Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/hr$ અને કારની ઝડપ $y \, km/hr$ છે.
કિસ્સો $1$: લાગતો સમય = $\frac{120}{x} + \frac{480}{y} = 8$ કલાક. $8$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15}{x} + \frac{60}{y} = 1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: લાગતો સમય = $8$ કલાક $20$ મિનિટ = $8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ કલાક. સમીકરણ $\frac{200}{x} + \frac{400}{y} = \frac{25}{3}$ છે. $25$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{8}{x} + \frac{16}{y} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો $15u + 60v = 1$ અને $8u + 16v = \frac{1}{3}$ બને છે.
આને ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{1}{60}$ અને $v = \frac{1}{80}$ મળે છે.
આમ,$x = 60 \, km/hr$ અને $y = 80 \, km/hr$.

(A) ધારો કે એક પુરુષને કામ પૂરું કરતા $x$ દિવસ લાગે છે અને એક સ્ત્રીને $y$ દિવસ લાગે છે.
એક પુરુષ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ = $1/x$.
એક સ્ત્રી દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ = $1/y$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$10(8/x + 12/y) = 1 \implies 8/x + 12/y = 1/10$ (સમીકરણ $1$)
$14(6/x + 8/y) = 1 \implies 6/x + 8/y = 1/14$ (સમીકરણ $2$)
ધારો કે $u = 1/x$ અને $v = 1/y$.
$8u + 12v = 1/10 \implies 80u + 120v = 1$ (સમીકરણ $3$)
$6u + 8v = 1/14 \implies 84u + 112v = 1$ (સમીકરણ $4$)
સમીકરણો ઉકેલતા: સમીકરણ $3$ પરથી,$v = (1 - 80u)/120$. સમીકરણ $4$ માં મૂકતા:
$84u + 112((1 - 80u)/120) = 1$
$84u + (14/15)(1 - 80u) = 1$
$1260u + 14 - 1120u = 15$
$140u = 1 \implies u = 1/140$.
તેથી,$x = 140$ દિવસ.
$u = 1/140$ ને $80(1/140) + 120v = 1$ માં મૂકતા:
$4/7 + 120v = 1 \implies 120v = 3/7 \implies v = 1/280$.
તેથી,$y = 280$ દિવસ.
આમ,એક પુરુષને $140$ દિવસ અને એક સ્ત્રીને $280$ દિવસ લાગે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$x - ky - 2 = 0$ ...... $(1)$
$3x + 2y + 5 = 0$ ...... $(2)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -k, c_1 = -2$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = 5$
અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} \neq \frac{-k}{2}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$2 \neq -3k$
$k \neq -\frac{2}{3}$
આમ,$k = -\frac{2}{3}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે આ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ અનન્ય મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$3x - 4y + 7 = 0$ ... $(1)$
$kx + 3y - 5 = 0$ ... $(2)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 7$
$a_2 = k, b_2 = 3, c_2 = -5$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$
અહીં $\frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$ હોવાથી,આપણે ફક્ત નીચેના પદને ઉકેલવાની જરૂર છે:
$\frac{3}{k} = \frac{-4}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$-4k = 9$
$k = -\frac{9}{4}$
આમ,$k$ ની કિંમત $-\frac{9}{4}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$5x + 2y - k = 0$ .......... $(1)$
$10x + 4y - 3 = 0$ .......... $(2)$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -k$
$a_2 = 10, b_2 = 4, c_2 = -3$
સુરેખ સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{-k}{-3}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{k}{3}$
$\frac{1}{2} = \frac{k}{3}$ લેતા,આપણને મળે:
$k = \frac{3}{2}$
આમ,$k = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણોની જોડીને અનંત ઉકેલો છે.

(N/A) ધારો કે અભિષેકની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને શ્વેતાની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
કિસ્સો $1$: ત્રણ વર્ષ પહેલાં,અભિષેકની ઉંમર $(x-3)$ હતી અને શ્વેતાની ઉંમર $(y-3)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x-3) = 4(y-3)$
$x-3 = 4y-12$
$x-4y = -9$ --- (સમીકરણ $1$)
કિસ્સો $2$: પાંચ વર્ષ પછી,અભિષેકની ઉંમર $(x+5)$ હશે અને શ્વેતાની ઉંમર $(y+5)$ હશે.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x+5) = 2(y+5)$
$x+5 = 2y+10$
$x-2y = 5$ --- (સમીકરણ $2$)
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x-4y = -9$ અને $x-2y = 5$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણો:
$ax + by - 1 = 0$ --- $(1)$
$bx + ay - \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 0$ --- $(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - a(-1)} = \frac{-y}{a(-\frac{2ab}{a^2+b^2}) - b(-1)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{-2ab^2 + a(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{-2a^2b + b(a^2+b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a^3 - ab^2}{a^2+b^2}} = \frac{-y}{\frac{b^3 - a^2b}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{x}{\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{y}{\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$x = \frac{a(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}$
$y = \frac{b(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)} = \frac{b}{a^2+b^2}$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{b}{a^2+b^2})$ છે.

