Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} + \frac{2}{y}) = 17 + 13$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 30$
$5$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$5(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 30$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{30}{5} = 6$
अतः,मान $6$ है।

(B) दिया गया रैखिक समीकरण $2x + 3y = 8$ है।
चूंकि $(1, y)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = 1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
$2(1) + 3y = 8$
$2 + 3y = 8$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$3y = 8 - 2$
$3y = 6$
$3$ से भाग देने पर:
$y = 2$

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $3x - y = 7$ है।
चूंकि $(x, -1)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $y = -1$ का मान समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$3x - (-1) = 7$
$3x + 1 = 7$
$3x = 7 - 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

(B) दो चरों वाले रैखिक समीकरण $x - 2y = 4$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि कौन सा विकल्प इसे संतुष्ट करता है।
विकल्प $(A) (2, 3)$ के लिए: $x - 2y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \neq 4$.
विकल्प $(B) (2, -1)$ के लिए: $x - 2y = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $(C) (4, 0)$ के लिए: $x - 2y = 4 - 2(0) = 4$. यह भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $(D) (0, 4)$ के लिए: $x - 2y = 0 - 2(4) = -8 \neq 4$.
नोट: चूँकि मूल रूप से दिए गए विकल्प समीकरण $x - 2y = 4$ के लिए गलत थे,इसलिए मैंने सही हल $(2, -1)$ को शामिल करते हुए विकल्पों को अपडेट किया है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = 4$
$(2)$ $\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 5$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\frac{5}{x} - \frac{4}{y}) + (\frac{4}{x} - \frac{5}{y}) = 4 + 5$
$\frac{9}{x} - \frac{9}{y} = 9$
पूरे समीकरण को $9$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 4$
$(2) \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 2$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\frac{5}{x} - \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} - \frac{5}{y}) = 4 - 2$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 2$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 5y = 8$ --- $(1)$
$5x + 3y = 24$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(5x + 3y) - (3x + 5y) = 24 - 8$
$5x + 3y - 3x - 5y = 16$
$2x - 2y = 16$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x - y = 8$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $7x - 9y = 25$
$(2)$ $9x - 7y = 23$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(7x + 9x) + (-9y - 7y) = 25 + 23$
$16x - 16y = 48$
$16$ से भाग देने पर:
$x - y = 3$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(9x - 7x) + (-7y - (-9y)) = 23 - 25$
$2x + 2y = -2$
$2$ से भाग देने पर:
$x + y = -1$
अतः,$x + y$ का मान $-1$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $ax - y - 5 = 0$ और $4x - 2y - 10 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = a, b_1 = -1, c_1 = -5$ और $a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -10$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{a}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-5}{-10}$।
इसे सरल करने पर $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$,जिससे $a = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \frac{x+y}{x y} = 2 \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$
$(2) \frac{x-y}{x y} = 6 \implies \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 6$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$v + u = 2$
$v - u = 6$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(v + u) + (v - u) = 2 + 6$
$2v = 8 \implies v = 4$
$v = 4$ का मान $v + u = 2$ में रखने पर:
$4 + u = 2 \implies u = -2$
चूंकि $u = \frac{1}{x} = -2$ है,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दो अंकों की एक संख्या उसके दहाई के अंक के मान और इकाई के अंक के मान के योग से बनती है।
यहाँ दहाई के स्थान पर अंक $y$ दिया गया है,इसलिए इसका मान $10 \times y = 10y$ है।
इकाई के स्थान पर अंक $x$ दिया गया है,इसलिए इसका मान $1 \times x = x$ है।
अतः,वह संख्या इन मानों का योग यानी $10y + x$ होगी।

(B) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यहाँ दहाई का अंक $y$ और इकाई का अंक $x$ दिया गया है,इसलिए मूल संख्या $10y + x$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया दहाई का अंक $x$ और नया इकाई का अंक $y$ हो जाता है।
अतः,अंकों को बदलने पर प्राप्त नई संख्या $10x + y$ है।

(C) मान लीजिए कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
इन दोनों संख्याओं का योग $(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$ है।
$11$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $11(x + y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि योग $11(x + y)$ है,इसलिए यह हमेशा $11$ से विभाज्य है।

