Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) $(i)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ બીજ હોય છે. દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવાથી,તેને વધુમાં વધુ $2$ બીજ હોય છે.
$(ii)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે. જો $x^{2}$ નો સહગુણક $(a)$ અને અચળ પદ $(c)$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $ac < 0$ થાય. પરિણામે,$-4ac > 0$ થાય. $b^{2} \geq 0$ હોવાથી,$D = b^{2} - 4ac > 0$ મળે. વિવેચક ધન હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(A) $(i)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે. આપેલ છે કે $b = 0$,તેથી $D = -4ac$ મળે. જો $a$ અને $c$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $ac > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $D = -4ac < 0$. વિવેચક ઋણ હોવાથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
$(ii)$ ખોટું. દ્વિઘાત સમીકરણને બરાબર બે જ બીજ હોય છે (જે વાસ્તવિક અને ભિન્ન,વાસ્તવિક અને સમાન,અથવા સંકર/કાલ્પનિક હોઈ શકે છે). વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં તેને "ઓછામાં ઓછા" બે બીજ હોવા જરૂરી નથી,અને તેને બેથી વધુ બીજ હોઈ શકે નહીં.

(C) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની સામે બોટની ઝડપ $(18-x)\, km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં બોટની ઝડપ $(18+x)\, km/h$ થાય.
પ્રવાહની સામે જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{24}{18-x}\, \text{કલાક}$.
તે જ રીતે,પ્રવાહની દિશામાં જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{24}{18+x}\, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $1\, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ વડે ગુણતા:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$.

(A) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
તેથી,$x = 18$ અથવા $x = -10$.
કારણ કે $y^2 = 8x$,જો $x = -10$ હોય,તો $y^2 = -80$ થાય,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે શક્ય નથી. તેથી,$x = 18$.
હવે,$y$ શોધો:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $(18, 12)$ અથવા $(18, -12)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$AC \perp CB$,$AC = 2x \, km$,$CB = 2(x+7) \, km$ અને $AB = 26 \, km$.
આકૃતિ પરથી,આપણને કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ACB$ મળે છે જે $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
હવે,$\triangle ACB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$(26)^2 = (2x)^2 + \{2(x+7)\}^2$
$676 = 4x^2 + 4(x^2 + 49 + 14x)$
$676 = 4x^2 + 4x^2 + 196 + 56x$
$676 = 8x^2 + 56x + 196$
$8x^2 + 56x - 480 = 0$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $x^2 + 7x - 60 = 0$
$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$
$x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$
$(x + 12)(x - 5) = 0$
$x = -12$ અથવા $x = 5$.
અંતર ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$ (કારણ કે $x \neq -12$).
હવે,$AC = 2x = 2(5) = 10 \, km$ અને $BC = 2(x+7) = 2(5+7) = 24 \, km$.
શહેર $C$ થઈને શહેર $A$ થી શહેર $B$ પહોંચવા માટે કાપેલું અંતર $= AC + BC = 10 + 24 = 34 \, km$.
હાઈવેના નિર્માણ પછી શહેર $A$ થી શહેર $B$ પહોંચવા માટે કાપેલું અંતર $= AB = 26 \, km$.
તેથી,બચેલું અંતર $= 34 - 26 = 8 \, km$ છે.

(A) ધારો કે તળાવની આસપાસની ઘાસની પટ્ટીની પહોળાઈ $x\, m$ છે.
આપેલ છે કે લંબચોરસ લૉનનું માપ $50\, m \times 40\, m$ છે.
તેથી,તળાવની લંબાઈ $(50 - 2x)\, m$ અને તળાવની પહોળાઈ $(40 - 2x)\, m$ થશે.
તળાવની આસપાસની ઘાસની જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ એ લૉનનું ક્ષેત્રફળ અને તળાવના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ઘાસનું ક્ષેત્રફળ = (લૉનનું ક્ષેત્રફળ) - (તળાવનું ક્ષેત્રફળ)
$1184 = (50 \times 40) - (50 - 2x)(40 - 2x)$
$1184 = 2000 - (2000 - 100x - 80x + 4x^{2})$
$1184 = 2000 - 2000 + 180x - 4x^{2}$
$4x^{2} - 180x + 1184 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - 45x + 296 = 0$
$x^{2} - 37x - 8x + 296 = 0$
$x(x - 37) - 8(x - 37) = 0$
$(x - 37)(x - 8) = 0$
તેથી,$x = 37$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 37$ હોય,તો તળાવનું માપ ઋણ મળે,જે શક્ય નથી. તેથી,$x = 8$.
તળાવની લંબાઈ = $50 - 2(8) = 50 - 16 = 34\, m$.
તળાવની પહોળાઈ = $40 - 2(8) = 40 - 16 = 24\, m$.
આમ,તળાવની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $34\, m$ અને $24\, m$ છે.

