Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 17$
$(2)$ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 13$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\frac{2}{x} + \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} + \frac{2}{y}) = 17 + 13$
$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 30$
$5$ ને સામાન્ય લેતા:
$5(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 30$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{30}{5} = 6$
આમ,કિંમત $6$ મળે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 8$ છે.
અહીં $(1, y)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $x = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2(1) + 3y = 8$
$2 + 3y = 8$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$3y = 8 - 2$
$3y = 6$
$3$ વડે ભાગતા:
$y = 2$

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x - y = 7$ છે.
અહીં $(x, -1)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $y = -1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીશું.
$3x - (-1) = 7$
$3x + 1 = 7$
$3x = 7 - 1$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

(B) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પોને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસીશું કે કયો વિકલ્પ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(A) (2, 3)$ માટે: $x - 2y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \neq 4$.
વિકલ્પ $(B) (2, -1)$ માટે: $x - 2y = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(C) (4, 0)$ માટે: $x - 2y = 4 - 2(0) = 4$. આ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $(D) (0, 4)$ માટે: $x - 2y = 0 - 2(4) = -8 \neq 4$.
નોંધ: મૂળ આપેલા વિકલ્પો સમીકરણ $x - 2y = 4$ માટે ખોટા હોવાથી,મેં સાચો ઉકેલ $(2, -1)$ સમાવિષ્ટ કરીને વિકલ્પો સુધાર્યા છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = 4$
$(2)$ $\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 5$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{5}{x} - \frac{4}{y}) + (\frac{4}{x} - \frac{5}{y}) = 4 + 5$
$\frac{9}{x} - \frac{9}{y} = 9$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 4$
$(2) \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 2$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\frac{5}{x} - \frac{3}{x}) + (\frac{3}{y} - \frac{5}{y}) = 4 - 2$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 2$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 5y = 8$ --- $(1)$
$5x + 3y = 24$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(5x + 3y) - (3x + 5y) = 24 - 8$
$5x + 3y - 3x - 5y = 16$
$2x - 2y = 16$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x - y = 8$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $7x - 9y = 25$
$(2)$ $9x - 7y = 23$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(7x + 9x) + (-9y - 7y) = 25 + 23$
$16x - 16y = 48$
$16$ વડે ભાગતા:
$x - y = 3$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(9x - 7x) + (-7y - (-9y)) = 23 - 25$
$2x + 2y = -2$
$2$ વડે ભાગતા:
$x + y = -1$
આમ,$x + y$ ની કિંમત $-1$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $ax - y - 5 = 0$ અને $4x - 2y - 10 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = a, b_1 = -1, c_1 = -5$ અને $a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -10$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{a}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-5}{-10}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{4}{2} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \frac{x+y}{x y} = 2 \implies \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 2$
$(2) \frac{x-y}{x y} = 6 \implies \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 6$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$v + u = 2$
$v - u = 6$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(v + u) + (v - u) = 2 + 6$
$2v = 8 \implies v = 4$
$v = 4$ ની કિંમત $v + u = 2$ માં મુકતા:
$4 + u = 2 \implies u = -2$
અહીં $u = \frac{1}{x} = -2$ હોવાથી,$x = -\frac{1}{2}$ મળે.

(D) બે અંકની સંખ્યા તેના દશકના અંકની કિંમત અને એકમના અંકની કિંમતના સરવાળા દ્વારા બને છે.
અહીં દશકના સ્થાનનો અંક $y$ આપેલ છે,તેથી તેની કિંમત $10 \times y = 10y$ થાય.
એકમના સ્થાનનો અંક $x$ આપેલ છે,તેથી તેની કિંમત $1 \times x = x$ થાય.
તેથી,તે સંખ્યા આ કિંમતોનો સરવાળો એટલે કે $10y + x$ થશે.