(C) ધારો કે $u = \frac{1}{x+y}$ અને $v = \frac{1}{x-y}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$25u - 7v = -2$ --- $(1)$
$15u - 7v = -4$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(25u - 7v) - (15u - 7v) = -2 - (-4)$
$10u = 2 \implies u = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{5}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$25(\frac{1}{5}) - 7v = -2$
$5 - 7v = -2$
$-7v = -7 \implies v = 1$.
હવે,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
અને $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = 6 \implies x = 3$.
$x = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3 + y = 5 \implies y = 2$.
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 2)$ છે.

(A) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $10x + y = 8(x + y) + 1$.
$10x + y = 8x + 8y + 1 \implies 2x - 7y = 1$ --- (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $10x + y = 13(x - y) + 2$.
$10x + y = 13x - 13y + 2 \implies -3x + 14y = 2$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 14y = 2$ --- (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $2$ અને સમીકરણ $3$ નો સરવાળો કરતા: $(-3x + 14y) + (4x - 14y) = 2 + 2$.
$x = 4$.
$x = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(4) - 7y = 1 \implies 8 - 7y = 1 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
તેથી,સંખ્યા $10(4) + 1 = 41$ છે.

(B) ધારો કે અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે. અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,અંશ એ છેદ કરતાં $4$ ઓછો છે: $x = y - 4$,જેનો અર્થ છે $y = x + 4$.
બીજી શરત મુજબ,જો અંશમાં $2$ ઘટાડવામાં આવે અને છેદમાં $1$ વધારવામાં આવે,તો છેદ એ અંશ કરતાં આઠ ગણો થાય છે: $(y + 1) = 8(x - 2)$.
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 4$ મૂકતા: $(x + 4 + 1) = 8(x - 2)$.
$x + 5 = 8x - 16$.
$5 + 16 = 8x - x$.
$21 = 7x$,તેથી $x = 3$.
હવે,$y$ શોધો: $y = x + 4 = 3 + 4 = 7$.
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{3}{7}$ છે.

(D) ધારો કે હારની સંખ્યા $x$ છે અને દરેક હારમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $y$ છે. વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $xy$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 5$ મૂકતા:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(D) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ અને પહોળાઈ $y$ છે. ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(x + 2)(y - 2) = xy - 28$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $xy - 2x + 2y - 4 = xy - 28$.
સાદું રૂપ આપતા: $-2x + 2y = -24$,જે આપે છે $x - y = 12$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $(x - 1)(y + 2) = xy + 33$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $xy + 2x - y - 2 = xy + 33$.
સાદું રૂપ આપતા: $2x - y = 35$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(2x - y) - (x - y) = 35 - 12$,તેથી $x = 23$.
$x = 23$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $23 - y = 12$,તેથી $y = 11$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times y = 23 \times 11 = 253$ ચોરસ એકમ છે.

(B) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ની જોડીને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $2x - 3y = 1$ અને $kx + 5y = 7$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -3$ અને $a_2 = k, b_2 = 5$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2 \times 5 \neq -3 \times k$,જેનું સાદું રૂપ $10 \neq -3k$ થાય છે.
તેથી,$k \neq -\frac{10}{3}$.
આમ,$k = -\frac{10}{3}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સમીકરણોની જોડીને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $2x - ky + 3 = 0$ અને $3x + 2y - 1 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -k, c_1 = 3$ અને $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -1$ છે.
શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ લાગુ પાડતા:
$\frac{2}{3} = \frac{-k}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4 = -3k$ મળે છે.
તેથી,$k = -\frac{4}{3}$.
હવે શરત $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ચકાસતા:
$\frac{-(-4/3)}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{-1} = -3$ છે,અને $\frac{2}{3} \neq -3$ હોવાથી,$k = -\frac{4}{3}$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $kx + 3y = (k - 3)$ અને $12x + ky = k$ છે.
અહીં,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = k - 3$ અને $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = k$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$.
પ્રથમ બે ભાગ લેતા: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$.
છેલ્લા બે ભાગ લેતા: $\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k} \implies 3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$.
આનાથી $k = 0$ અથવા $k = 6$ મળે છે.
બંને શરતોનું પાલન થાય તે માટે સામાન્ય કિંમત $k = 6$ છે.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$x+y-1=0 \implies x+y=1$ (સમીકરણ $1$)
$3x+3y-2=0 \implies 3(x+y)=2 \implies x+y=\frac{2}{3}$ (સમીકરણ $2$)
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલ ગણ $\phi$ (ખાલી ગણ) છે.

