Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ $x \, m$ અને પહોળાઈ $y \, m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં $4 \, m$ વધારે છે:
$x = y + 4$
$x - y = 4$ ...... $(1)$
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y)$ થાય છે.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $\frac{2(x + y)}{2} = x + y$ થાય.
આપેલ છે કે અર્ધ-પરિમિતિ $36 \, m$ છે:
$x + y = 36$ ...... $(2)$
આમ,આપેલી પરિસ્થિતિને દર્શાવતી બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$x - y = 4$
$x + y = 36$

(N/A) ધારો કે એક પેન્ટની કિંમત $x$ છે અને એક શર્ટની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$4$ પેન્ટ અને $3$ શર્ટની કુલ કિંમત $5000$ રૂપિયા છે,જેને $4x + 3y = 5000$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બીજી શરત મુજબ,એક પેન્ટ અને એક શર્ટની કિંમત $750$ રૂપિયા છે,જેને $x + y = 750$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $4x + 3y = 5000$ અને $x + y = 750$ છે.

(B) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $25$ છે,તેથી:
$x+y=25$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ,નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા $(5y)$ એ મોટી સંખ્યાના ત્રણ ગણા $(3x)$ કરતાં $5$ વધારે છે:
$5y = 3x + 5$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(ax+by+c=0)$ માં ગોઠવતા:
$3x - 5y + 5 = 0$ --- $(2)$
આમ,સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x+y=25$ અને $3x-5y+5=0$ છે.

(A) ધારો કે પુત્રની ઉંમર $x$ છે અને પિતાની ઉંમર $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમની ઉંમરના વ્યસ્ત $\frac{1}{x}$ અને $\frac{1}{y}$ છે.
તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ આપેલ છે.
તેમના વ્યસ્તનો તફાવત $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ આપેલ છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{40}$ અને $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{40}$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ છે અને પહોળાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના બમણા કરતાં $3$ ઓછી છે,તેથી $x = 2y - 3$,જેને $x - 2y + 3 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2(x + y) = 100$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y = 50$ મળે છે.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x - 2y + 3 = 0$ અને $x + y = 50$ છે.

(C) ધારો કે માતાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને પુત્રની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
કિસ્સો $1$: પાંચ વર્ષ પહેલાં,માતાની ઉંમર $(x - 5)$ હતી અને પુત્રની ઉંમર $(y - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x - 5) = 5(y - 5)$
$x - 5 = 5y - 25$
$x - 5y + 20 = 0$
કિસ્સો $2$: દસ વર્ષ પછી,માતાની ઉંમર $(x + 10)$ થશે અને પુત્રની ઉંમર $(y + 10)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ: $(x + 10) = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y - 10 = 0$
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $x - 5y + 20 = 0$ અને $x - 2y - 10 = 0$ છે.

(A) ધારો કે એક મોબાઈલની કિંમત $x$ છે અને એક મેમરી કાર્ડની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$2$ મોબાઈલ અને $3$ મેમરી કાર્ડની કુલ કિંમત રૂ. $6500$ છે,જેને સમીકરણ સ્વરૂપે $2x + 3y = 6500$ લખી શકાય.
બીજી શરત મુજબ,એક મોબાઈલ અને એક મેમરી કાર્ડની કુલ કિંમત રૂ. $2950$ છે,જેને સમીકરણ સ્વરૂપે $x + y = 2950$ લખી શકાય.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ $2x + 3y = 6500$ અને $x + y = 2950$ છે.

(D) ધારો કે રાજે મેળવેલા ગુણ $x$ છે અને નીલે મેળવેલા ગુણ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,રાજે નીલના ગુણ કરતા $\frac{3}{4}$ ગણા ગુણ મેળવ્યા છે,તેથી $x = \frac{3}{4}y$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4x = 3y$ અથવા $4x - 3y = 0$ મળે છે.
બીજી શરત મુજબ,તેમના ગુણનો સરવાળો $140$ છે,તેથી $x + y = 140$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ $4x - 3y = 0$ અને $x + y = 140$ છે.

(N/A) ધારો કે $1 \,kg$ કેરીની કિંમત $x$ છે અને $1 \,kg$ દાડમની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $3x + y = 200$.
બીજી શરત મુજબ: $x + y = 80$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડી $3x + y = 200$ અને $x + y = 80$ છે.

