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Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Quadratic Equations · Mix Examples - Quadratic Equations
25+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 25 of 25 questions in Hindi
1
Easy
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।
$(ii)$ यदि एक द्विघात समीकरण में $x^{2}$ का गुणांक और अचर पद विपरीत चिह्न के हों,तो द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं।
$(i)$ प्रत्येक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।
$(ii)$ यदि एक द्विघात समीकरण में $x^{2}$ का गुणांक और अचर पद विपरीत चिह्न के हों,तो द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं।
Solution
(A) $(i)$ सत्य। एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होता है जहाँ $a \neq 0$। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ मूल होते हैं। चूँकि द्विघात समीकरण की घात $2$ है,इसलिए इसके अधिकतम $2$ मूल हो सकते हैं।
$(ii)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ होता है। यदि $x^{2}$ का गुणांक $(a)$ और अचर पद $(c)$ विपरीत चिह्न के हैं,तो $ac < 0$ होगा। परिणामस्वरूप,$-4ac > 0$ होगा। चूँकि $b^{2} \geq 0$,इसलिए $D = b^{2} - 4ac > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि विविक्तकर धनात्मक है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(ii)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ होता है। यदि $x^{2}$ का गुणांक $(a)$ और अचर पद $(c)$ विपरीत चिह्न के हैं,तो $ac < 0$ होगा। परिणामस्वरूप,$-4ac > 0$ होगा। चूँकि $b^{2} \geq 0$,इसलिए $D = b^{2} - 4ac > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि विविक्तकर धनात्मक है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
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Easy
लिखिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों का औचित्य बताइए।
$(i)$ यदि $x^{2}$ का गुणांक और अचर पद का चिह्न समान है और यदि $x$ पद का गुणांक शून्य है,तो द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं।
$(ii)$ प्रत्येक द्विघात समीकरण के कम से कम दो मूल होते हैं।
$(i)$ यदि $x^{2}$ का गुणांक और अचर पद का चिह्न समान है और यदि $x$ पद का गुणांक शून्य है,तो द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं।
$(ii)$ प्रत्येक द्विघात समीकरण के कम से कम दो मूल होते हैं।
Solution
(A) $(i)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ होता है। दिया गया है कि $b = 0$,इसलिए $D = -4ac$ प्राप्त होता है। यदि $a$ और $c$ का चिह्न समान है,तो $ac > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $D = -4ac < 0$। चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
$(ii)$ असत्य। एक द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल होते हैं (जो वास्तविक और भिन्न,वास्तविक और समान,या सम्मिश्र/काल्पनिक हो सकते हैं)। वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में इसके "कम से कम" दो मूल होना आवश्यक नहीं है,और इसके दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं।
$(ii)$ असत्य। एक द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल होते हैं (जो वास्तविक और भिन्न,वास्तविक और समान,या सम्मिश्र/काल्पनिक हो सकते हैं)। वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में इसके "कम से कम" दो मूल होना आवश्यक नहीं है,और इसके दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं।
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MediumMCQ
एक मोटर बोट जिसकी शांत जल में गति $18\, km/h$ है,उसे $24\, km$ धारा के प्रतिकूल जाने में,धारा के अनुकूल वापस आने की तुलना में $1\, \text{hour}$ अधिक समय लगता है। धारा की गति ज्ञात कीजिए। ($\text{km/h}$ में)
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) माना धारा की गति $x\, km/h$ है।
अतः,धारा के प्रतिकूल बोट की गति $(18-x)\, km/h$ और धारा के अनुकूल बोट की गति $(18+x)\, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{24}{18-x}\, \text{घंटे}$.
इसी प्रकार,धारा के अनुकूल जाने में लगा समय $= \frac{24}{18+x}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, \text{घंटा}$ है:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ से गुणा करने पर:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$।
अतः,धारा के प्रतिकूल बोट की गति $(18-x)\, km/h$ और धारा के अनुकूल बोट की गति $(18+x)\, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{24}{18-x}\, \text{घंटे}$.
इसी प्रकार,धारा के अनुकूल जाने में लगा समय $= \frac{24}{18+x}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, \text{घंटा}$ है:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ से गुणा करने पर:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$।
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Difficult
दो संख्याओं के वर्गों का अंतर $180$ है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का $8$ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution
(A) माना बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
अतः,$x = 18$ या $x = -10$ है।
चूँकि $y^2 = 8x$,यदि $x = -10$ है,तो $y^2 = -80$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$x = 18$ होगा।
अब,$y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
अतः,वे दो संख्याएँ $(18, 12)$ या $(18, -12)$ हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
अतः,$x = 18$ या $x = -10$ है।
चूँकि $y^2 = 8x$,यदि $x = -10$ है,तो $y^2 = -80$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$x = 18$ होगा।
अब,$y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
अतः,वे दो संख्याएँ $(18, 12)$ या $(18, -12)$ हैं।
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DifficultMCQ
शहर $A$ से शहर $B$ जाने के लिए,शहर $C$ से होकर एक मार्ग है जहाँ $AC \perp CB$,$AC = 2x \, km$ और $CB = 2(x+7) \, km$ है। शहर $A$ और $B$ को सीधे जोड़ने के लिए $26 \, km$ लंबा राजमार्ग बनाने का प्रस्ताव है। राजमार्ग के निर्माण के बाद शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने में कितनी दूरी की बचत होगी,ज्ञात कीजिए (किमी में)।
A
$8$
B
$10$
C
$12$
D
$25$
Solution
(A) दिया गया है कि,$AC \perp CB$,$AC = 2x \, km$,$CB = 2(x+7) \, km$ और $AB = 26 \, km$.
