Nature of Roots Questions in Hindi

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण: $4 x^{2}+3 x+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,सबसे पहले पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करते हैं:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$।
अब,पूर्ण वर्ग बनाकर व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$(x + \frac{3}{8})^{2} - (\frac{3}{8})^{2} + \frac{5}{4} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} + \frac{71}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{71}{64}$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समीकरण $4 x^{2}+3 x+5=0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+4x+5=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=4$ और $c=5$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (4)^{2} - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए विविक्तकर का वर्गमूल $\sqrt{D}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) नहीं। मान लीजिए $p(x) = x^{2} + kx + k$ है। यदि $p(x)$ के शून्यक समान हैं,तो इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
विविक्तकर का सूत्र $D = B^{2} - 4AC = 0$ है ... $(i)$।
$p(x)$ की तुलना मानक रूप $Ax^{2} + Bx + C$ से करने पर,हमें $A = 1$,$B = k$,और $C = k$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k^{2} - 4(1)(k) = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k - 4) = 0$
इससे हमें $k = 0$ या $k = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0$ और $4$ दोनों ही $1$ से बड़े विषम पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए द्विघात बहुपद $x^{2} + kx + k$ के किसी भी विषम पूर्णांक $k > 1$ के लिए समान शून्यक नहीं हो सकते हैं।

(B) असत्य।
माना द्विघात बहुपद $f(x) = k x^{2} + x + k$ है।
बहुपद के शून्यक समान होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
विविक्तकर का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
यहाँ,$a = k$,$b = 1$,और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (1)^{2} - 4(k)(k) = 0$
$1 - 4k^{2} = 0$
$4k^{2} = 1$
$k^{2} = \frac{1}{4}$
$k = \pm \frac{1}{2}$
अतः,$k$ के दो मान $\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$ हैं,जिनके लिए द्विघात बहुपद के शून्यक समान होते हैं। इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\frac{-b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
$(A)$ $2x^2 - 3x + 6 = 0$ के लिए,$a=2, b=-3$। मूलों का योग $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$।
$(B)$ $\sqrt{2}x^2 - \frac{3}{\sqrt{2}}x + 1 = 0$ के लिए,$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर $2x^2 - 3x + \sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है। यहाँ $a=2, b=-3$। मूलों का योग $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$।
$(C)$ $-x^2 + 3x - 3 = 0$ के लिए,$a=-1, b=3$। मूलों का योग $= -(3)/(-1) = 3$।
$(D)$ $3x^2 - 3x + 3 = 0$ के लिए,$3$ से भाग देने पर $x^2 - x + 1 = 0$ प्राप्त होता है। यहाँ $a=1, b=-1$। मूलों का योग $= -(-1)/1 = 1$।
अतः,वह समीकरण जिसके मूलों का योग $3$ है,$-x^2 + 3x - 3 = 0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2}-kx+k=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=2$,$b=-k$ और $c=k$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
$D = b^{2}-4ac = 0$
मान रखने पर,$(-k)^{2}-4(2)(k) = 0$ प्राप्त होता है।
$k^{2}-8k = 0$
$k$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$k(k-8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=0$ या $k=8$ है।
