Graphical Method of Solution Questions in Hindi

(D) समीकरण $3x + 4y = 6$ के लिए:
$4y = 6 - 3x$
$y = \frac{6 - 3x}{4}$
यदि $x = -2$,तो $y = \frac{6 - 3(-2)}{4} = \frac{12}{4} = 3$।
यदि $x = 2$,तो $y = \frac{6 - 3(2)}{4} = \frac{0}{4} = 0$।

$x$	$-2$	$2$
$y$	$3$	$0$

बिंदुओं $(-2, 3)$ और $(2, 0)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
समीकरण $3x + 4y = 19$ के लिए:
$4y = 19 - 3x$
$y = \frac{19 - 3x}{4}$
यदि $x = 5$,तो $y = \frac{19 - 3(5)}{4} = \frac{4}{4} = 1$।
यदि $x = 1$,तो $y = \frac{19 - 3(1)}{4} = \frac{16}{4} = 4$।

$x$	$5$	$1$
$y$	$1$	$4$

बिंदुओं $(5, 1)$ और $(1, 4)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके रेखा खींचिए।
चूंकि ये रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,इसलिए समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है। हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(N/A) यहाँ,$3x+3y=15$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करने पर,हमें समीकरण $x+y=5$ प्राप्त होता है।
अतः,युग्म के दोनों समीकरण समान हैं।
इसलिए,हम कह सकते हैं कि दोनों रेखाएँ एक ही हैं।
अतः,वे संपाती हैं। इसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं। ग्राफ खींचने के लिए,हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:
$x+y=5$
$\therefore y=5-x$
$x=0$ के लिए,$y=5-0=5$
$x=5$ के लिए,$y=5-5=0$
और
$3x+3y=15$
$\therefore 3y=15-3x$
$\therefore y=\frac{15-3x}{3}$
$\therefore y=5-x$
$\therefore$ दोनों तालिकाएँ समान हैं।

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

$\therefore$ ग्राफ पेपर पर $x+y=5$ (या $3x+3y=15$,अर्थात $x+y=5$) के हल समुच्चय के दो बिंदुओं $(0, 5)$ और $(5, 0)$ को अंकित करें और उन्हें जोड़कर रेखा खींचें।
यहाँ,दोनों समीकरणों के ग्राफ समान हैं। साथ ही,हम देख सकते हैं कि रेखा पर अनंत बिंदु हैं,और वे सभी हल समुच्चय बनाते हैं। अतः,रैखिक समीकरण युग्म का हल समुच्चय ${(x, y) \mid x+y=5, x, y \in R}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, y + x = 5 \implies y = 5 - x$
$2) \, y - x = 9 \implies y = 9 + x$
आलेख खींचने के लिए, हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
$y = 5 - x$ के लिए: यदि $x = 0, y = 5$; यदि $x = 5, y = 0$। बिंदु $(0, 5)$ और $(5, 0)$ हैं।
$y = 9 + x$ के लिए: यदि $x = 0, y = 9$; यदि $x = -9, y = 0$। बिंदु $(0, 9)$ और $(-9, 0)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय रूप से हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(y + x) + (y - x) = 5 + 9 \implies 2y = 14 \implies y = 7$।
$y = 7$ को $y + x = 5$ में रखने पर: $7 + x = 5 \implies x = -2$।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 7)$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 3x + 6y = 4$
$2) 2x + 4y = \frac{8}{3}$
समीकरण $(2)$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{3}{2}(2x + 4y) = \frac{3}{2} \times \frac{8}{3}$
$3x + 6y = 4$
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएं हैं।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं। हल समुच्चय $\{(x, y) \mid 3x + 6y = 4; x, y \in R \}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x$
$x = 0$ के लिए,$y = 7$। $x = 2$ के लिए,$y = 3$। $x = 3$ के लिए,$y = 1$।
$2) x - 2y = 6 \implies x = 6 + 2y$
$y = 0$ के लिए,$x = 6$। $y = -1$ के लिए,$x = 4$। $y = -2$ के लिए,$x = 2$।
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,दोनों रेखाएं $(4, -1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,हल $x = 4$ और $y = -1$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) y = 2$
$2) x + 4y = 10$
चरण $1$: पहला समीकरण $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो उन सभी बिंदुओं से गुजरती है जहाँ $y$-निर्देशांक $2$ है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण $x + 4y = 10$ के लिए,समीकरण में $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 4(2) = 10$
$x + 8 = 10$
$x = 10 - 8$
$x = 2$
चरण $3$: दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ है।
आलेखीय रूप से,रेखा $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा है,और $x + 4y = 10$ एक रेखा है जो $(10, 0)$ और $(2, 2)$ से होकर गुजरती है। दोनों रेखाएँ $(2, 2)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y = 5$
$2) 5x - 2y = 4$
समीकरण $(1)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 5$। यदि $y = 0$,तो $x = 5$। बिंदु $(0, 5)$ और $(5, 0)$ हैं।
समीकरण $(2)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $-2y = 4 \implies y = -2$। यदि $y = 0$,तो $5x = 4 \implies x = 0.8$। बिंदु $(0, -2)$ और $(0.8, 0)$ हैं।
इन रेखाओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: $2 + 3 = 5$ (सही) और $5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4$ (सही)।
अतः,हल $(2, 3)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, 2x - 3y = 5$
$2) \, 4x - 6y = -13$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -5$
$a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = 13$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{13}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं।
समानांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि समीकरणों के इस निकाय का कोई हल नहीं है $(\varnothing)$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 4x + y = 7$
$2) 16x + 4y = 28$
समीकरण $(2)$ को $4$ से विभाजित करने पर:
$4x + y = 7$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे आलेख पर एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
$x$ के किसी भी मान के लिए,हम $y$ का संगत मान ज्ञात कर सकते हैं ताकि $y = 7 - 4x$ हो।
अतः,इस निकाय के अनंत अनेक हल हैं।
हल समुच्चय ${(x, y) \mid 4x + y = 7; x, y \in R}$ है।

