Nature of Roots Questions in Hindi

(A) $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}+2x-2=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=2$ और $c=-2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D = (2)^{2} - 4(1)(-2)$
$D = 4 - (-8)$
$D = 4 + 8$
$D = 12$.
अतः,विविक्तकर $12$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है।
$4x^{2} - 12x + 9 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 4$,$b = -12$ और $c = 9$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ ज्ञात करने का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (-12)^{2} - 4(4)(9)$ प्राप्त होता है।
$D = 144 - 144$.
$D = 0$.
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण का विविक्तकर $0$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है।
$x^{2}-5x-14=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=-5$,और $c=-14$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,हमें $D=(-5)^{2}-4(1)(-14)$ प्राप्त होता है।
$D=25+56$.
$D=81$.
अतः,विविक्तकर $81$ है।

(D) $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-7x+10=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=-7$ और $c=10$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D = (-7)^{2} - 4(1)(10)$
$D = 49 - 40$
$D = 9$
अतः,विविक्तकर $9$ है।

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $3x^{2} - 12x + 16 = 0$ में,गुणांक $a = 3$,$b = -12$ और $c = 16$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-12)^{2} - 4(3)(16)$
$D = 144 - 192$
$D = -48$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण का विविक्तकर $-48$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है।
$5x^{2} - 4\sqrt{2}x - 1 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 5$,$b = -4\sqrt{2}$,और $c = -1$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-4\sqrt{2})^{2} - 4(5)(-1)$
$D = (16 \times 2) + 20$
$D = 32 + 20$
$D = 52$.
अतः,विविक्तकर $52$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $5x^{2} + 2x - 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = 2$ और $c = -1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (2)^{2} - 4(5)(-1)$ प्राप्त होता है।
$D = 4 + 20 = 24$.
अतः,विविक्तकर $24$ है।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिया गया समीकरण: $\sqrt{5} x^{2} - 3 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{5} = 0$.
यहाँ,$a = \sqrt{5}$,$b = -3 \sqrt{3}$,और $c = -2 \sqrt{5}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-3 \sqrt{3})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2 \sqrt{5})$
$D = (9 \times 3) - 4(-2 \times 5)$
$D = 27 - 4(-10)$
$D = 27 + 40$
$D = 67$.
अतः,विविक्तकर $67$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -3$,और $c = -2$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49$ की गणना करें।
चूंकि $D > 0$,वास्तविक हल मौजूद हैं।
सूत्र लागू करने पर: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2(5)} = \frac{3 \pm 7}{10}$।
स्थिति $1$: $x = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$।
स्थिति $2$: $x = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$।
अतः,हल $-\frac{2}{5}$ और $1$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^2 + 6x + 4 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 9$,$b = 6$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (6)^2 - 4(9)(4) = 36 - 144 = -108$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए $D$ का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,समीकरण का $R$ में कोई वास्तविक हल नहीं है।

(D) द्विघात समीकरण $am^{2} + bm + c = 0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
यहाँ,$a = 48$,$b = -13$,और $c = -1$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (-13)^{2} - 4(48)(-1) = 169 + 192 = 361$ ज्ञात करें।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक हल मौजूद हैं।
$m = \frac{-(-13) \pm \sqrt{361}}{2(48)} = \frac{13 \pm 19}{96}$.
स्थिति $1$: $m = \frac{13 + 19}{96} = \frac{32}{96} = \frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $m = \frac{13 - 19}{96} = \frac{-6}{96} = -\frac{1}{16}$.
अतः,हल $\frac{1}{3}$ और $-\frac{1}{16}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 5$,$b = 12$,और $c = 10$ है।
$D = (12)^{2} - 4(5)(10)$
$D = 144 - 200$
$D = -56$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(D) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूल द्विघात सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$।
यहाँ,$a = 25$,$b = 20$,और $c = 7$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें:
$D = (20)^2 - 4(25)(7)$
$D = 400 - 700$
$D = -300$।
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए, मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$.
यहाँ, $a = 3$, $b = -2$, और $c = 2$ है।
सबसे पहले, विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें।
$D = (-2)^{2} - 4(3)(2) = 4 - 24 = -20$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
सम्मिश्र मूल $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-20}}{2(3)} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{6} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{3}$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर, हमें $a = 2$, $b = -2\sqrt{2}$, और $c = 1$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले, विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$ की गणना करें।
चूंकि $D = 0$ है, इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
अतः, मूल $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{3}x^{2} - 2x + \sqrt{3} = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sqrt{3}$,$b = -2$,और $c = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करते हैं।
$D = (-2)^{2} - 4(\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$D = 4 - 4(3) = 4 - 12 = -8$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में कोई वास्तविक हल नहीं है।