आकृति से,हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACB$ प्राप्त होता है जिसका समकोण $C$ पर है।
अब,$\triangle ACB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$(26)^2 = (2x)^2 + \{2(x+7)\}^2$
$676 = 4x^2 + 4(x^2 + 49 + 14x)$
$676 = 4x^2 + 4x^2 + 196 + 56x$
$676 = 8x^2 + 56x + 196$
$8x^2 + 56x - 480 = 0$
$8$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$
$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$
$x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$
$(x + 12)(x - 5) = 0$
$x = -12$ या $x = 5$.
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ (क्योंकि $x \neq -12$).
अब,$AC = 2x = 2(5) = 10 \, km$ और $BC = 2(x+7) = 2(5+7) = 24 \, km$.
शहर $C$ से होकर शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AC + BC = 10 + 24 = 34 \, km$.
राजमार्ग के निर्माण के बाद शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AB = 26 \, km$.
अतः,बचाई गई दूरी $= 34 - 26 = 8 \, km$ है।
आकृति से,हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACB$ प्राप्त होता है जिसका समकोण $C$ पर है।
अब,$\triangle ACB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$(26)^2 = (2x)^2 + \{2(x+7)\}^2$
$676 = 4x^2 + 4(x^2 + 49 + 14x)$
$676 = 4x^2 + 4x^2 + 196 + 56x$
$676 = 8x^2 + 56x + 196$
$8x^2 + 56x - 480 = 0$
$8$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$
$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$
$x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$
$(x + 12)(x - 5) = 0$
$x = -12$ या $x = 5$.
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ (क्योंकि $x \neq -12$).
अब,$AC = 2x = 2(5) = 10 \, km$ और $BC = 2(x+7) = 2(5+7) = 24 \, km$.
शहर $C$ से होकर शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AC + BC = 10 + 24 = 34 \, km$.
राजमार्ग के निर्माण के बाद शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AB = 26 \, km$.
अतः,बचाई गई दूरी $= 34 - 26 = 8 \, km$ है।
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DifficultMCQ
$50\, m \times 40\, m$ विमाओं वाले एक आयताकार लॉन के केंद्र में एक आयताकार तालाब का निर्माण किया जाना है ताकि तालाब के चारों ओर घास का क्षेत्रफल $1184\, m^{2}$ हो [आकृति देखें]। तालाब की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ($m$ में)
A
$34, 24$
B
$43, 53$
C
$64, 54$
D
$35, 55$
Solution
(A) माना तालाब के चारों ओर घास की पट्टी की चौड़ाई $x\, m$ है।
दिया है,आयताकार लॉन की विमाएँ $50\, m \times 40\, m$ हैं।
अतः,तालाब की लंबाई $(50 - 2x)\, m$ और तालाब की चौड़ाई $(40 - 2x)\, m$ होगी।
तालाब के चारों ओर घास का क्षेत्रफल लॉन के क्षेत्रफल और तालाब के क्षेत्रफल का अंतर है।
घास का क्षेत्रफल = (लॉन का क्षेत्रफल) - (तालाब का क्षेत्रफल)
$1184 = (50 \times 40) - (50 - 2x)(40 - 2x)$
$1184 = 2000 - (2000 - 100x - 80x + 4x^{2})$
$1184 = 2000 - 2000 + 180x - 4x^{2}$
$4x^{2} - 180x + 1184 = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$x^{2} - 45x + 296 = 0$
$x^{2} - 37x - 8x + 296 = 0$
$x(x - 37) - 8(x - 37) = 0$
$(x - 37)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 37$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 37$ है,तो तालाब की विमाएँ ऋणात्मक होंगी,जो संभव नहीं है। इसलिए,$x = 8$ है।
तालाब की लंबाई = $50 - 2(8) = 50 - 16 = 34\, m$ है।
तालाब की चौड़ाई = $40 - 2(8) = 40 - 16 = 24\, m$ है।
अतः,तालाब की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $34\, m$ और $24\, m$ है।
दिया है,आयताकार लॉन की विमाएँ $50\, m \times 40\, m$ हैं।
अतः,तालाब की लंबाई $(50 - 2x)\, m$ और तालाब की चौड़ाई $(40 - 2x)\, m$ होगी।
तालाब के चारों ओर घास का क्षेत्रफल लॉन के क्षेत्रफल और तालाब के क्षेत्रफल का अंतर है।
घास का क्षेत्रफल = (लॉन का क्षेत्रफल) - (तालाब का क्षेत्रफल)
$1184 = (50 \times 40) - (50 - 2x)(40 - 2x)$
$1184 = 2000 - (2000 - 100x - 80x + 4x^{2})$
$1184 = 2000 - 2000 + 180x - 4x^{2}$
$4x^{2} - 180x + 1184 = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$x^{2} - 45x + 296 = 0$
$x^{2} - 37x - 8x + 296 = 0$
$x(x - 37) - 8(x - 37) = 0$
$(x - 37)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 37$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 37$ है,तो तालाब की विमाएँ ऋणात्मक होंगी,जो संभव नहीं है। इसलिए,$x = 8$ है।
तालाब की लंबाई = $50 - 2(8) = 50 - 16 = 34\, m$ है।
तालाब की चौड़ाई = $40 - 2(8) = 40 - 16 = 24\, m$ है।