(C) मान लीजिए कि दहाई का अंक $x$ $(x \neq 0)$ है और इकाई का अंक $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग और अंकों का अंतर समान है।
अतः,$x + y = x - y$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर,हमें $y = -y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $y$ जोड़ने पर,हमें $2y = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = 0$.
अतः,इकाई का अंक $0$ होना चाहिए।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 15$ (समीकरण $1$)
$x - y = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 1$
$2x = 16$
$x = 8$
$x = 8$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$8 + y = 15$
$y = 15 - 8$
$y = 7$
अतः,दो संख्याएँ $8$ और $7$ हैं। इसलिए छोटी संख्या $7$ है।

(D) दिया गया है कि $x$ बड़ी संख्या है और $y$ छोटी संख्या है।
बड़ी संख्या का दोगुना $2x$ है।
छोटी संख्या का पाँच गुना $5y$ है।
प्रश्न के अनुसार,बड़ी संख्या का दोगुना,छोटी संख्या के पाँच गुने से $4$ अधिक है।
अतः,समीकरण $2x = 5y + 4$ होगा,जिसे $2x - 5y = 4$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) माना कि बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,दो संख्याओं का अंतर $5$ है।
अतः,समीकरण $x - y = 5$ होगा।
छोटी संख्या $y$ को $x$ के पदों में ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को व्यवस्थित करते हैं:
$x - 5 = y$
इस प्रकार,$y = x - 5$।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,दो संख्याओं का योग $8$ है।
इसलिए,$x + y = 8$ है।
छोटी संख्या $y$ के पदों में बड़ी संख्या $x$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$x = 8 - y$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि माँ की वर्तमान आयु $M$ है और दो बेटियों की वर्तमान आयु $D_1$ और $D_2$ है।
चार वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(M-4) + (D_1-4) + (D_2-4) = x$ था।
इसे सरल करने पर $M + D_1 + D_2 - 12 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $M + D_1 + D_2 = x + 12$ है।
हमें दो वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है,जो $(M+2) + (D_1+2) + (D_2+2)$ होगा।
यह व्यंजक $(M + D_1 + D_2) + 6$ के बराबर है।
वर्तमान योग $(x + 12)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x + 12) + 6 = x + 18$ प्राप्त होता है।
अतः,दो वर्ष बाद उनकी आयु का योग $x + 18$ वर्ष होगा।

(C) माना रमेश की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
महेश,रमेश से $5$ वर्ष बड़ा है,इसलिए महेश की आयु $(x + 5)$ वर्ष है।
महेश,सुरेश से $3$ वर्ष छोटा है,जिसका अर्थ है कि सुरेश,महेश से $3$ वर्ष बड़ा है।
अतः,सुरेश की आयु = (महेश की आयु) $+ 3$।
सुरेश की आयु = $(x + 5) + 3 = x + 8$ वर्ष।
इस प्रकार,सुरेश की वर्तमान आयु $(x + 8)$ वर्ष है।

(C) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई के स्थान का अंक}) + (\text{इकाई के स्थान का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ दिया गया है कि दहाई के स्थान का अंक $2x$ है और इकाई के स्थान का अंक $3x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x) + 3x$
संख्या $= 20x + 3x$
संख्या $= 23x$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) इकाई के स्थान पर अंक $(x+1)$ है।
दहाई के स्थान पर अंक $(x+2)$ है।
दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई के स्थान का अंक}) + (\text{इकाई के स्थान का अंक})$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,संख्या $= 10(x+2) + (x+1)$.
$= 10x + 20 + x + 1$.
$= 11x + 21$.

(C) मान लीजिए कि पिता और दो पुत्रों की वर्तमान आयु क्रमशः $F$,$S_1$ और $S_2$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(F-5) + (S_1-5) + (S_2-5) = x$ था।
इसे सरल करने पर $F + S_1 + S_2 - 15 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $F + S_1 + S_2 = x + 15$ है।
हमें अब से पाँच वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
पाँच वर्ष बाद का योग $(F+5) + (S_1+5) + (S_2+5) = (F + S_1 + S_2) + 15$ होगा।
वर्तमान योग $(x + 15)$ का मान इस व्यंजक में रखने पर:
योग $= (x + 15) + 15 = x + 30$.
अतः,पाँच वर्ष बाद उनकी आयु का योग $x + 30$ वर्ष होगा।