(D) दिए गए समीकरण $3x^{2} + x - 2 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 3, b = 1, c = -2$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (1)^{2} - 4(3)(-2)$
$D = 1 + 24 = 25$.
चूंकि $D = 25 > 0$ है,विविक्तकर धनात्मक है और एक पूर्ण वर्ग है।
अतः,द्विघात समीकरण के दो भिन्न,वास्तविक और परिमेय मूल हैं।

(N/A) दिए गए समीकरण $x^{2}+5x+5=0$ की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a=1, b=5, c=5$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (5)^{2} - 4(1)(5)$
$D = 25 - 20$
$D = 5$
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। इसके अतिरिक्त,चूंकि $5$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है,इसलिए मूल अपरिमेय हैं।

(B) दिए गए समीकरण $4x^{2} + x - 3 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर:
यहाँ,$a = 4$,$b = 1$,और $c = -3$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2} - 4(4)(-3)$ प्राप्त होता है।
$D = 1 + 48 = 49$।
चूँकि $D = 49 > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,चूँकि $49$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल परिमेय हैं।

(D) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 11x + 10 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 4, b = 11, c = 10$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (11)^{2} - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 12x + 9 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 4, b = 12, c = 9$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (12)^{2} - 4(4)(9)$
$D = 144 - 144$
$D = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान (पुनरावृत्त) हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-2 \sqrt{2}, c=1$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D=(-2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(1)$
$D=(4 \times 2)-4$
$D=8-4=4$
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(C) समीकरण $(k+1) x^{2}-2(k+3) x+(2 k+3)=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a = k+1, b = -2(k+3), c = 2k+3$
चूंकि द्विघात समीकरण के मूल समान और वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = b^{2} - 4ac = 0$
$(-2(k+3))^{2} - 4(k+1)(2k+3) = 0$
$4(k^{2} + 6k + 9) - 4(2k^{2} + 3k + 2k + 3) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(k^{2} + 6k + 9) - (2k^{2} + 5k + 3) = 0$
$k^{2} + 6k + 9 - 2k^{2} - 5k - 3 = 0$
$-k^{2} + k + 6 = 0$
$k^{2} - k - 6 = 0$
$(k-3)(k+2) = 0$
अतः,$k = 3$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए द्विघात समीकरण $x^{2}-(k+10)x+9(k+1)=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a=1, b=-(k+10), c=9(k+1)$.
चूंकि द्विघात समीकरण के मूल समान और वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = b^{2}-4ac = 0$
मान रखने पर:
$( -(k+10) )^{2} - 4(1)(9(k+1)) = 0$
$(k+10)^{2} - 36(k+1) = 0$
$k^{2} + 20k + 100 - 36k - 36 = 0$
$k^{2} - 16k + 64 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:
$(k-8)^{2} = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k-8 = 0$
$k = 8$
अतः,$k$ का मान $8$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $\frac{1}{4} x^{2} - 2x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{4}$,$b = -2$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-2)^{2} - 4(\frac{1}{4})(1)$.
$D = 4 - 1 = 3$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x(x - 5) = 36$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x = 36$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5x - 36 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -5$,और $c = -36$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $D = (-5)^2 - 4(1)(-36)$।
$D = 25 + 144 = 169$।
चूँकि $D > 0$ है और $169$ एक पूर्ण वर्ग है,अतः मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -6$,और $c = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $D = (-6)^{2} - 4(5)(2)$.
$D = 36 - 40 = -4$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $5x^{2} - 4\sqrt{5}x + 4 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = -4\sqrt{5}$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (-4\sqrt{5})^{2} - 4(5)(4)$ प्राप्त होता है।
$D = (16 \times 5) - 80 = 80 - 80 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} - 18x + 27 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -18$ और $c = 27$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-18)^{2} - 4(3)(27)$.
$D = 324 - 324 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और समान हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
$x^{2} + x - 3 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1, b = 1, c = -3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (1)^{2} - 4(1)(-3)$
$D = 1 + 12 = 13$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न (distinct) हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} = 9$ है,जिसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में $x^{2} + 0x - 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 0$,और $c = -9$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (0)^{2} - 4(1)(-9) = 0 + 36 = 36$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग $(6^{2} = 36)$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-15=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-2$ और $c=-15$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-2)^{2} - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$.
चूंकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग $(8^{2} = 64)$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
$4x^{2}-6x+2=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=4$,$b=-6$,और $c=2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $D = (-6)^{2} - 4(4)(2) = 36 - 32 = 4$।
चूंकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
$x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 1$,और $c = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $D = (1)^{2} - 4(1)(\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और समान हैं।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो इसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $k x^{2} - 24 x + 16 = 0$ के लिए,$a = k$,$b = -24$ और $c = 16$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-24)^{2} - 4(k)(16) = 0$
$576 - 64k = 0$
$64k = 576$
$k = \frac{576}{64}$
$k = 9$.
अतः,$k$ का मान $9$ है।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2k$,और $c = 4$ है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ है।
$D = 0$ रखने पर,हमें $(2k)^{2} - 4(1)(4) = 0$ प्राप्त होता है।
$4k^{2} - 16 = 0$.
$4k^{2} = 16$.
$k^{2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो,तो उसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $3x^{2} - 18x + k = 0$ में,गुणांक इस प्रकार हैं: $a = 3$,$b = -18$,और $c = k$।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-18)^{2} - 4(3)(k) = 0$
$324 - 12k = 0$
$12k = 324$
$k = \frac{324}{12} = 27$।
अतः,$k$ का मान $27$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x(4 - kx) = 3 - 2x$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $4x - kx^2 = 3 - 2x$.
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $kx^2 - 6x + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = k$,$b = -6$,और $c = 3$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर: $(-6)^2 - 4(k)(3) = 0$.
$36 - 12k = 0$.
$12k = 36$.
$k = 3$.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो इसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 40x + \frac{k-1}{2} = 0$.
यहाँ,$a = 16$,$b = -40$,और $c = \frac{k-1}{2}$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-40)^{2} - 4(16)\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 64\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 32(k-1) = 0$
$1600 - 32k + 32 = 0$
$1632 = 32k$
$k = \frac{1632}{32} = 51$.
अतः,$k$ का मान $51$ है।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $x^{2} - kx + 25 = 0$.
यहाँ,$a = 1$,$b = -k$,और $c = 25$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-k)^{2} - 4(1)(25) = 0$
$k^{2} - 100 = 0$
$k^{2} = 100$
$k = \pm \sqrt{100}$
$k = 10$ या $k = -10$.
अतः,$k$ के मान $10$ और $-10$ हैं।