(A) ધારો કે એક પેનની કિંમત $x$ છે અને એક પેન્સિલની કિંમત $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$7$ પેન અને $5$ પેન્સિલની કુલ કિંમત $50$ રૂપિયા છે,જેને આ રીતે લખી શકાય: $7x + 5y = 50$.
બીજી શરત મુજબ,$5$ પેન અને $7$ પેન્સિલની કુલ કિંમત $46$ રૂપિયા છે,જેને આ રીતે લખી શકાય: $5x + 7y = 46$.
આમ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોની જોડ નીચે મુજબ છે:
$7x + 5y = 50$
$5x + 7y = 46$

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો અંશમાંથી $2$ બાદ કરવામાં આવે અને છેદમાં $3$ ઉમેરવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{1}{4}$ બને છે.
$\frac{x-2}{y+3} = \frac{1}{4}$
$4(x-2) = y+3$
$4x - 8 = y + 3$
$4x - y = 11$ .......... $(1)$
બીજી શરત મુજબ,જો અંશમાં $6$ ઉમેરવામાં આવે અને છેદને $3$ વડે ગુણવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3}$ બને છે.
$\frac{x+6}{3y} = \frac{2}{3}$
$3(x+6) = 2(3y)$
$3x + 18 = 6y$
$3x - 6y = -18$
$3$ વડે ભાગતા,$x - 2y = -6$ .......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 4x - 11$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x - 2(4x - 11) = -6$
$x - 8x + 22 = -6$
$-7x = -28$
$x = 4$
હવે,$x = 4$ ની કિંમત $y = 4x - 11$ માં મૂકતા:
$y = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$
તેથી,મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2x + y = 40$
$2) x + y = 30$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 40 - 30$
$x = 10$
$x = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$10 + y = 30$
$y = 20$
તેથી,ઉકેલ $(x, y) = (10, 20)$ છે.
હવે,આ કિંમતોને $y = mx + 6$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 = m(10) + 6$
$20 - 6 = 10m$
$14 = 10m$
$m = \frac{14}{10} = 1.4$.

(A) ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$x + 3x + y = 180$,જેનું સાદું રૂપ $4x + y = 180$ થાય છે.
આથી,$y = 180 - 4x$ મળે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $3y - 5x = 30$ માં મૂકતા:
$3(180 - 4x) - 5x = 30$
$540 - 12x - 5x = 30$
$540 - 17x = 30$
$17x = 510$
$x = 30^{\circ}$.
હવે,$y$ શોધો:
$y = 180 - 4(30) = 180 - 120 = 60^{\circ}$.
ખૂણાઓ તપાસતા: $m \angle A = 30^{\circ}$,$m \angle B = 3(30) = 90^{\circ}$,અને $m \angle C = 60^{\circ}$.
એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રણેય ખૂણાઓ $30^{\circ}, 90^{\circ}, 60^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે અમદાવાદથી નડિયાદની ટિકિટની કિંમત રૂ. $x$ છે અને અમદાવાદથી વડોદરાની ટિકિટની કિંમત રૂ. $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) 5x + 10y = 1050$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $x + 2y = 210$
$2) x + y = 130$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 210 - 130$
$y = 80$
સમીકરણ $(2)$ માં $y = 80$ મુકતા:
$x + 80 = 130$
$x = 130 - 80 = 50$
તેથી,અમદાવાદથી નડિયાદની ટિકિટની કિંમત રૂ. $50$ છે અને અમદાવાદથી વડોદરાની ટિકિટની કિંમત રૂ. $80$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંકનો અંશ $x$ છે અને છેદ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,છેદ એ અંશ કરતાં $6$ વધારે છે: $y = x + 6$.
જો અંશમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે અને છેદમાંથી $3$ બાદ કરવામાં આવે,તો અપૂર્ણાંક $\frac{3}{4}$ બને છે: $\frac{x + 1}{y - 3} = \frac{3}{4}$.
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 6$ મૂકતા: $\frac{x + 1}{(x + 6) - 3} = \frac{3}{4}$.
$\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(x + 1) = 3(x + 3)$.
$4x + 4 = 3x + 9$.
$4x - 3x = 9 - 4$.
$x = 5$.
હવે,$y$ શોધો: $y = x + 6 = 5 + 6 = 11$.
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{5}{11}$ છે.