अतः,तालाब की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $34\, m$ और $24\, m$ है।
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DifficultMCQ
एक व्यक्ति,जो स्थिर जल में $5 \, km/h$ की दर से नाव चलाता है,उसे $40 \, km$ धारा के प्रतिकूल जाने में,$40 \, km$ धारा के अनुकूल जाने की तुलना में तीन गुना समय लगता है। धारा की गति $km/h$ में ज्ञात कीजिए।
A
$1.5$
B
$3.5$
C
$2.5$
D
$4$
Solution
(C) माना कि धारा की गति $v \, km/h$ है।
दिया गया है कि स्थिर जल में व्यक्ति की गति $5 \, km/h$ है।
धारा के अनुकूल व्यक्ति की गति $(5 + v) \, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल व्यक्ति की गति $(5 - v) \, km/h$ होगी।
धारा के अनुकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ है।
धारा के प्रतिकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रतिकूल दिशा में लगा समय अनुकूल दिशा में लगे समय का तीन गुना है,इसलिए $t_2 = 3 \times t_1$.
मान रखने पर: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
वज्र गुणन करने पर: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
अतः,धारा की गति $2.5 \, km/h$ है।
दिया गया है कि स्थिर जल में व्यक्ति की गति $5 \, km/h$ है।
धारा के अनुकूल व्यक्ति की गति $(5 + v) \, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल व्यक्ति की गति $(5 - v) \, km/h$ होगी।
धारा के अनुकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ है।
धारा के प्रतिकूल $40 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रतिकूल दिशा में लगा समय अनुकूल दिशा में लगे समय का तीन गुना है,इसलिए $t_2 = 3 \times t_1$.
मान रखने पर: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
वज्र गुणन करने पर: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
अतः,धारा की गति $2.5 \, km/h$ है।
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EasyMCQ
दो अंकों की एक संख्या के लिए,यदि उसके अंकों का योग उसके अंकों के गुणनफल के बराबर है,तो वह संख्या ............. है।
A
$11$
B
$23$
C
$10$
D
$22$
Solution
(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग अंकों के गुणनफल के बराबर है:
$x + y = xy$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$xy - x - y = 0$
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$xy - x - y + 1 = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$
चूँकि $x$ और $y$ अंक हैं ($x$ के लिए $1$ से $9$ और $y$ के लिए $0$ से $9$),$(x - 1)(y - 1) = 1$ के लिए केवल एक ही पूर्णांक हल संभव है:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
अतः,वह संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग अंकों के गुणनफल के बराबर है:
$x + y = xy$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$xy - x - y = 0$
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$xy - x - y + 1 = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$
चूँकि $x$ और $y$ अंक हैं ($x$ के लिए $1$ से $9$ और $y$ के लिए $0$ से $9$),$(x - 1)(y - 1) = 1$ के लिए केवल एक ही पूर्णांक हल संभव है:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
अतः,वह संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 2x + 3$,$BC = x + 2$ और $AC = 3x - 1$ है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$6$
B
$5$
C
$4$
D
$2$
Solution
(A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m\angle B = 90^{\circ}$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(3x - 1)^2 = (2x + 3)^2 + (x + 2)^2$
$9x^2 - 6x + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 + 4x + 4)$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x^2 + 16x + 13$
$4x^2 - 22x - 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2x^2 - 11x - 6 = 0$
$2x^2 - 12x + x - 6 = 0$
$2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(2x + 1) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = -\frac{1}{2}$.
चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि इससे भुजा की लंबाई ऋणात्मक हो जाती है।
इसलिए,$x = 6$।
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(3x - 1)^2 = (2x + 3)^2 + (x + 2)^2$
$9x^2 - 6x + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 + 4x + 4)$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x^2 + 16x + 13$
$4x^2 - 22x - 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2x^2 - 11x - 6 = 0$
$2x^2 - 12x + x - 6 = 0$
$2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(2x + 1) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = -\frac{1}{2}$.
चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि इससे भुजा की लंबाई ऋणात्मक हो जाती है।
इसलिए,$x = 6$।
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Medium
$\square XYZW$ एक आयत है। यदि $XY + YZ = 17$ और $XZ + YW = 26$ है,तो $XY$ और $YZ$ ज्ञात कीजिए (जहाँ $XY > YZ$ दिया गया है)।
Solution
(A) एक आयत में विकर्णों की लंबाई समान होती है,इसलिए $XZ = YW$। दिया गया है कि $XZ + YW = 26$,अतः $2XZ = 26$,जिसका अर्थ है कि $XZ = 13$।
समकोण त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2 = 13^2 = 169$।
हमें $XY + YZ = 17$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(XY + YZ)^2 = 17^2 = 289$।
इसका विस्तार करने पर,$XY^2 + YZ^2 + 2(XY \cdot YZ) = 289$।
$XY^2 + YZ^2 = 169$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $169 + 2(XY \cdot YZ) = 289$ प्राप्त होता है,इसलिए $2(XY \cdot YZ) = 120$,जिसका अर्थ है कि $XY \cdot YZ = 60$।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $17$ और गुणनफल $60$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $5$ हैं।
चूँकि $XY > YZ$ है,इसलिए $XY = 12$ और $YZ = 5$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2 = 13^2 = 169$।
हमें $XY + YZ = 17$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(XY + YZ)^2 = 17^2 = 289$।
इसका विस्तार करने पर,$XY^2 + YZ^2 + 2(XY \cdot YZ) = 289$।
$XY^2 + YZ^2 = 169$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $169 + 2(XY \cdot YZ) = 289$ प्राप्त होता है,इसलिए $2(XY \cdot YZ) = 120$,जिसका अर्थ है कि $XY \cdot YZ = 60$।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $17$ और गुणनफल $60$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $5$ हैं।
चूँकि $XY > YZ$ है,इसलिए $XY = 12$ और $YZ = 5$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ में,$m \angle A = 90^{\circ}$ है। यदि $AB = 3x - 2$,$AC = 5x + 4$ और $BC = 6x + 2$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$10$
B
$4$
C
$2$
D
$12$
Solution
(B) चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle A = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x - 2)^2 + (5x + 4)^2 = (6x + 2)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(9x^2 - 12x + 4) + (25x^2 + 40x + 16) = (36x^2 + 24x + 4)$
बाईं ओर के समान पदों को जोड़ने पर:
$34x^2 + 28x + 20 = 36x^2 + 24x + 4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$36x^2 - 34x^2 + 24x - 28x + 4 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 16 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
इससे $x = 4$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,$3x - 2 > 0$ का अर्थ है $x > 2/3$। अतः,$x = 4$ ही एकमात्र मान्य हल है।
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x - 2)^2 + (5x + 4)^2 = (6x + 2)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(9x^2 - 12x + 4) + (25x^2 + 40x + 16) = (36x^2 + 24x + 4)$
बाईं ओर के समान पदों को जोड़ने पर:
$34x^2 + 28x + 20 = 36x^2 + 24x + 4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$36x^2 - 34x^2 + 24x - 28x + 4 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 16 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
इससे $x = 4$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,$3x - 2 > 0$ का अर्थ है $x > 2/3$। अतः,$x = 4$ ही एकमात्र मान्य हल है।
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MediumMCQ
आयत $ABCD$ का परिमाप $28$ है। यदि $AC = 10$ और $AB < BC$ है,तो इसकी भुजाओं के माप ज्ञात कीजिए।
A
$6$ और $8$
B
$5$ और $9$
C
$4$ और $10$
D
$7$ और $7$
Solution
(A) माना आयत की भुजाएँ $AB = x$ और $BC = y$ हैं।
आयत का परिमाप $2(x + y) = 28$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 14$ प्राप्त होता है।
आयत में,विकर्ण $AC$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = AC^2 = 10^2 = 100$ है।
हमारे पास समीकरणों का निकाय है:
$1) x + y = 14$
$2) x^2 + y^2 = 100$
समीकरण $(1)$ से,$y = 14 - x$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 6$ है,तो $y = 14 - 6 = 8$ होगा। चूँकि $AB < BC$ $(6 < 8)$ है,यह एक मान्य हल है।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 14 - 8 = 6$ होगा। यह $AB < BC$ की शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,भुजाओं के माप $AB = 6$ और $BC = 8$ हैं।
आयत का परिमाप $2(x + y) = 28$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 14$ प्राप्त होता है।
आयत में,विकर्ण $AC$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = AC^2 = 10^2 = 100$ है।
हमारे पास समीकरणों का निकाय है:
$1) x + y = 14$
$2) x^2 + y^2 = 100$
समीकरण $(1)$ से,$y = 14 - x$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 6$ है,तो $y = 14 - 6 = 8$ होगा। चूँकि $AB < BC$ $(6 < 8)$ है,यह एक मान्य हल है।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 14 - 8 = 6$ होगा। यह $AB < BC$ की शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,भुजाओं के माप $AB = 6$ और $BC = 8$ हैं।
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EasyMCQ
आयत $HIJK$ में,$HJ = 13$ और $HI = 5$ है। तो,आयत $HIJK$ का परिमाप ....... है।
A
$34$
B
$20$
C
$17$
D
$36$
Solution
(A) आयत $HIJK$ में,$HJ$ विकर्ण है और $HI$ एक भुजा है।
मान लीजिए भुजाएँ $HI = l = 5$ और $IJ = w$ हैं। विकर्ण $HJ$ भुजाओं $HI$ और $IJ$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $\triangle HIJ$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$HI^2 + IJ^2 = HJ^2$ होता है।
$5^2 + IJ^2 = 13^2$.
$25 + IJ^2 = 169$.
$IJ^2 = 169 - 25 = 144$.
$IJ = \sqrt{144} = 12$.
