Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(X=1/2, Y=1/3) दिए गए समीकरण:
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2$ ...$(1)$
$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$ ...$(2)$
माना $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$ है। इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$\frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 \Rightarrow 3p + 2q = 12$ ...$(3)$
$\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2p + 3q = 13$ ...$(4)$
समीकरण $(3)$ को $3$ से और समीकरण $(4)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9p + 6q = 36$ ...$(5)$
$4p + 6q = 26$ ...$(6)$
समीकरण $(5)$ में से $(6)$ को घटाने पर:
$(9p - 4p) + (6q - 6q) = 36 - 26$
$5p = 10 \Rightarrow p = 2$
$p = 2$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3(2) + 2q = 12$
$6 + 2q = 12 \Rightarrow 2q = 6 \Rightarrow q = 3$
चूंकि $p = \frac{1}{x} = 2$ है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q = \frac{1}{y} = 3$ है,इसलिए $y = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $6x + 3y = 6xy$
$(2)$ $2x + 4y = 5xy$
दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$(1)$ से: $\frac{6x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{6xy}{xy} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6$
$(2)$ से: $\frac{2x}{xy} + \frac{4y}{xy} = \frac{5xy}{xy} \implies \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$(3)$ $3u + 6v = 6$
$(4)$ $4u + 2v = 5$
$v$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$12u + 6v = 15$ $(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(12u + 6v) - (3u + 6v) = 15 - 6$
$9u = 9 \implies u = 1$
$u = 1$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3(1) + 6v = 6 \implies 6v = 3 \implies v = \frac{1}{2}$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$
और $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2$
अतः,हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

(N/A) माना $u = \frac{1}{3x+y}$ और $v = \frac{1}{3x-y}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$u + v = \frac{3}{4}$ --- $(1)$
$\frac{1}{2}u - \frac{1}{2}v = -\frac{1}{8}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$u - v = -\frac{1}{4}$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(u + v) + (u - v) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$2u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$u = \frac{1}{4}$
$u = \frac{1}{4}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{4} + v = \frac{3}{4}$
$v = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$3x+y = \frac{1}{u} = 4$ --- $(4)$
$3x-y = \frac{1}{v} = 2$ --- $(5)$
$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$6x = 6 \implies x = 1$
$x = 1$ का मान $(4)$ में रखने पर:
$3(1) + y = 4 \implies y = 1$
अतः,हल $x = 1, y = 1$ है।

(A) माना कि रितु की स्थिर जल में चाल $x\, \text{किमी/घंटा}$ है और धारा की चाल $y\, \text{किमी/घंटा}$ है।
तैरते समय रितु की चाल:
धारा के प्रतिकूल (Upstream) $= (x - y)\, \text{किमी/घंटा}$
धारा के अनुकूल (Downstream) $= (x + y)\, \text{किमी/घंटा}$
प्रश्न के अनुसार:
धारा के अनुकूल: $2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10$ $...(1)$
धारा के प्रतिकूल: $2(x - y) = 4 \Rightarrow x - y = 2$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$
समीकरण $(1)$ में $x = 6$ रखने पर:
$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$
अतः, रितु की स्थिर जल में चाल $6\, \text{किमी/घंटा}$ है और धारा की चाल $4\, \text{किमी/घंटा}$ है।

(A) माना कि एक महिला द्वारा काम पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या $x$ है और एक पुरुष द्वारा लिए गए दिनों की संख्या $y$ है।
अतः,एक महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x}$.
एक पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{y}$.
प्रश्न के अनुसार:
$4(\frac{2}{x} + \frac{5}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ $(i)$
$3(\frac{3}{x} + \frac{6}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{3}$ $(ii)$
माना $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$. इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$2p + 5q = \frac{1}{4} \Rightarrow 8p + 20q = 1$ $(iii)$
$3p + 6q = \frac{1}{3} \Rightarrow 9p + 18q = 1$ $(iv)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{p}{-20 + 18} = \frac{q}{9 - 8} = \frac{1}{144 - 180}$
$\frac{p}{-2} = \frac{q}{-1} = \frac{1}{-36}$
$p = \frac{1}{18}$ और $q = \frac{1}{36}$.
अतः,$x = 18$ और $y = 36$.
इस प्रकार,$1$ महिला अकेले काम को $18$ दिनों में और $1$ पुरुष अकेले $36$ दिनों में पूरा करेगा।

(N/A) माना रेलगाड़ी की चाल $u \ km/h$ और बस की चाल $v \ km/h$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
स्थिति $1$: $60 \ km$ रेलगाड़ी द्वारा और $240 \ km$ बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय = $4 \ \text{घंटे}$।
$\frac{60}{u} + \frac{240}{v} = 4 \quad ...(1)$
स्थिति $2$: $100 \ km$ रेलगाड़ी द्वारा और $200 \ km$ बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय = $4 \ \text{घंटे }+ 10 \ \text{मिनट }= 4 + \frac{10}{60} = 4 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} \ \text{घंटे}$।
$\frac{100}{u} + \frac{200}{v} = \frac{25}{6} \quad ...(2)$
माना $\frac{1}{u} = p$ और $\frac{1}{v} = q$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$60p + 240q = 4 \quad ...(3)$
$100p + 200q = \frac{25}{6} \implies 600p + 1200q = 25 \quad ...(4)$
समीकरण $(3)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$600p + 2400q = 40 \quad ...(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$(600p + 2400q) - (600p + 1200q) = 40 - 25$
$1200q = 15 \implies q = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80}$
$q = \frac{1}{80}$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$60p + 240(\frac{1}{80}) = 4$
$60p + 3 = 4 \implies 60p = 1 \implies p = \frac{1}{60}$
चूंकि $p = \frac{1}{u} = \frac{1}{60}$ और $q = \frac{1}{v} = \frac{1}{80}$,हमें प्राप्त होता है:
$u = 60 \ km/h$ और $v = 80 \ km/h$।
अतः,रेलगाड़ी की चाल $60 \ km/h$ और बस की चाल $80 \ km/h$ है।