(D) समीकरणों $x + 2y = -4$ और $3x + 4y = -6$ को आलेखीय रूप से हल करने के लिए:
$1$. पहले समीकरण $x + 2y = -4$ के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $y = -2$ है। यदि $y = 0$ है,तो $x = -4$ है। रेखा $(0, -2)$ और $(-4, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. दूसरे समीकरण $3x + 4y = -6$ के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $y = -1.5$ है। यदि $y = 0$ है,तो $x = -2$ है। रेखा $(0, -1.5)$ और $(-2, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. बीजगणितीय रूप से हल करने पर: पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = -8$। इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर: $(3x + 4y) - (2x + 4y) = -6 - (-8)$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
$4$. $x = 2$ को $x + 2y = -4$ में रखने पर: $2 + 2y = -4 \implies 2y = -6 \implies y = -3$।
$5$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -3)$ है।

(A) आलेखीय विधि से समीकरणों $x + y = 8$ और $x - y = 2$ को हल करने के लिए:
$1$. समीकरण $x + y = 8$ के लिए,दो बिंदु ज्ञात करें: यदि $x = 0$ है,तो $y = 8$; यदि $x = 8$ है,तो $y = 0$ है। यह रेखा $(0, 8)$ और $(8, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. समीकरण $x - y = 2$ के लिए,दो बिंदु ज्ञात करें: यदि $x = 0$ है,तो $y = -2$; यदि $x = 2$ है,तो $y = 0$ है। यह रेखा $(0, -2)$ और $(2, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. इन दोनों रेखाओं को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर,वे बिंदु $(5, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$4$. अतः,अभीष्ट हल $x = 5$ और $y = 3$ है।

(B) दिए गए समीकरण:
$1) \ 2x + 3y = 12$
$2) \ 2x + 3y = 6$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -12$
$a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -6$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-12}{-6} = 2$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
समांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि समीकरणों के इस निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय $\varnothing$ है।

