Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) माना जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ है।
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ होगी।
$5$ कंचे खोने के बाद जॉन के पास बचे कंचे $= x - 5$।
$5$ कंचे खोने के बाद जीवंती के पास बचे कंचे $= (45 - x) - 5 = 40 - x$।
प्रश्न के अनुसार,बचे हुए कंचों का गुणनफल $124$ है:
$(x - 5)(40 - x) = 124$।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$40x - x^2 - 200 + 5x = 124$
$-x^2 + 45x - 200 = 124$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 45x - 200 - 124 = 0$
$-x^2 + 45x - 324 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 45x + 324 = 0$।
अतः,जॉन के पास कंचों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 45x + 324 = 0$ को संतुष्ट करती है।

(N/A) माना कि उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या $x$ है।
अतः,उस दिन प्रत्येक खिलौने का निर्माण मूल्य (रुपयों में) $= 55 - x$ होगा।
इसलिए,उस दिन की कुल निर्माण लागत (रुपयों में) $= x(55 - x)$ होगी।
दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $750$ है,अतः:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 55x - 750 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
अतः,उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 55x + 750 = 0$ को संतुष्ट करती है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$(x-2)^{2}+1 = (x^{2}-4x+4)+1 = x^{2}-4x+5$
अब,इसे दाएँ पक्ष $(RHS)$ के बराबर रखने पर:
$x^{2}-4x+5 = 2x-3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^{2}-4x-2x+5+3 = 0$
$x^{2}-6x+8 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a=1$,$b=-6$,और $c=8$ $(a \neq 0)$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2+x+8$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ का उपयोग करके दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2-4$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $x^2+x+8=x^2-4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $x+8=-4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x+12=0$
चूँकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है और $ax^2+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(YES) दिया गया समीकरण: $x(2x + 3) = x^2 + 1$
सबसे पहले,बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1$
समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लाने के लिए दोनों पक्षों से $(x^2 + 1)$ घटाने पर:
$2x^2 - x^2 + 3x - 1 = 0$
$x^2 + 3x - 1 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$,$b = 3$,और $c = -1$ (तथा $a \neq 0$),अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+2)^{3} = x^{3}-4$
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - 4$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$6x^{2} + 12x + 8 = -4$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$6x^{2} + 12x + 12 = 0$
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + 2x + 2 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+1)^{2}=2(x-3)$
सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2(x-3)$
दाएँ पक्ष में $2$ का वितरण करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2x - 6$
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर:
$x^{2} + 1 = -6$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 7 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ (जहाँ $a=1, b=0, c=7$) के रूप में है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^{2}-2x = -6 + 2x$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $x^{2}-2x - 2x + 6 = 0$
सरल करने पर: $x^{2}-4x + 6 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है.

(B) समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-x - 2 = 2x - 3$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x - 1 = 0$
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह $ax^2 + bx + c = 0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(x-3)(2x+1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x(x+5) = x^2 + 5x$.
दोनों पक्षों को बराबर रखने पर: $2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$.
सरल करने पर: $x^2 - 10x - 3 = 0$.
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
$(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 - x^2 - 7x - 4x + 3 + 5 = 0$
$x^2 - 11x + 8 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$x^{2}+3x+1 = x^{2}-4x+4$
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$3x+1 = -4x+4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$3x+4x+1-4 = 0$
$7x-3 = 0$
प्राप्त समीकरण $ax+b=0$ के रूप में है,जो एक रैखिक समीकरण है,न कि $ax^{2}+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप का द्विघात समीकरण।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करें:
$(x-2)^{3} = x^{3}-2^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2}) = x^{3}-8-6x^{2}+12x$
इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$
$2x^{2}-13x+9 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(D) माना कि भूखंड की चौड़ाई $x \ m$ है।
प्रश्न के अनुसार,भूखंड की लंबाई $(2x + 1) \ m$ है।
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $528 = x(2x + 1)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $528 = 2x^{2} + x$.
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x^{2} + x - 528 = 0$.