(B) બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ એ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આ સમીકરણમાં,$x$ અને $y$ ચલની ઘાત $1$ હોવી જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A) x = 3y - 1$ ને $x - 3y + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$B) x^2 - 5 = 0$ એ એક ચલવાળું દ્વિઘાત સમીકરણ છે કારણ કે $x$ ની ઘાત $2$ છે અને $y$ ચલ ગેરહાજર છે.
$C) y = 2x + 3$ ને $2x - y + 3 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$D) x - y = 0$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
તેથી,$x^2 - 5 = 0$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = 7$ --- $(1)$
$3x + 2y = 3$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x + 3x) + (3y + 2y) = 7 + 3$
$5x + 5y = 10$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x + y = 2$
આમ,$x + y$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો: $\frac{x}{2} = 2$ અને $\frac{6}{y} = 2$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $x = 2 \times 2 = 4$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $6 = 2y$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{6}{2} = 3$.
હવે,$x - y$ ની કિંમત શોધો: $x - y = 4 - 3 = 1$.
તેથી,સાચી કિંમત $1$ છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x + y = 9$ (સમીકરણ $1$)
$x - y = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 9 + 1$
$2x = 10$
$x = 5$
સમીકરણ $1$ માં $x = 5$ મુકતા:
$5 + y = 9$
$y = 4$
તેથી,તે સંખ્યા $10(5) + 4 = 54$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ છે.
આપેલ શરતો:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = 0 \implies \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$
$b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1} = 0 \implies \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1} = 0 \implies \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{a_{1}}{a_{2}}$
આ ત્રણેયને જોડતા,આપણને $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k$ મળે છે (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આનો અર્થ એ છે કે બંને સમીકરણો પરસ્પર અવલંબિત છે (સંપાતી રેખાઓ).
સંપાતી રેખાઓ માટે,અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(A) ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર $a, b, c,$ અને $d$ છે.
ચાર વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(a-4) + (b-4) + (c-4) + (d-4) = 40$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $a + b + c + d - 16 = 40$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a + b + c + d = 56$.
આ તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો છે.
બે વર્ષ પછી,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(a+2) + (b+2) + (c+2) + (d+2)$ થશે.
આ $(a + b + c + d) + 8$ ની બરાબર છે.
હાલના સરવાળાની કિંમત મૂકતા,આપણને $56 + 8 = 64$ વર્ષ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \, x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) \, 2x + 2y - 5 = 0 \implies 2(x + y) = 5 \implies x + y = 2.5$
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x + y$ ની કિંમત એકસાથે $1$ અને $2.5$ હોઈ શકે નહીં.
વૈકલ્પિક રીતે,સહગુણકોનો ગુણોત્તર તપાસતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$x + y - 1 = 0$ --- $(1)$
$2x + 2y - 2 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$x + y - 1 = 0$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો મળે છે.
અહીં,$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,આ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે,જે અનંત ગણ દર્શાવે છે.

(B) બે સુરેખ સમીકરણો $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $2x + 3y = 5$ અને $4x + ky = 10$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5$ અને $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 10$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{5}{10}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{2} = \frac{3}{k} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{k}$ પરથી,આપણને $k = 3 \times 2 = 6$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$8y - 3x = 5xy$ ---$(1)$
$6y - 5x = -2xy$ ---$(2)$
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $(1)$ પરથી $8y = 0 \implies y = 0$. $(2)$ માં ચકાસતા,$6(0) - 5(0) = -2(0)(0) \implies 0 = 0$. આમ,$(0, 0)$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \neq 0$ અને $y \neq 0$ હોય,તો બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા:
$(1)$ $\implies \frac{8}{x} - \frac{3}{y} = 5$
$(2)$ $\implies \frac{6}{x} - \frac{5}{y} = -2$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$.
$8u - 3v = 5$ ---$(3)$
$6u - 5v = -2$ ---$(4)$
$(3)$ ને $5$ વડે અને $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$40u - 15v = 25$
$18u - 15v = -6$
બાદબાકી કરતા: $22u = 31 \implies u = \frac{31}{22} \implies x = \frac{22}{31}$.
$u$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા: $8(\frac{31}{22}) - 3v = 5 \implies \frac{124}{11} - 3v = 5 \implies 3v = \frac{124}{11} - 5 = \frac{69}{11} \implies v = \frac{23}{11} \implies y = \frac{11}{23}$.
આમ,ઉકેલો $(0, 0)$ અને $\left(\frac{22}{31}, \frac{11}{23}\right)$ છે.

