रेखाओं के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$3x + \frac{1}{7}y - 3 = 0$
$7x + 3y - 7 = 0$
यहाँ,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3$
$a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{7}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/7}{3} = \frac{1}{21}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती नहीं हैं। वे एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$3x + \frac{1}{7}y - 3 = 0$
$7x + 3y - 7 = 0$
यहाँ,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3$
$a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{7}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/7}{3} = \frac{1}{21}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती नहीं हैं। वे एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
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Medium
क्या निम्नलिखित समीकरण संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करते हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$\frac{x}{2} + y + \frac{2}{5} = 0$
$4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
$\frac{x}{2} + y + \frac{2}{5} = 0$
$4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
Solution
(N/A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के संपाती होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{1}{2}x + 1y + \frac{2}{5} = 0$
$2) 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
यहाँ,$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$ और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2/5}{5/16} = \frac{2}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{32}{25}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं,संपाती नहीं। अतः,दिए गए समीकरण संपाती रेखाओं का युग्म निरूपित नहीं करते हैं।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) \frac{1}{2}x + 1y + \frac{2}{5} = 0$
$2) 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
यहाँ,$a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$ और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2/5}{5/16} = \frac{2}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{32}{25}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं समांतर हैं,संपाती नहीं। अतः,दिए गए समीकरण संपाती रेखाओं का युग्म निरूपित नहीं करते हैं।
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Medium
$x=7$ द्वारा निरूपित रेखा $x$-अक्ष के समांतर है। औचित्य सहित बताइए कि यह कथन सत्य है या नहीं।
Solution
(N/A) यह कथन असत्य है।
कार्तीय तल का अवलोकन करने पर,समीकरण $x=7$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(7, 0)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा ऊर्ध्वाधर है,इसलिए यह $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर लंबवत है।
अतः,दिया गया कथन गलत है।
कार्तीय तल का अवलोकन करने पर,समीकरण $x=7$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(7, 0)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा ऊर्ध्वाधर है,इसलिए यह $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर लंबवत है।
अतः,दिया गया कथन गलत है।
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DifficultMCQ
यदि समीकरणों $3x - y - 5 = 0$ और $6x - 2y - p = 0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$p = 10$
B
$p \neq 10$
C
$p = 5$
D
$p \neq 5$
Solution
(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$3x - y - 5 = 0$ ... $(i)$
$6x - 2y - p = 0$ ... $(ii)$
इन्हें व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -5$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -p$
दो रेखाओं के समांतर होने की शर्त है: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
मान रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-p}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$\frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$ होना चाहिए।
वज्र-गुणन करने पर,$p \neq 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$p$ के $10$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए रेखाएँ समांतर होंगी।
$3x - y - 5 = 0$ ... $(i)$
$6x - 2y - p = 0$ ... $(ii)$
इन्हें व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -5$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -p$
दो रेखाओं के समांतर होने की शर्त है: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
मान रखने पर:
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-p}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$\frac{1}{2} \neq \frac{5}{p}$ होना चाहिए।
वज्र-गुणन करने पर,$p \neq 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$p$ के $10$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए रेखाएँ समांतर होंगी।
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MCQ
$k$ के किस मान के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा?