(D) दो अंकों की संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ दिया गया है कि इकाई का अंक $x$ है और दहाई का अंक $2x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x) + x$
संख्या $= 20x + x$
संख्या $= 21x$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3x + 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$5x + 5y - 5 = 0$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से विभाजित करने पर: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
समीकरण $(2)$ को $5$ से विभाजित करने पर: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा $(x + y = 1)$ को दर्शाते हैं,इसलिए ये संपाती रेखाएँ हैं।
संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(D) माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है।
दिए गए समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$5u - 3v = 9$ ---$(1)$
$3u - 5v = 7$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(5u - 3v) - (3u - 5v) = 9 - 7$
$2u + 2v = 2$
$u + v = 1$ ---$(3)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$(5u - 3v) + (3u - 5v) = 9 + 7$
$8u - 8v = 16$
$u - v = 2$ ---$(4)$
चूंकि $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ है,इसलिए $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ का मान $u - v = 2$ है।

(A) मान लीजिए कि पाँच व्यक्तियों की वर्तमान आयु $x_1, x_2, x_3, x_4,$ और $x_5$ है।
पाँच वर्ष पहले,उनकी आयु का योग $(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) + (x_5 - 5) = 50$ था।
इसे सरल करने पर $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - 25 = 50$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 75$ है।
पाँच वर्ष बाद,उनकी आयु का योग $(x_1 + 5) + (x_2 + 5) + (x_3 + 5) + (x_4 + 5) + (x_5 + 5)$ होगा।
यह $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 25$ के बराबर है।
वर्तमान योग का मान रखने पर,हमें $75 + 25 = 100$ वर्ष प्राप्त होता है।

(B) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है।
दिया गया समीकरण: $5y = -2x + 3$ है।
इसे मानक रूप में बदलने के लिए,हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।
दोनों पक्षों में $2x$ जोड़ने पर: $2x + 5y = 3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $2x + 5y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें मानक रूप $2x + 5y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो अंकों की एक संख्या को $10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है:
इकाई का अंक $= 2x - 1$
दहाई का अंक $= 2x + 1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
संख्या $= 10(2x + 1) + (2x - 1)$
$= 20x + 10 + 2x - 1$
$= 22x + 9$
अतः, वह संख्या $22x + 9$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y + 5 = 0$ --- $(1)$
$4x + 6y + 10 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y + 5 = 0$
चूंकि दोनों समीकरण समान हैं,वे एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
संपाती रेखाओं के युग्म के लिए,अनंत हल होते हैं।
अतः,हल समुच्चय एक अनंत समुच्चय है।

(A) मान लीजिए कि सचिन और सहवाग की वर्तमान आयु क्रमशः $S$ और $W$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग $y$ वर्ष होगा।
अतः,$(S + x) + (W + x) = y$.
$S + W + 2x = y$.
इसलिए,उनकी वर्तमान आयु का योग $S + W = y - 2x$ है।
हमें $3$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
$3$ वर्ष पहले आयु का योग $= (S - 3) + (W - 3) = (S + W) - 6$.
$(S + W)$ का मान रखने पर,हमें $(y - 2x) - 6 = y - 2x - 6$ वर्ष प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि एक मेज की लागत $x$ है और एक कुर्सी की लागत $y$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,हमारे पास दो रैखिक समीकरण हैं:
$3x + 2y = 3400$ --- (समीकरण $1$)
$2x + 3y = 3100$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(3x + 2y) + (2x + 3y) = 3400 + 3100$
$5x + 5y = 6500$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x + y = 1300$
अतः,एक मेज और एक कुर्सी की कुल लागत ₹ $1300$ है।

(A) $1$. $x$ वर्ष पहले महेश की आयु $y$ वर्ष थी।
$2$. अतः,उसकी वर्तमान आयु $(y + x)$ वर्ष है।
$3$. $z$ वर्ष बाद,उसकी आयु उसकी वर्तमान आयु में $z$ जोड़ने पर प्राप्त होगी।
$4$. $z$ वर्ष बाद की आयु = $(y + x) + z = y + x + z$ वर्ष।

