Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) माना ट्रेन की गति $x \, km/hr$ और कार की गति $y \, km/hr$ है।
स्थिति $1$: लगा समय = $\frac{120}{x} + \frac{480}{y} = 8$ घंटे। $8$ से भाग देने पर,हमें $\frac{15}{x} + \frac{60}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: लगा समय = $8$ घंटे $20$ मिनट = $8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ घंटे। समीकरण $\frac{200}{x} + \frac{400}{y} = \frac{25}{3}$ है। $25$ से भाग देने पर,हमें $\frac{8}{x} + \frac{16}{y} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$। समीकरण $15u + 60v = 1$ और $8u + 16v = \frac{1}{3}$ बन जाते हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें $u = \frac{1}{60}$ और $v = \frac{1}{80}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 60 \, km/hr$ और $y = 80 \, km/hr$।

(A) माना एक पुरुष द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $x$ दिन है और एक महिला द्वारा $y$ दिन है।
एक पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $1/x$.
एक महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $1/y$.
प्रश्न के अनुसार:
$10(8/x + 12/y) = 1 \implies 8/x + 12/y = 1/10$ (समीकरण $1$)
$14(6/x + 8/y) = 1 \implies 6/x + 8/y = 1/14$ (समीकरण $2$)
माना $u = 1/x$ और $v = 1/y$.
$8u + 12v = 1/10 \implies 80u + 120v = 1$ (समीकरण $3$)
$6u + 8v = 1/14 \implies 84u + 112v = 1$ (समीकरण $4$)
समीकरणों को हल करने पर: समीकरण $3$ से,$v = (1 - 80u)/120$. समीकरण $4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$84u + 112((1 - 80u)/120) = 1$
$84u + (14/15)(1 - 80u) = 1$
$1260u + 14 - 1120u = 15$
$140u = 1 \implies u = 1/140$.
अतः,$x = 140$ दिन।
$u = 1/140$ को $80(1/140) + 120v = 1$ में रखने पर:
$4/7 + 120v = 1 \implies 120v = 3/7 \implies v = 1/280$.
अतः,$y = 280$ दिन।
इसलिए,एक पुरुष $140$ दिन और एक महिला $280$ दिन लेती है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x - ky - 2 = 0$ ...... $(1)$
$3x + 2y + 5 = 0$ ...... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -k, c_1 = -2$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = 5$
अद्वितीय हल के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \neq \frac{-k}{2}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$2 \neq -3k$
$k \neq -\frac{2}{3}$
अतः,$k = -\frac{2}{3}$ को छोड़कर $k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3x - 4y + 7 = 0$ ... $(1)$
$kx + 3y - 5 = 0$ ... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 7$
$a_2 = k, b_2 = 3, c_2 = -5$
रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल न होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$
चूंकि $\frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$,हमें केवल निम्नलिखित को हल करने की आवश्यकता है:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$-4k = 9$
$k = -\frac{9}{4}$
अतः,$k$ का मान $-\frac{9}{4}$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 2y - k = 0$ .......... $(1)$
$10x + 4y - 3 = 0$ .......... $(2)$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -k$
$a_2 = 10, b_2 = 4, c_2 = -3$
रैखिक समीकरण युग्म के अनंत हल होने की शर्त है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
मान रखने पर:
$\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{-k}{-3}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{k}{3}$
$\frac{1}{2} = \frac{k}{3}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = \frac{3}{2}$
अतः,$k = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण युग्म के अनंत हल हैं।

(N/A) माना अभिषेक की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और श्वेता की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
स्थिति $1$: तीन वर्ष पूर्व,अभिषेक की आयु $(x-3)$ थी और श्वेता की आयु $(y-3)$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $(x-3) = 4(y-3)$
$x-3 = 4y-12$
$x-4y = -9$ --- (समीकरण $1$)
स्थिति $2$: पाँच वर्ष बाद,अभिषेक की आयु $(x+5)$ होगी और श्वेता की आयु $(y+5)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार: $(x+5) = 2(y+5)$
$x+5 = 2y+10$
$x-2y = 5$ --- (समीकरण $2$)
अतः,रैखिक समीकरणों का अभीष्ट युग्म $x-4y = -9$ और $x-2y = 5$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण हैं:
$ax + by - 1 = 0$ --- $(1)$
$bx + ay - \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 0$ --- $(2)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - a(-1)} = \frac{-y}{a(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - b(-1)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{-2a^2b + b(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a^3 - ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{b^3 - a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$x = \frac{a(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}$
$y = \frac{b(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{b}{a^2+b^2}$
अतः,हल $(x, y) = (\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{b}{a^2+b^2})$ है।