(C) $1$. समीकरण $x+y=10$ के लिए,यदि $x=0$ तो $y=10$; यदि $y=0$ तो $x=10$। रेखा $(0,10)$ और $(10,0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. समीकरण $x-y=4$ के लिए,यदि $x=0$ तो $y=-4$; यदि $y=0$ तो $x=4$। रेखा $(0,-4)$ और $(4,0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. समीकरणों को हल करने पर: $(x+y=10)$ और $(x-y=4)$ को जोड़ने पर $2x=14$ प्राप्त होता है,अतः $x=7$। $x=7$ को $x+y=10$ में रखने पर $y=3$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(7,3)$ है।
$4$. त्रिभुज दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(7,3)$ और $X$-अक्ष के साथ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं $(4,0)$ और $(10,0)$ द्वारा बनता है।
$5$. अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(7,3), (4,0)$ और $(10,0)$ हैं।

(D) $1$. समीकरण $x + 3y = 6$ के लिए: यदि $x = 0$,तो $3y = 6 \implies y = 2$. यदि $y = 0$,तो $x = 6$. बिंदु $(0, 2)$ और $(6, 0)$ हैं।
$2$. समीकरण $2x - 3y = 12$ के लिए: यदि $x = 0$,तो $-3y = 12 \implies y = -4$. यदि $y = 0$,तो $2x = 12 \implies x = 6$. बिंदु $(0, -4)$ और $(6, 0)$ हैं।
$3$. समीकरणों को हल करने पर: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$(x + 3y) + (2x - 3y) = 6 + 12 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. $x = 6$ को $x + 3y = 6$ में रखने पर,$6 + 3y = 6 \implies y = 0$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 0)$ है।
$4$. त्रिभुज इन दो रेखाओं और $Y$-अक्ष द्वारा बनता है। शीर्ष दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 0)$,पहली रेखा का $Y$-अंतःखंड $(0, 2)$ और दूसरी रेखा का $Y$-अंतःखंड $(0, -4)$ हैं।
$5$. अतः,शीर्ष $(6, 0), (0, 2), (0, -4)$ हैं।

$(A)$ माना लड़कों की संख्या $x$ है और लड़कियों की संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल छात्रों की संख्या $6$ है,इसलिए $x + y = 6$ है।
लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से $2$ कम है,इसलिए $y = x - 2$,जिसे $x - y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$1) x + y = 6$
$2) x - y = 2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 6 + 2 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4$ है।
पहले समीकरण में $x = 4$ रखने पर: $4 + y = 6 \rightarrow y = 2$ है।
अतः,$4$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हैं।

(A) यह जाँचने के लिए कि समीकरणों का युग्म संगत है या नहीं,हम गुणांकों के अनुपात की तुलना करते हैं:
$a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -9$
$a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -\frac{27}{2}$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-27/2} = \frac{9 \times 2}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ है,इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।
संपाती रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं,इसलिए यह निकाय संगत है।

(D) हल ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक रेखा के लिए बिंदु निर्धारित करते हैं:
$2x + 3y = 8$ के लिए:
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 3y = 8 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. बिंदु: $(1, 2)$।
यदि $x = 4$ है,तो $2(4) + 3y = 8 \implies 3y = 0 \implies y = 0$. बिंदु: $(4, 0)$।
$x + 2y = 5$ के लिए:
यदि $x = 1$ है,तो $1 + 2y = 5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. बिंदु: $(1, 2)$।
यदि $x = 3$ है,तो $3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. बिंदु: $(3, 1)$।
चूंकि दोनों रेखाएं बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए समीकरणों के निकाय का हल $(1, 2)$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$2x + 3y = 4$ --- $(1)$
$6x + 9y = 17$ --- $(2)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 4$
$a_2 = 6, b_2 = 9, c_2 = 17$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{17}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
अतः,इनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि इस निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y-3=0$ --- $(1)$
$3x+3y-9=0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+y-3=0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
इसलिए,रेखा $x+y=3$ पर स्थित प्रत्येक बिंदु इस निकाय का एक हल है।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं,और हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(C) $x$ और $y$ दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $x = 6$ और $y = 4$ दिया गया है।
ये समीकरण क्रमशः $y$-अक्ष और $x$-अक्ष के समांतर रेखाओं को दर्शाते हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु अद्वितीय हल $(x, y)$ प्रदान करता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदु $(6, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $\{(6, 4)\}$ है।