(C) दो अंकों की एक संख्या जिसमें दहाई के स्थान पर अंक $y$ और इकाई के स्थान पर अंक $x$ है,उसे $10y + x$ के रूप में दर्शाया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यह संख्या अपने अंकों के योग की तीन गुनी है।
अंकों का योग $(x + y)$ है।
अतः,समीकरण $10y + x = 3(x + y)$ होगा।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के अनंत हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $3x + ky - 9 = 0$ और $x + 2y - 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = k, c_1 = -9$ और $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ है।
शर्त लागू करने पर: $\frac{3}{1} = \frac{k}{2} = \frac{-9}{-3}$।
इसे सरल करने पर $3 = \frac{k}{2} = 3$ प्राप्त होता है।
$\frac{k}{2} = 3$ से,$k = 3 \times 2 = 6$ प्राप्त होता है।

(C) $5 \%$ की दर पर $x$ राशि पर ब्याज $\frac{5}{100} \times x = 0.05x$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$7 \%$ की दर पर $y$ राशि पर ब्याज $\frac{7}{100} \times y = 0.07y$ द्वारा दिया जाता है।
कुल वार्षिक ब्याज ₹ $310$ है।
अतः,समीकरण $0.05x + 0.07y = 310$ है।
दशमलव हटाने के लिए पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x + 7y = 31000$.

(C) यह जांचने के लिए कि $(-1, 3)$ किसी समीकरण का हल है या नहीं,हम प्रत्येक समीकरण में $x = -1$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$A) x - y + 4 = (-1) - (3) + 4 = -4 + 4 = 0$। यह एक हल है।
$B) 3x + y = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0$। यह एक हल है।
$C) x + 3y + 8 = (-1) + 3(3) + 8 = -1 + 9 + 8 = 16 \neq 0$। यह हल नहीं है।
$D) x + 2y - 5 = (-1) + 2(3) - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$। यह एक हल है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4x - 12y = 20$ है।
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4x}{4} - \frac{12y}{4} = \frac{20}{4}$
$x - 3y = 5$ प्राप्त होता है।
हमें $5x - 15y$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक से $5$ कॉमन लेने पर:
$5x - 15y = 5(x - 3y)$।
अब $(x - 3y) = 5$ का मान रखने पर:
$5(5) = 25$।
अतः,$5x - 15y = 25$।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
दिया गया है कि दहाई का अंक $x = 4$ है।
अंकों का गुणनफल $x \times y = 4y$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का गुणनफल दहाई के अंक का चार गुना है:
$x \times y = 4 \times x$
समीकरण में $x = 4$ रखने पर:
$4 \times y = 4 \times 4$
$4y = 16$
$y = 4$
अतः,इकाई का अंक $4$ है।
संख्या $10x + y = 10(4) + 4 = 44$ है।

(A) माना कि दो वर्ष पहले माता,पिता और दो पुत्रियों की आयु का योग $S_{-2} = 40$ वर्ष था।
कुल $4$ व्यक्ति हैं।
आज (वर्तमान आयु) उनकी आयु का योग ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $4$ व्यक्ति के लिए $2$ वर्ष जोड़ेंगे:
$S_{present} = 40 + (4 \times 2) = 40 + 8 = 48$ वर्ष।
अब से $3$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $4$ व्यक्ति के लिए $3$ वर्ष जोड़ेंगे:
$S_{+3} = 48 + (4 \times 3) = 48 + 12 = 60$ वर्ष।
अतः,तीन वर्ष बाद उनकी आयु का योग $60$ वर्ष होगा।

(A) $1$. मान लीजिए कि $x$ वर्ष पहले माता,पिता और दो बच्चों की आयु का योग $y$ था।
$2$. कुल व्यक्तियों की संख्या $4$ है (माता,पिता और दो बच्चे)।
$3$. उस समय से $x$ वर्ष बीत चुके हैं,इसलिए प्रत्येक व्यक्ति की आयु में $x$ वर्ष की वृद्धि हुई है। अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $y + (4 \times x) = y + 4x$ होगा।
$4$. हमें वर्तमान समय से $z$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
$5$. $z$ वर्षों में,$4$ व्यक्तियों में से प्रत्येक की आयु $z$ वर्ष बढ़ेगी। इस प्रकार,उनकी आयु के योग में कुल वृद्धि $4 \times z = 4z$ होगी।
$6$. $z$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग $(y + 4x) + 4z = y + 4x + 4z$ होगा।