(N/A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन दो पूर्णांकों का गुणनफल $306$ है।
अतः,$x(x+1) = 306$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $x^2 + x = 306$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $306$ घटाने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + x - 306 = 0$।

(N/A) माना कि रोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,उसकी माँ की वर्तमान आयु $= x + 26$ वर्ष होगी।
$3$ वर्ष पश्चात:
रोहन की आयु $= x + 3$ वर्ष।
माँ की आयु $= (x + 26) + 3 = x + 29$ वर्ष।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष पश्चात उनकी आयु का गुणनफल $360$ है।
इसलिए,$(x + 3)(x + 29) = 360$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$।
$x^2 + 32x + 87 - 360 = 0$।
$x^2 + 32x - 273 = 0$।

(N/A) माना रेलगाड़ी की चाल $x \, km/h$ है।
$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{480}{x} \, \text{घंटे}$.
दूसरी स्थिति में,रेलगाड़ी की चाल $(x - 8) \, km/h$ है।
यह दिया गया है कि रेलगाड़ी उसी दूरी को तय करने में $3 \, \text{घंटे}$ अधिक लेती है।
अतः,$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \left( \frac{480}{x} + 3 \right) \, \text{घंटे}$.
संबंध का उपयोग करते हुए: $\text{चाल} \times \text{समय} = \text{दूरी}$.
$(x - 8) \left( \frac{480}{x} + 3 \right) = 480$
$480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480$
$3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$3x^2 - 24x - 3840 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2 - 8x - 1280 = 0$

(N/A) मान लीजिए हॉल की चौड़ाई $x \ m$ है। तब,इसकी लंबाई $(2x + 1) \ m$ होगी।
अब,हॉल का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x + 1) \times x = (2x^2 + x) \ m^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $300 \ m^2$ है,इसलिए:
$2x^2 + x = 300$
$2x^2 + x - 300 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं:
$2x^2 - 24x + 25x - 300 = 0$
$2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0$
$(x - 12)(2x + 25) = 0$
अतः,समीकरण के मूल $x = 12$ या $x = -12.5$ हैं।
चूँकि $x$ चौड़ाई को दर्शाता है,यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,$x = 12$.
इस प्रकार,हॉल की चौड़ाई $12 \ m$ है और इसकी लंबाई $2(12) + 1 = 25 \ m$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ है।
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$
अब,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग,यानी $(\frac{1}{2} \times \frac{5}{2})^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ जोड़कर और घटाकर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{1}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} = \frac{1}{16}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
स्थिति $1$: $x-\frac{5}{4} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
स्थिति $2$: $x-\frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
अतः,हल $x = \frac{3}{2}$ और $x = 1$ हैं।

(N/A) समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$25x^{2}-30x-10=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(5x)^{2}-2 \times (5x) \times 3 + 3^{2} - 3^{2} - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 9 - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 19 = 0$
$(5x-3)^{2} = 19$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$5x-3 = \pm \sqrt{19}$
$5x = 3 \pm \sqrt{19}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
अतः,मूल $\frac{3+\sqrt{19}}{5}$ और $\frac{3-\sqrt{19}}{5}$ हैं।

(16 M, 33 M) माना कि भूखंड की चौड़ाई $x \ m$ है। तब लंबाई $(2x + 1) \ m$ होगी।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $528 \ m^2$ है,इसलिए $x(2x + 1) = 528$,जो $2x^2 + x - 528 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $a = 2, b = 1, c = -528$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-528)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{-1 \pm 65}{4}$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = \frac{64}{4} = 16$ या $x = \frac{-66}{4} = -16.5$।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 16 \ m$ लेते हैं।
अतः,भूखंड की चौड़ाई $16 \ m$ है और लंबाई $2(16) + 1 = 33 \ m$ है।

(A) माना कि दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या $x$ है। तब,दूसरी संख्या $x+2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,
$x^{2} + (x+2)^{2} = 290$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 290$
$2x^{2} + 4x - 286 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + 2x - 143 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4(1)(-143)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
$x = \frac{22}{2} = 11$ या $x = \frac{-26}{2} = -13$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए हम $x = 11$ लेते हैं।
अतः,दो क्रमागत विषम पूर्णांक $11$ और $13$ हैं।
सत्यापन: $11^{2} + 13^{2} = 121 + 169 = 290$.