(B) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં દશકનો અંક $y$ અને એકમનો અંક $x$ આપેલ છે,તેથી મૂળ સંખ્યા $10y + x$ થાય.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો દશકનો અંક $x$ અને નવો એકમનો અંક $y$ બને છે.
તેથી,અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $10x + y$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$ થાય છે.
$11$ સામાન્ય લેતા,આપણને $11(x + y)$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $11(x + y)$ હોવાથી,તે હંમેશા $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $x$ $(x \neq 0)$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો અને અંકોનો તફાવત સમાન છે.
તેથી,$x + y = x - y$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા,આપણને $y = -y$ મળે છે.
બંને બાજુ $y$ ઉમેરતા,આપણને $2y = 0$ મળે છે.
તેથી,$y = 0$.
આમ,એકમનો અંક $0$ હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x + y = 15$ (સમીકરણ $1$)
$x - y = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 1$
$2x = 16$
$x = 8$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$8 + y = 15$
$y = 15 - 8$
$y = 7$
આમ,બે સંખ્યાઓ $8$ અને $7$ છે. તેથી નાની સંખ્યા $7$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x$ એ મોટી સંખ્યા છે અને $y$ એ નાની સંખ્યા છે.
મોટી સંખ્યાના બમણા $2x$ થાય.
નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા $5y$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મોટી સંખ્યાના બમણા એ નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા કરતાં $4$ વધારે છે.
તેથી,સમીકરણ $2x = 5y + 4$ થશે,જેને $2x - 5y = 4$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બે સંખ્યાઓનો તફાવત $5$ છે.
તેથી,સમીકરણ $x - y = 5$ થશે.
નાની સંખ્યા $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$x - 5 = y$
આમ,$y = x - 5$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે.
તેથી,$x + y = 8$.
નાની સંખ્યા $y$ ના સંદર્ભમાં મોટી સંખ્યા $x$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$x = 8 - y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે માતાની વર્તમાન ઉંમર $M$ છે અને બે પુત્રીઓની વર્તમાન ઉંમર $D_1$ અને $D_2$ છે.
ચાર વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(M-4) + (D_1-4) + (D_2-4) = x$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $M + D_1 + D_2 - 12 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વર્તમાન ઉંમરનો સરવાળો $M + D_1 + D_2 = x + 12$ છે.
આપણે બે વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $(M+2) + (D_1+2) + (D_2+2)$ થશે.
આ પદાવલિ $(M + D_1 + D_2) + 6$ ને સમાન છે.
વર્તમાન સરવાળો $(x + 12)$ આ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $(x + 12) + 6 = x + 18$ મળે છે.
તેથી,બે વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x + 18$ વર્ષ થશે.

(C) ધારો કે રમેશની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
મહેશ રમેશ કરતાં $5$ વર્ષ મોટો છે,તેથી મહેશની ઉંમર $(x + 5)$ વર્ષ થાય.
મહેશ સુરેશ કરતાં $3$ વર્ષ નાનો છે,જેનો અર્થ છે કે સુરેશ મહેશ કરતાં $3$ વર્ષ મોટો છે.
તેથી,સુરેશની ઉંમર = (મહેશની ઉંમર) $+ 3$.
સુરેશની ઉંમર = $(x + 5) + 3 = x + 8$ વર્ષ.
આમ,સુરેશની હાલની ઉંમર $(x + 8)$ વર્ષ છે.

(C) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકના સ્થાનનો અંક}) + (\text{એકમના સ્થાનનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે દશકના સ્થાનનો અંક $2x$ છે અને એકમના સ્થાનનો અંક $3x$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x) + 3x$
સંખ્યા $= 20x + 3x$
સંખ્યા $= 23x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) એકમના સ્થાનનો અંક $(x+1)$ છે.
દશકના સ્થાનનો અંક $(x+2)$ છે.
બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકના સ્થાનનો અંક}) + (\text{એકમના સ્થાનનો અંક})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સંખ્યા $= 10(x+2) + (x+1)$.
$= 10x + 20 + x + 1$.
$= 11x + 21$.

(C) ધારો કે પિતા અને બે પુત્રોની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $F$,$S_1$ અને $S_2$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(F-5) + (S_1-5) + (S_2-5) = x$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $F + S_1 + S_2 - 15 = x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $F + S_1 + S_2 = x + 15$ છે.
આપણે અત્યારથી પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
પાંચ વર્ષ પછીનો સરવાળો $(F+5) + (S_1+5) + (S_2+5) = (F + S_1 + S_2) + 15$ થશે.
હાલના સરવાળાની કિંમત $(x + 15)$ આ પદમાં મૂકતા:
સરવાળો $= (x + 15) + 15 = x + 30$.
તેથી,પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x + 30$ વર્ષ થશે.