अब,आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(5 + 12) = 2(17) = 34$.
मान लीजिए भुजाएँ $HI = l = 5$ और $IJ = w$ हैं। विकर्ण $HJ$ भुजाओं $HI$ और $IJ$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $\triangle HIJ$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$HI^2 + IJ^2 = HJ^2$ होता है।
$5^2 + IJ^2 = 13^2$.
$25 + IJ^2 = 169$.
$IJ^2 = 169 - 25 = 144$.
$IJ = \sqrt{144} = 12$.
अब,आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(5 + 12) = 2(17) = 34$.
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DifficultMCQ
नदी के प्रवाह की गति $3 \, km/hr$ है। एक मोटरबोट $12 \, km$ धारा के अनुकूल (downstream) जाती है और वापस आती है,जिसमें कुल $3$ घंटे का समय लगता है। स्थिर जल में मोटरबोट की गति ज्ञात कीजिए। (पानी के प्रवाह की गति नाव की गति से कम है।)
A
$12$
B
$1$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) माना कि स्थिर जल में मोटरबोट की गति $x \, km/hr$ है।
इसलिए,धारा के अनुकूल मोटरबोट की गति $(x+3) \, km/hr$ और धारा के प्रतिकूल (upstream) उसकी गति $(x-3) \, km/hr$ होगी।
अतः,धारा के अनुकूल $12 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $\frac{12}{x+3}$ घंटे है और उतनी ही दूरी यानी $12 \, km$ वापस आने में लगा समय $\frac{12}{x-3}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $3$ घंटे है।
$\frac{12}{x+3} + \frac{12}{x-3} = 3$
$12(x-3) + 12(x+3) = 3(x+3)(x-3)$
$12x - 36 + 12x + 36 = 3(x^2 - 9)$
$24x = 3x^2 - 27$
$3x^2 - 24x - 27 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$x^2 - 8x - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ या $x = -1$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 9 \, km/hr$।
इसलिए,धारा के अनुकूल मोटरबोट की गति $(x+3) \, km/hr$ और धारा के प्रतिकूल (upstream) उसकी गति $(x-3) \, km/hr$ होगी।
अतः,धारा के अनुकूल $12 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $\frac{12}{x+3}$ घंटे है और उतनी ही दूरी यानी $12 \, km$ वापस आने में लगा समय $\frac{12}{x-3}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $3$ घंटे है।
$\frac{12}{x+3} + \frac{12}{x-3} = 3$
$12(x-3) + 12(x+3) = 3(x+3)(x-3)$
$12x - 36 + 12x + 36 = 3(x^2 - 9)$
$24x = 3x^2 - 27$
$3x^2 - 24x - 27 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$x^2 - 8x - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ या $x = -1$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 9 \, km/hr$।
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DifficultMCQ
एक समकोण त्रिभुज के आकार के बगीचे का कर्ण उसकी सबसे छोटी भुजा के दोगुने से $1$ मीटर अधिक है। यदि समकोण बनाने वाली लंबी भुजा छोटी भुजा से $7$ मीटर अधिक है,तो बगीचे की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
A
$10\,m, 5\,m, 3\,m$
B
$22\,m, 9\,m, 13\,m$
C
$14\,m, 23\,m, 10\,m$
D
$8\,m, 15\,m, 17\,m$
Solution
(D) माना समकोण बनाने वाली भुजाओं में से छोटी भुजा (आधार) $x$ मीटर है।
अतः,समकोण बनाने वाली दूसरी भुजा (लंब) $(x+7)$ मीटर और कर्ण $(2x+1)$ मीटर है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(\text{कर्ण})^2 = (\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2$.
अतः,$(2x+1)^2 = x^2 + (x+7)^2$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49$.
$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49$.
$2x^2 - 10x - 48 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x^2 - 5x - 24 = 0$.
$(x-8)(x+3) = 0$.
अतः,$x=8$ या $x=-3$.
चूँकि त्रिभुज की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x=8$.
इस प्रकार,आधार $8\,m$,लंब $8+7=15\,m$ और कर्ण $2(8)+1=17\,m$ है।
बगीचे की भुजाएँ $8\,m, 15\,m$ और $17\,m$ हैं।
अतः,समकोण बनाने वाली दूसरी भुजा (लंब) $(x+7)$ मीटर और कर्ण $(2x+1)$ मीटर है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(\text{कर्ण})^2 = (\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2$.
अतः,$(2x+1)^2 = x^2 + (x+7)^2$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49$.
$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49$.
$2x^2 - 10x - 48 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x^2 - 5x - 24 = 0$.
$(x-8)(x+3) = 0$.
अतः,$x=8$ या $x=-3$.
चूँकि त्रिभुज की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x=8$.
इस प्रकार,आधार $8\,m$,लंब $8+7=15\,m$ और कर्ण $2(8)+1=17\,m$ है।
बगीचे की भुजाएँ $8\,m, 15\,m$ और $17\,m$ हैं।
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DifficultMCQ
एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाइयों का अंतर $7 \, cm$ है। यदि इसका परिमाप $30 \, cm$ है,तो भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
A
$5 \, cm, 12 \, cm, 13 \, cm$
B
$15 \, cm, 24 \, cm, 13 \, cm$
C
$5 \, cm, 20 \, cm, 26 \, cm$
D
$10 \, cm, 22 \, cm, 26 \, cm$
Solution
(A) माना समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ $x \, cm$ और $(x + 7) \, cm$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण = $\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 14x + 49} = \sqrt{2x^2 + 14x + 49}$.