इस प्रकार,$k$ के अभीष्ट मान $0$ और $8$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $2x^{2} - \sqrt{5}x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4(2)(1) = 5 - 8 = -3$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (अर्थात,इसके मूल काल्पनिक हैं)।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac > 0$ हो,तो मूल भिन्न और वास्तविक होते हैं।
$(a)$ $2x^{2}-3\sqrt{2}x+\frac{9}{4}=0$ के लिए,$a=2, b=-3\sqrt{2}, c=\frac{9}{4}$ है।
$D = (-3\sqrt{2})^{2}-4(2)(\frac{9}{4}) = 18-18 = 0$। चूँकि $D=0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
$(b)$ $x^{2}+3x+2\sqrt{2}=0$ के लिए,$a=1, b=3, c=2\sqrt{2}$ है।
$D = (3)^{2}-4(1)(2\sqrt{2}) = 9-8\sqrt{2} < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
$(c)$ $x^{2}+x-5=0$ के लिए,$a=1, b=1, c=-5$ है।
$D = (1)^{2}-4(1)(-5) = 1+20 = 21$। चूँकि $D>0$ है,इसलिए मूल भिन्न और वास्तविक हैं।
$(d)$ $5x^{2}-3x+1=0$ के लिए,$a=5, b=-3, c=1$ है।
$D = (-3)^{2}-4(5)(1) = 9-20 = -11 < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं। यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
$A)$ $3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 0$ के लिए,$D = (4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0$। चूंकि $D = 0$ है,इसके वास्तविक और समान मूल हैं।
$B)$ $x^2 - 4x - 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (-4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$। इसके वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
$C)$ $x^2 + 4x - 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$। इसके वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
$D)$ $x^2 - 4x + 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (-4)^2 - 4(1)(3\sqrt{2}) = 16 - 12\sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $12\sqrt{2} \approx 16.968$। अतः,$D = 16 - 16.968 = -0.968 < 0$। इसलिए,इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ है।
वर्ग का विस्तार करने पर: $x^{4}+1+2x^{2}-x^{2}=0$,जो सरल होकर $x^{4}+x^{2}+1=0$ हो जाता है।
माना $x^{2}=y$ है। चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x^{2} \ge 0$,अर्थात $y \ge 0$ होगा।
समीकरण $y^{2}+y+1=0$ बन जाता है।
$ay^{2}+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए $y$ में द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः,मूल समीकरण $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(NO) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या समीकरण के वास्तविक मूल हैं,हम पहले इसे सरल करते हैं:
$(x-1)^{2}+2(x+1)=0$
$(x^{2}-2x+1)+2x+2=0$
$x^{2}+3=0$
अब,हम इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ से करते हैं,जहाँ $a=1, b=0, c=3$ है।
विविक्तकर $D$ का मान $D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = (0)^{2}-4(1)(3) = -12$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) यह कथन असत्य है।
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें।
यदि $x$ का गुणांक शून्य है,तो $b = 0$ होगा,और समीकरण $ax^2 + c = 0$ बन जाएगा।
इस समीकरण के मूल $x^2 = -c/a$ द्वारा दिए जाते हैं,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{-c/a}$।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,हमें $-c/a \geq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $c/a \leq 0$।
यह तब होता है जब $a$ और $c$ के चिह्न विपरीत हों या यदि $c = 0$ हो।
उदाहरण के लिए,यदि $x^2 - 4 = 0$ है,तो $x^2 = 4$,इसलिए $x = \pm 2$,जो वास्तविक मूल हैं।
अतः,यह कथन असत्य है।