(A-D) माना अनी की आयु $x$ वर्ष है और बीजू की आयु $y$ वर्ष है।
दिया गया है कि उनकी आयु का अंतर $3\, \text{वर्ष}$ है,इसलिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: $x - y = 3$ या स्थिति $II$: $y - x = 3$.
अनी के पिता धर्म की आयु $= 2x$ वर्ष।
बीजू की बहन कैथी की आयु $= y/2$ वर्ष।
धर्म और कैथी की आयु का अंतर $30\, \text{वर्ष}$ है,इसलिए $2x - y/2 = 30,$ जिसे सरल करने पर $4x - y = 60$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: $x - y = 3$ और $4x - y = 60$.
दूसरे समीकरण में से पहला समीकरण घटाने पर: $(4x - y) - (x - y) = 60 - 3 \implies 3x = 57 \implies x = 19$.
तब $y = 19 - 3 = 16$.
स्थिति $II$: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
$4x - y = 60$ में मान रखने पर: $4x - (x + 3) = 60 \implies 3x = 63 \implies x = 21$.
तब $y = 21 + 3 = 24$.
अतः,अनी और बीजू की आयु या तो $(19, 16)$ वर्ष है या $(21, 24)$ वर्ष है।

(A) मान लीजिए कि दोनों मित्रों के पास क्रमशः $Rs$ $x$ और $Rs$ $y$ की पूँजी है।
पहली शर्त के अनुसार: "मुझे सौ दे दो,मित्र! तब मैं तुमसे दोगुना धनी हो जाऊँगा।"
$x + 100 = 2(y - 100)$
$x + 100 = 2y - 200$
$x - 2y = -300$ $...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार: "यदि तुम मुझे दस दे दो,तो मैं तुमसे छह गुना धनी हो जाऊँगा।"
$6(x - 10) = y + 10$
$6x - 60 = y + 10$
$6x - y = 70$ $...(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$12x - 2y = 140$ $...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300)$
$11x = 440$
$x = 40$
$x = 40$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$40 - 2y = -300$
$-2y = -340$
$y = 170$
अतः,उनकी क्रमशः पूँजी की राशि $Rs$ $40$ और $Rs$ $170$ है।

(A) माना ट्रेन की गति $x\, km/h$ है और लिया गया समय $t\, \text{घंटे}$ है। दूरी $d = xt$ $...(i)$ है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि गति $(x + 10)\, km/h$ है,तो लिया गया समय $(t - 2)\, \text{घंटे}$ है:
$(x + 10)(t - 2) = d$
$xt - 2x + 10t - 20 = d$
चूंकि $d = xt$,हमें $-2x + 10t = 20$,या $-x + 5t = 10$ $...(ii)$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि गति $(x - 10)\, km/h$ है,तो लिया गया समय $(t + 3)\, \text{घंटे}$ है:
$(x - 10)(t + 3) = d$
$xt + 3x - 10t - 30 = d$
चूंकि $d = xt$,हमें $3x - 10t = 30$ $...(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$-2x + 10t = 20$ $...(iv)$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(3x - 10t) + (-2x + 10t) = 30 + 20$
$x = 50\, km/h$.
समीकरण $(ii)$ में $x = 50$ रखने पर:
$-50 + 5t = 10$
$5t = 60$
$t = 12\, \text{घंटे}$.
दूरी $d = xt = 50 \times 12 = 600\, km$.

(36) माना पंक्तियों की संख्या $x$ है और एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या $y$ है।
कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या $= x \times y = xy$.
प्रथम शर्त के अनुसार:
यदि एक पंक्ति में $3$ विद्यार्थी अधिक हों,तो $1$ पंक्ति कम हो जाती है।
$(x - 1)(y + 3) = xy$
$xy + 3x - y - 3 = xy$
$3x - y = 3$ $...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
यदि एक पंक्ति में $3$ विद्यार्थी कम हों,तो $2$ पंक्तियाँ अधिक हो जाती हैं।
$(x + 2)(y - 3) = xy$
$xy - 3x + 2y - 6 = xy$
$-3x + 2y = 6$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(3x - y) + (-3x + 2y) = 3 + 6$
$y = 9$
समीकरण $(i)$ में $y = 9$ रखने पर:
$3x - 9 = 3$
$3x = 12$
$x = 4$
कुल विद्यार्थियों की संख्या $= xy = 4 \times 9 = 36$.

(A) दिया गया है कि,$\angle C = 3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$।
$3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$ से,हमें $3 \angle B = 2 \angle A + 2 \angle B$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\angle B = 2 \angle A$ या $2 \angle A - \angle B = 0 \dots (i)$ मिलता है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
चूंकि $\angle C = 3 \angle B$ है,इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + \angle B + 3 \angle B = 180^{\circ}$,जो $\angle A + 4 \angle B = 180^{\circ} \dots (ii)$ देता है।
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर,हमें $8 \angle A - 4 \angle B = 0 \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$9 \angle A = 180^{\circ}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\angle A = 20^{\circ}$।
$\angle A = 20^{\circ}$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$20^{\circ} + 4 \angle B = 180^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $4 \angle B = 160^{\circ}$,जो $\angle B = 40^{\circ}$ देता है।
अंत में,$\angle C = 3 \angle B = 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$ और $\angle C = 120^{\circ}$ हैं।