(A) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के निकाय का हल समुच्चय रिक्त (कोई हल नहीं) होने के लिए,रेखाओं का समांतर होना आवश्यक है।
यह स्थिति $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $x + 2y - 3 = 0$ और $5x + ky + 7 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -3$ और $a_2 = 5, b_2 = k, c_2 = 7$ है।
समांतर रेखाओं की शर्त लागू करने पर: $\frac{1}{5} = \frac{2}{k}$।
वज्र-गुणन करने पर $k = 5 \times 2 = 10$ प्राप्त होता है।
असमानता की शर्त की जाँच करने पर: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{7}$। चूँकि $\frac{1}{5} \neq \frac{-3}{7}$,इसलिए यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$k$ का मान $10$ है।

(D) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस रूप में,चरों $x$ और $y$ का घात $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $x^{2}+x-3=0$ एक चर वाला द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^{2}+y=0$ रैखिक नहीं है क्योंकि चर $x$ का घात $2$ है।
$C$: $x-3=y^{2}$ रैखिक नहीं है क्योंकि चर $y$ का घात $2$ है।
$D$: $x+3=y$ को $x - y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $ax + by + c = 0$ के मानक रूप में है,जहाँ $a=1, b=-1, c=3$ है।
अतः,$x+3=y$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।

(D) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
$1$. विकल्प $A$ में,$\frac{3}{x}$ पद इसे रैखिक समीकरण नहीं रहने देता है।
$2$. विकल्प $B$ में,$\frac{1}{y}$ पद इसे रैखिक समीकरण नहीं रहने देता है।
$3$. विकल्प $C$ में,चरों की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
$4$. विकल्प $D$ में,$x = y$ को $1x - 1y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप को संतुष्ट करता है और इसकी घात $1$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x = 1$ और $y = 2$ हैं।
ये समीकरण कार्तीय तल में दो रेखाओं को दर्शाते हैं।
रेखा $x = 1$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $y = 2$ एक क्षैतिज रेखा है जो $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जहाँ $x$-निर्देशांक $1$ है और $y$-निर्देशांक $2$ है।
अतः,हल समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें क्रमित युग्म $(1, 2)$ शामिल है,जिसे $\{(1, 2)\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$1$) $x + 2 = 0$
$2$) $y - 1 = 0$
समीकरण $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$x = -2$
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$y = 1$
अतः,हल $(x, y) = (-2, 1)$ है।

(C) दिए गए समीकरण $5x - 5y = -5$ और $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} + \frac{3}{2} = 0$ हैं।
चरण $1$: पहले समीकरण को सरल करने पर: $5x - 5y = -5$। $5$ से भाग देने पर,हमें $x - y = -1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण को सरल करने पर: $\frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} = -\frac{3}{2}$। $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,हमें $x - y = -1$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: चूंकि दोनों समीकरण एक ही रैखिक समीकरण $x - y = -1$ में सरल हो जाते हैं,इसलिए वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
चरण $4$: संपाती रेखाओं के युग्म के अनंत हल होते हैं। अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(B) दिए गए समीकरण $2x + 6y = 10$ और $3x + 9y - 15 = 0$ हैं।
पहले समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x + 3y = 5$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर: $x + 3y - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x + 3y = 5$।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{5}{5}$ है।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अनंत हल हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x+y+1=0$ और $3x+3y+2=0$ हैं।
इन्हें $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a_1=1, b_1=1, c_1=1$ और $a_2=3, b_2=3, c_2=2$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
समांतर रेखाएं किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,जिसका अर्थ है कि निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