(A) ધારો કે થેલીમાં $50$ પૈસાના $x$ સિક્કા અને $25$ પૈસાના $y$ સિક્કા છે.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $x + y = 150$ છે. ....... $(1)$
$50$ પૈસાના $x$ સિક્કાનું મૂલ્ય $50x$ પૈસા થાય અને $25$ પૈસાના $y$ સિક્કાનું મૂલ્ય $25y$ પૈસા થાય.
કુલ રકમ $50x + 25y$ પૈસા છે.
કુલ રકમ રૂ. $55$ એટલે કે $5500$ પૈસા હોવાથી:
$50x + 25y = 5500$
આ સમીકરણને $25$ વડે ભાગતા:
$2x + y = 220$ ....... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 220 - 150$
$x = 70$
$x = 70$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$70 + y = 150$
$y = 80$
આમ,$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $70$ છે અને $25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $80$ છે.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $y$ છે અને એકમનો અંક $x$ છે.
મૂળ સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $6$ છે:
$x + y = 6$ ............ $(1)$
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10x + y$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $18$ ઓછી છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y - x = 2$ ............ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (y - x) = 6 + 2$
$2y = 8$
$y = 4$
$y = 4$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$x + 4 = 6$
$x = 2$
તેથી,મૂળ સંખ્યા $10(4) + 2 = 42$ છે.

(D) ધારો કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દશકનો અંક એકમના અંક કરતા બમણો છે,તેથી $y = 2x$.
મૂળ સંખ્યાને $10y + x$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$y = 2x$ મૂકતા,મૂળ સંખ્યા $10(2x) + x = 20x + x = 21x$ થાય છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10x + y$ બને છે.
$y = 2x$ મૂકતા,નવી સંખ્યા $10x + 2x = 12x$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતા $27$ ઓછી છે,તેથી $21x - 12x = 27$.
$9x = 27$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
કારણ કે $y = 2x$,તેથી $y = 2(3) = 6$.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10(6) + 3 = 63$ છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $x + y = 13$ છે (સમીકરણ $1$).
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(10y + x) = (10x + y) + 9$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$9y - 9x = 9$,જે આપણને $y - x = 1$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (y - x) = 13 + 1$,તેથી $2y = 14$,જેનો અર્થ છે કે $y = 7$.
$y = 7$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x + 7 = 13$,તેથી $x = 6$.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10x + y = 10(6) + 7 = 67$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \,cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં $1.5$ ગણી છે, તેથી લંબાઈ $= 1.5x \,cm$ થાય.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
આપેલ છે કે $P = 100 \,cm$, તેથી $100 = 2 \times (1.5x + x)$.
$100 = 2 \times (2.5x)$.
$100 = 5x$.
$x = 20 \,cm$.
આમ, પહોળાઈ $20 \,cm$ છે અને લંબાઈ $1.5 \times 20 = 30 \,cm$ છે.

(A) ધારો કે રાજન અને જયની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $3x$ અને $2x$ છે.
પાંચ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર $(3x + 5)$ અને $(2x + 5)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $4:3$ છે,તેથી:
$\frac{3x + 5}{2x + 5} = \frac{4}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(3x + 5) = 4(2x + 5)$
$9x + 15 = 8x + 20$
$9x - 8x = 20 - 15$
$x = 5$
તેથી,રાજનની હાલની ઉંમર $3 \times 5 = 15$ વર્ષ અને જયની હાલની ઉંમર $2 \times 5 = 10$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે $12 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ રૂ. $x$ છે અને $10 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ રૂ. $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વ્યાજ રૂ. $130$ છે:
$0.12x + 0.10y = 130$ --- (સમીકરણ $1$)
જો રકમોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો વ્યાજમાં રૂ. $4$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું વ્યાજ રૂ. $134$ થાય છે:
$0.10x + 0.12y = 134$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$0.22x + 0.22y = 264 \implies x + y = 1200$ --- (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$0.02x - 0.02y = -4 \implies x - y = -200$ --- (સમીકરણ $4$)
સમીકરણ $3$ અને સમીકરણ $4$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = 1000 \implies x = 500$
સમીકરણ $3$ માં $x = 500$ મૂકતા:
$500 + y = 1200 \implies y = 700$
તેથી,રાજવંશે $12 \%$ ના દરે રૂ. $500$ અને $10 \%$ ના દરે રૂ. $700$ નું રોકાણ કર્યું હતું.

(B) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1$
$a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -12$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(2)(-12) - (-3)(1)} = \frac{y}{(1)(2) - (-12)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (2)(2)}$
$\frac{x}{-24 + 3} = \frac{y}{2 + 12} = \frac{1}{-3 - 4}$
$\frac{x}{-21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{-7}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{-21} = \frac{1}{-7} \implies x = \frac{-21}{-7} = 3$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{y}{14} = \frac{1}{-7} \implies y = \frac{14}{-7} = -2$
આમ,ઉકેલ $x = 3, y = -2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માં ફેરવતા:
$2x + y - 35 = 0$ ........ $(1)$
$3x + 4y - 65 = 0$ ........ $(2)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -35$
$a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -65$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-65) - (4)(-35)} = \frac{y}{(-35)(3) - (-65)(2)} = \frac{1}{(2)(4) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-65 + 140} = \frac{y}{-105 + 130} = \frac{1}{8 - 3}$
$\frac{x}{75} = \frac{y}{25} = \frac{1}{5}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{x}{75} = \frac{1}{5} \implies x = \frac{75}{5} = 15$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{y}{25} = \frac{1}{5} \implies y = \frac{25}{5} = 5$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (15, 5)$ છે.