(C) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
આપેલ છે કે,સ્થિર પાણીમાં વ્યક્તિની ઝડપ $5 \, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં વ્યક્તિની ઝડપ $(5 + v) \, km/h$ થશે.
પ્રવાહની સામેની દિશામાં વ્યક્તિની ઝડપ $(5 - v) \, km/h$ થશે.
પ્રવાહની દિશામાં $40 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{40}{5 + v} \, h$ છે.
પ્રવાહની સામેની દિશામાં $40 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{40}{5 - v} \, h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની સામે જતાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં ત્રણ ગણો છે,તેથી $t_2 = 3 \times t_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{40}{5 - v} = 3 \times \frac{40}{5 + v}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{5 - v} = \frac{3}{5 + v}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5 + v = 3(5 - v)$.
$5 + v = 15 - 3v$.
$4v = 10$.
$v = 2.5 \, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $2.5 \, km/h$ છે.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો એ અંકોના ગુણાકાર જેટલો છે:
$x + y = xy$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$xy - x - y = 0$
અવયવ પાડવા માટે બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$xy - x - y + 1 = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$
અહીં $x$ અને $y$ અંકો હોવાથી ($x$ માટે $1$ થી $9$ અને $y$ માટે $0$ થી $9$),$(x - 1)(y - 1) = 1$ માટે માત્ર એક જ પૂર્ણાંક ઉકેલ શક્ય છે:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
તેથી,તે સંખ્યા $10(2) + 2 = 22$ છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(3x - 1)^2 = (2x + 3)^2 + (x + 2)^2$
$9x^2 - 6x + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 + 4x + 4)$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x^2 + 16x + 13$
$4x^2 - 22x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$2x^2 - 11x - 6 = 0$
$2x^2 - 12x + x - 6 = 0$
$2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(2x + 1) = 0$
આમ,$x = 6$ અથવા $x = -\frac{1}{2}$.
બાજુની લંબાઈ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $x = -\frac{1}{2}$ શક્ય નથી કારણ કે તે બાજુની લંબાઈ ઋણ બનાવે છે.
તેથી,$x = 6$.

(A) લંબચોરસમાં વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી $XZ = YW$. આપેલ છે કે $XZ + YW = 26$,તેથી $2XZ = 26$,જેનો અર્થ છે કે $XZ = 13$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle XYZ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2 = 13^2 = 169$.
આપણને $XY + YZ = 17$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(XY + YZ)^2 = 17^2 = 289$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$XY^2 + YZ^2 + 2(XY \cdot YZ) = 289$.
$XY^2 + YZ^2 = 169$ મૂકતા,આપણને $169 + 2(XY \cdot YZ) = 289$ મળે છે,તેથી $2(XY \cdot YZ) = 120$,જેનો અર્થ છે કે $XY \cdot YZ = 60$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $17$ અને ગુણાકાર $60$ થાય. આ સંખ્યાઓ $12$ અને $5$ છે.
$XY > YZ$ હોવાથી,$XY = 12$ અને $YZ = 5$ મળે છે.

(B) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
આપેલ પદોની કિંમત મૂકતા:
$(3x - 2)^2 + (5x + 4)^2 = (6x + 2)^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(9x^2 - 12x + 4) + (25x^2 + 40x + 16) = (36x^2 + 24x + 4)$
ડાબી બાજુના સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$34x^2 + 28x + 20 = 36x^2 + 24x + 4$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$36x^2 - 34x^2 + 24x - 28x + 4 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 16 = 0$
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી $x = 4$ અથવા $x = -2$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $3x - 2 > 0$ એટલે કે $x > 2/3$. આમ,$x = 4$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $AB = x$ અને $BC = y$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y) = 28$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 14$ થાય છે.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણ $AC$ એ બાજુઓ $AB$ અને $BC$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = AC^2 = 10^2 = 100$.
આપણી પાસે સમીકરણોની જોડી છે:
$1) x + y = 14$
$2) x^2 + y^2 = 100$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 14 - x$. આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$
તેથી,$x = 6$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 6$ હોય,તો $y = 14 - 6 = 8$. અહીં $AB < BC$ $(6 < 8)$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 14 - 8 = 6$. આ $AB < BC$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,બાજુઓના માપ $AB = 6$ અને $BC = 8$ છે.

(A) લંબચોરસ $HIJK$ માં,$HJ$ એ વિકર્ણ છે અને $HI$ એ એક બાજુ છે.
ધારો કે બાજુઓ $HI = l = 5$ અને $IJ = w$ છે. વિકર્ણ $HJ$ એ બાજુઓ $HI$ અને $IJ$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle HIJ$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$HI^2 + IJ^2 = HJ^2$.
$5^2 + IJ^2 = 13^2$.
$25 + IJ^2 = 169$.
$IJ^2 = 169 - 25 = 144$.
$IJ = \sqrt{144} = 12$.
હવે,લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + w)$ દ્વારા મળે છે.
$P = 2(5 + 12) = 2(17) = 34$.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ $x \, km/hr$ છે.
તેથી,પ્રવાહની દિશામાં મોટરબોટની ઝડપ $(x+3) \, km/hr$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં તેની ઝડપ $(x-3) \, km/hr$ થશે.
આમ,પ્રવાહની દિશામાં $12 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\frac{12}{x+3}$ કલાક અને તેટલું જ અંતર એટલે કે $12 \, km$ પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $\frac{12}{x-3}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ સમય $3$ કલાક છે.
$\frac{12}{x+3} + \frac{12}{x-3} = 3$
$12(x-3) + 12(x+3) = 3(x+3)(x-3)$
$12x - 36 + 12x + 36 = 3(x^2 - 9)$
$24x = 3x^2 - 27$
$3x^2 - 24x - 27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 - 8x - 9 = 0$ મળે.
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ અથવા $x = -1$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 9 \, km/hr$.

