Nature of Roots Questions in Hindi

(C) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $3x^2 - 6x + 4 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -6$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-6)^2 - 4(3)(4)$
$D = 36 - 48$
$D = -12$
अतः,विविक्तकर $-12$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 12x + 36 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = 12$ और $c = 36$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ की गणना $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा की जाती है।
$D = (12)^{2} - 4(1)(36) = 144 - 144 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $(x + 6)^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिससे $x = -6, -6$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं।
यहाँ,$a = 9$,$b = 30$,और $c = 25$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (30)^2 - 4(9)(25)$
$D = 900 - 900$
$D = 0$
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-10$,और $c=2k-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
चूंकि $D=40$ दिया गया है,मान रखने पर:
$40 = (-10)^{2} - 4(1)(2k-1)$
$40 = 100 - 4(2k-1)$
$40 = 100 - 8k + 4$
$40 = 104 - 8k$
$8k = 104 - 40$
$8k = 64$
$k = 8$.

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = c/a$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $2x^{2} + 5x + 3 = 0$ में,$a = 2$,$b = 5$ और $c = 3$ है।
माना कि मूल $\alpha = -1$ है और दूसरा मूल $\beta$ है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $(-1) \cdot \beta = 3/2$.
अतः,$\beta = -3/2$.
वैकल्पिक रूप से,मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $\alpha + \beta = -b/a$.
$-1 + \beta = -5/2$.
$\beta = -5/2 + 1 = -3/2$.

(B) यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ शून्य के बराबर हो,तो उसके मूल समान (पुनरावृत्त) होते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{2}-6x-8=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(-8) = 36+32 = 68 \neq 0$.
विकल्प $B$ के लिए: $x^{2}-6x+9=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(9) = 36-36 = 0$. चूँकि $D=0$ है,इसलिए मूल समान हैं।
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-9=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-9) = 36 \neq 0$.
विकल्प $D$ के लिए: $x^{2}-4=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-4) = 16 \neq 0$.
अतः,समान मूल वाला समीकरण $x^{2}-6x+9=0$ है।

(C) मानक रूप के द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$,विविक्तकर को $D = b^2 - 4ac$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह मान द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है।
विविक्तकर को दर्शाने के लिए प्रयुक्त प्रतीक $D$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$2$. यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$3$. यदि $D < 0$ है,तो $D$ का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
अतः,वास्तविक मूलों के न होने की शर्त $D < 0$ है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए जहाँ गुणांक $a, b, c \in \mathbb{Q}$ हैं,मूल द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर (discriminant) है।
$1$. यदि $D > 0$ है और $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है,तो $\sqrt{D}$ परिमेय होता है,जिससे मूल भिन्न और परिमेय प्राप्त होते हैं।
$2$. यदि $D = 0$ है,तो मूल वास्तविक और समान होते हैं।
$3$. यदि $D < 0$ है,तो मूल काल्पनिक होते हैं।
अतः,मूलों के भिन्न और परिमेय होने के लिए $D > 0$ होना चाहिए और $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए,बशर्ते $a, b, c$ परिमेय हों।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है (काल्पनिक मूल होते हैं)।
अतः,मूलों के भिन्न और वास्तविक होने के लिए,शर्त $D > 0$ है।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
अतः,मूलों के समान होने के लिए शर्त $D = 0$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर (discriminant) है।
यह सूत्र दो मूल प्रदान करता है: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ और $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि एक मूल $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ है,इसलिए दूसरा मूल $\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ होगा।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यदि द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान हैं,तो विविक्तकर का मान शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D$ का मान रखने पर,हमें $b^2 - 4ac = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = 4ac$ होगा।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $4x^{2} + 20x + 25 = 0$ में,गुणांक $a = 4$,$b = 20$,और $c = 25$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (20)^{2} - 4(4)(25)$
$D = 400 - 400$
$D = 0$
अतः,विविक्तकर का मान $0$ है।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $5x^{2} + x + 2 = 0$ में,गुणांक $a = 5$,$b = 1$ और $c = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (1)^{2} - 4(5)(2)$
$D = 1 - 40$
$D = -39$
अतः,विविक्तकर का मान $-39$ है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-8x+15=0$ में,गुणांक $a=1, b=-8$ और $c=15$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D=(-8)^{2}-4(1)(15)$
$D=64-60$
$D=4$
अतः,विविक्तकर का मान $4$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $kx^{2} - 4x - 4 = 0$ है। इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = k$,$b = -4$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
चूंकि $D = 64$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$(-4)^{2} - 4(k)(-4) = 64$
$16 + 16k = 64$
$16k = 64 - 16$
$16k = 48$
$k = \frac{48}{16}$
$k = 3$

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण: $6x^{2}-x-k=0$.
यहाँ,$a=6, b=-1, c=-k$.
दिया गया है कि विविक्तकर $D = 25$.
सूत्र में मान रखने पर: $(-1)^{2}-4(6)(-k) = 25$.
$1+24k = 25$.
$24k = 25-1$.
$24k = 24$.
$k = 1$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $kx^2 - 6x + 1 = 0$ में,$a = k$,$b = -6$ और $c = 1$ है।
चूंकि विविक्तकर $0$ है,इसलिए हम $D = 0$ रखते हैं:
$(-6)^2 - 4(k)(1) = 0$
$36 - 4k = 0$
$4k = 36$
$k = 9$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूल समान होते हैं यदि और केवल यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
यहाँ,$a = k$,$b = 4$,और $c = 1$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (4)^{2} - 4(k)(1) = 0$
$16 - 4k = 0$
$4k = 16$
$k = 4$
अतः,$k$ का सही मान $4$ है।