दिए गए समीकरण हैं:
$(a-b)x + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2 \dots(1)$
$(a+b)(x+y) = a^2 + b^2 \dots(2)$
समीकरण $(2)$ का विस्तार करने पर:
$(a+b)x + (a+b)y = a^2 + b^2 \dots(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$[(a-b)x + (a+b)y] - [(a+b)x + (a+b)y] = (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 + b^2)$
$(a-b-a-b)x = -2ab - 2b^2$
$-2bx = -2b(a+b)$
$x = a+b$
$x = a+b$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(a-b)(a+b) + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$a^2 - b^2 + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$(a+b)y = -2ab$
$y = \frac{-2ab}{a+b}$

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $152x - 378y = -74$
$(2)$ $-378x + 152y = -604$
चरण $1$: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(152x - 378x) + (-378y + 152y) = -74 - 604$
$-226x - 226y = -678$
$-226$ से भाग देने पर:
$x + y = 3$ --- $(3)$
चरण $2$: समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(152x - (-378x)) + (-378y - 152y) = -74 - (-604)$
$530x - 530y = 530$
$530$ से भाग देने पर:
$x - y = 1$ --- $(4)$
चरण $3$: समीकरण $(3)$ और $(4)$ को हल करने पर:
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर: $2x = 4 \implies x = 2$
$(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर: $2y = 2 \implies y = 1$
अतः,हल $x = 2, y = 1$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
$(4y + 20) + (-4x) = 180$
$-4x + 4y = 160$
$-x + y = 40$ $...(i)$
साथ ही,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$(3y - 5) + (-7x + 5) = 180$
$-7x + 3y = 180$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3x + 3y = 120$ $...(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(-7x + 3y) - (-3x + 3y) = 180 - 120$
$-4x = 60$
$x = -15$
समीकरण $(i)$ में $x = -15$ रखने पर:
$-(-15) + y = 40$
$15 + y = 40$
$y = 25$
अब,कोणों की गणना:
$\angle A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120^{\circ}$
$\angle B = 3y - 5 = 3(25) - 5 = 70^{\circ}$
$\angle C = -4x = -4(-15) = 60^{\circ}$
$\angle D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 110^{\circ}$

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y - 5 = 0$ ... $(i)$
$px - 6y - 8 = 0$ ... $(ii)$
इन्हें मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -5$
$a_2 = p, b_2 = -6, c_2 = -8$
रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
मान रखने पर:
$\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6}$
$\frac{2}{p} \neq -\frac{1}{2}$
वज्र-गुणन करने पर:
$p \neq -4$
अतः,$p$ के $-4$ को छोड़कर सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है,अर्थात $p \in \mathbb{R} - \{-4\}$।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$2x + 3y = 7$ ... $(i)$
$2px + py = 28 - qy$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2px + (p + q)y = 28$
रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7$
$a_2 = 2p, b_2 = (p + q), c_2 = -28$
शर्त लागू करने पर:
$\frac{2}{2p} = \frac{3}{p + q} = \frac{-7}{-28}$
$\frac{1}{p} = \frac{3}{p + q} = \frac{1}{4}$
पहले और तीसरे भाग को लेने पर:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{4} \Rightarrow p = 4$
दूसरे और तीसरे भाग को लेने पर:
$\frac{3}{p + q} = \frac{1}{4} \Rightarrow p + q = 12$
$p = 4$ को $p + q = 12$ में रखने पर:
$4 + q = 12 \Rightarrow q = 8$
अतः,$p = 4$ और $q = 8$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म इस प्रकार है:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
इस निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
चूंकि $x = -1$ और $y = 3$ दिए गए समीकरणों का हल है,इसलिए ये मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेंगे:
$1$) $a_1(-1) + b_1(3) + c_1 = 0 \Rightarrow -a_1 + 3b_1 + c_1 = 0$
$2$) $a_2(-1) + b_2(3) + c_2 = 0 \Rightarrow -a_2 + 3b_2 + c_2 = 0$
हम गुणांकों के लिए ऐसे मान चुन सकते हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हों। उदाहरण के लिए,यदि $a_1 = 1, b_1 = 1$ लें,तो $-1 + 3(1) + c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = -2$। अतः,$x + y - 2 = 0$।
यदि $a_2 = 1, b_2 = 2$ लें,तो $-1 + 3(2) + c_2 = 0 \Rightarrow -1 + 6 + c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -5$। अतः,$x + 2y - 5 = 0$।
चूंकि $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ के अनंत संयोजन संभव हैं जो दिए गए हल और अद्वितीय हल की शर्त को संतुष्ट करते हैं,इसलिए हम ऐसे अनंत युग्म लिख सकते हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y = 23$ $(i)$
$4x - y = 19$ $(ii)$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(2x + y) + (4x - y) = 23 + 19$
$6x = 42$
$x = 7$
समीकरण $(i)$ में $x = 7$ रखने पर:
$2(7) + y = 23$
$14 + y = 23$
$y = 23 - 14 = 9$
अब,आवश्यक मानों की गणना करने पर:
$5y - 2x = 5(9) - 2(7) = 45 - 14 = 31$
$\frac{y}{x} - 2 = \frac{9}{7} - 2 = \frac{9 - 14}{7} = -\frac{5}{7}$
अतः,मान $31$ और $-\frac{5}{7}$ हैं।