(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2}-3x+4=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-3, c=4$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-3)^{2} - 4(1)(4)$
$D = 9 - 16$
$D = -7$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $x^{2}-3x+4=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः,इसके दो भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2 x^{2}+x-1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें $a=2$,$b=1$ और $c=-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4 a c$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2}-4(2)(-1) = 1+8 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$ है।
इसे मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=-6, c=\frac{9}{2}$.
मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करते हैं:
$D = (-6)^{2} - 4(2)(\frac{9}{2})$
$D = 36 - 36 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं। अतः,इसके दो भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3 x^{2}-4 x+1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, b=-4, c=1$.
विविक्तकर (Discriminant) $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-4)^{2} - 4(3)(1)$
$D = 16 - 12$
$D = 4$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(NO) दिया गया समीकरण $(x+4)^{2}-8x=0$ है।
पद का विस्तार करने पर: $x^{2}+16+8x-8x=0$ ($(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ का उपयोग करते हुए)।
सरल करने पर: $x^{2}+16=0$.
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में लिखने पर: $x^{2}+0x+16=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=0, c=16$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D=(0)^{2}-4(1)(16) = 0-64 = -64$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (इसके दो काल्पनिक मूल हैं)।

(A) दिया गया समीकरण $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2}-2\sqrt{2}x+2-2x-2=0$.
सरल करने पर: $x^{2}-(2+2\sqrt{2})x=0$.
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-(2+2\sqrt{2}), c=0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-(2+2\sqrt{2}))^{2}-4(1)(0)$.
$D = (2+2\sqrt{2})^{2} = 4 + 8 + 8\sqrt{2} = 12+8\sqrt{2}$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=\sqrt{2}$,$b=-\frac{3}{\sqrt{2}}$,और $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
विविक्तकर (Discriminant) $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{2} - 4(\sqrt{2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$D = \frac{9}{2} - 4$
$D = \frac{9-8}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $D = \frac{1}{2} > 0$ है,इसलिए विविक्तकर धनात्मक है।
अतः,द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(NO) दिया गया समीकरण $x(1-x)-2=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x-x^{2}-2=0$ प्राप्त होता है।
समीकरण को मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर,हमें $x^{2}-x+2=0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,$a=1, b=-1, c=2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,$D=(-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $x^{2}-x+2=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है (इसके दो भिन्न काल्पनिक मूल हैं)।

(A) दिया गया समीकरण $(x-1)(x+2)+2=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x^{2} + 2x - x - 2 + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^{2} + x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = 1, c = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2} - 4(1)(0) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(A) दिया गया समीकरण $(x+1)(x-2)+x=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x + x - 2 + x = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 - 2 = 0$
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1, b = 0, c = -2$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (0)^2 - 4(1)(-2) = 0 + 8 = 8$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(N/A) $(i)$ असत्य। $ax^{2} + bx + c = 0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप वाले द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल होते हैं,जो वास्तविक या सम्मिश्र हो सकते हैं।
$(ii)$ असत्य। यह आवश्यक नहीं है कि प्रत्येक द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल हो। उदाहरण के लिए,समीकरण $x^{2} + 4 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है क्योंकि $x^{2} = -4$,और किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

(B) यह कथन असत्य है। पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं होते हैं।
द्विघात समीकरण $2x^2 + x - 6 = 0$ पर विचार करें, जहाँ गुणांक $2, 1, \text{और } -6$ पूर्णांक हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$
इससे दो मूल प्राप्त होते हैं: $x_1 = \frac{6}{4} = 1.5$ और $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.
चूँकि $1.5$ एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह दावा कि पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल पूर्णांक ही होते हैं, गलत है।

(A) हाँ,ऐसा द्विघात समीकरण अस्तित्व में है। द्विघात समीकरण $2x^2 + x - 4 = 0$ पर विचार करें। यहाँ,गुणांक $2, 1$ और $-4$ परिमेय संख्याएँ हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
अतः मूल $\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $\frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं। चूँकि $\sqrt{33}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए दोनों मूल अपरिमेय हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+bx+c=0$ ....$(i)$
समीकरण $(i)$ में $b=0$ रखने पर:
$x^{2}+0(x)+c=0$
$x^{2}+c=0$
$x^{2}=-c$
चूंकि यह दिया गया है कि $c < 0$,मान लीजिए $c = -k$ जहाँ $k > 0$ है। तब:
$x^{2} = -(-k) = k$
$x = \pm \sqrt{k}$
अतः,मूल $\sqrt{k}$ और $-\sqrt{k}$ हैं।
ये मूल संख्यात्मक रूप से समान हैं (दोनों का परिमाण $\sqrt{k}$ है) और चिह्न में विपरीत हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक है)। इसलिए,यह कथन सत्य है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें।
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,मूल $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
चरण $2$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = -2 + \frac{1}{16}$.
चरण $4$: समीकरण को सरल करने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{32}{16} + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{31}{16}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $(x + \frac{1}{4})^{2}$ का मान $-\frac{31}{16}$ नहीं हो सकता है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण: $4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$.
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें $a=4, b=4 \sqrt{3}, c=3$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2}-4 a c = (4 \sqrt{3})^{2} - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि $D=0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$x = \frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}$
$x = \frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$x = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $x = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}$ हैं।