(C) બે ચલ $x$ અને $y$ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ એવું સમીકરણ છે જેને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આ શરતને ગાણિતિક રીતે $a^{2} + b^{2} \neq 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચલના સહગુણકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સહગુણક શૂન્યતર છે.
તેથી,સાચું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે.

(D) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
જો $a = 0$ અને $b = 0$ હોય,તો સમીકરણ $0x + 0y + c = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $c = 0$ થાય છે. આ બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ નથી કારણ કે તેમાં ચલ $x$ અને $y$ દૂર થઈ જાય છે.
તેથી,બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણ માટે $a = 0$ અને $b = 0$ હોવું તે સત્ય નથી.

(D) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $xy = 10$ છે.
જ્યારે સંખ્યામાં $27$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે અંકોની અદલાબદલી થાય છે,તેથી નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $(10x + y) + 27 = 10y + x$.
પદોને ગોઠવતા: $9x - 9y = -27$,જેનું સાદું રૂપ $x - y = -3$ અથવા $y - x = 3$ થાય છે.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $y = x + 3$ મૂકતા: $x(x + 3) = 10$.
$x^2 + 3x - 10 = 0$.
$(x + 5)(x - 2) = 0$.
$x$ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 2$.
ત્યારબાદ $y = 2 + 3 = 5$.
તેથી સંખ્યા $10(2) + 5 = 25$ છે.

(D) બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ એ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી. ચલની ઘાત $1$ હોવી જોઈએ.
સમીકરણ $x^{2} - 6x + 7 = 0$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે. તેથી,તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે,સુરેખ સમીકરણ નથી.
અન્ય વિકલ્પો,$6x - 5 = y$,$x - 6y = 0$,અને $6x + y = 7$ એ બધા બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણો છે કારણ કે તેમાં ચલની ઘાત $1$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માટે,અનન્ય ઉકેલ મેળવવાની શરત એ છે કે રેખાઓ એકબીજાને એક બિંદુમાં છેદવી જોઈએ.
આ શરત ત્યારે પૂરી થાય છે જ્યારે $x$ અને $y$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન ન હોય,એટલે કે $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$.
આ અસમતાનો ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને $a_{1}b_{2} \neq a_{2}b_{1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માટે:
$1$. જો $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોય,તો રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે,જેનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
$2$. જો $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોય,તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે,જેનો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
$3$. જો $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ હોય,તો રેખાઓ સંપાતી હોય છે,એટલે કે તે દરેક બિંદુ પર એકબીજા પર સંપાત થાય છે,તેથી અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,અનંત ઉકેલો માટેની શરત $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માટે,જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય ત્યારે કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $x$ અને $y$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,પરંતુ તે અચળ પદોના ગુણોત્તર જેટલો ન હોય.
તેથી,આ માટેની ગાણિતિક શરત $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$x+y-2=0$ $...(1)$
$2x+2y-4=0$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x}{2} + \frac{2y}{2} - \frac{4}{2} = \frac{0}{2}$
$x+y-2=0$ $...(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને સમીકરણો સમાન છે.
આ સમીકરણો સંપાતી હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીને અનંત ઉકેલો છે,અને ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{6}{y} = 3$ છે.
પ્રથમ,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 3 \times 2 = 6$.
ત્યારબાદ,$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{6}{y} = 3 \implies y = \frac{6}{3} = 2$.
અંતે,$x + y$ ની કિંમત શોધતા:
$x + y = 6 + 2 = 8$.