(B) आयत के गुणधर्म के अनुसार,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
लंबाई के लिए: $x + 3y = 13$ --- $(i)$
चौड़ाई के लिए: $3x + y = 7$ --- $(ii)$
रैखिक समीकरणों के इस युग्म को हल करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करें:
$9x + 3y = 21$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाएं:
$(9x + 3y) - (x + 3y) = 21 - 13$
$8x = 8$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1 + 3y = 13$
$3y = 12$
$y = 4$
अतः,$x$ और $y$ के अभीष्ट मान क्रमशः $1$ और $4$ हैं।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) \ x + y = 3.3$
$(ii) \ \frac{0.6}{3x - 2y} = -1$
समीकरण $(ii)$ से:
$0.6 = -1(3x - 2y)$
$0.6 = -3x + 2y$
$3x - 2y = -0.6 \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 2y = 6.6 \quad (iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(3x - 2y) + (2x + 2y) = -0.6 + 6.6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$
$x = 1.2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.2 + y = 3.3$
$y = 3.3 - 1.2$
$y = 2.1$
अतः,हल $x = 1.2$ और $y = 2.1$ है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4$ $(i)$
दोनों पक्षों को $LCM(3, 4) = 12$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x + 3y = 48$ $(iii)$
और दूसरा समीकरण है:
$\frac{5x}{6} - \frac{y}{8} = 4$ $(ii)$
दोनों पक्षों को $LCM(6, 8) = 24$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$20x - 3y = 96$ $(iv)$
अब,समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(4x + 3y) + (20x - 3y) = 48 + 96$
$24x = 144$
$x = \frac{144}{24} = 6$
अब,$x = 6$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$4(6) + 3y = 48$
$24 + 3y = 48$
$3y = 48 - 24$
$3y = 24$
$y = 8$
अतः,हल $x = 6$ और $y = 8$ है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$43x + 67y = -24 .....(i)$
$67x + 43y = 24 .....(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(43 + 67)x + (67 + 43)y = -24 + 24$
$110x + 110y = 0$
$110(x + y) = 0$
$x + y = 0 \Rightarrow x = -y .....(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(67 - 43)x + (43 - 67)y = 24 - (-24)$
$24x - 24y = 48$
$24(x - y) = 48$
$x - y = 2 .....(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $x = -y$ का मान $(iv)$ में रखने पर:
$-y - y = 2$
$-2y = 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$x = -(-1) = 1$
अतः,हल $x = 1$ और $y = -1$ है।

(A) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
$\frac{2xy}{x+y} = \frac{3}{2} \implies \frac{x+y}{2xy} = \frac{2}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \quad ...(i)$
$\frac{xy}{2x-y} = \frac{-3}{10} \implies \frac{2x-y}{xy} = \frac{-10}{3} \implies \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{-10}{3} \quad ...(ii)$
माना $\frac{1}{x} = u$ और $\frac{1}{y} = v$. तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$v + u = \frac{4}{3} \quad ...(iii)$
$2v - u = \frac{-10}{3} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(v + u) + (2v - u) = \frac{4}{3} - \frac{10}{3}$
$3v = \frac{-6}{3} = -2 \implies v = \frac{-2}{3}$
$v = \frac{-2}{3}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$u + (\frac{-2}{3}) = \frac{4}{3} \implies u = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = 2$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{1}{y} = \frac{-2}{3}$,इसलिए $y = \frac{-3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $x = \frac{1}{2}, y = \frac{-3}{2}$ है।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म $2x + y = 4$ और $2x - y = 4$ हैं।
रेखा $2x + y = 4$ के लिए तालिका:

$x$	$0$	$2$
$y = 4 - 2x$	$4$	$0$
बिंदु	$A(0, 4)$	$B(2, 0)$

रेखा $2x - y = 4$ के लिए तालिका:

$x$	$0$	$2$
$y = 2x - 4$	$-4$	$0$
बिंदु	$C(0, -4)$	$B(2, 0)$

इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं बिंदु $B(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं और $y$-अक्ष को बिंदुओं $A(0, 4)$ और $C(0, -4)$ पर काटती हैं।
इन रेखाओं और $y$-अक्ष द्वारा बना त्रिभुज $\triangle ABC$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 4)$,$B(2, 0)$ और $C(0, -4)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $y$-अक्ष पर स्थित है,जिसकी लंबाई $AC = |4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊंचाई बिंदु $B(2, 0)$ से $y$-अक्ष की लंबवत दूरी है,जो $2$ इकाई है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,शीर्ष $(0, 4), (2, 0), (0, -4)$ हैं और क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।

(D) सबसे पहले,हम रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करते हैं:
$x + y = 2$ --- $(i)$
$2x - y = 1$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (2x - y) = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1 + y = 2$
$y = 1$
हल बिंदु $(1, 1)$ है।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा को $y - 1 = m(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $m$ ढाल (slope) है। उदाहरण के लिए,यदि $m = 1$ है,तो समीकरण $y - 1 = x - 1$ होगा,जिसे सरल करने पर $y = x$ प्राप्त होता है।
चूँकि ढाल $m$ के अनंत मान संभव हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाली ऐसी अनंत रेखाएँ हो सकती हैं।

(A) दिया गया है कि $x, y$ और $40^{\circ}$ एक त्रिभुज के कोण हैं।
चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$x + y + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x + y = 140^{\circ} \quad \dots(i)$
साथ ही,दो कोणों के बीच का अंतर दिया गया है:
$x - y = 30^{\circ} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 140^{\circ} + 30^{\circ}$
$2x = 170^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$
$x = 85^{\circ}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$85^{\circ} + y = 140^{\circ}$
$y = 140^{\circ} - 85^{\circ} = 55^{\circ}$
अतः,$x$ और $y$ के मान क्रमशः $85^{\circ}$ और $55^{\circ}$ हैं।

(B) माना सलीम की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,दो वर्ष पहले:
$x - 2 = 3(y - 2)$
$x - 2 = 3y - 6$
$x - 3y = -4$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,छह वर्ष बाद:
$x + 6 = 2(y + 6) + 4$
$x + 6 = 2y + 12 + 4$
$x - 2y = 10$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-4)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 4$
$y = 14$
$y = 14$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x - 2(14) = 10$
$x - 28 = 10$
$x = 38$
अतः,सलीम की वर्तमान आयु $38$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $14$ वर्ष है।