परिमाप $30 \, cm$ दिया गया है,अतः $x + (x + 7) + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$2x + 7 + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$\sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 23 - 2x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2x^2 + 14x + 49 = (23 - 2x)^2$.
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$.
$2x^2 - 106x + 480 = 0$.
$x^2 - 53x + 240 = 0$.
$(x - 5)(x - 48) = 0$.
चूँकि $x = 48$ संभव नहीं है (क्योंकि परिमाप $30$ है),इसलिए $x = 5$.
भुजाएँ $5 \, cm$,$5 + 7 = 12 \, cm$ हैं और कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण = $\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 14x + 49} = \sqrt{2x^2 + 14x + 49}$.
परिमाप $30 \, cm$ दिया गया है,अतः $x + (x + 7) + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$2x + 7 + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$\sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 23 - 2x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2x^2 + 14x + 49 = (23 - 2x)^2$.
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$.
$2x^2 - 106x + 480 = 0$.
$x^2 - 53x + 240 = 0$.
$(x - 5)(x - 48) = 0$.
चूँकि $x = 48$ संभव नहीं है (क्योंकि परिमाप $30$ है),इसलिए $x = 5$.
भुजाएँ $5 \, cm$,$5 + 7 = 12 \, cm$ हैं और कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ है।
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MediumMCQ
एक शून्येतर अनुपात का हर उसके अंश के दोगुने से एक कम है। यदि अनुपात और उसके व्युत्क्रम का योग $2 \frac{4}{15}$ है,तो अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$3/5$
B
$5/3$
C
$2/3$
D
$3/2$
Solution
(A) माना अंश $x$ है। तो हर $2x - 1$ है। अनुपात $\frac{x}{2x - 1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात और उसके व्युत्क्रम का योग $2 \frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ है।
अतः,$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x} = \frac{34}{15}$.
माना $y = \frac{x}{2x - 1}$. तो $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$.
$15y^2 - 34y + 15 = 0$.
$15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$.
$5y(3y - 5) - 3(3y - 5) = 0$.
$(5y - 3)(3y - 5) = 0$.
अतः,$y = 3/5$ या $y = 5/3$.
यदि $y = 3/5$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{3}{5} \implies 5x = 6x - 3 \implies x = 3$. अनुपात $\frac{3}{2(3) - 1} = \frac{3}{5}$ है।
यदि $y = 5/3$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{3} \implies 3x = 10x - 5 \implies 7x = 5 \implies x = 5/7$. अनुपात $\frac{5/7}{2(5/7) - 1} = \frac{5/7}{3/7} = \frac{5}{3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात और उसके व्युत्क्रम का योग $2 \frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ है।
अतः,$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x} = \frac{34}{15}$.
माना $y = \frac{x}{2x - 1}$. तो $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$.
$15y^2 - 34y + 15 = 0$.
$15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$.
$5y(3y - 5) - 3(3y - 5) = 0$.
$(5y - 3)(3y - 5) = 0$.
अतः,$y = 3/5$ या $y = 5/3$.
यदि $y = 3/5$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{3}{5} \implies 5x = 6x - 3 \implies x = 3$. अनुपात $\frac{3}{2(3) - 1} = \frac{3}{5}$ है।
यदि $y = 5/3$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{3} \implies 3x = 10x - 5 \implies 7x = 5 \implies x = 5/7$. अनुपात $\frac{5/7}{2(5/7) - 1} = \frac{5/7}{3/7} = \frac{5}{3}$ है।
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DifficultMCQ
एक कैलकुलेटर को Rs. $56$ में बेचने पर,लाभ का प्रतिशत उसकी लागत मूल्य (रुपयों में) के बराबर है। कैलकुलेटर का लागत मूल्य ज्ञात कीजिए।
A
$40$
B
$46$
C
$36$
D
$52$
Solution
(A) माना कैलकुलेटर का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,इसलिए लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\text{लागत मूल्य} \times \frac{\text{लाभ प्रतिशत}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = $\text{लागत मूल्य} + \text{लाभ} = x + \frac{x^2}{100}$.
दिया गया है कि विक्रय मूल्य Rs. $56$ है,इसलिए समीकरण: $x + \frac{x^2}{100} = 56$.
$100$ से गुणा करने पर,$100x + x^2 = 5600$,जिसे सरल करने पर $x^2 + 100x - 5600 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 140x - 40x - 5600 = 0$.
$x(x + 140) - 40(x + 140) = 0$.
$(x - 40)(x + 140) = 0$.
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 40$.
अतः,कैलकुलेटर का लागत मूल्य Rs. $40$ है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,इसलिए लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\text{लागत मूल्य} \times \frac{\text{लाभ प्रतिशत}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = $\text{लागत मूल्य} + \text{लाभ} = x + \frac{x^2}{100}$.