(D) આપેલ છે કે એક પેન્ટની કિંમત ₹ $x$ છે અને એક શર્ટની કિંમત ₹ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$5$ પેન્ટની કિંમત $5x$ થાય અને $8$ શર્ટની કિંમત $8y$ થાય.
$5$ પેન્ટ અને $8$ શર્ટની કુલ કિંમત ₹ $3100$ આપેલી છે.
તેથી,આ પરિસ્થિતિને દર્શાવતું સુરેખ સમીકરણ $5x + 8y = 3100$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $l$ છે અને પહોળાઈ $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના ત્રણ ગણાથી પાંચ ઓછી છે.
પહોળાઈના ત્રણ ગણા એટલે $3b$.
પહોળાઈના ત્રણ ગણાથી પાંચ ઓછી એટલે $3b - 5$.
તેથી,સંબંધ $l = 3b - 5$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$5x - y = 9$ ---$(1)$
$10x - 2y = 18$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા:
$5x - y = 9$ ---$(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને સમીકરણો સમાન છે.
દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે,જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણો સંપાતી છે અને તેને અનંત ઉકેલો મળે છે.
આમ,સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સુસંગત છે અને તેમને અનંત ઉકેલો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3x - 2y + 5 = 0$
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ વાળા પદને અલગ કરીશું:
$-2y = -3x - 5$
આખા સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા:
$2y = 3x + 5$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{3x + 5}{2}$

(C) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x = 5y$ છે.
આને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $5y$ બાદ કરતા:
$2x - 5y = 0$.
આને $2x - 5y + 0 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $a = 2$,$b = -5$ અને $c = 0$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2x - 5y + 0 = 0$ એ પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{3} x + \frac{3}{2} y = 5$ છે.
તેને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $3$ અને $2$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે આખા સમીકરણને ગુણો.
$\frac{2}{3} x \times 6 + \frac{3}{2} y \times 6 = 5 \times 6$
$4 x + 9 y = 30$.
આમ,સમીકરણ $4 x + 9 y = 30$ એ આપેલ સમીકરણને સમાન છે.

(B) સાચું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પમાં $x = -1$ અને $y = -2$ ની કિંમત મૂકીશું:
વિકલ્પ $A$ માટે: $2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 \neq -4$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $3(-1) + (-2) = -3 - 2 = -5$. આ જમણી બાજુ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1 \neq 7$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(-1) - 2(-2) = -1 + 4 = 3 \neq 0$.
આમ,આપેલ કિંમતો દ્વારા સંતોષાતું સમીકરણ $3x + y = -5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x + 3y = 10xy$.
સમીકરણની બંને બાજુઓને $xy$ વડે ભાગતા:
$\frac{5x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{10xy}{xy}$
$\frac{5}{y} + \frac{3}{x} = 10$ --- (સમીકરણ $1$)
આપણે $\frac{6}{x} + \frac{10}{y}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2 \times (\frac{3}{x} + \frac{5}{y}) = 2 \times 10$
$\frac{6}{x} + \frac{10}{y} = 20$.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 3$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}) + (\frac{3}{x} + \frac{2}{y}) = 3 + 7$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 10$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y}$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 3 \times 2$
$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = 6$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$
$2) 2x + 2y - 3 = 0 \implies 2x + 2y = 3$
આ સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -1$
$a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = -3$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સમીકરણોની આ જોડીનો કોઈ ઉકેલ નથી,જે ખાલી ગણ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી:
$2x + 3y = 1$
$3x - 2y = 8$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y = c_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 2, b_{1} = 3$
$a_{2} = 3, b_{2} = -2$
હવે,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ ની કિંમતની ગણતરી કરતા:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (2)(-2) - (3)(3)$
$= -4 - 9$
$= -13$

(C) આપેલ સમીકરણો $5x - 4y - 1 = 0$ અને $10x - 8y - 2 = 0$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 5, b_{1} = -4$
$a_{2} = 10, b_{2} = -8$
હવે,$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$ ની કિંમત શોધતા:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = (5)(-8) - (10)(-4)$
$= -40 - (-40)$
$= -40 + 40$
$= 0$

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $7x - 13y = 1$
$(2)$ $13x - 7y = 19$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 1$
$13x - 7y - 7x + 13y = 18$
$6x + 6y = 18$
$6$ વડે ભાગતા:
$x + y = 3$ $(3)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(7x - 13y) + (13x - 7y) = 1 + 19$
$20x - 20y = 20$
$20$ વડે ભાગતા:
$x - y = 1$ $(4)$
આમ,$x - y$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$13x - 7y = 19$ ---$(i)$
$7x - 13y = 31$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(13x - 7y) + (7x - 13y) = 19 + 31$
$20x - 20y = 50$
$10$ વડે ભાગતા:
$2x - 2y = 5$ ---(iii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(13x - 7y) - (7x - 13y) = 19 - 31$
$6x + 6y = -12$
$6$ વડે ભાગતા:
$x + y = -2$
આમ,$x + y$ ની કિંમત $-2$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોય તેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $x + y + 1 = 0$ અને $3x + 3y + k = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1$ અને $a_2 = 3, b_2 = 3, c_2 = k$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$.
તેથી,$\frac{1}{3} = \frac{1}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$.