(C) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और उनके दो बच्चों की वर्तमान आयु का योग $S$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार: $x = 2S$ ... $(i)$
$20$ वर्ष बाद,पिता की आयु $(x + 20)$ वर्ष होगी।
$20$ वर्ष बाद,प्रत्येक बच्चे की आयु में $20$ वर्ष की वृद्धि होगी,इसलिए उनकी आयु का योग $(S + 20 + 20) = (S + 40)$ वर्ष होगा।
दूसरी शर्त के अनुसार: $x + 20 = S + 40$
समीकरण $(i)$ से $S = x/2$ का मान दूसरी शर्त में रखने पर:
$x + 20 = x/2 + 40$
$x - x/2 = 40 - 20$
$x/2 = 20$
$x = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $6x$ हैं,जो दिए गए अनुपात $5:6$ पर आधारित हैं।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में से $8$ घटाया जाए,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5x - 8}{6x - 8} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $5(5x - 8) = 4(6x - 8)$.
$25x - 40 = 24x - 32$.
$25x - 24x = 40 - 32$.
$x = 8$.
इसलिए,पहली संख्या $5x = 5 \times 8 = 40$ है।
दूसरी संख्या $6x = 6 \times 8 = 48$ है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $40$ और $48$ हैं।

(A) माना हॉल $A$ और $B$ में छात्रों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि $A$ से $B$ में $10$ छात्र भेजे जाते हैं,तो छात्रों की संख्या समान हो जाती है:
$x - 10 = y + 10$
$\Rightarrow x - y = 20$ ---$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि $B$ से $A$ में $20$ छात्र भेजे जाते हैं,तो $A$ में छात्रों की संख्या $B$ में छात्रों की संख्या की दोगुनी हो जाती है:
$x + 20 = 2(y - 20)$
$x + 20 = 2y - 40$
$\Rightarrow x - 2y = -60$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$(x - y) - (x - 2y) = 20 - (-60)$
$x - y - x + 2y = 80$
$y = 80$
$y = 80$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x - 80 = 20$
$x = 100$
अतः,हॉल $A$ में $100$ छात्र और हॉल $B$ में $80$ छात्र हैं।

(B) माना पहले दो दिनों के लिए निश्चित शुल्क $Rs. x$ है और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त शुल्क $Rs. y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,लतिका ने छह दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 22$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $4$ अतिरिक्त दिन):
$x + 4y = 22$ --- $(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,आनंद ने चार दिनों तक रखी गई किताब के लिए $Rs. 16$ का भुगतान किया (पहले $2$ दिन + $2$ अतिरिक्त दिन):
$x + 2y = 16$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 22 - 16$
$2y = 6$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$x + 2(3) = 16$
$x + 6 = 16$
$x = 10$
अतः,निश्चित शुल्क $Rs. 10$ है और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का शुल्क $Rs. 3$ है।

(C) माना कि सही उत्तरों की संख्या $x$ है और गलत उत्तरों की संख्या $(120-x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्राप्त कुल अंक $90$ हैं।
समीकरण इस प्रकार है: $x \times 1 - (120 - x) \times \frac{1}{2} = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x - 60 + \frac{x}{2} = 90$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $x + \frac{x}{2} = 150$.
पदों को जोड़ने पर: $\frac{3x}{2} = 150$.
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{150 \times 2}{3} = 100$.
अतः,जयंती ने $100$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए।

(A) हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle C = (6x + 10)^{\circ} + (x + y)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 7x + y = 170 \quad \dots(i)$
इसी प्रकार,$\angle B + \angle D = (5x)^{\circ} + (3y - 10)^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 5x + 3y = 190 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $21x + 3y = 510 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(21x + 3y) - (5x + 3y) = 510 - 190$
$16x = 320 \Rightarrow x = 20$
$x = 20$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$7(20) + y = 170 \Rightarrow 140 + y = 170 \Rightarrow y = 30$
अब,कोणों की गणना:
$\angle A = 6(20) + 10 = 130^{\circ}$
$\angle B = 5(20) = 100^{\circ}$
$\angle C = 20 + 30 = 50^{\circ}$
$\angle D = 3(30) - 10 = 80^{\circ}$
अतः,$x = 20$,$y = 30$ और कोण $130^{\circ}, 100^{\circ}, 50^{\circ}, 80^{\circ}$ हैं।

(B) त्रिभुज के शीर्ष उसकी भुजाओं को बनाने वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं।
युग्म $1$: $5x - y = 5$ और $x + 2y = 1$.
प्रथम समीकरण से,$y = 5x - 5$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(5x - 5) = 1 \implies x + 10x - 10 = 1 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. अतः $y = 5(1) - 5 = 0$. शीर्ष: $(1, 0)$.
युग्म $2$: $x + 2y = 1$ और $6x + y = 17$.
दूसरे समीकरण से,$y = 17 - 6x$. प्रथम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(17 - 6x) = 1 \implies x + 34 - 12x = 1 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. अतः $y = 17 - 6(3) = -1$. शीर्ष: $(3, -1)$.
युग्म $3$: $5x - y = 5$ और $6x + y = 17$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(5x - y) + (6x + y) = 5 + 17 \implies 11x = 22 \implies x = 2$. $x = 2$ को $5x - y = 5$ में रखने पर: $5(2) - y = 5 \implies 10 - y = 5 \implies y = 5$. शीर्ष: $(2, 5)$.
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(1, 0), (3, -1)$ और $(2, 5)$ हैं।