(D) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $2x$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x) + x$
સંખ્યા $= 20x + x$
સંખ્યા $= 21x$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$5x + 5y - 5 = 0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ભાગતા: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ભાગતા: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા $(x + y = 1)$ દર્શાવે છે,તેથી તે સંપાતી રેખાઓ છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(D) ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$.
આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$5u - 3v = 9$ ---$(1)$
$3u - 5v = 7$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(5u - 3v) - (3u - 5v) = 9 - 7$
$2u + 2v = 2$
$u + v = 1$ ---$(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(5u - 3v) + (3u - 5v) = 9 + 7$
$8u - 8v = 16$
$u - v = 2$ ---$(4)$
અહીં $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ની કિંમત $u - v = 2$ થાય.

(A) ધારો કે પાંચ વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર $x_1, x_2, x_3, x_4,$ અને $x_5$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) + (x_5 - 5) = 50$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - 25 = 50$ મળે,જેનો અર્થ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 75$ છે.
પાંચ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(x_1 + 5) + (x_2 + 5) + (x_3 + 5) + (x_4 + 5) + (x_5 + 5)$ થશે.
આ $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 25$ જેટલું થાય.
હાલનો સરવાળો મૂકતા,આપણને $75 + 25 = 100$ વર્ષ મળે છે.

(B) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $5y = -2x + 3$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે બધા પદોને સમીકરણની ડાબી બાજુએ લાવીશું.
બંને બાજુ $2x$ ઉમેરતા: $2x + 5y = 3$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $2x + 5y - 3 = 0$.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $2x + 5y - 3 = 0$ મળે છે.

(A) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે:
એકમનો અંક $= 2x - 1$
દશકનો અંક $= 2x + 1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x + 1) + (2x - 1)$
$= 20x + 10 + 2x - 1$
$= 22x + 9$
આમ, તે સંખ્યા $22x + 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y + 5 = 0$ --- $(1)$
$4x + 6y + 10 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y + 5 = 0$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
સંપાતી રેખાઓની જોડ માટે,અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(A) ધારો કે સચિન અને સેહવાગની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $S$ અને $W$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $y$ વર્ષ થશે.
તેથી,$(S + x) + (W + x) = y$.
$S + W + 2x = y$.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $S + W = y - 2x$ છે.
આપણે $3$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$3$ વર્ષ પહેલાં ઉંમરનો સરવાળો $= (S - 3) + (W - 3) = (S + W) - 6$.
$(S + W)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(y - 2x) - 6 = y - 2x - 6$ વર્ષ મળે છે.

(A) ધારો કે એક ટેબલની કિંમત $x$ છે અને એક ખુરશીની કિંમત $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,આપણી પાસે બે સુરેખ સમીકરણો છે:
$3x + 2y = 3400$ --- (સમીકરણ $1$)
$2x + 3y = 3100$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x + 2y) + (2x + 3y) = 3400 + 3100$
$5x + 5y = 6500$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x + y = 1300$
આમ,એક ટેબલ અને એક ખુરશીની કુલ કિંમત ₹ $1300$ છે.

(A) $1$. $x$ વર્ષ પહેલાં મહેશની ઉંમર $y$ વર્ષ હતી.
$2$. તેથી,તેની હાલની ઉંમર $(y + x)$ વર્ષ થાય.
$3$. $z$ વર્ષ પછી,તેની ઉંમર તેની હાલની ઉંમરમાં $z$ ઉમેરવાથી મળશે.
$4$. $z$ વર્ષ પછીની ઉંમર = $(y + x) + z = y + x + z$ વર્ષ.

(C) બે અંકની સંખ્યા જેમાં દશકના સ્થાનનો અંક $y$ અને એકમના સ્થાનનો અંક $x$ હોય,તેને $10y + x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યા તેના અંકોના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણી છે.
અંકોનો સરવાળો $(x + y)$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $10y + x = 3(x + y)$ થશે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $3x + ky - 9 = 0$ અને $x + 2y - 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = k, c_1 = -9$ અને $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{3}{1} = \frac{k}{2} = \frac{-9}{-3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \frac{k}{2} = 3$ મળે છે.
$\frac{k}{2} = 3$ પરથી,$k = 3 \times 2 = 6$ મળે છે.