(C) माना कि $u = \frac{1}{x+y}$ और $v = \frac{1}{x-y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$25u - 7v = -2$ --- $(1)$
$15u - 7v = -4$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(25u - 7v) - (15u - 7v) = -2 - (-4)$
$10u = 2 \implies u = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{5}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$25(\frac{1}{5}) - 7v = -2$
$5 - 7v = -2$
$-7v = -7 \implies v = 1$.
अब,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
और $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2x = 6 \implies x = 3$.
$x = 3$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$3 + y = 5 \implies y = 2$.
अतः,हल $(x, y) = (3, 2)$ है।

(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
पहली शर्त के अनुसार: $10x + y = 8(x + y) + 1$.
$10x + y = 8x + 8y + 1 \implies 2x - 7y = 1$ --- (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $10x + y = 13(x - y) + 2$.
$10x + y = 13x - 13y + 2 \implies -3x + 14y = 2$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 14y = 2$ --- (समीकरण $3$).
समीकरण $2$ और समीकरण $3$ को जोड़ने पर: $(-3x + 14y) + (4x - 14y) = 2 + 2$.
$x = 4$.
$x = 4$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(4) - 7y = 1 \implies 8 - 7y = 1 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
अतः,संख्या $10(4) + 1 = 41$ है।

(B) माना कि अंश $x$ है और हर $y$ है। भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,अंश हर से $4$ कम है: $x = y - 4$,जिसका अर्थ है $y = x + 4$.
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि अंश में $2$ घटाया जाए और हर में $1$ बढ़ाया जाए,तो हर,अंश का आठ गुना हो जाता है: $(y + 1) = 8(x - 2)$.
दूसरे समीकरण में $y = x + 4$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 4 + 1) = 8(x - 2)$.
$x + 5 = 8x - 16$.
$5 + 16 = 8x - x$.
$21 = 7x$,इसलिए $x = 3$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = x + 4 = 3 + 4 = 7$.
अतः,भिन्न $\frac{3}{7}$ है।

(D) माना पंक्तियों की संख्या $x$ है और प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या $y$ है। छात्रों की कुल संख्या $xy$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
समीकरण $(1)$ में $y = 5$ रखने पर:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
छात्रों की कुल संख्या $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(D) माना आयत की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। क्षेत्रफल $A = xy$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $(x + 2)(y - 2) = xy - 28$.
इसका विस्तार करने पर: $xy - 2x + 2y - 4 = xy - 28$.
सरल करने पर: $-2x + 2y = -24$,जिससे प्राप्त होता है $x - y = 12$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार: $(x - 1)(y + 2) = xy + 33$.
इसका विस्तार करने पर: $xy + 2x - y - 2 = xy + 33$.
सरल करने पर: $2x - y = 35$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(2x - y) - (x - y) = 35 - 12$,अतः $x = 23$.
$x = 23$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $23 - y = 12$,अतः $y = 11$.
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y = 23 \times 11 = 253$ वर्ग इकाई है।

(B) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y = 1$ और $kx + 5y = 7$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -3$ और $a_2 = k, b_2 = 5$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{5}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $2 \times 5 \neq -3 \times k$,जो $10 \neq -3k$ के रूप में सरल होता है।
अतः,$k \neq -\frac{10}{3}$।
इस प्रकार,$k = -\frac{10}{3}$ को छोड़कर $k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल होगा।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ का कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $2x - ky + 3 = 0$ और $3x + 2y - 1 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -k, c_1 = 3$ और $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -1$ है।
शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ लागू करने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{-k}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $4 = -3k$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -\frac{4}{3}$ है।
अब शर्त $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ की जाँच करने पर:
$\frac{-(-4/3)}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{-1} = -3$ है,और $\frac{2}{3} \neq -3$,इसलिए $k = -\frac{4}{3}$ के लिए शर्त सत्य है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $kx + 3y = (k - 3)$ और $12x + ky = k$ हैं।
यहाँ,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = k - 3$ और $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$।
पहले दो भागों को लेने पर: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$।
अंतिम दो भागों को लेने पर: $\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k} \implies 3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$।
इससे $k = 0$ या $k = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $k = 6$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y-1=0 \implies x+y=1$ (समीकरण $1$)
$3x+3y-2=0 \implies 3(x+y)=2 \implies x+y=\frac{2}{3}$ (समीकरण $2$)
रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$,इसलिए रेखाएं समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए,हल समुच्चय $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।