(D) સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ માં ફેરવતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ પરથી,$bx + ay = 2ab$,તેથી $bx + ay - 2ab = 0$ ... $(1)$
$ax - by = a^{2} - b^{2}$ પરથી,$ax - by - (a^{2} - b^{2}) = 0$ ... $(2)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a_{1} = b, b_{1} = a, c_{1} = -2ab$
$a_{2} = a, b_{2} = -b, c_{2} = -(a^{2} - b^{2}) = b^{2} - a^{2}$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a_{2} - c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}$
$\frac{x}{a(b^{2} - a^{2}) - (-b)(-2ab)} = \frac{y}{(-2ab)(a) - (b^{2} - a^{2})(b)} = \frac{1}{b(-b) - a(a)}$
$\frac{x}{ab^{2} - a^{3} - 2ab^{2}} = \frac{y}{-2a^{2}b - b^{3} + a^{2}b} = \frac{1}{-b^{2} - a^{2}}$
$\frac{x}{-a^{3} - ab^{2}} = \frac{y}{-a^{2}b - b^{3}} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
$\frac{x}{-a(a^{2} + b^{2})} = \frac{y}{-b(a^{2} + b^{2})} = \frac{1}{-(a^{2} + b^{2})}$
અચળ પદ સાથે સરખાવતા:
$x = \frac{-a(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = a$
$y = \frac{-b(a^{2} + b^{2})}{-(a^{2} + b^{2})} = b$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (a, b)$ મળે છે.

(A) આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -(a + b) = -a - b$
$a_2 = a, b_2 = -b, c_2 = -(a^2 - b^2) = -a^2 + b^2$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-a^2 + b^2) - (-b)(-a - b)} = \frac{y}{(-a - b)(a) - (-a^2 + b^2)(1)} = \frac{1}{(1)(-b) - (a)(1)}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{-a^2 + b^2 - (ab + b^2)} = \frac{y}{-a^2 - ab + a^2 - b^2} = \frac{1}{-b - a}$
$\frac{x}{-a^2 - ab} = \frac{y}{-b^2 - ab} = \frac{1}{-(a + b)}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-a^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-a(a + b)}{-(a + b)} = a$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y = \frac{-b^2 - ab}{-(a + b)} = \frac{-b(b + a)}{-(a + b)} = b$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (a, b)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$ax + by + (-a + b) = 0$
$bx - ay + (-a - b) = 0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = -a + b$
$a_2 = b, b_2 = -a, c_2 = -a - b$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{b(-a - b) - (-a)(-a + b)} = \frac{y}{(-a + b)(b) - (-a - b)(a)} = \frac{1}{a(-a) - b(b)}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - (a^2 - ab)} = \frac{y}{-ab + b^2 - (-a^2 - ab)} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-ab - b^2 - a^2 + ab} = \frac{y}{-ab + b^2 + a^2 + ab} = \frac{1}{-a^2 - b^2}$
$\frac{x}{-(a^2 + b^2)} = \frac{y}{a^2 + b^2} = \frac{1}{-(a^2 + b^2)}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{-(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} = 1$
$y = \frac{a^2 + b^2}{-(a^2 + b^2)} = -1$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, -1)$ છે.

(C) ધારો કે બે અંકની મૂળ સંખ્યામાં દશકનો અંક $x$ અને એકમનો અંક $y$ છે.
તેથી,મૂળ સંખ્યા $= 10x + y$ થાય.
અંકોનો સરવાળો $x + y = 9$ છે ......... $(1)$
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $= 10y + x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $45$ વધારે છે:
$10y + x = (10x + y) + 45$
$10y + x - 10x - y = 45$
$-9x + 9y = 45$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $-x + y = 5$ મળે ......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + y) = 9 + 5$
$2y = 14$
$y = 7$
$y = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 7 = 9$
$x = 2$
તેથી,મૂળ સંખ્યા $= 10x + y = 10(2) + 7 = 27$ થાય.