(N/A) माना आयताकार पार्क की चौड़ाई $x\, m$ है।
तब,इसकी लंबाई $(x+3)\, m$ होगी।
अतः,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल $x(x+3) = (x^2 + 3x)\, m^2$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\, m^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार पार्क के क्षेत्रफल से $4\, m^2$ अधिक है:
$x^2 + 3x = 6x + 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -1$ है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 4$ है।
इस प्रकार,पार्क की चौड़ाई $4\, m$ है और इसकी लंबाई $4 + 3 = 7\, m$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} - 5x + 2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -5$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें:
$D = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक और भिन्न मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,मूल $1$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(A) यह जांचने के लिए कि कोई समीकरण द्विघात है या नहीं,हम इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में सरल करते हैं,जहाँ $a \neq 0$ है।
विकल्प $(A)$ की जांच करें: $(x+2)(x-1) = x^{2}-x+2x-2 = x^{2}+x-2$. दिया गया समीकरण: $x^{2}+x-2 = x^{2}-2x-3$. सरल करने पर,$3x+1=0$ प्राप्त होता है। यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।
विकल्प $(B)$ की जांच करें: $(x+2)^{2} = 2(x+3) \implies x^{2}+4x+4 = 2x+6 \implies x^{2}+2x-2=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
विकल्प $(C)$ की जांच करें: $x^{2}+3x = (-1)(1-3x)^{2} \implies x^{2}+3x = -(1-6x+9x^{2}) \implies x^{2}+3x = -1+6x-9x^{2} \implies 10x^{2}-3x+1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
विकल्प $(D)$ की जांच करें: $x^{3}-x^{2}+2x+1 = (x+1)^{3} \implies x^{3}-x^{2}+2x+1 = x^{3}+3x^{2}+3x+1 \implies -x^{2}+2x = 3x^{2}+3x \implies 4x^{2}+x=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
अतः,विकल्प $(A)$ में दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) द्विघात समीकरण $4x^{2} - \sqrt{3}x - 5 = 0$ को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,हम पहले यह सुनिश्चित करते हैं कि $x^{2}$ का गुणांक $1$ या एक पूर्ण वर्ग हो। यहाँ,$4x^{2} = (2x)^{2}$ है।
हम समीकरण को $(2x)^{2} - 2(2x)(\frac{\sqrt{3}}{4}) - 5 = 0$ के रूप में लिखते हैं।
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ के रूप में पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $a = 2x$ और $b = \frac{\sqrt{3}}{4}$ की पहचान करते हैं।
जोड़ा और घटाया जाने वाला पद $b^{2} = (\frac{\sqrt{3}}{4})^{2} = \frac{3}{16}$ है।
अतः,वह स्थिरांक $\frac{3}{16}$ है।

(C) किसी समीकरण को द्विघात समीकरण होने के लिए,उसे $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $a \neq 0$ हो।
$(A)$ $x^{2}+2x+1 = (4-x)^{2}+3$
$\Rightarrow x^{2}+2x+1 = 16-8x+x^{2}+3$
$\Rightarrow 10x-18=0$. यह एक रैखिक समीकरण है।
$(B)$ $-2x^{2} = (5-x)(2x-\frac{2}{5})$
$\Rightarrow -2x^{2} = 10x-2-2x^{2}+\frac{2x}{5}$
$\Rightarrow 0 = \frac{52x}{5}-2$. यह एक रैखिक समीकरण है।
$(C)$ $x^{3}-x^{2} = (x-1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}-x^{2} = x^{3}-3x^{2}+3x-1$
$\Rightarrow 2x^{2}-3x+1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है क्योंकि यह $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a=2 \neq 0$ है।
$(D)$ $(k+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$,जहाँ $k=-1$
$\Rightarrow (-1+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$
$\Rightarrow \frac{3}{2}x-7=0$. यह एक रैखिक समीकरण है।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप का होता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
$(A)$ $2(x-1)^{2}=4 x^{2}-2 x+1 \Rightarrow 2(x^{2}-2x+1)=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}-4x+2=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(B)$ $2 x-x^{2}=x^{2}+5 \Rightarrow 2x^{2}-2x+5=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(C)$ $(-\sqrt{2} x+\sqrt{3})^{2}=3 x^{2}-5 x \Rightarrow 2x^{2}-2\sqrt{6}x+3=3x^{2}-5x \Rightarrow x^{2}-(5-2\sqrt{6})x-3=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(D)$ $(x^{2}+2 x)^{2}=x^{4}+3+4 x^{2} \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+4x^{2}=x^{4}+3+4x^{2} \Rightarrow 4x^{3}-3=0$. चूँकि $x$ की अधिकतम घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $x = 2$ किसी समीकरण का मूल है,हम प्रत्येक समीकरण में $x = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि परिणाम $0$ है या नहीं।
$(A)$ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ के लिए:
$2(2)^2 - 7(2) + 6 = 2(4) - 14 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x = 2$ इस समीकरण का मूल है।
$(B)$ $x^2 + 3x - 12 = 0$ के लिए:
$(2)^2 + 3(2) - 12 = 4 + 6 - 12 = -2 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
$(C)$ $x^2 - 4x + 5 = 0$ के लिए:
$(2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
$(D)$ $3x^2 - 6x - 2 = 0$ के लिए:
$3(2)^2 - 6(2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
इसलिए,सही समीकरण $2x^2 - 7x + 6 = 0$ है।