दिया गया है कि विक्रय मूल्य Rs. $56$ है,इसलिए समीकरण: $x + \frac{x^2}{100} = 56$.
$100$ से गुणा करने पर,$100x + x^2 = 5600$,जिसे सरल करने पर $x^2 + 100x - 5600 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 140x - 40x - 5600 = 0$.
$x(x + 140) - 40(x + 140) = 0$.
$(x - 40)(x + 140) = 0$.
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 40$.
अतः,कैलकुलेटर का लागत मूल्य Rs. $40$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का योग $15$ है। यदि उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{3}{10}$ है,तो वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
A
$1, 2$
B
$0, 3$
C
$5, 10$
D
$4, 13$
Solution
(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है: $x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$।
समीकरण $1$ से $x + y$ का मान इस व्यंजक में रखने पर: $\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}$।
$xy$ के लिए हल करने पर: $3xy = 150$,अतः $xy = 50$।
अब हमारे पास $x + y = 15$ और $xy = 50$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर: $t^2 - 15t + 50 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 5)(t - 10) = 0$।
अतः,$t = 5$ या $t = 10$।
वे दो संख्याएँ $5$ और $10$ हैं।
दिया गया है: $x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$।
समीकरण $1$ से $x + y$ का मान इस व्यंजक में रखने पर: $\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}$।
$xy$ के लिए हल करने पर: $3xy = 150$,अतः $xy = 50$।
अब हमारे पास $x + y = 15$ और $xy = 50$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर: $t^2 - 15t + 50 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 5)(t - 10) = 0$।
अतः,$t = 5$ या $t = 10$।
वे दो संख्याएँ $5$ और $10$ हैं।
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DifficultMCQ
स्थिर जल में एक मोटरबोट की चाल $9\,km/h$ है। एक नदी में,यह $12\,km$ धारा के अनुकूल और उतनी ही दूरी धारा के प्रतिकूल कुल $3\,hours$ में तय करती है। नदी की धारा की चाल ज्ञात कीजिए। (नदी की धारा की चाल स्थिर जल में मोटरबोट की चाल से कम है।) ($,km/h$ में)
A
$5$
B
$1$
C
$7$
D
$3$
Solution
(D) माना कि धारा की चाल $x\,km/h$ है।
धारा के अनुकूल चाल = $(9 + x)\,km/h$.
धारा के प्रतिकूल चाल = $(9 - x)\,km/h$.
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 + x}$.
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 - x}$.
कुल समय = $3\,hours$,इसलिए $\frac{12}{9 + x} + \frac{12}{9 - x} = 3$.
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{4}{9 + x} + \frac{4}{9 - x} = 1$.
$4(9 - x) + 4(9 + x) = (9 + x)(9 - x)$.
$36 - 4x + 36 + 4x = 81 - x^2$.
$72 = 81 - x^2$.
$x^2 = 81 - 72 = 9$.
$x = 3\,km/h$ (चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
धारा के अनुकूल चाल = $(9 + x)\,km/h$.
धारा के प्रतिकूल चाल = $(9 - x)\,km/h$.
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 + x}$.
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 - x}$.
कुल समय = $3\,hours$,इसलिए $\frac{12}{9 + x} + \frac{12}{9 - x} = 3$.
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{4}{9 + x} + \frac{4}{9 - x} = 1$.
$4(9 - x) + 4(9 + x) = (9 + x)(9 - x)$.
$36 - 4x + 36 + 4x = 81 - x^2$.
$72 = 81 - x^2$.
$x^2 = 81 - 72 = 9$.
$x = 3\,km/h$ (चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
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DifficultMCQ
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का गुणनफल $15$ है। यदि इस संख्या के अंकों को आपस में बदल दिया जाए,तो प्राप्त नई संख्या मूल संख्या से $18$ अधिक है। मूल संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$30$
B
$35$
C
$23$
D
$40$
Solution
(B) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $xy = 15$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $18$ अधिक है:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$y - x = 2$,जिसका अर्थ है कि $y = x + 2$ है।
$y = x + 2$ को गुणनफल समीकरण $xy = 15$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 2) = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 3$ है।
तब $y = 3 + 2 = 5$ है।
मूल संख्या $10(3) + 5 = 35$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $xy = 15$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $18$ अधिक है:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$y - x = 2$,जिसका अर्थ है कि $y = x + 2$ है।
$y = x + 2$ को गुणनफल समीकरण $xy = 15$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 2) = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 3$ है।
तब $y = 3 + 2 = 5$ है।
मूल संख्या $10(3) + 5 = 35$ है।
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DifficultMCQ
एक बड़े वर्ग का परिमाप एक छोटे वर्ग के परिमाप से $12\,m$ अधिक है। छोटे वर्ग के क्षेत्रफल का तीन गुना,बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से $11\,m^2$ अधिक है। बड़े वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
A
$3$
B
$9$
C
$8$
D
$5$
Solution
(C) माना कि छोटे वर्ग की भुजा $x\,m$ है और बड़े वर्ग की भुजा $y\,m$ है।
छोटे वर्ग का परिमाप $4x$ है और बड़े वर्ग का परिमाप $4y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4y = 4x + 12$,जिसे सरल करने पर $y = x + 3$ प्राप्त होता है।