$3x + y = 1$
$(2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1$
$3x + y = 1$
$(2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1$
A
$k = 1$
B
$k = 2$
C
$k = 3$
D
$k = 4$
Solution
(B) दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
$3x + y - 1 = 0$
$(2k - 1)x + (k - 1)y - (2k + 1) = 0$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -1$ और $a_2 = 2k - 1, b_2 = k - 1, c_2 = -(2k + 1)$ है।
रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
अतः,$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} \neq \frac{-1}{-(2k + 1)}$
$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$ लेने पर:
$3(k - 1) = 1(2k - 1)$
$3k - 3 = 2k - 1$
$3k - 2k = -1 + 3$
$k = 2$
अतः,$k = 2$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
$3x + y - 1 = 0$
$(2k - 1)x + (k - 1)y - (2k + 1) = 0$
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -1$ और $a_2 = 2k - 1, b_2 = k - 1, c_2 = -(2k + 1)$ है।
रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
अतः,$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} \neq \frac{-1}{-(2k + 1)}$
$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$ लेने पर:
$3(k - 1) = 1(2k - 1)$
$3k - 3 = 2k - 1$
$3k - 2k = -1 + 3$
$k = 2$
अतः,$k = 2$ के लिए दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
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Difficult
समीकरणों $5x - y = 5$ और $3x - y = 3$ के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और $y$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) समीकरण $5x - y = 5$ के लिए,हम $y = 5x - 5$ लिख सकते हैं। हल तालिका इस प्रकार है:
समीकरण $3x - y = 3$ के लिए,हम $y = 3x - 3$ लिख सकते हैं। हल तालिका इस प्रकार है:
इन बिंदुओं को आलेख पर अंकित करने पर,हमें दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं जो $(1, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
त्रिभुज इन दो रेखाओं और $y$-अक्ष (जहाँ $x = 0$ है) द्वारा बनता है।
त्रिभुज के शीर्ष दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और वे बिंदु हैं जहाँ प्रत्येक रेखा $y$-अक्ष को काटती है,जो $(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।
अतः,शीर्षों के निर्देशांक $(1, 0)$,$(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $y$ | $-5$ | $0$ | $5$ |
समीकरण $3x - y = 3$ के लिए,हम $y = 3x - 3$ लिख सकते हैं। हल तालिका इस प्रकार है:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $y$ | $-3$ | $0$ | $3$ |
इन बिंदुओं को आलेख पर अंकित करने पर,हमें दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं जो $(1, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
त्रिभुज इन दो रेखाओं और $y$-अक्ष (जहाँ $x = 0$ है) द्वारा बनता है।
त्रिभुज के शीर्ष दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और वे बिंदु हैं जहाँ प्रत्येक रेखा $y$-अक्ष को काटती है,जो $(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।
अतः,शीर्षों के निर्देशांक $(1, 0)$,$(0, -3)$ और $(0, -5)$ हैं।
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View Solution42
MediumMCQ
दो सीधे पथ समीकरणों $x-3y=2$ और $-2x+6y=5$ द्वारा दर्शाए गए हैं। जाँच करें कि क्या ये पथ एक-दूसरे को काटते हैं या नहीं।
A
हाँ,वे एक-दूसरे को काटते हैं।
B
नहीं,वे एक-दूसरे को नहीं काटते हैं।
C
वे एक ही रेखा हैं।
D
वे केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Solution
(B) दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
$x-3y-2=0$ ..... $(i)$
$-2x+6y-5=0$ ..... $(ii)$
इन समीकरणों की तुलना व्यापक रूप $ax+by+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
समीकरण $(i)$ के लिए: $a_1=1, b_1=-3, c_1=-2$
समीकरण $(ii)$ के लिए: $a_2=-2, b_2=6, c_2=-5$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,दिए गए समीकरणों द्वारा दर्शाए गए दो सीधे पथ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटते हैं।
$x-3y-2=0$ ..... $(i)$
$-2x+6y-5=0$ ..... $(ii)$
इन समीकरणों की तुलना व्यापक रूप $ax+by+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
समीकरण $(i)$ के लिए: $a_1=1, b_1=-3, c_1=-2$
समीकरण $(ii)$ के लिए: $a_2=-2, b_2=6, c_2=-5$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
अतः,दिए गए समीकरणों द्वारा दर्शाए गए दो सीधे पथ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटते हैं।
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Difficult
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं,तो उन्हें हल कीजिए।
$3x + y + 4 = 0$
$6x - 2y + 4 = 0$
$3x + y + 4 = 0$
$6x - 2y + 4 = 0$
Solution
(A) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,यह निकाय संगत है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$y = -3x - 4$:
समीकरण $(ii)$ के लिए,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,वे $(-1, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हल $x = -1, y = -1$ है।
$3x + y + 4 = 0 .....(i)$
$6x - 2y + 4 = 0 .....(ii)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = 4$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,यह निकाय संगत है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$y = -3x - 4$:
| $x$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