(B) चूंकि $\frac{1}{2}$ द्विघात समीकरण $x^{2}+kx-\frac{5}{4}=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(\frac{1}{2})^{2} + k(\frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1}{4} + \frac{k}{2} - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1 + 2k - 5}{4} = 0$
$2k - 4 = 0$
$2k = 4$
$k = 2$

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $0.2$ समीकरण $x^{2}-0.4=0$ का एक मूल है,हम समीकरण में $x = 0.2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 0.2$ रखने पर:
$(0.2)^{2} - 0.4 = 0.04 - 0.4 = -0.36$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिणाम $-0.36$ है और $0$ नहीं है,इसलिए मान $0.2$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$0.2$ समीकरण $x^{2}-0.4=0$ का मूल नहीं है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$a=2$,$b=-\sqrt{5}$,और $c=-2$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करें:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4 \times 2 \times (-2) = 5 + 16 = 21$.
अब,इन मानों को द्विघाती सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{21}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{21}}{4}$.
अतः,मूल $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{21}}{4}$ और $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{21}}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $2x^{2} - 3x - 5 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = -3, c = -5$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(2)(-5)}}{2(2)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{3 \pm 7}{4}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_{1} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
अतः,दिए गए समीकरण के मूल $\frac{5}{2}$ और $-1$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $5x^{2} + 13x + 8 = 0$ है।
मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 5, b = 13, c = 8$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(13) \pm \sqrt{(13)^{2} - 4(5)(8)}}{2(5)}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{9}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm 3}{10}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-13 + 3}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-13 - 3}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$.
अतः,मूल $-1$ और $-\frac{8}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $-3x^{2} + 5x + 12 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = -3$,$b = 5$ और $c = 12$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^{2} - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$.
व्यंजक को सरल करने पर,$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{-6}$.
चूंकि $\sqrt{169} = 13$,इसलिए $x = \frac{-5 \pm 13}{-6}$ प्राप्त होता है।
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-5 + 13}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-5 - 13}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$.
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{4}{3}$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $-x^{2}+7x-10=0$ है।
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -1, b = 7, c = -10$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^{2}-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm 3}{-2}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_1 = \frac{-7 + 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$x_2 = \frac{-7 - 3}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
अतः,समीकरण के मूल $2$ और $5$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=2 \sqrt{2}$ और $c=-6$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$.
$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8+24}}{2} = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2}$.
चूँकि $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$,इसलिए $x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm 4 \sqrt{2}}{2}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_1 = \frac{-2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{2} = -3 \sqrt{2}$.
अतः,समीकरण के मूल $\sqrt{2}$ और $-3 \sqrt{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण $x + \frac{1}{x} = 3$ है।
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 1 = 3x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2 - 3x + 1 = 0$
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = -3, c = 1$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
अतः,मूल $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$,जहाँ $x \neq 0, 2$ है।
दोनों पक्षों को $x(x-2)$ से गुणा करने पर:
$(x-2) - x = 3x(x-2)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$-2 = 3x^2 - 6x$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 3, b = -6, c = 2$ है:
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
अतः,$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$.
$2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ हैं।

(3, 1/2) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$2x^2 - 7x = -3$.
चरण $2$: पूरे समीकरण को $x^2$ के गुणांक $(2)$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-\frac{7}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $-\frac{7}{4}$ होगा। $(-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^2 - 2(x)(\frac{7}{4}) + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
चरण $4$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
चरण $5$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
चरण $6$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x - 4 = 0$.
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{2}x = 2$.
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = 2 + (\frac{1}{4})^{2}$.
चरण $3$: बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = 2 + \frac{1}{16} = \frac{32 + 1}{16} = \frac{33}{16}$.
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$.
चरण $5$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(2x)^{2} + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2} = 0$.
यह बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$ और $b = \sqrt{3}$ है।
अतः,$(2x + \sqrt{3})^{2} = 0$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + \sqrt{3} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$2x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि द्विघात समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए मूल $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2 x^{2}-7 x+3=0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=-7, c=3$
द्विघाती सूत्र इस प्रकार है:
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x=\frac{7 \pm 5}{4}$
अब,दोनों स्थितियों के लिए हल करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
स्थिति $2$: $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,समीकरण के मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2 x^{2} + x - 4 = 0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2} + b x + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = 1, c = -4$
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$:
मान रखने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = 3$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^{2} - 1 = 3x$
मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^{2} - 3x - 1 = 0$
इस समीकरण की तुलना $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1, b = -3, c = -1$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
अतः,मूल $x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ और $x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ हैं।