(B) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस समीकरण में,$x$ और $y$ चरों की घात $1$ होनी चाहिए।
आइए विकल्पों का विश्लेषण करें:
$A) x = 3y - 1$ को $x - 3y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$B) x^2 - 5 = 0$ एक चर वाला द्विघात समीकरण है क्योंकि $x$ की घात $2$ है और $y$ चर अनुपस्थित है।
$C) y = 2x + 3$ को $2x - y + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$D) x - y = 0$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
अतः,$x^2 - 5 = 0$ दो चरों वाला रैखिक समीकरण नहीं है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y = 7$ --- $(1)$
$3x + 2y = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2x + 3x) + (3y + 2y) = 7 + 3$
$5x + 5y = 10$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 2$
अतः,$x + y$ का मान $2$ है।

(A) दिए गए समीकरण: $\frac{x}{2} = 2$ और $\frac{6}{y} = 2$ हैं।
पहले समीकरण से: $x = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से: $6 = 2y$,जिसका अर्थ है कि $y = \frac{6}{2} = 3$ है।
अब,$x - y$ का मान ज्ञात करें: $x - y = 4 - 3 = 1$ है।
अतः,सही मान $1$ है।

(B) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है।
संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 9$ (समीकरण $1$)
$x - y = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 9 + 1$
$2x = 10$
$x = 5$
समीकरण $1$ में $x = 5$ रखने पर:
$5 + y = 9$
$y = 4$
अतः,वह संख्या $10(5) + 4 = 54$ है।

(D) दिए गए समीकरण $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ हैं।
दी गई शर्तें हैं:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = 0 \implies \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$
$b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1} = 0 \implies \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1} = 0 \implies \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{a_{1}}{a_{2}}$
इन सबको मिलाने पर,हमें $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k$ प्राप्त होता है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसका अर्थ है कि दोनों समीकरण आश्रित हैं (संपाती रेखाएँ)।
संपाती रेखाओं के लिए,अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(A) मान लीजिए कि चार व्यक्तियों की वर्तमान आयु $a, b, c,$ और $d$ है।
चार वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(a-4) + (b-4) + (c-4) + (d-4) = 40$ था।
इसे सरल करने पर $a + b + c + d - 16 = 40$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a + b + c + d = 56$ है।
यह उनकी वर्तमान आयु का योग है।
दो वर्ष बाद,उनकी आयु का योग $(a+2) + (b+2) + (c+2) + (d+2)$ होगा।
यह $(a + b + c + d) + 8$ के बराबर है।
वर्तमान योग का मान रखने पर,हमें $56 + 8 = 64$ वर्ष प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \, x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) \, 2x + 2y - 5 = 0 \implies 2(x + y) = 5 \implies x + y = 2.5$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x + y$ का मान एक साथ $1$ और $2.5$ नहीं हो सकता है।
वैकल्पिक रूप से,गुणांकों के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$.
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y - 1 = 0$ --- $(1)$
$2x + 2y - 2 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$x + y - 1 = 0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो निकाय के अनंत हल होते हैं।
यहाँ,$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इस निकाय के अनंत हल हैं,जो एक अनंत समुच्चय को दर्शाता है।

(B) दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त यह है: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।
दिए गए समीकरण $2x + 3y = 5$ और $4x + ky = 10$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ और $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 10$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{5}{10}$।
अनुपातों को सरल करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{3}{k} = \frac{1}{2}$।
$\frac{1}{2} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k = 3 \times 2 = 6$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$8y - 3x = 5xy$ ---$(1)$
$6y - 5x = -2xy$ ---$(2)$
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $(1)$ से $8y = 0 \implies y = 0$. $(2)$ में जाँच करने पर,$6(0) - 5(0) = -2(0)(0) \implies 0 = 0$. अतः,$(0, 0)$ एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $x \neq 0$ और $y \neq 0$ है,तो दोनों समीकरणों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$(1)$ $\implies \frac{8}{x} - \frac{3}{y} = 5$
$(2)$ $\implies \frac{6}{x} - \frac{5}{y} = -2$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$.
$8u - 3v = 5$ ---$(3)$
$6u - 5v = -2$ ---$(4)$
$(3)$ को $5$ से और $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$40u - 15v = 25$
$18u - 15v = -6$
घटाने पर: $22u = 31 \implies u = \frac{31}{22} \implies x = \frac{22}{31}$.
$u$ का मान $(3)$ में रखने पर: $8(\frac{31}{22}) - 3v = 5 \implies \frac{124}{11} - 3v = 5 \implies 3v = \frac{124}{11} - 5 = \frac{69}{11} \implies v = \frac{23}{11} \implies y = \frac{11}{23}$.
अतः,हल $(0, 0)$ और $\left(\frac{22}{31}, \frac{11}{23}\right)$ हैं।