| $y$ | $-4$ | $-1$ | $2$ |
समीकरण $(ii)$ के लिए,$2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $-1$ | $2$ | $5$ |
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,वे $(-1, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हल $x = -1, y = -1$ है।
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View Solution44
Medium
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं,तो उन्हें हल कीजिए।
$x - 2y = 6$
$3x - 6y = 0$
$x - 2y = 6$
$3x - 6y = 0$
Solution
(D) दिया गया समीकरण युग्म है:
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (जो अपरिभाषित है)
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,वे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,दिया गया समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
$x - 2y = 6$ ..... $(i)$
$3x - 6y = 0$ ..... $(ii)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = -6$
$a_2 = 3, b_2 = -6, c_2 = 0$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0}$ (जो अपरिभाषित है)
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,वे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,दिया गया समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
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View Solution45
Difficult
आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत है या नहीं। यदि संगत है,तो उन्हें हल कीजिए:
$x+y=3$
$3x+3y=9$
$x+y=3$
$3x+3y=9$
Solution
(CONSISTENT) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [समीकरण $(i)$ से]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [समीकरण $(ii)$ से]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए दी गई रेखाएं संपाती हैं। अतः,इन रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। इसलिए,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
अब,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ के लिए:
और $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ के लिए:
बिंदुओं $A(0,3)$ और $B(3,0)$ को आलेख पर अंकित करने पर,हमें रेखा $AB$ प्राप्त होती है। इसी प्रकार,बिंदुओं $C(0,3), D(1,2)$ और $E(3,0)$ को अंकित करने पर,हमें वही रेखा प्राप्त होती है। हम देखते हैं कि समीकरण $(i)$ और $(ii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती हैं।
$x+y=3 .....(i)$
$3x+3y=9 .....(ii)$
$ax+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1=1, b_1=1, c_1=-3$ [समीकरण $(i)$ से]
$a_2=3, b_2=3, c_2=-9$ [समीकरण $(ii)$ से]
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए दी गई रेखाएं संपाती हैं। अतः,इन रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। इसलिए,दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
अब,$x+y=3 \Rightarrow y=3-x$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $3$ |
| $y$ | $3$ | $0$ |
| बिंदु | $A$ | $B$ |
और $3x+3y=9 \Rightarrow y = \frac{9-3x}{3} = 3-x$ के लिए:
| $x$ | $0$ | $1$ | $3$ |
| $y$ | $3$ | $2$ | $0$ |
| बिंदु | $C$ | $D$ | $E$ |
बिंदुओं $A(0,3)$ और $B(3,0)$ को आलेख पर अंकित करने पर,हमें रेखा $AB$ प्राप्त होती है। इसी प्रकार,बिंदुओं $C(0,3), D(1,2)$ और $E(3,0)$ को अंकित करने पर,हमें वही रेखा प्राप्त होती है। हम देखते हैं कि समीकरण $(i)$ और $(ii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती हैं।
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View Solution46
Medium
रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ के आलेख खींचिए। इन रेखाओं,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा बनी आकृति के शीर्ष लिखिए। साथ ही,आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) हम जानते हैं कि $x=-2$ का आलेख $y$-अक्ष के समांतर और उससे बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
$y=3$ का आलेख $x$-अक्ष के समांतर और उससे ऊपर $3$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
रेखाओं $x=-2$,$y=3$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध आकृति $OABC$ है,जो एक आयत है।
$A$,$y$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $x$-अक्ष से $3$ इकाई ऊपर है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
$C$,$x$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $y$-अक्ष से बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर है। अतः,$C$ के निर्देशांक $(-2, 0)$ हैं।
$B$,रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
इस प्रकार,आयत $OABC$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ और $C(-2, 0)$ हैं।
इस आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $2$ इकाई और $3$ इकाई हैं।
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है,
आयत $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
$y=3$ का आलेख $x$-अक्ष के समांतर और उससे ऊपर $3$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है।
रेखाओं $x=-2$,$y=3$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध आकृति $OABC$ है,जो एक आयत है।
$A$,$y$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $x$-अक्ष से $3$ इकाई ऊपर है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
$C$,$x$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु है जो $y$-अक्ष से बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर है। अतः,$C$ के निर्देशांक $(-2, 0)$ हैं।