(D) સૌ પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માં લખો:
$1$) $x - 3y + 5 = 0$
$2$) $3x - 7y + 13 = 0$
અહીં,$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = 5$ અને $a_2 = 3, b_2 = -7, c_2 = 13$ છે.
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(-3)(13) - (-7)(5)} = \frac{y}{(5)(3) - (13)(1)} = \frac{1}{(1)(-7) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{-39 + 35} = \frac{y}{15 - 13} = \frac{1}{-7 + 9}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{-4}{2} = -2$
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{2}{2} = 1$
આમ,ઉકેલ $(-2, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3x - 4y - 17 = 0$ --- $(1)$
$4x - 5y - 21 = 0$ --- $(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(-4)(-21) - (-5)(-17)} = \frac{y}{(-17)(4) - (-21)(3)} = \frac{1}{(3)(-5) - (4)(-4)}$
$\frac{x}{84 - 85} = \frac{y}{-68 + 63} = \frac{1}{-15 + 16}$
$\frac{x}{-1} = \frac{y}{-5} = \frac{1}{1}$
તેથી,$x = -1$ અને $y = -5$ મળે છે.
ઉકેલ $(-1, -5)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$3x + y - 7 = 0$ --- $(i)$
$2x + 3y - 14 = 0$ --- $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -7$ અને $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -14$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-14) - (3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(2) - (-14)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (2)(1)}$
$\frac{x}{-14 + 21} = \frac{y}{-14 + 42} = \frac{1}{9 - 2}$
$\frac{x}{7} = \frac{y}{28} = \frac{1}{7}$
$x$ માટે: $\frac{x}{7} = \frac{1}{7} \implies x = 1$
$y$ માટે: $\frac{y}{28} = \frac{1}{7} \implies y = 4$
આમ,ઉકેલ $(1, 4)$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$3x + y - 5 = 0$ --- $(1)$
$5x + 3y - 3 = 0$ --- $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 5, b_2 = 3, c_2 = -3$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(1)(-3) - (3)(-5)} = \frac{y}{(-5)(5) - (-3)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (5)(1)}$
$\frac{x}{-3 + 15} = \frac{y}{-25 + 9} = \frac{1}{9 - 5}$
$\frac{x}{12} = \frac{y}{-16} = \frac{1}{4}$
$x$ માટે: $\frac{x}{12} = \frac{1}{4} \implies x = 3$
$y$ માટે: $\frac{y}{-16} = \frac{1}{4} \implies y = -4$
આમ,ઉકેલ $(3, -4)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$4x + 6y - 11 = 0$ ... $(i)$
$5x - 8y - 6 = 0$ ... $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીત $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 4, b_1 = 6, c_1 = -11$ અને $a_2 = 5, b_2 = -8, c_2 = -6$.
$\frac{x}{(6)(-6) - (-8)(-11)} = \frac{y}{(-11)(5) - (-6)(4)} = \frac{1}{(4)(-8) - (5)(6)}$
$\frac{x}{-36 - 88} = \frac{y}{-55 + 24} = \frac{1}{-32 - 30}$
$\frac{x}{-124} = \frac{y}{-31} = \frac{1}{-62}$
$x$ માટે: $x = \frac{-124}{-62} = 2$
$y$ માટે: $y = \frac{-31}{-62} = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (2, \frac{1}{2})$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સમીકરણોને સરળ બનાવો:
$1$) પ્રથમ સમીકરણને $20$ વડે ગુણતા: $4x - 5y = 4.5$ અથવા $8x - 10y = 9$,તેથી $8x - 10y - 9 = 0$.
$2$) બીજા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા: $4x - 6y = 5$,તેથી $4x - 6y - 5 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 8, b_1 = -10, c_1 = -9$ અને $a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -5$.
$\frac{x}{(-10)(-5) - (-6)(-9)} = \frac{y}{(-9)(4) - (-5)(8)} = \frac{1}{(8)(-6) - (4)(-10)}$
$\frac{x}{50 - 54} = \frac{y}{-36 + 40} = \frac{1}{-48 + 40}$
$\frac{x}{-4} = \frac{y}{4} = \frac{1}{-8}$
$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.
આમ,ઉકેલ $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$5x + 2y - 10 = 0$ ---$(1)$
$4x + 3y - 1 = 0$ ---$(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 5, b_1 = 2, c_1 = -10$
$a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = -1$
ચોકડી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(2)(-1) - (3)(-10)} = \frac{y}{(-10)(4) - (-1)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (4)(2)}$
$\frac{x}{-2 + 30} = \frac{y}{-40 + 5} = \frac{1}{15 - 8}$