(C) माना मेज का क्रय मूल्य $Rs.\, x$ है और कुर्सी का क्रय मूल्य $Rs.\, y$ है।
$10\%$ लाभ पर मेज का विक्रय मूल्य $x + 0.10x = 1.10x$ है।
$25\%$ लाभ पर कुर्सी का विक्रय मूल्य $y + 0.25y = 1.25y$ है।
दिया है,$1.10x + 1.25y = 1050$। $100$ से गुणा करने पर,हमें $110x + 125y = 105000$ प्राप्त होता है ....$(1)$
यदि मेज को $25\%$ लाभ पर और कुर्सी को $10\%$ लाभ पर बेचा जाता है,तो विक्रय मूल्य $1.25x + 1.10y = 1065$ है।
$100$ से गुणा करने पर,हमें $125x + 110y = 106500$ प्राप्त होता है ....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$235x + 235y = 211500 \implies x + y = 900$ ....$(3)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$-15x + 15y = -1500 \implies x - y = 100$ ....$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2x = 1000 \implies x = 500$।
$(3)$ में $x = 500$ रखने पर:
$500 + y = 900 \implies y = 400$।
अतः,मेज का क्रय मूल्य $Rs.\, 500$ और कुर्सी का क्रय मूल्य $Rs.\, 400$ है।

(D) माना कि बड़े पाइप द्वारा पूल को भरने में लिया गया समय $x$ घंटे है और छोटे पाइप द्वारा लिया गया समय $y$ घंटे है।
$1$ घंटे में,बड़ा पाइप पूल का $1/x$ भाग भरता है और छोटा पाइप $1/y$ भाग भरता है।
पहली शर्त के अनुसार,यदि दोनों पाइपों का उपयोग किया जाता है,तो वे $12$ घंटे में पूल भर देते हैं:
$1/x + 1/y = 1/12$ --- (समीकरण $1$)
दूसरी शर्त के अनुसार,बड़ा पाइप $4$ घंटे और छोटा पाइप $9$ घंटे काम करता है तो आधा पूल भर जाता है:
$4/x + 9/y = 1/2$ --- (समीकरण $2$)
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$u + v = 1/12$ --- (समीकरण $3$)
$4u + 9v = 1/2$ --- (समीकरण $4$)
समीकरण $3$ को $4$ से गुणा करने पर: $4u + 4v = 4/12 = 1/3$।
इसे समीकरण $4$ से घटाने पर: $(4u + 9v) - (4u + 4v) = 1/2 - 1/3$।
$5v = 1/6$,इसलिए $v = 1/30$।
$v = 1/30$ को समीकरण $3$ में रखने पर: $u + 1/30 = 1/12$।
$u = 1/12 - 1/30 = (5 - 2)/60 = 3/60 = 1/20$।
चूंकि $u = 1/x = 1/20$,इसलिए $x = 20$ घंटे।
चूंकि $v = 1/y = 1/30$,इसलिए $y = 30$ घंटे।
अतः,बड़े पाइप को $20$ घंटे और छोटे पाइप को $30$ घंटे का समय अलग से पूल भरने में लगेगा।

(4:1) दिए गए समीकरण $2x + y = 6$ और $2x - y + 2 = 0$ हैं।
समीकरण $2x + y = 6$ के लिए सारणी:

$x$	$0$	$3$
$y$	$6$	$0$
बिंदु	$B$	$A$

समीकरण $2x - y + 2 = 0$ के लिए सारणी:

$x$	$0$	$-1$
$y$	$2$	$0$
बिंदु	$D$	$C$

माना $A_1$ और $A_2$ क्रमशः $\triangle ACE$ और $\triangle BDE$ के क्षेत्रफल हैं।
अब,$A_1 = \triangle ACE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times PE = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
और $A_2 = \triangle BDE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BD \times QE = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
अतः,$A_1 : A_2 = 8 : 2 = 4 : 1$.
इस प्रकार,समीकरण युग्म आलेख पर बिंदु $E(1, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,अर्थात $x = 1$ और $y = 4$।

(D) माना कि एक पेन की कीमत $Rs.\, x$ है और एक पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$4x + 4y = 100$,जिसे सरल करने पर $x + y = 25$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,$3x = y + 15$,जिसे $3x - y = 15$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (3x - y) = 25 + 15$
$4x = 40$
$x = 10$
$x = 10$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$10 + y = 25$
$y = 15$
अतः,पेन की कीमत $Rs.\, 10$ और पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, 15$ है।

(A) रेखाओं के दिए गए समीकरण हैं:
$3x - y = 3 \quad ...(i)$
$2x - 3y = 2 \quad ...(ii)$
$x + 2y = 8 \quad ...(iii)$
मान लीजिए कि रेखाएं $(i), (ii),$ और $(iii)$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को दर्शाती हैं।
$1$. शीर्ष $B$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y = 9$
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(9x - 3y) - (2x - 3y) = 9 - 2 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(1) - y = 3 \Rightarrow y = 0$.
अतः,शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं।
$2$. शीर्ष $C$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(ii)$ और $(iii)$ को हल करें:
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 16$.
इसमें से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 16 - 2 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
$y = 2$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर: $x + 2(2) = 8 \Rightarrow x = 4$.
अतः,शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(4, 2)$ हैं।
$3$. शीर्ष $A$ ज्ञात करने के लिए,रेखाओं $(iii)$ और $(i)$ को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $6x - 2y = 6$.
इसमें समीकरण $(iii)$ को जोड़ने पर: $(6x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 8 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3(2) - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3$.
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(2, 3)$ हैं।
इस प्रकार,त्रिभुज के शीर्ष $A(2, 3), B(1, 0),$ और $C(4, 2)$ हैं।