$B$,रेखाओं $x=-2$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
इस प्रकार,आयत $OABC$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 3)$,$B(-2, 3)$ और $C(-2, 0)$ हैं।
इस आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $2$ इकाई और $3$ इकाई हैं।
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है,
आयत $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
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Difficult
आलेखीय विधि से $y=x$,$3y=x$ और $x+y=8$ रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Solution
(O(0,0), Q(4,4), D(6,2)) दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$1$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $3y=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3x=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x=0$,इसलिए $x=0$. अतः,$y=0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $(i)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $x+y=8$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x+x=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $2x=8$,जिसका अर्थ है $x=4$. अतः,$y=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(4,4)$ है।
$3$. $(ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$(ii)$ से,$x=3y$. इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3y+y=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=8$,जिसका अर्थ है $y=2$. तब $x=3(2)=6$. प्रतिच्छेदन बिंदु $D(6,2)$ है।
अतः,रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$Q(4,4)$ और $D(6,2)$ हैं।
$y=x \quad (i)$
$3y=x \quad (ii)$
$x+y=8 \quad (iii)$
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के युग्मों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$1$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $3y=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3x=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x=0$,इसलिए $x=0$. अतः,$y=0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ है।
$2$. $(i)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x$ को $x+y=8$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x+x=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $2x=8$,जिसका अर्थ है $x=4$. अतः,$y=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(4,4)$ है।
$3$. $(ii)$ और $(iii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$(ii)$ से,$x=3y$. इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3y+y=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=8$,जिसका अर्थ है $y=2$. तब $x=3(2)=6$. प्रतिच्छेदन बिंदु $D(6,2)$ है।
अतः,रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$Q(4,4)$ और $D(6,2)$ हैं।
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Difficult
$x=3, x=5$ और $2x-y-4=0$ समीकरणों के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और $x$-अक्ष द्वारा बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution
(8) दी गई रेखाओं के समीकरण $2x-y-4=0$,$x=3$ और $x=5$ हैं।
रेखा $2x-y-4=0$ के लिए,हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
बिंदुओं $P(0, -4)$ और $Q(2, 0)$ को आलेख पर अंकित कीजिए और उनसे होकर जाने वाली रेखा खींचिए। साथ ही,ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x=3$ और $x=5$ खींचिए।
रेखाओं $x=3$,$x=5$,$x$-अक्ष और रेखा $2x-y-4=0$ द्वारा बना चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है,जिसमें $x=3$ और $x=5$ पर स्थित भुजाएँ समांतर हैं।
$x=3$ के लिए,$y = 2(3)-4 = 2$ है। अतः,बिंदु $D$ $(3, 2)$ है।
$x=5$ के लिए,$y = 2(5)-4 = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(5, 6)$ है।
समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ $AD = 2$ इकाई और $BC = 6$ इकाई हैं। उनके बीच की दूरी $AB = 5-3 = 2$ इकाई है。
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊँचाई})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,चतुर्भुज का क्षेत्रफल $8 \text{ वर्ग इकाई}$ है。
रेखा $2x-y-4=0$ के लिए,हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $y=2x-4$ | $-4$ | $0$ |
बिंदुओं $P(0, -4)$ और $Q(2, 0)$ को आलेख पर अंकित कीजिए और उनसे होकर जाने वाली रेखा खींचिए। साथ ही,ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x=3$ और $x=5$ खींचिए।
रेखाओं $x=3$,$x=5$,$x$-अक्ष और रेखा $2x-y-4=0$ द्वारा बना चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है,जिसमें $x=3$ और $x=5$ पर स्थित भुजाएँ समांतर हैं।
$x=3$ के लिए,$y = 2(3)-4 = 2$ है। अतः,बिंदु $D$ $(3, 2)$ है।
$x=5$ के लिए,$y = 2(5)-4 = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(5, 6)$ है।
समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ $AD = 2$ इकाई और $BC = 6$ इकाई हैं। उनके बीच की दूरी $AB = 5-3 = 2$ इकाई है。
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊँचाई})$
$= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB$
$= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 2$
$= 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,चतुर्भुज का क्षेत्रफल $8 \text{ वर्ग इकाई}$ है。
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आलेख का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: $x+y=7$,$5x+2y=20$.