$\frac{x}{28} = \frac{y}{-35} = \frac{1}{7}$
$x$ માટે: $\frac{x}{28} = \frac{1}{7} \implies x = \frac{28}{7} = 4$
$y$ માટે: $\frac{y}{-35} = \frac{1}{7} \implies y = \frac{-35}{7} = -5$
આમ,ઉકેલ $(4, -5)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$4x - 19y + 13 = 0$ ... $(i)$
$13x - 23y + 19 = 0$ ... $(ii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 4, b_1 = -19, c_1 = 13$ અને $a_2 = 13, b_2 = -23, c_2 = 19$ છે.
$\frac{x}{(-19)(19) - (-23)(13)} = \frac{y}{(13)(13) - (19)(4)} = \frac{1}{(4)(-23) - (13)(-19)}$
$\frac{x}{-361 + 299} = \frac{y}{169 - 76} = \frac{1}{-92 + 247}$
$\frac{x}{-62} = \frac{y}{93} = \frac{1}{155}$
$x = -62 / 155 = -2 / 5$
$y = 93 / 155 = 3 / 5$
આમ,ઉકેલ $(-2/5, 3/5)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - (a + b) = 0$
$2$) $\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} - 2 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{B_1C_2 - B_2C_1} = \frac{y}{C_1A_2 - C_2A_1} = \frac{1}{A_1B_2 - A_2B_1}$
અહીં,$A_1 = \frac{1}{a}, B_1 = \frac{1}{b}, C_1 = -(a + b)$
$A_2 = \frac{1}{a^2}, B_2 = \frac{1}{b^2}, C_2 = -2$
ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{\frac{-2}{b} + \frac{a+b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{-(a+b)}{a^2} + \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{1}{ab^2} - \frac{1}{a^2b}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{\frac{a-b}{b^2}} = \frac{y}{\frac{a-b}{a^2}} = \frac{a^2b^2}{a-b}$
તેથી,$x = a^2$ અને $y = b^2$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(a^2, b^2)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$ax - by - \frac{a-b}{2} = 0$ --- $(1)$
$x + 3y - 2 = 0$ --- $(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = a, b_1 = -b, c_1 = -\frac{a-b}{2}$ અને $a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = -2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{2b + \frac{3a-3b}{2}} = \frac{y}{-\frac{a-b}{2} + 2a} = \frac{1}{3a + b}$
ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{y}{\frac{3a+b}{2}} = \frac{1}{3a+b}$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0$
$2$) $ax + by = a^2 + b^2 \implies ax + by - (a^2 + b^2) = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = b, b_1 = -a, c_1 = 0$ અને $a_2 = a, b_2 = b, c_2 = -(a^2 + b^2)$.
$\frac{x}{(-a)(-(a^2 + b^2)) - (b)(0)} = \frac{y}{(0)(a) - (-(a^2 + b^2))(b)} = \frac{1}{(b)(b) - (a)(-a)}$
$\frac{x}{a(a^2 + b^2)} = \frac{y}{b(a^2 + b^2)} = \frac{1}{b^2 + a^2}$
$x = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$
$y = \frac{b(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = b$
આમ,ઉકેલ $(a, b)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \implies bx + ay = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y = a^2 + b^2$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ માં લખતા:
$1$) $bx + ay + 0 = 0$
$2$) $(a+b)x + (a-b)y - (a^2 + b^2) = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીત $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{a(-(a^2+b^2)) - (a-b)(0)} = \frac{y}{0(a+b) - (- (a^2+b^2))b} = \frac{1}{b(a-b) - a(a+b)}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{ab - b^2 - a^2 - ab}$
$\frac{x}{-a(a^2+b^2)} = \frac{y}{b(a^2+b^2)} = \frac{1}{-(a^2+b^2)}$
$x$ માટે: $x = \frac{-a(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = a$
$y$ માટે: $y = \frac{b(a^2+b^2)}{-(a^2+b^2)} = -b$
આમ,ઉકેલ $(a, -b)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$0.5x + 0.3y - 0.1 = 0$ --- $(1)$
$0.6x + 0.3y - 0.3 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$5x + 3y - 1 = 0$
$6x + 3y - 3 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીત મુજબ:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
અહીં,$a_1 = 5, b_1 = 3, c_1 = -1$ અને $a_2 = 6, b_2 = 3, c_2 = -3$.
$\frac{x}{(3)(-3) - (3)(-1)} = \frac{y}{(-1)(6) - (-3)(5)} = \frac{1}{(5)(3) - (6)(3)}$
$\frac{x}{-9 + 3} = \frac{y}{-6 + 15} = \frac{1}{15 - 18}$
$\frac{x}{-6} = \frac{y}{9} = \frac{1}{-3}$
$x = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{9}{-3} = -3$
આમ,ઉકેલ $(2, -3)$ છે.