(C) दो चरों $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इस शर्त को गणितीय रूप से $a^{2} + b^{2} \neq 0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जो यह सुनिश्चित करता है कि चरों के गुणांकों में से कम से कम एक गुणांक शून्य नहीं है।
अतः,सही सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ है।

(D) दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते।
यदि $a = 0$ और $b = 0$ हो,तो समीकरण $0x + 0y + c = 0$ बन जाता है,जो सरल होकर $c = 0$ हो जाता है। यह दो चरों वाला रैखिक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें चर $x$ और $y$ विलुप्त हो जाते हैं।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरण के लिए $a = 0$ और $b = 0$ होना सत्य नहीं है।

(D) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $xy = 10$ है।
जब संख्या में $27$ जोड़ा जाता है,तो अंक आपस में बदल जाते हैं,इसलिए नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार: $(10x + y) + 27 = 10y + x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x - 9y = -27$,जो सरल होकर $x - y = -3$ या $y - x = 3$ हो जाता है।
गुणनफल समीकरण में $y = x + 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $x(x + 3) = 10$।
$x^2 + 3x - 10 = 0$।
$(x + 5)(x - 2) = 0$।
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$।
तब $y = 2 + 3 = 5$।
अतः संख्या $10(2) + 5 = 25$ है।

(D) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं। चरों की घात $1$ होनी चाहिए।
समीकरण $x^{2} - 6x + 7 = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है। इसलिए,यह एक द्विघात समीकरण है,न कि रैखिक समीकरण।
अन्य विकल्प,$6x - 5 = y$,$x - 6y = 0$,और $6x + y = 7$ सभी दो चरों वाले रैखिक समीकरण हैं क्योंकि इनमें चरों की घात $1$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,अद्वितीय हल (unique solution) होने की शर्त यह है कि रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करनी चाहिए।
यह तब होता है जब $x$ और $y$ के गुणांकों का अनुपात समान न हो,अर्थात $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$।
इस असमिका का वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर हमें $a_{1}b_{2} \neq a_{2}b_{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए:
$1$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ हो,तो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,जिसका एक अद्वितीय हल होता है।
$2$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ हो,तो रेखाएं समांतर होती हैं,जिसका कोई हल नहीं होता है।
$3$. यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ हो,तो रेखाएं संपाती होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे प्रत्येक बिंदु पर एक-दूसरे के ऊपर होती हैं,जिससे अनंत हल प्राप्त होते हैं।
अतः,अनंत हलों के लिए शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ के लिए,कोई हल न होने की स्थिति तब होती है जब रेखाएँ समांतर होती हैं।
यह तब होता है जब $x$ और $y$ के गुणांकों का अनुपात बराबर हो,लेकिन वे अचर पदों के अनुपात के बराबर न हों।
अतः,इसके लिए गणितीय शर्त $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म:
$x+y-2=0$ $...(1)$
$2x+2y-4=0$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x}{2} + \frac{2y}{2} - \frac{4}{2} = \frac{0}{2}$
$x+y-2=0$ $...(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि दोनों समीकरण समान हैं।
चूंकि ये समीकरण संपाती हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म के अनंत हल हैं,और हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{6}{y} = 3$ है।
सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 3 \times 2 = 6$.
इसके बाद,$y$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{6}{y} = 3 \implies y = \frac{6}{3} = 2$.
अंत में,$x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
$x + y = 6 + 2 = 8$.