(C) $5 \%$ ના દરે $x$ રકમ પરનું વ્યાજ $\frac{5}{100} \times x = 0.05x$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,$7 \%$ ના દરે $y$ રકમ પરનું વ્યાજ $\frac{7}{100} \times y = 0.07y$ દ્વારા મળે છે.
કુલ વાર્ષિક વ્યાજ ₹ $310$ છે.
તેથી,સમીકરણ $0.05x + 0.07y = 310$ થાય.
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x + 7y = 31000$.

(C) $(-1, 3)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x = -1$ અને $y = 3$ મૂકીશું:
$A) x - y + 4 = (-1) - (3) + 4 = -4 + 4 = 0$. આ ઉકેલ છે.
$B) 3x + y = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0$. આ ઉકેલ છે.
$C) x + 3y + 8 = (-1) + 3(3) + 8 = -1 + 9 + 8 = 16 \neq 0$. આ ઉકેલ નથી.
$D) x + 2y - 5 = (-1) + 2(3) - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$. આ ઉકેલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4x - 12y = 20$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$\frac{4x}{4} - \frac{12y}{4} = \frac{20}{4}$
$x - 3y = 5$.
આપણે $5x - 15y$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાંથી $5$ સામાન્ય લેતા:
$5x - 15y = 5(x - 3y)$.
હવે $(x - 3y) = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$5(5) = 25$.
તેથી,$5x - 15y = 25$.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
આપેલ છે કે દશકનો અંક $x = 4$ છે.
બંને અંકોનો ગુણાકાર $x \times y = 4y$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો ગુણાકાર એ દશકના અંક કરતા ચાર ગણો છે:
$x \times y = 4 \times x$
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા:
$4 \times y = 4 \times 4$
$4y = 16$
$y = 4$
તેથી,એકમનો અંક $4$ છે.
આમ,સંખ્યા $10x + y = 10(4) + 4 = 44$ થાય.

(A) ધારો કે બે વર્ષ પહેલાં માતા,પિતા અને બે પુત્રીઓની ઉંમરનો સરવાળો $S_{-2} = 40$ વર્ષ હતો.
કુલ $4$ વ્યક્તિઓ છે.
આજે (વર્તમાન ઉંમર) તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે દરેક $4$ વ્યક્તિ માટે $2$ વર્ષ ઉમેરીશું:
$S_{present} = 40 + (4 \times 2) = 40 + 8 = 48$ વર્ષ.
હવેથી $3$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે દરેક $4$ વ્યક્તિ માટે $3$ વર્ષ ઉમેરીશું:
$S_{+3} = 48 + (4 \times 3) = 48 + 12 = 60$ વર્ષ.
તેથી,ત્રણ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $60$ વર્ષ થશે.

(A) $1$. ધારો કે $x$ વર્ષ પહેલાં માતા,પિતા અને બે બાળકોની ઉંમરનો સરવાળો $y$ હતો.
$2$. કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $4$ છે (માતા,પિતા અને બે બાળકો).
$3$. તે સમયથી $x$ વર્ષ વીતી ગયા છે,તેથી દરેક વ્યક્તિની ઉંમરમાં $x$ વર્ષનો વધારો થયો છે. તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $y + (4 \times x) = y + 4x$ થશે.
$4$. આપણે હાલના સમયથી $z$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$5$. $z$ વર્ષમાં,$4$ વ્યક્તિઓમાંથી દરેકની ઉંમર $z$ વર્ષ વધશે. આમ,તેમની ઉંમરના સરવાળામાં કુલ વધારો $4 \times z = 4z$ થશે.
$6$. $z$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(y + 4x) + 4z = y + 4x + 4z$ થશે.