(B) माना रिक्शा की गति $x \,km/h$ है और बस की गति $y \,km/h$ है।
रिक्शा द्वारा $2 \,km$ तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{2}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 2) = 12 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{12}{y} \,h$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{2}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \quad ...(i)$
रिक्शा द्वारा $4 \,km$ तय करने में लगा समय $t_3 = \frac{4}{x} \,h$ है।
शेष दूरी $(14 - 4) = 10 \,km$ बस द्वारा तय करने में लगा समय $t_4 = \frac{10}{y} \,h$ है।
चूंकि उसे $9 \,\text{मिनट}$ अधिक लगते हैं,कुल समय $\frac{1}{2} + \frac{9}{60} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \,h$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{4}{x} + \frac{10}{y} = \frac{13}{20} \quad ...(ii)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$2u + 12v = \frac{1}{2} \quad ...(iii)$
$4u + 10v = \frac{13}{20} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4u + 24v = 1 \quad ...(v)$
समीकरण $(v)$ से $(iv)$ घटाने पर:
$(4u + 24v) - (4u + 10v) = 1 - \frac{13}{20}$
$14v = \frac{7}{20} \Rightarrow v = \frac{7}{20 \times 14} = \frac{1}{40}$।
अतः,$y = 40 \,km/h$।
$v = \frac{1}{40}$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$2u + 12(\frac{1}{40}) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2u + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$2u = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$u = \frac{1}{10}$। अतः,$x = 10 \,km/h$।
रिक्शा की गति $10 \,km/h$ और बस की गति $40 \,km/h$ है।

(D) माना स्थिर जल में मोटर बोट की गति $u \, km/h$ है और धारा की गति $v \, km/h$ है।
तब,धारा के अनुकूल नाव की गति $(u+v) \, km/h$ और धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(u-v) \, km/h$ होगी।
पहली शर्त के अनुसार,$30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगा समय $7 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{30}{u-v} + \frac{28}{u+v} = 7 \quad ...(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $21 \, km$ वापस आने में लगा समय $5 \, \text{घंटे}$ है:
$\frac{21}{u-v} + \frac{21}{u+v} = 5 \quad ...(ii)$
माना $x = \frac{1}{u+v}$ और $y = \frac{1}{u-v}$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$30y + 28x = 7 \quad ...(iii)$
$21y + 21x = 5 \Rightarrow x + y = \frac{5}{21} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iv)$ से,$x = \frac{5}{21} - y$। इसे $(iii)$ में रखने पर:
$30y + 28(\frac{5}{21} - y) = 7$
$30y + \frac{20}{3} - 28y = 7$
$2y = 7 - \frac{20}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{6}$
अब,$x = \frac{5}{21} - \frac{1}{6} = \frac{10-7}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$।
चूंकि $y = \frac{1}{u-v} = \frac{1}{6}$,इसलिए $u-v = 6 \quad ...(v)$
चूंकि $x = \frac{1}{u+v} = \frac{1}{14}$,इसलिए $u+v = 14 \quad ...(vi)$
समीकरण $(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर:
$2u = 20 \Rightarrow u = 10 \, km/h$।
$u=10$ का मान $(vi)$ में रखने पर:
$10 + v = 14 \Rightarrow v = 4 \, km/h$।
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $10 \, km/h$ है और धारा की गति $4 \, km/h$ है।

(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
स्थिति $I$: अंकों के योग को $8$ से गुणा करके $5$ घटाने पर संख्या प्राप्त होती है:
$8(x + y) - 5 = 10x + y$
$8x + 8y - 5 = 10x + y$
$2x - 7y = -5$ ... $(i)$
स्थिति $II$: अंकों के अंतर को $16$ से गुणा करके $3$ जोड़ने पर संख्या प्राप्त होती है:
$16(x - y) + 3 = 10x + y$
$16x - 16y + 3 = 10x + y$
$6x - 17y = -3$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करें:
$6x - 21y = -15$ ... $(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(6x - 17y) - (6x - 21y) = -3 - (-15)$
$4y = 12$
$y = 3$
$y = 3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2x - 7(3) = -5$
$2x - 21 = -5$
$2x = 16$
$x = 8$
अतः,अभीष्ट संख्या $10x + y = 10(8) + 3 = 83$ है।

(B) माना कि प्रथम श्रेणी का पूरा किराया $x$ है और प्रति टिकट आरक्षण शुल्क $y$ है।
स्थिति $I$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट की कीमत $Rs. 2530$ है।
$x + y = 2530$ ... $(i)$
स्थिति $II$: स्टेशन $A$ से $B$ तक एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट और एक आरक्षित प्रथम श्रेणी आधी टिकट की कीमत $Rs. 3810$ है।
आधी टिकट की कीमत $\frac{x}{2} + y$ होगी।
अतः,$(x + y) + (\frac{x}{2} + y) = 3810$
$\frac{3x}{2} + 2y = 3810$
$3x + 4y = 7620$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$4x + 4y = 10120$ ... $(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 10120 - 7620$
$x = 2500$
$x = 2500$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2500 + y = 2530$
$y = 30$
अतः,प्रथम श्रेणी का पूरा किराया $Rs. 2500$ है और आरक्षण शुल्क $Rs. 30$ है।