Solution
(A) $x+y=7$
$\therefore y=7-x$
$x=0$ के लिए,$y=7-0=7$
$x=7$ के लिए,$y=7-7=0$
$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $x+y=7$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 7)$ और $(7, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
$5x+2y=20$
$\therefore 2y=20-5x \quad \therefore y=\frac{20-5x}{2}$
$x=0$ के लिए,$y=\frac{20-0}{2}=10$
$x=4$ के लिए,$y=\frac{20-20}{2}=0$
$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $5x+2y=20$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 10)$ और $(4, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (उभयनिष्ठ बिंदु) $(2, 5)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $(2, 5)$ है।
$\therefore y=7-x$
$x=0$ के लिए,$y=7-0=7$
$x=7$ के लिए,$y=7-7=0$
| $x$ | $0$ | $7$ |
| $y$ | $7$ | $0$ |
$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $x+y=7$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 7)$ और $(7, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
$5x+2y=20$
$\therefore 2y=20-5x \quad \therefore y=\frac{20-5x}{2}$
$x=0$ के लिए,$y=\frac{20-0}{2}=10$
$x=4$ के लिए,$y=\frac{20-20}{2}=0$
| $x$ | $0$ | $4$ |
| $y$ | $10$ | $0$ |
$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $5x+2y=20$ के हल समुच्चय के क्रमित युग्मों $(0, 10)$ और $(4, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें जोड़कर रेखा खींचिए।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (उभयनिष्ठ बिंदु) $(2, 5)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $(2, 5)$ है।
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आलेख की मदद से निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: $3x + 6y = 3900, x + 3y = 1300$
Solution
(N/A) समीकरण $3x + 6y = 3900$ के लिए:
$3$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 1300$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{2}$।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 650$। यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$।
बिंदुओं $(0, 650)$ और $(1300, 0)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए:
इसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{3}$।
यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$। यदि $x = 100$ है,तो $y = 400$।
बिंदुओं $(1300, 0)$ और $(100, 400)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1300, 0)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $x = 1300, y = 0$ है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y = 1300$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{2}$।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 650$। यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$।
| $x$ | $0$ | $1300$ |
| $y$ | $650$ | $0$ |
बिंदुओं $(0, 650)$ और $(1300, 0)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
समीकरण $x + 3y = 1300$ के लिए:
इसका अर्थ है $y = \frac{1300 - x}{3}$।
यदि $x = 1300$ है,तो $y = 0$। यदि $x = 100$ है,तो $y = 400$।
| $x$ | $1300$ | $100$ |
| $y$ | $0$ | $400$ |
बिंदुओं $(1300, 0)$ और $(100, 400)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1300, 0)$ है,जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल $x = 1300, y = 0$ है।
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View SolutionPair of Linear Equations in Two Variables — Graphical Method of Solution · Frequently Asked Questions
1Are these Pair of Linear Equations in Two Variables questions useful for JEE and NEET?
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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