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + x + 4 = 0$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = 1, c = 4$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4}$
यहाँ विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = -31$ है,जो $0$ से छोटा है। ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होती है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a=2$,$b=-4$ और $c=3$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-4)^{2} - (4 \times 2 \times 3)$
$D = 16 - 24$
$D = -8$
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $3x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=3, b=-2, c=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4(3)(\frac{1}{3}) = 4-4 = 0$.
चूंकि $D=0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-b}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$x = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,मूल $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ है,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ है,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ है,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 3x + 5 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 2$,$b = -3$,$c = 5$.
विविक्तकर की गणना करने पर:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5)$
$D = 9 - 40 = -31$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए दिए गए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(N/A) हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ हो,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ हो,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ हो,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिया गया समीकरण: $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$.
इसकी तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -4\sqrt{3}$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4)$.
$D = 48 - 48 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-b}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,मूल $\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ है,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ है,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ है,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 6x + 3 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 2, b = -6, c = 3$.
विविक्तकर $D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि यदि किसी द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो बराबर मूल होते हैं,तो उसका विविक्तकर (discriminant) $D = (b^{2}-4 a c)$ शून्य $(0)$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $2 x^{2}+k x+3=0$
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=k, c=3$
विविक्तकर का मान है:
$D = b^{2}-4 a c$
$D = (k)^{2}-4(2)(3)$
$D = k^{2}-24$
बराबर मूलों के लिए,विविक्तकर को $0$ के बराबर रखने पर:
$k^{2}-24 = 0$
$k^{2} = 24$
$k = \pm \sqrt{24}$
$k = \pm 2 \sqrt{6}$

(K=6) दिया गया समीकरण: $k x(x-2)+6=0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $k x^{2}-2 k x+6=0$
इसे मानक द्विघात रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=k, b=-2 k, c=6$
द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ होना चाहिए:
$D = b^{2}-4 a c = 0$
मान रखने पर:
$(-2 k)^{2}-4(k)(6) = 0$
$4 k^{2}-24 k = 0$
$4k$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$4 k(k-6) = 0$
इससे दो संभावनाएं प्राप्त होती हैं: $4 k=0$ या $k-6=0$,जिसका अर्थ है $k=0$ या $k=6$।
हालाँकि,यदि $k=0$ है,तो समीकरण $6=0$ हो जाता है,जो कि एक द्विघात समीकरण नहीं है। इसलिए,$k=0$ नहीं हो सकता।
अतः,$k$ का एकमात्र मान्य मान $k=6$ है।