(C) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,अद्वितीय हल होने की शर्त $a_{1}/a_{2} \neq b_{1}/b_{2}$ है,जो $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ के बराबर है।
यहाँ,$a_{1} = 2, b_{1} = 1, c_{1} = -4$ और $a_{2} = 1, b_{2} = 2, c_{2} = -5$ है।
निश्चायक की गणना करने पर: $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3$।
चूंकि $3 \neq 0$,इसलिए समीकरणों के इस युग्म का एक अद्वितीय हल है।

(C) दिए गए समीकरण $2x + y = 6$ $(1)$ और $x + \frac{1}{2}y = 4$ $(2)$ हैं।
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2x + y = 8$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2x + y = 6$
$2x + y = 8$
यहाँ,$x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,लेकिन अचर पद अलग-अलग हैं $(6 \neq 8)$।
यह दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) 2x + y = 7$
$2) 5x - 2y = 4$
रेखाओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 7$ और $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = 4$ है।
हम गुणांकों का अनुपात निकालते हैं:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं को दर्शाता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 4y = 10$ --- $(1)$
$3x + 4y = 15$ --- $(2)$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से करने पर:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 10$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 15$
अब,अनुपातों की गणना करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{4} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 7$ ---$(1)$
$3x + 3y = 21$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 7$ ---$(3)$
चूंकि समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ समान हैं,इसलिए वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म संपाती रेखाओं को दर्शाता है,जो कि एक ही रेखा है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो निकाय असंगत होता है।
दिए गए समीकरण $2x + 3y = 5$ और $2x + 3y = 8$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ और $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 8$ है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{3} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ $(1 = 1 \neq \frac{5}{8})$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और इनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है।
अतः,समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$2x + y = 3$ (समीकरण $1$)
$x + 2y = 4$ (समीकरण $2$)
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$
$a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = 4$
अब,गुणांकों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$,इसलिए रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,समीकरणों का यह युग्म एक अद्वितीय हल रखता है और यह संगत है।

(C) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
दिया गया समीकरण: $3x = 2y - 1$.
इसे मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लाने के लिए,हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।
दोनों पक्षों से $2y$ घटाने पर: $3x - 2y = -1$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $3x - 2y + 1 = 0$.
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -2$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,मानक रूप $3x - 2y + 1 = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y = -3$ है,जिसे $0x + 1y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर:
यहाँ,$x$ का गुणांक $a = 0$ है।
$y$ का गुणांक $b = 1$ है।
अचर पद $c = 3$ है।
अतः,$a$ का मान $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x=4$ है।
इसे मानक रूप $ax+by+c=0$ में $1x + 0y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax+by+c=0$ से करने पर,हमें गुणांक $a=1$,$b=0$ और $c=-4$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$b$ का मान $0$ है।

(C) दिए गए समीकरण $3x - 2y = 2$ और $6x - 4y = 4$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के साथ तुलना करने पर:
पहले समीकरण के लिए: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$.
दूसरे समीकरण के लिए: $a_2 = 6, b_2 = -4, c_2 = 4$.
अब,अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए ये रेखाएँ संपाती रेखाएँ हैं।

(C) दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनकी ढाल (slope) समान हो।
दी गई रेखा $x+3y=5$ है,जिसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर $3y = -x + 5$ या $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
इस रेखा के समांतर रेखा की ढाल भी $m = -\frac{1}{3}$ होगी और वह $x+3y=k$ के रूप में होगी,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,समीकरण $x+3y=10$ में $x$ और $y$ के गुणांक मूल रेखा के समान हैं,जिसका अर्थ है कि इसकी ढाल भी समान है।
अतः,$x+3y=10$ रेखा $x+3y=5$ के समांतर है।

(A) वह बिंदु जहाँ रेखा $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $y$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण $2x - y = 6$ में $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(3, 0)$ है।

(C) वह बिंदु जहाँ रेखा $Y$-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण $x-2y=2$ में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0-2y=2$
$-2y=2$
$y=-1$
अतः,रेखा $Y$-अक्ष को $(0,-1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