(C) माना साड़ी का क्रय मूल्य $Rs. x$ है और स्वेटर का अंकित मूल्य $Rs. y$ है।
स्थिति $I$: साड़ी को $8 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $10 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1008$।
$1.08x + 0.90y = 1008$ --- $(i)$
स्थिति $II$: साड़ी को $10 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $8 \%$ छूट पर बेचने पर,कुल राशि $= Rs. 1028$।
$1.10x + 0.92y = 1028$ --- $(ii)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(i)$ को $92$ से और $(ii)$ को $90$ से गुणा करने पर:
$99.36x + 82.8y = 92736$ --- $(iii)$
$99x + 82.8y = 92520$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$0.36x = 216$
$x = 600$
$x = 600$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.08(600) + 0.9y = 1008$
$648 + 0.9y = 1008$
$0.9y = 360$
$y = 400$
अतः,साड़ी का क्रय मूल्य $Rs. 600$ और स्वेटर का अंकित मूल्य $Rs. 400$ है।

(A) माना योजना $A$ और $B$ में निवेश की गई राशि क्रमशः $Rs.\, x$ और $Rs.\, y$ है।
$\text{स्थिति }\, I$: योजना $A$ पर $8 \%$ वार्षिक ब्याज + योजना $B$ पर $9 \%$ वार्षिक ब्याज = $1860$.
$\Rightarrow \frac{8x}{100} + \frac{9y}{100} = 1860 \Rightarrow 8x + 9y = 186000 \quad \dots(i)$
$\text{स्थिति }\, II$: यदि राशियों को आपस में बदल दिया जाए,तो ब्याज $1860 + 20 = 1880$ होगा।
$\Rightarrow \frac{9x}{100} + \frac{8y}{100} = 1880 \Rightarrow 9x + 8y = 188000 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $8$ से और $(ii)$ को $9$ से गुणा करने पर:
$64x + 72y = 1488000 \quad \dots(iii)$
$81x + 72y = 1692000 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(81x - 64x) = 1692000 - 1488000$
$17x = 204000 \Rightarrow x = 12000$
$x = 12000$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(12000) + 9y = 186000$
$96000 + 9y = 186000$
$9y = 90000 \Rightarrow y = 10000$
अतः,उसने योजना $A$ में $Rs.\, 12000$ और योजना $B$ में $Rs.\, 10000$ का निवेश किया था।

(A) माना कि भाग $A$ और $B$ में केलों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
स्थिति $I$: पहले भाग की कीमत $3$ केले के $Rs. 2$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$\frac{2}{3}x + y = 400$
$2x + 3y = 1200 \dots (i)$
स्थिति $II$: पहले भाग की कीमत $1$ केला $Rs. 1$ की दर से $+$ दूसरे भाग की कीमत $5$ केले के $Rs. 4$ की दर से $=$ प्राप्त कुल राशि।
$x + \frac{4}{5}y = 460$
$5x + 4y = 2300 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$8x + 12y = 4800$
$15x + 12y = 6900$
दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$(15x - 8x) + (12y - 12y) = 6900 - 4800$
$7x = 2100$
$x = 300$
अब,$x$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2(300) + 3y = 1200$
$600 + 3y = 1200$
$3y = 600$
$y = 200$
केलों की कुल संख्या $= x + y = 300 + 200 = 500$.

(N/A) माना कि $1\,kg$ सेब का मूल्य Rs. $x$ है और $1\,kg$ अंगूर का मूल्य Rs. $y$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार,$2\,kg$ सेब और $1\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $160$ है।
अतः,समीकरण है: $2x + y = 160$ $... (1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$4\,kg$ सेब और $2\,kg$ अंगूर का कुल मूल्य Rs. $300$ है।
अतः,समीकरण है: $4x + 2y = 300$ $... (2)$
इस प्रकार,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $2x + y = 160$ और $4x + 2y = 300$ है।

माना कि गणित $IX$ की एक पाठ्यपुस्तक का मूल्य Rs. $x$ है और गणित $X$ की एक पाठ्यपुस्तक का मूल्य Rs. $y$ है।
कुशान ने गणित $IX$ की $2$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $3$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(2x + 3y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $250$ है,इसलिए:
$2x + 3y = 250$ ........ $(1)$
राजन ने गणित $IX$ की $4$ पाठ्यपुस्तकें और गणित $X$ की $6$ पाठ्यपुस्तकें खरीदीं। कुल मूल्य को $(4x + 6y)$ व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है।
दिया गया है कि कुल मूल्य Rs. $500$ है,इसलिए:
$4x + 6y = 500$ ........ $(2)$
अतः,समीकरण $(1)$ और $(2)$ दी गई स्थिति को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित करते हैं।

(N/A) मान लीजिए कि कक्षा $10$ की वार्षिक गणित परीक्षा में देवरषि के अंक $x$ हैं और महर्षि के अंक $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,देवरषि को महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों से तीन गुना अंक मिले:
$x = 3y$
$\therefore x - 3y = 0$ .......... $(1)$
देवरषि और महर्षि द्वारा प्राप्त अंकों का योग $150$ है:
$x + y = 150$ .......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म है:
$x - 3y = 0$
$x + y = 150$

(N/A) मान लीजिए कि पहली लड़की की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और दूसरी लड़की की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $x:y = 5:7$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \frac{5}{7}$,जिसे सरल करने पर $7x = 5y$ या $7x - 5y = 0$ प्राप्त होता है ......... $(1)$
आठ वर्ष पहले,पहली लड़की की आयु $(x - 8)$ वर्ष थी और दूसरी लड़की की आयु $(y - 8)$ वर्ष थी।
आठ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $(x - 8) : (y - 8) = 7 : 13$ था।
इसका अर्थ है $\frac{x - 8}{y - 8} = \frac{7}{13}$।
तिर्यक गुणा करने पर $13(x - 8) = 7(y - 8)$ प्राप्त होता है।
$13x - 104 = 7y - 56$।
$13x - 7y = 104 - 56$।
$13x - 7y = 48$ ......... $(2)$
अतः,दी गई स्थिति को निरूपित करने वाले दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म $7x - 5y = 0$ और $13x - 7y = 48$ है।