Quadratic Equations Questions in Gujarati

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ શોધવા માટે વપરાતું દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
આ સૂત્ર ભારતમાં 'શ્રીધર આચાર્યનું સૂત્ર' તરીકે ઓળખાય છે,કારણ કે ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીધર આચાર્યે પૂર્ણવર્ગની રીત દ્વારા દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ આપી હતી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + k = 0$ છે.
અહીં $4$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા:
$(4)^{2} + 6(4) + k = 0$
$16 + 24 + k = 0$
$40 + k = 0$
$k = -40$
આમ,$k$ ની કિંમત $-40$ છે.

(D) કોર્ન ઓઈલની મૂળ કિંમત ₹ $x$ પ્રતિ $kg$ છે.
₹ $10$ પ્રતિ $kg$ નો ઘટાડો થયા પછી,કોર્ન ઓઈલની નવી કિંમત ₹ $(x - 10)$ પ્રતિ $kg$ થાય છે.
નવી કિંમતે ₹ $500$ માં ખરીદી શકાય તેવા કોર્ન ઓઈલનો જથ્થો શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{જથ્થો} = \frac{\text{કુલ રકમ}}{\text{એકમ દીઠ કિંમત}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{જથ્થો} = \frac{500}{x - 10} \ kg$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સ્થિર પાણીમાં મોટર-બોટની ઝડપ $x \, km/hr$ છે.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ $5 \, km/hr$ છે.
જ્યારે બોટ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) ગતિ કરે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ એ સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો તફાવત હોય છે.
તેથી, પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - 5) \, km/hr$ થાય.
કાપવાનું અંતર $y \, km$ છે.
સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
સમય $= \frac{y}{x - 5} \, \text{કલાક}$.

(B) ગણિતના ઇતિહાસમાં,ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી $Brahmagupta$ (જન્મ $598 \text{ CE}$) એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનું સ્પષ્ટ સૂત્ર આપ્યું હતું. તેમના ગ્રંથ $Brahmasphutasiddhanta$ માં,તેમણે સમીકરણના બીજ શોધવા માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનું વર્ણન કર્યું હતું. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે. આ સૂત્રને દ્વિઘાત સૂત્ર અથવા શ્રીધર આચાર્યના સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીધર આચાર્ય દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું.

(D) ભારતીય ગણિતના ઇતિહાસમાં,$Bhaskaracharya$ (જેમને $Bhaskara$ $II$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ બીજગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપ્યું હતું. તેમણે તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથ $Bijaganita$ (બીજગણિત) માં દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિઓનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કર્યો હતો. જોકે $Aryabhatta$ અને $Brahmagupta$ જેવા અન્ય પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પણ સંબંધિત ખ્યાલો પર કામ કર્યું હતું,પરંતુ $Bhaskaracharya$ દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તેમની વ્યવસ્થિત અભિગમ માટે જાણીતા છે.