(D) ધારો કે સફેદ લાકડીની લંબાઈ $W$ છે અને કાળી લાકડીની લંબાઈ $B$ છે.
આકૃતિના પ્રથમ ભાગ પરથી,બંને લાકડીઓની કુલ લંબાઈ $22 \ cm$ છે,તેથી $W + B = 22$.
આકૃતિના બીજા ભાગ પરથી,સફેદ લાકડી કાળી લાકડી કરતાં $5 \ cm$ લાંબી છે,તેથી $W - B = 5$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(W + B) + (W - B) = 22 + 5$,જે $2W = 27$ આપે છે.
તેથી,$W = 27 / 2 = 13.5 \ cm$.
સફેદ લાકડીની લંબાઈ $13.5 \ cm$ છે.

(B) દરેક સુરેખ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ મેળવીએ:
$1.$ $2x - y = 4$ અને $3x - 2y = 5$. પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 2x - 4$. બીજામાં કિંમત મૂકતા: $3x - 2(2x - 4) = 5 \implies 3x - 4x + 8 = 5 \implies -x = -3 \implies x = 3$. તેથી $y = 2(3) - 4 = 2$. એટલે કે,$(1-b)$.
$2.$ $5x - y = 14$ અને $4x - 3y = 9$. પ્રથમ પરથી,$y = 5x - 14$. બીજામાં કિંમત મૂકતા: $4x - 3(5x - 14) = 9 \implies 4x - 15x + 42 = 9 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. તેથી $y = 5(3) - 14 = 1$. એટલે કે,$(2-c)$.
$3.$ $4x - 3y = 5$ અને $3x - y = 5$. બીજા પરથી,$y = 3x - 5$. પ્રથમમાં કિંમત મૂકતા: $4x - 3(3x - 5) = 5 \implies 4x - 9x + 15 = 5 \implies -5x = -10 \implies x = 2$. તેથી $y = 3(2) - 5 = 1$. એટલે કે,$(3-d)$.
$4.$ $3x - 2y = -1$ અને $2x - 5y = -8$. પ્રથમ સમીકરણને $5$ વડે અને બીજાને $2$ વડે ગુણતા: $15x - 10y = -5$ અને $4x - 10y = -16$. બાદબાકી કરતા: $11x = 11 \implies x = 1$. તેથી $3(1) - 2y = -1 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. એટલે કે,$(4-a)$.
સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ છે.

(A) ધારો કે એક વર્તુળનું વજન $x$ છે અને એક ચોરસનું વજન $y$ છે.
પ્રથમ ત્રાજવા પરથી,ડાબી બાજુ $3$ વર્તુળો અને જમણી બાજુ $4$ ચોરસ છે,જે સંતુલનમાં છે. તેથી,$3x = 4y$.
બીજા ત્રાજવા પરથી,ડાબી બાજુ $1$ વર્તુળ અને $2$ ચોરસ છે,અને જમણી બાજુ $10$ એકમનું વજન છે. તેથી,$x + 2y = 10$.
આમ,સમીકરણોની જોડી $3x = 4y$ અને $x + 2y = 10$ છે.

(A) ધારો કે નરેશ પાસે રહેલા પૈસા $x$ છે અને યોગેશ પાસે રહેલા પૈસા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,નરેશ પાસે યોગેશ કરતાં બમણા પૈસા છે,તેથી $x = 2y$.
બીજી શરત મુજબ,જો નરેશ યોગેશને ₹ $20$ આપે,તો નરેશના પૈસા $(x - 20)$ થાય અને યોગેશના પૈસા $(y + 20)$ થાય.
હવે બંને પાસે સમાન રકમ હોવાથી,આપણને સમીકરણ $x - 20 = y + 20$ મળે છે.
આમ,સમીકરણોની જોડ $x = 2y$ અને $x - 20 = y + 20$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે:
$1$. જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી (ખાલી ગણ).
$2$. જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે (અનંત ગણ).
$3$. જો $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે (એકાકી ગણ).
વિશ્લેષણ:
$1. x+2y=3, 2x+4y=5$: અહીં $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{3}{5}$. આ $b$ (ખાલી ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
$2. 2x+3y=6, x+\frac{3}{2}y=3$: અહીં $\frac{2}{1} = \frac{3}{1.5} = \frac{6}{3} = 2$. આ $c$ (અનંત ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
$3. 3x-y=0, x-y+6=0$: અહીં $\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-1}$. આ $a$ (એકાકી ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a)$ છે.