(B) द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ है। $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=-10$ और $c=2k-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
यहाँ $D = 40$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$(-10)^{2} - 4(1)(2k-1) = 40$
$100 - 4(2k-1) = 40$
दोनों पक्षों से $100$ घटाने पर:
$-4(2k-1) = 40 - 100$
$-4(2k-1) = -60$
$-4$ से भाग देने पर:
$2k-1 = 15$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$2k = 16$
$2$ से भाग देने पर:
$k = 8$.

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए, विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + \sqrt{2}x + 2 = 0$ में, गुणांक $a = 1$, $b = \sqrt{2}$ और $c = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (\sqrt{2})^{2} - 4(1)(2)$
$D = 2 - 8$
$D = -6$
अतः, विविक्तकर का मान $-6$ है।

(C) मानक रूप वाले द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$ है,मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D$ का उपयोग किया जाता है।
विविक्तकर ज्ञात करने का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
यह मान यह पहचानने में मदद करता है कि मूल वास्तविक और भिन्न $(D > 0)$,वास्तविक और समान $(D = 0)$,या काल्पनिक $(D < 0)$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $25x^{2} - 10x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 25$,$b = -10$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-10)^{2} - 4(25)(1)$
$D = 100 - 100$
$D = 0$.
अतः,विविक्तकर का मान $0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+18x+81=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=18$ और $c=81$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (18)^{2} - 4(1)(81) = 324 - 324 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D=0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम समीकरण का गुणनखंड कर सकते हैं: $x^{2}+18x+81 = (x+9)^{2} = 0$.
इससे $(x+9)(x+9)=0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -9, -9$.
इस प्रकार,मूल समान हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + 5x + 1 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 5$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (5)^{2} - 4(1)(1)$
$D = 25 - 4$
$D = 21$.
अतः,विविक्तकर $D$ का मान $21$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x - k = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 5$ और $c = -k$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
चूंकि $D = 81$ दिया गया है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर है।
दिया गया है कि $D = 0$,इसलिए सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर $x = \frac{-b \pm 0}{2a}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों मूल समान हैं और उनका मान $x = \frac{-b}{2a}$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ दिया गया है।
यह दिया गया है कि $b = 0$,इसलिए समीकरण $ax^{2} + c = 0$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $ax^{2} = -c$,या $x^{2} = -c/a$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x = \pm \sqrt{-c/a}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तो $\alpha = \sqrt{-c/a}$ और $\beta = -\sqrt{-c/a}$ होगा।
चूंकि $\alpha = -\beta$,इसलिए मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं।
अतः,मूल विपरीत हैं।

(C) माना कि द्विघात समीकरण $25x^{2} - x(m - 2) - 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के विपरीत हैं।
द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 25$,$b = -(m - 2)$,और $c = -1$ है।
मूलों का योग: $\alpha + (-\alpha) = -[-(m - 2)] / 25$.
$0 = (m - 2) / 25$.
दोनों पक्षों को $25$ से गुणा करने पर,हमें $0 = m - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 2$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल ज्ञात करने का सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर है।
दिया गया है कि विविक्तकर $D = 0$,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm 0}{2a}$
$x = -\frac{b}{2a}$
अतः,जब $D = 0$ होता है,तो द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं,जिनमें से प्रत्येक का मान $-\frac{b}{2a}$ होता है।

(D) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता है यदि उसका विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 > 0$। इसके दो वास्तविक शून्यक हैं।
विकल्प $B$ के लिए: $D = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$। इसका एक वास्तविक शून्यक है।
विकल्प $C$ के लिए: $D = (0)^2 - 4(1)(-4) = 16 > 0$। इसके दो वास्तविक शून्यक हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $D = (2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए इस बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों की प्रकृति विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = 4$,और $c = -3$ है।
विविक्तकर की गणना करने पर: $D = (4)^{2} - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64$।
चूँकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और असमान हैं।
चूँकि $D = 64$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल परिमेय हैं।
अतः,मूल असमान और परिमेय हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ का विविक्तकर $D$,$D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$1.$ $x^{2}+5x+6=0$ के लिए,$D = 5^{2}-4(1)(6) = 25-24 = 1$। अतः,$(1-a)$।
$2.$ $x^{2}+5x+4=0$ के लिए,$D = 5^{2}-4(1)(4) = 25-16 = 9$। अतः,$(2-b)$।
$3.$ $x^{2}+4x+3=0$ के लिए,$D = 4^{2}-4(1)(3) = 16-12 = 4$। अतः,$(3-c)$।
$4.$ $x^{2}+6x+5=0$ के लिए,$D = 6^{2}-4(1)(5) = 36-20 = 16$। अतः,$(4-d)$।
इस प्रकार,सही मिलान $(1-a), (2-b), (3-c), (4-d)$ है।