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $5x^{2} - 2kx + 20 = 0$.
यहाँ,$a = 5$,$b = -2k$,और $c = 20$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2k)^{2} - 4(5)(20) = 0$
$4k^{2} - 400 = 0$
$4k^{2} = 400$
$k^{2} = 100$
$k = \pm 10$.
अतः,$k$ के मान $10$ और $-10$ हैं।

(A) किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ का मान $0$ के बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$a = (k+1)$,$b = -2(k-1)$,और $c = 1$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = [-2(k-1)]^2 - 4(k+1)(1) = 0$
$4(k-1)^2 - 4(k+1) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(k-1)^2 - (k+1) = 0$
$k^2 - 2k + 1 - k - 1 = 0$
$k^2 - 3k = 0$
$k(k-3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$
यहाँ,$a = 2k$,$b = -8$,और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-8)^2 - 4(2k)(k) = 0$
$64 - 8k^2 = 0$
$8k^2 = 64$
$k^2 = 8$
$k = \pm\sqrt{8}$
$k = \pm 2\sqrt{2}$
अतः,$k$ के मान $-2\sqrt{2}$ और $2\sqrt{2}$ हैं।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $4x^{2} - 5x + k = 0$ में,$a = 4$,$b = -5$ और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (-5)^{2} - 4(4)(k) = 0$
$25 - 16k = 0$
$16k = 25$
$k = \frac{25}{16}$

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूल समान और वास्तविक होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
दिया गया समीकरण: $k x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4 = 0$.
यहाँ,$a = k$,$b = -2 \sqrt{5}$,और $c = 4$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-2 \sqrt{5})^{2} - 4(k)(4) = 0$
$(4 \times 5) - 16k = 0$
$20 - 16k = 0$
$16k = 20$
$k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x - k = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 5$ और $c = -k$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
चूंकि $D = 81$ दिया गया है,मान रखने पर:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2}-4 x-4=0$ है।
इसे मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=k$,$b=-4$,और $c=-4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
चूंकि $D = 64$ दिया गया है,सूत्र में मान रखने पर:
$64 = (-4)^{2}-4(k)(-4)$
$64 = 16 + 16k$
दोनों पक्षों से $16$ घटाने पर:
$48 = 16k$
$16$ से भाग देने पर:
$k = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $(3x - 14)^2 = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $9x^2 - 84x + 196 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 9$,$b = -84$,और $c = 196$ प्राप्त होते हैं।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (-84)^2 - 4(9)(196)$।
$D = 7056 - 7056 = 0$।
वैकल्पिक रूप से,$(px + q)^2 = 0$ के रूप वाले किसी भी द्विघात समीकरण के मूल समान होते हैं,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D$ हमेशा $0$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(x+2)(x-5)=0$ है।
कोष्ठकों का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$.
यह मानक द्विघात समीकरण के रूप में सरल होता है: $x^2 - 3x - 10 = 0$.
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-3$,और $c=-10$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-3)^2 - 4(1)(-10)$.
$D = 9 + 40 = 49$.

(B) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,इसलिए $\beta = 1/\alpha$,जिसका अर्थ है कि $\alpha \cdot \beta = 1$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = c/a$ होता है।
समीकरण $6x^2 - 13x + m = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 6$,$b = -13$ और $c = m$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूलों के गुणनफल के सूत्र में रखने पर: $1 = m/6$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 6$।