(B) ધારો કે હારની સંખ્યા $x$ છે અને દરેક હારમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $y$ છે. વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $xy$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(x - 2)(y + 1) = xy$
$xy + x - 2y - 2 = xy$
$x - 2y = 2$ --- $(1)$
બીજી શરત મુજબ: $(x + 3)(y - 1) = xy$
$xy - x + 3y - 3 = xy$
$-x + 3y = 3$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x - 2y) + (-x + 3y) = 2 + 3$
$y = 5$
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 5$ મુકતા:
$x - 2(5) = 2$
$x - 10 = 2$
$x = 12$
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= xy = 12 \times 5 = 60$.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યા $10y + x$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $(10x + y) + (10y + x) = 110$.
$11x + 11y = 110 \implies x + y = 10$ (સમીકરણ $1$).
બીજી શરત મુજબ: $(10x + y - 10) = 5(x + y) + 4$.
સમીકરણમાં $x + y = 10$ મૂકતા: $10x + y - 10 = 5(10) + 4$.
$10x + y - 10 = 54 \implies 10x + y = 64$ (સમીકરણ $2$).
$x + y = 10$ અને $10x + y = 64$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(10x + y) - (x + y) = 64 - 10$.
$9x = 54 \implies x = 6$.
$x = 6$ ને $x + y = 10$ માં મૂકતા,આપણને $y = 4$ મળે છે.
આમ,મૂળ સંખ્યા $10(6) + 4 = 64$ છે.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$m \angle A + m \angle C = 180^{\circ}$ અને $m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$.
ખૂણા $A$ અને $C$ માટે: $(2x + 4) + (2y + 10) = 180 \implies 2x + 2y + 14 = 180 \implies 2x + 2y = 166 \implies x + y = 83$ (સમીકરણ $1$).
ખૂણા $B$ અને $D$ માટે: $(y + 3) + (4x - 5) = 180 \implies 4x + y - 2 = 180 \implies 4x + y = 182$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4x + y) - (x + y) = 182 - 83 \implies 3x = 99 \implies x = 33$.
$x = 33$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $33 + y = 83 \implies y = 50$.
ખૂણાઓના માપની ગણતરી:
$m \angle A = 2(33) + 4 = 66 + 4 = 70^{\circ}$.
$m \angle B = 50 + 3 = 53^{\circ}$.
$m \angle C = 2(50) + 10 = 100 + 10 = 110^{\circ}$.
$m \angle D = 4(33) - 5 = 132 - 5 = 127^{\circ}$.