छोटे वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ है और बड़े वर्ग का क्षेत्रफल $y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$3x^2 = y^2 + 11$ है।
दूसरे समीकरण में $y = x + 3$ रखने पर:
$3x^2 = (x + 3)^2 + 11$
$3x^2 = x^2 + 6x + 9 + 11$
$2x^2 - 6x - 20 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ है।
अतः,बड़े वर्ग की भुजा $y = x + 3 = 5 + 3 = 8\,m$ है।
छोटे वर्ग का परिमाप $4x$ है और बड़े वर्ग का परिमाप $4y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4y = 4x + 12$,जिसे सरल करने पर $y = x + 3$ प्राप्त होता है।
छोटे वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ है और बड़े वर्ग का क्षेत्रफल $y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$3x^2 = y^2 + 11$ है।
दूसरे समीकरण में $y = x + 3$ रखने पर:
$3x^2 = (x + 3)^2 + 11$
$3x^2 = x^2 + 6x + 9 + 11$
$2x^2 - 6x - 20 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ है।
अतः,बड़े वर्ग की भुजा $y = x + 3 = 5 + 3 = 8\,m$ है।
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MediumMCQ
यदि दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग और गुणनफल समान है,तो वह संख्या $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है।
A
$11$
B
$23$
C
$10$
D
$22$
Solution
(D) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग और अंकों का गुणनफल समान है:
$x + y = xy$
$y$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$x = xy - y$
$x = y(x - 1)$
$y = \frac{x}{x - 1}$
चूँकि $x$ और $y$ को $1$ से $9$ के बीच का पूर्णांक होना चाहिए (दो अंकों की संख्या के लिए $x \neq 0$):
यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{2}{2 - 1} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।
जाँच: अंकों का योग $= 2 + 2 = 4$; अंकों का गुणनफल $= 2 \times 2 = 4$। दोनों समान हैं।
इस प्रकार,वह संख्या $22$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग और अंकों का गुणनफल समान है:
$x + y = xy$
$y$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$x = xy - y$
$x = y(x - 1)$
$y = \frac{x}{x - 1}$
चूँकि $x$ और $y$ को $1$ से $9$ के बीच का पूर्णांक होना चाहिए (दो अंकों की संख्या के लिए $x \neq 0$):
यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{2}{2 - 1} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः संख्या $10(2) + 2 = 22$ है।
जाँच: अंकों का योग $= 2 + 2 = 4$; अंकों का गुणनफल $= 2 \times 2 = 4$। दोनों समान हैं।
इस प्रकार,वह संख्या $22$ है।
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MediumMCQ
यदि $x^{2}-5x+6=0$ का एक मूल $x^{2}+3x+c=0$ का भी मूल है,तो $c = \ldots$
A
$10$ या $18$
B
$-10$ या $-18$
C
$9$ या $5$
D
$-9$ या $-5$
Solution
(B) सबसे पहले,द्विघात समीकरण $x^{2}-5x+6=0$ को हल करें।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-3)=0$।
अतः,मूल $x=2$ या $x=3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x=2$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(2)^{2}+3(2)+c=0$।
$4+6+c=0 \implies 10+c=0 \implies c=-10$।
स्थिति $2$: यदि $x=3$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(3)^{2}+3(3)+c=0$।
$9+9+c=0 \implies 18+c=0 \implies c=-18$।
इसलिए,$c$ के संभावित मान $-10$ या $-18$ हैं।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-3)=0$।
अतः,मूल $x=2$ या $x=3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x=2$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(2)^{2}+3(2)+c=0$।
$4+6+c=0 \implies 10+c=0 \implies c=-10$।
स्थिति $2$: यदि $x=3$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(3)^{2}+3(3)+c=0$।
$9+9+c=0 \implies 18+c=0 \implies c=-18$।
इसलिए,$c$ के संभावित मान $-10$ या $-18$ हैं।
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EasyMCQ
निम्नलिखित त्रिकों में से,$\ldots \ldots \ldots \ldots$ एक पाइथागोरस त्रिक नहीं है।
A
$7, 24, 25$
B
$20, 21, 29$
C
$11, 60, 61$
D
$13, 35, 37$
Solution
(D) एक त्रिक $(a, b, c)$ पाइथागोरस त्रिक कहलाता है यदि यह $a^2 + b^2 = c^2$ की शर्त को पूरा करता है,जहाँ $c$ सबसे बड़ी संख्या है।
विकल्प $A$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $B$ के लिए: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $C$ के लिए: $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $D$ के लिए: $13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394$,जबकि $37^2 = 1369$. चूँकि $1394 \neq 1369$,इसलिए यह पाइथागोरस त्रिक नहीं है।
विकल्प $A$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $B$ के लिए: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $C$ के लिए: $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$. यह एक पाइथागोरस त्रिक है।
विकल्प $D$ के लिए: $13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394$,जबकि $37^2 = 1369$. चूँकि $1394 \neq 1369$,इसलिए यह पाइथागोरस त्रिक नहीं है।
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View SolutionQuadratic Equations — Mix Examples - Quadratic Equations · Frequently Asked Questions
1Are these Quadratic Equations questions useful for JEE and NEET?
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