(A) दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक समीकरणों के एक युग्म को निर्देशांक युग्म $(x, y)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिए गए समीकरणों $x = 4$ और $y = 5$ के अनुसार,$x$ का मान $4$ और $y$ का मान $5$ निश्चित है।
इसलिए,वह अद्वितीय हल बिंदु जहाँ ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,$(4, 5)$ है।
अतः,हल समुच्चय ${(4, 5)}$ है।

(D) दिए गए समीकरण $x+y-1=0$ और $2x+2y-2=0$ हैं।
$a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a_1=1, b_1=1, c_1=-1$ और $a_2=2, b_2=2, c_2=-2$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं संपाती हैं।
संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं,जिसका अर्थ है कि हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(C) समीकरण $x=0$ $y$-अक्ष को दर्शाता है।
समीकरण $y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु (origin) होता है।
मूल बिंदु के निर्देशांक $(0,0)$ होते हैं।
अतः,रेखाओं $x=0$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x = -2$ और $y = 3$ हैं।
ये समीकरण कार्तीय तल में दो रेखाओं को दर्शाते हैं।
रेखा $x = -2$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो $x$-अक्ष पर बिंदु $(-2, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $y = 3$ एक क्षैतिज रेखा है जो $y$-अक्ष पर बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ही इस निकाय का अद्वितीय हल है।
मान रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि हल समुच्चय को निर्देशांक युग्म वाले समुच्चय के रूप में दर्शाया जाता है,इसलिए सही निरूपण $\{(-2, 3)\}$ है।

(A) यह जांचने के लिए कि क्या कोई बिंदु $(x, y)$ समीकरण $2x - y = 1$ के आलेख पर स्थित है,हम बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
यदि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,तो बिंदु आलेख पर स्थित है।
$A) (0, 0): 2(0) - 0 = 0 \neq 1$. अतः,आलेख $(0, 0)$ से होकर नहीं गुजरता है।
$B) (1, 1): 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$. आलेख $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।
$C) (3, 5): 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$. आलेख $(3, 5)$ से होकर गुजरता है।
$D) (2, 3): 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. आलेख $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।
इसलिए,आलेख $(0, 0)$ बिंदु से होकर नहीं गुजरता है।

(C) $Y-\text{अक्ष}$ के लंबवत रेखा एक क्षैतिज रेखा होती है।
किसी भी क्षैतिज रेखा का सामान्य रूप $y = k$ होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
$A) 3x + 2y = 5$ एक तिरछी रेखा को दर्शाता है।
$B) x = 3$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा ($X-\text{अक्ष}$ के लंबवत) को दर्शाता है।
$C) 2y - 3 = 0$ को $2y = 3$ या $y = 1.5$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक क्षैतिज रेखा है,जो $Y-\text{अक्ष}$ के लंबवत है।
$D) x - y = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक तिरछी रेखा को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $X$-अक्ष के लंबवत रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है,जिसे $x = k$ के रूप के समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों में:
$A) x - y = 0 \implies y = x$ (मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली रेखा)
$B) x + y = 0 \implies y = -x$ (मूल बिंदु से गुजरने वाली $-1$ ढाल वाली रेखा)
$C) 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$ (यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जो $X$-अक्ष के लंबवत है)
$D) 2y - 3 = 0 \implies 2y = 3 \implies y = 3/2$ (यह एक क्षैतिज रेखा है,जो $X$-अक्ष के समानांतर है)
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है यदि उसका समीकरण $x = k$ के रूप में हो,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$) $3y - 1 = 0 \implies y = 1/3$ (यह रेखा $X$-अक्ष के समांतर है)।
$B$) $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$ (यह रेखा $Y$-अक्ष के समांतर है)।
$C$) $2x + 3y = 1$ (यह एक तिरछी रेखा है जो दोनों अक्षों को काटती है)।
$D$) $2x - 3y = 1$ (यह एक तिरछी रेखा है जो दोनों अक्षों को काटती है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।