(C) माना रेहमान की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
तीन वर्ष पूर्व,उसकी आयु $(x-3)$ वर्ष थी।
पाँच वर्ष बाद,उसकी आयु $(x+5)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष पूर्व और $5$ वर्ष बाद की आयु के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{3}$ है।
$\therefore \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$3(2x+2) = x^2+2x-15$
$6x+6 = x^2+2x-15$
$x^2-4x-21 = 0$
$x^2-7x+3x-21 = 0$
$x(x-7)+3(x-7) = 0$
$(x-7)(x+3) = 0$
$x = 7$ या $x = -3$.
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए रेहमान की वर्तमान आयु $7$ वर्ष है।

(C) माना गणित में प्राप्त अंक $x$ हैं।
तो,अंग्रेजी में प्राप्त अंक $30-x$ होंगे।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x+2)(30-x-3) = 210$
$(x+2)(27-x) = 210$
$27x - x^2 + 54 - 2x = 210$
$-x^2 + 25x + 54 = 210$
$x^2 - 25x + 156 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$x^2 - 12x - 13x + 156 = 0$
$x(x-12) - 13(x-12) = 0$
$(x-12)(x-13) = 0$
अतः,$x = 12$ या $x = 13$ है।
स्थिति $1$: यदि गणित में $12$ अंक हैं,तो अंग्रेजी में $30-12 = 18$ अंक होंगे।
स्थिति $2$: यदि गणित में $13$ अंक हैं,तो अंग्रेजी में $30-13 = 17$ अंक होंगे।

(A) माना कि छोटा नल टंकी को भरने में $x \text{ घंटे}$ लेता है।
बड़े नल द्वारा लिया गया समय $= (x - 10) \text{ घंटे}$।
छोटे नल द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $= \frac{1}{x}$।
बड़े नल द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $= \frac{1}{x - 10}$।
यह दिया गया है कि दोनों नल एक साथ टंकी को $9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8} \text{ घंटे}$ में भर सकते हैं। इसलिए,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{8}{75}$।
$\frac{x - 10 + x}{x(x - 10)} = \frac{8}{75}$।
$\frac{2x - 10}{x^2 - 10x} = \frac{8}{75}$।
$75(2x - 10) = 8(x^2 - 10x)$।
$150x - 750 = 8x^2 - 80x$।
$8x^2 - 230x + 750 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,$4x^2 - 115x + 375 = 0$।
$4x^2 - 100x - 15x + 375 = 0$।
$4x(x - 25) - 15(x - 25) = 0$।
$(x - 25)(4x - 15) = 0$।
अतः,$x = 25$ या $x = \frac{15}{4} = 3.75$।
यदि $x = 3.75$ है,तो बड़े नल द्वारा लिया गया समय $3.75 - 10 = -6.25 \text{ घंटे}$ होगा,जो संभव नहीं है।
इसलिए,छोटा नल $25 \text{ घंटे}$ लेता है और बड़ा नल $25 - 10 = 15 \text{ घंटे}$ लेता है।

(A) माना $P$ वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर खंभे का वांछित स्थान है।
माना खंभे की फाटक $B$ से दूरी $x \, m$ है,अर्थात $BP = x \, m$।
दोनों फाटकों से खंभे की दूरियों का अंतर $AP - BP = 7 \, m$ है।
इसलिए,$AP = (x + 7) \, m$।
चूंकि $AB$ वृत्ताकार पार्क का व्यास है,$AB = 13 \, m$।
एक वृत्त में,व्यास द्वारा परिसीमा पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle APB = 90^{\circ}$।
$\triangle APB$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AP^2 + BP^2 = AB^2$।
मान रखने पर,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$।
$2x^2 + 14x - 120 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह संभव है,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ की गणना करते हैं।
चूंकि $D > 0$,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए खंभा गाड़ना संभव है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $x = \frac{10}{2} = 5$ या $x = \frac{-24}{2} = -12$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 5$ लेते हैं।
अतः,खंभा फाटक $B$ से $5 \, m$ और फाटक $A$ से $12 \, m$ की दूरी पर गाड़ा जाना चाहिए।

(A) माना कि आम की बगिया की चौड़ाई $x \, m$ है।
तब,बगिया की लंबाई $2x \, m$ होगी।
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x)(x) = 2x^2 \, m^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $800 \, m^2$ है,इसलिए $2x^2 = 800$.
$x^2 = 400$.
$x^2 - 400 = 0$.
इस समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1, b = 0, c = -400$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 1600$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जिसका अर्थ है कि ऐसी बगिया बनाना संभव है।
$x^2 = 400 \implies x = \pm 20$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 20$ लेंगे।
अतः,चौड़ाई $20 \, m$ है और लंबाई $2(20) = 40 \, m$ है।