(D) माना एक मित्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु $(20-x)$ वर्ष होगी।
चार वर्ष पूर्व,पहले मित्र की आयु $(x-4)$ वर्ष थी।
दूसरे मित्र की आयु $(20-x-4) = (16-x)$ वर्ष थी।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x-4)(16-x) = 48$
$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$
$-x^2 + 20x - 64 = 48$
$-x^2 + 20x - 112 = 0$
$x^2 - 20x + 112 = 0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-20, c=112$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल संभव नहीं हैं।
अतः,दी गई स्थिति संभव नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $6x^2 - 7x + 2 = 0$।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर, $a = 6, b = -7, c = 2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(6)(2) = 49 - 48 = 1$।
चूंकि $D > 0$, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि के लिए, $6$ से भाग देने पर: $x^2 - (7/6)x + 1/3 = 0$।
इसे $x^2 - 2(7/12)x = -1/3$ के रूप में लिखें।
दोनों पक्षों में $(7/12)^2$ जोड़ने पर: $x^2 - 2(7/12)x + (7/12)^2 = -1/3 + 49/144$।
$(x - 7/12)^2 = (-48 + 49) / 144 = 1/144$।
वर्गमूल लेने पर: $x - 7/12 = \pm 1/12$।
स्थिति $1$: $x = 7/12 + 1/12 = 8/12 = 2/3$।
स्थिति $2$: $x = 7/12 - 1/12 = 6/12 = 1/2$।
अतः, मूल $1/2$ और $2/3$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $8 x^{2}+2 x-3=0$ है।
$a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=8, b=2$ और $c=-3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर (Discriminant),$D = b^{2}-4 a c = (2)^{2}-4(8)(-3) = 4+96 = 100$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(8)} = \frac{-2 \pm 10}{16}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-2+10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-2-10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
अतः,मूल $\frac{1}{2}$ और $-\frac{3}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $-2x^{2} + 3x + 2 = 0$ है।
मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -2, b = 3, c = 2$.
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = (3)^{2} - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 5}{-4}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.
अतः,मूल $-\frac{1}{2}$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $5x^{2}-2x-10=0$ है।
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=5, b=-2, c=-10$.
सबसे पहले,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करते हैं:
$D = (-2)^{2} - 4(5)(-10)$
$D = 4 + 200 = 204$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{204}}{2(5)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 51}}{10}$
$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{5}$.
अतः,मूल $\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ और $\frac{1-\sqrt{51}}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1$ है।
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x-5) + (2x-3)}{(2x-3)(x-5)} = 1$
$\frac{3x-8}{2x^2 - 13x + 15} = 1$
$3x - 8 = 2x^2 - 13x + 15$
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 - 16x + 23 = 0$
यहाँ $a = 2, b = -16, c = 23$ है।
विविक्तकर (Discriminant) $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(2)(23) = 256 - 184 = 72$.
चूंकि $D > 0$,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{72}}{4} = 4 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
नोट: प्रश्न में दिए गए समाधान की गणना के अनुसार,यदि समीकरण $2x^2 - 18x + 33 = 0$ है,तो मूल $\frac{9 \pm \sqrt{15}}{2}$ प्राप्त होते हैं,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0$ है।
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=5 \sqrt{5}$ और $c=-70$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (5 \sqrt{5})^{2}-4(1)(-70) = 125 + 280 = 405$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)} = \frac{-5 \sqrt{5} \pm 9 \sqrt{5}}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{-14 \sqrt{5}}{2} = -7 \sqrt{5}$.
अतः,मूल $2 \sqrt{5}$ और $-7 \sqrt{5}$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 7$,और $c = 5$ है।
$D = (7)^2 - 4(3)(5) = 49 - 60 = -11$।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,द्विघात समीकरण $3x^2 + 7x + 5 = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिए गए समीकरण $x^{2}+5x+1=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=5, c=1$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र है:
$D = b^{2}-4ac$
मान रखने पर:
$D = (5)^{2}-4(1)(1)$
$D = 25-4$
$D = 21$.
अतः,द्विघात समीकरण का विविक्तकर $21$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^{2} - bx + 3 = 0$ है।
इसे मानक रूप $Ax^{2} + Bx + C = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 9$,$B = -b$,और $C = 3$।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = B^{2} - 4AC$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D = (-b)^{2} - 4(9)(3)$।
$D = b^{2} - 108$।

(D) दिए गए समीकरण $\sqrt{5} x^{2}-2 \sqrt{2} x-2 \sqrt{5}=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \sqrt{5}$,$b = -2\sqrt{2}$,और $c = -2\sqrt{5}$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2\sqrt{5})$
$D = (4 \times 2) - 4(-2 \times 5)$
$D = 8 - (-40)$
$D = 8 + 40 = 48$.
अतः,विविक्तकर का मान $48$ है।

(C) दिए गए समीकरण $2x^{2} - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 2$,$b = -2\sqrt{6}$ और $c = 3$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें:
$D = (-2\sqrt{6})^{2} - 4(2)(3)$
$D = 24 - 24 = 0$
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल ज्ञात करने का सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
$D = 0$ होने के कारण,$x = \frac{-b}{2a}$ होगा।
$x = \frac{-(-2\sqrt{6})}{2(2)} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{\sqrt{6}}{2}$ और $\frac{\sqrt{6}}{2}$ हैं।

(NONE) दिए गए समीकरण $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 9, b = -5, c = 3$.
अब,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करते हैं:
$D = (-5)^{2} - 4(9)(3)$
$D = 25 - 108$
$D = -83$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए $D$ का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,द्विघात समीकरण $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।