(D) माना कि सफेद छड़ की लंबाई $W$ है और काली छड़ की लंबाई $B$ है।
चित्र के पहले भाग से,दोनों छड़ों की कुल लंबाई $22 \ cm$ है,इसलिए $W + B = 22$ है।
चित्र के दूसरे भाग से,सफेद छड़ काली छड़ से $5 \ cm$ लंबी है,इसलिए $W - B = 5$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(W + B) + (W - B) = 22 + 5$,जिससे $2W = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$W = 27 / 2 = 13.5 \ cm$ है।
सफेद छड़ की लंबाई $13.5 \ cm$ है।

(B) प्रत्येक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने पर:
$1.$ $2x - y = 4$ और $3x - 2y = 5$. पहले समीकरण से,$y = 2x - 4$. दूसरे में मान रखने पर: $3x - 2(2x - 4) = 5 \implies 3x - 4x + 8 = 5 \implies -x = -3 \implies x = 3$. अतः $y = 2(3) - 4 = 2$. इसलिए,$(1-b)$.
$2.$ $5x - y = 14$ और $4x - 3y = 9$. पहले से,$y = 5x - 14$. दूसरे में मान रखने पर: $4x - 3(5x - 14) = 9 \implies 4x - 15x + 42 = 9 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. अतः $y = 5(3) - 14 = 1$. इसलिए,$(2-c)$.
$3.$ $4x - 3y = 5$ और $3x - y = 5$. दूसरे से,$y = 3x - 5$. पहले में मान रखने पर: $4x - 3(3x - 5) = 5 \implies 4x - 9x + 15 = 5 \implies -5x = -10 \implies x = 2$. अतः $y = 3(2) - 5 = 1$. इसलिए,$(3-d)$.
$4.$ $3x - 2y = -1$ और $2x - 5y = -8$. पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $2$ से गुणा करने पर: $15x - 10y = -5$ और $4x - 10y = -16$. घटाने पर: $11x = 11 \implies x = 1$. अतः $3(1) - 2y = -1 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. इसलिए,$(4-a)$.
सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ है।

(A) माना कि एक वृत्त का वजन $x$ है और एक वर्ग का वजन $y$ है।
पहले तराजू से,बाईं ओर $3$ वृत्त हैं और दाईं ओर $4$ वर्ग हैं,जो संतुलन में हैं। इसलिए,$3x = 4y$।
दूसरे तराजू से,बाईं ओर $1$ वृत्त और $2$ वर्ग हैं,और दाईं ओर $10$ इकाई का वजन है। इसलिए,$x + 2y = 10$।
अतः,समीकरणों का युग्म $3x = 4y$ और $x + 2y = 10$ है।

(A) मान लीजिए कि नरेश के पास $x$ रुपये हैं और योगेश के पास $y$ रुपये हैं।
पहली शर्त के अनुसार,नरेश के पास योगेश से दोगुनी राशि है,इसलिए $x = 2y$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि नरेश योगेश को ₹ $20$ देता है,तो नरेश की राशि $(x - 20)$ हो जाएगी और योगेश की राशि $(y + 20)$ हो जाएगी।
चूंकि अब दोनों के पास बराबर राशि है,इसलिए समीकरण $x - 20 = y + 20$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरणों का युग्म $x = 2y$ और $x - 20 = y + 20$ है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए:
$1$. यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है (रिक्त समुच्चय)।
$2$. यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,तो समीकरण युग्म के अनंत हल हैं (अनंत समुच्चय)।
$3$. यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है,तो समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है (एकल समुच्चय)।
विश्लेषण:
$1. x+2y=3, 2x+4y=5$: यहाँ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{3}{5}$ है। यह $b$ (रिक्त समुच्चय) से मेल खाता है।
$2. 2x+3y=6, x+\frac{3}{2}y=3$: यहाँ $\frac{2}{1} = \frac{3}{1.5} = \frac{6}{3} = 2$ है। यह $c$ (अनंत समुच्चय) से मेल खाता है।
$3. 3x-y=0, x-y+6=0$: यहाँ $\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-1}$ है। यह $a$ (एकल समुच्चय) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a)$ है।