(D) दिया गया है कि एक पैंट की कीमत ₹ $x$ है और एक शर्ट की कीमत ₹ $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$5$ पैंट की कीमत $5x$ होगी और $8$ शर्ट की कीमत $8y$ होगी।
$5$ पैंट और $8$ शर्ट की कुल कीमत ₹ $3100$ दी गई है।
अतः,इस स्थिति को दर्शाने वाला रैखिक समीकरण $5x + 8y = 3100$ है।

(C) माना कि आयत की लंबाई $l$ है और चौड़ाई $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,लंबाई चौड़ाई के तीन गुने से पाँच कम है।
चौड़ाई का तीन गुना $3b$ है।
चौड़ाई के तीन गुने से पाँच कम $3b - 5$ है।
अतः,संबंध $l = 3b - 5$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x - y = 9$ ---$(1)$
$10x - 2y = 18$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर:
$5x - y = 9$ ---$(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि दोनों समीकरण समान हैं।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए,यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो समीकरण संपाती होते हैं और उनके अनंत हल होते हैं।
चूंकि समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं,जिसका अर्थ है कि वे संगत हैं और उनके अनंत हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $3x - 2y + 5 = 0$
$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ वाले पद को अलग करते हैं:
$-2y = -3x - 5$
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर:
$2y = 3x + 5$
$2$ से भाग देने पर:
$y = \frac{3x + 5}{2}$

(C) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं।
दिया गया समीकरण $2x = 5y$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $5y$ घटाने पर:
$2x - 5y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $2x - 5y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a = 2$,$b = -5$ और $c = 0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2x - 5y + 0 = 0$ मानक निरूपण है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{2}{3} x + \frac{3}{2} y = 5$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,हर $3$ और $2$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से पूरे समीकरण को गुणा करें।
$\frac{2}{3} x \times 6 + \frac{3}{2} y \times 6 = 5 \times 6$
$4 x + 9 y = 30$.
अतः,समीकरण $4 x + 9 y = 30$ दिए गए समीकरण के समान है।

(B) सही समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प में $x = -1$ और $y = -2$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 \neq -4$.
विकल्प $B$ के लिए: $3(-1) + (-2) = -3 - 2 = -5$. यह दाईं ओर के मान के बराबर है।
विकल्प $C$ के लिए: $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1 \neq 7$.
विकल्प $D$ के लिए: $(-1) - 2(-2) = -1 + 4 = 3 \neq 0$.
अतः,दी गई संख्याओं द्वारा संतुष्ट होने वाला समीकरण $3x + y = -5$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $5x + 3y = 10xy$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{10xy}{xy}$
$\frac{5}{y} + \frac{3}{x} = 10$ --- (समीकरण $1$)
हमें $\frac{6}{x} + \frac{10}{y}$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \times (\frac{3}{x} + \frac{5}{y}) = 2 \times 10$
$\frac{6}{x} + \frac{10}{y} = 20$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 3$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}) + (\frac{3}{x} + \frac{2}{y}) = 3 + 7$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 10$
पूरे समीकरण को $5$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y}$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 3 \times 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = 6$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) 2x + 2y - 3 = 0 \implies 2x + 2y = 3$
इन्हें व्यापक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -1$
$a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = -3$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है,जो एक रिक्त समुच्चय को दर्शाता है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म:
$2x + 3y = 1$
$3x - 2y = 8$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 2, b_{1} = 3$
$a_{2} = 3, b_{2} = -2$
अब,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ का मान ज्ञात करने पर:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(-2) - (3)(3)$
$= -4 - 9$
$= -13$

(C) दिए गए समीकरण $5x - 4y - 1 = 0$ और $10x - 8y - 2 = 0$ हैं।
इन्हें मानक रूप $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4$
$a_{2} = 10, b_{2} = -8$
अब,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ का मान ज्ञात करने पर:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (5)(-8) - (10)(-4)$
$= -40 - (-40)$
$= -40 + 40$
$= 0$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $7x - 13y = 1$
$(2)$ $13x - 7y = 19$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 1$
$13x - 7y - 7x + 13y = 18$
$6x + 6y = 18$
$6$ से भाग देने पर:
$x + y = 3$ $(3)$
अब,समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(7x - 13y) + (13x - 7y) = 1 + 19$
$20x - 20y = 20$
$20$ से भाग देने पर:
$x - y = 1$ $(4)$
अतः,$x - y$ का मान $1$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$13x - 7y = 19$ ---$(i)$
$7x - 13y = 31$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(13x - 7y) + (7x - 13y) = 19 + 31$
$20x - 20y = 50$
$10$ से भाग देने पर:
$2x - 2y = 5$ ---(iii)
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 31$
$6x + 6y = -12$
$6$ से भाग देने पर:
$x + y = -2$
अतः,$x + y$ का मान $-2$ है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $x + y + 1 = 0$ और $3x + 3y + k = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1$ और $a_2 = 3, b_2 = 3, c_2 = k$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$।
अतः,$\frac{1}{3} = \frac{1}{k}$,जिसका अर्थ है कि $k = 3$।