(A) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x$ છે અને લંબાઈ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ એ પહોળાઈના બમણા કરતાં $5$ ઓછી છે: $y = 2x - 5$,જેને $2x - y - 5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(l + b) = 110$ છે,તેથી $l + b = 55$,એટલે કે $x + y = 55$,અથવા $x + y - 55 = 0$.
આપણી પાસે સમીકરણોની જોડી છે:
$2x - y - 5 = 0$
$x + y - 55 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(-1)(-55) - (1)(-5)} = \frac{-y}{(2)(-55) - (1)(-5)} = \frac{1}{(2)(1) - (1)(-1)}$
$\frac{x}{55 + 5} = \frac{-y}{-110 + 5} = \frac{1}{2 + 1}$
$\frac{x}{60} = \frac{-y}{-105} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{60}{3} = 20$ અને $y = \frac{105}{3} = 35$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 35 \times 20 = 700$ ચોરસ એકમ થાય.

(N/A) આપેલ સમીકરણો $2x + y = \frac{7xy}{3}$ અને $x + 3y = \frac{11xy}{3}$ છે.
સ્પષ્ટ છે કે $x = 0$ અને $y = 0$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$(0, 0)$ એક ઉકેલ છે.
ધારો કે $x \neq 0$ અને $y \neq 0$,બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\frac{2x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{7}{3} \implies \frac{2}{y} + \frac{1}{x} = \frac{7}{3} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 7$ ... $(1)$
બીજા સમીકરણ માટે: $\frac{x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{11}{3} \implies \frac{1}{y} + \frac{3}{x} = \frac{11}{3} \implies \frac{3}{y} + \frac{9}{x} = 11$ ... $(2)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$3u + 6v = 7$ ... $(3)$
$9u + 3v = 11$ ... $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $18u + 6v = 22$ ... $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(18u - 3u) + (6v - 6v) = 22 - 7 \implies 15u = 15 \implies u = 1$.
$u = 1$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $3(1) + 6v = 7 \implies 6v = 4 \implies v = \frac{2}{3}$.
તેથી $u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$ અને $v = \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \implies y = \frac{3}{2}$.
આમ,ઉકેલો $(x, y) = (0, 0)$ અને $(x, y) = (1, \frac{3}{2})$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \, km/hr$ છે. શરત મુજબ $x > y$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $(x+y) \, km/hr$ અને પ્રવાહની સામે હોડીની ઝડપ $(x-y) \, km/hr$ થાય.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{32}{x-y} + \frac{36}{x+y} = 7$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{40}{x-y} + \frac{48}{x+y} = 9$ --- $(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x-y} = a$ અને $\frac{1}{x+y} = b$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$32a + 36b = 7$ --- $(3)$
$40a + 48b = 9$ --- $(4)$
આ સુરેખ સમીકરણોને લોપની રીતથી ઉકેલતા:
સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$128a + 144b = 28$
$120a + 144b = 27$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}$.
$a = \frac{1}{8}$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$32(\frac{1}{8}) + 36b = 7 \implies 4 + 36b = 7 \implies 36b = 3 \implies b = \frac{1}{12}$.
હવે,$x-y = 8$ અને $x+y = 12$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 20 \implies x = 10$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $10 \, km/hr$ અને પ્રવાહની ઝડપ $2 \, km/hr$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $x + y = 5xy$
$(2)$ $3x + 2y = 13xy$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા ($x \neq 0, y \neq 0$ ધારીને):
$(1)$ પરથી: $1/y + 1/x = 5$ => $1/x + 1/y = 5$ --- $(3)$
$(2)$ પરથી: $3/y + 2/x = 13$ => $2/x + 3/y = 13$ --- $(4)$
ધારો કે $u = 1/x$ અને $v = 1/y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$(3)$ $u + v = 5$
$(4)$ $2u + 3v = 13$
સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2u + 2v = 10$ --- $(5)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા: $(2u + 3v) - (2u + 2v) = 13 - 10$ => $v = 3$
$v = 3$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા: $u + 3 = 5$ => $u = 2$
$u = 1/x = 2$ હોવાથી,$x = 1/2$.
$v = 1/y = 3$ હોવાથી,$y = 1/3$.
વળી,જો $x=0$ અને $y=0$ હોય,તો બંને સમીકરણોનું સમાધાન થાય છે $(0=0)$.
આમ,ઉકેલ $(0, 0)$ અને $(1/2, 1/3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) 2(3u - v) = 5uv \implies 6u - 2v = 5uv$
$2) 2(u + 3v) = 5uv \implies 2u + 6v = 5uv$
બંને સમીકરણોને $uv$ વડે ભાગતા (ધારો કે $u, v \neq 0$):
$1) \frac{6}{v} - \frac{2}{u} = 5$
$2) \frac{2}{v} + \frac{6}{u} = 5$
ધારો કે $x = \frac{1}{u}$ અને $y = \frac{1}{v}$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$1) -2x + 6y = 5$
$2) 6x + 2y = 5$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $18x + 6y = 15$. તેમાંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(18x + 6y) - (-2x + 6y) = 15 - 5 \implies 20x = 10 \implies x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $6x + 2y = 5$ માં મૂકતા:
$6(\frac{1}{2}) + 2y = 5 \implies 3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
અહીં $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{2} \implies u = 2$ અને $y = \frac{1}{v} = 1 \implies v = 1$.
આમ,$(u, v) = (2, 1)$.

(A) ધારો કે $A$ થી શરૂ થતી કારની ઝડપ $x\, km/hr$ છે અને $B$ થી શરૂ થતી કારની ઝડપ $y\, km/hr$ છે.
જ્યારે તેઓ એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(x - y)\, km/hr$ થાય છે. તેઓ $9$ કલાકમાં મળે છે,તેથી કાપેલું અંતર $9(x - y) = 90$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x - y = 10$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
જ્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(x + y)\, km/hr$ થાય છે. તેઓ $\frac{9}{7}$ કલાકમાં મળે છે,તેથી કાપેલું અંતર $\frac{9}{7}(x + y) = 90$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 70$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x - y) + (x + y) = 10 + 70$,તેથી $2x = 80$,જે આપણને $x = 40\, km/hr$ આપે છે.
$x = 40$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $40 - y = 10$,તેથી $y = 30\, km/hr$.
આમ,કારની ઝડપ $40\, km/hr$ અને $30\, km/hr$ છે.