(D) ધારો કે કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ પૈકી ટૂંકી બાજુ (પાયો) $x$ મીટર છે.
તેથી,કાટખૂણો બનાવતી બીજી બાજુ (વેધ) $(x+7)$ મીટર અને કર્ણ $(2x+1)$ મીટર છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(\text{કર્ણ})^2 = (\text{પાયો})^2 + (\text{વેધ})^2$.
તેથી,$(2x+1)^2 = x^2 + (x+7)^2$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49$.
$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49$.
$2x^2 - 10x - 48 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 - 5x - 24 = 0$.
$(x-8)(x+3) = 0$.
તેથી,$x=8$ અથવા $x=-3$.
ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x=8$.
આમ,પાયો $8\,m$,વેધ $8+7=15\,m$ અને કર્ણ $2(8)+1=17\,m$ છે.
બગીચાની બાજુઓ $8\,m, 15\,m$ અને $17\,m$ છે.

(A) ધારો કે કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ $x \, cm$ અને $(x + 7) \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ = $\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 14x + 49} = \sqrt{2x^2 + 14x + 49}$.
પરિમિતિ $30 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $x + (x + 7) + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$2x + 7 + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$\sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 23 - 2x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2x^2 + 14x + 49 = (23 - 2x)^2$.
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$.
$2x^2 - 106x + 480 = 0$.
$x^2 - 53x + 240 = 0$.
$(x - 5)(x - 48) = 0$.
અહીં $x = 48$ શક્ય નથી (કારણ કે પરિમિતિ $30$ છે),તેથી $x = 5$.
બાજુઓ $5 \, cm$,$5 + 7 = 12 \, cm$ છે અને કર્ણ $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે અંશ $x$ છે. તો છેદ $2x - 1$ થાય. ગુણોત્તર $\frac{x}{2x - 1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુણોત્તર અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો $2 \frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ છે.
તેથી,$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x} = \frac{34}{15}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{2x - 1}$. તો $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$.
$15y^2 - 34y + 15 = 0$.
$15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$.
$5y(3y - 5) - 3(3y - 5) = 0$.
$(5y - 3)(3y - 5) = 0$.
તેથી,$y = 3/5$ અથવા $y = 5/3$.
જો $y = 3/5$ હોય,તો $\frac{x}{2x - 1} = \frac{3}{5} \implies 5x = 6x - 3 \implies x = 3$. ગુણોત્તર $\frac{3}{2(3) - 1} = \frac{3}{5}$ છે.
જો $y = 5/3$ હોય,તો $\frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{3} \implies 3x = 10x - 5 \implies 7x = 5 \implies x = 5/7$. ગુણોત્તર $\frac{5/7}{2(5/7) - 1} = \frac{5/7}{3/7} = \frac{5}{3}$ છે.

(A) ધારો કે કેલ્ક્યુલેટરની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\text{મૂળ કિંમત} \times \frac{\text{નફાની ટકાવારી}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = $\text{મૂળ કિંમત} + \text{નફો} = x + \frac{x^2}{100}$.
આપેલ છે કે વેચાણ કિંમત રૂ. $56$ છે,તેથી સમીકરણ: $x + \frac{x^2}{100} = 56$.
$100$ વડે ગુણતા,$100x + x^2 = 5600$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 100x - 5600 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 140x - 40x - 5600 = 0$.
$x(x + 140) - 40(x + 140) = 0$.
$(x - 40)(x + 140) = 0$.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 40$.
આમ,કેલ્ક્યુલેટરની મૂળ કિંમત રૂ. $40$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે: $x + y = 15$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$.
સમીકરણ $1$ માંથી $x + y$ ની કિંમત આ પદમાં મૂકતા: $\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}$.
$xy$ માટે ઉકેલતા: $3xy = 150$,તેથી $xy = 50$.
હવે આપણી પાસે $x + y = 15$ અને $xy = 50$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ ના બીજ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t^2 - 15t + 50 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 5)(t - 10) = 0$.
આમ,$t = 5$ અથવા $t = 10$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $5$ અને $10$ છે.

(D) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $x\,km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(9 + x)\,km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(9 - x)\,km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{12}{9 + x}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{12}{9 - x}$.
કુલ સમય = $3\,hours$,તેથી $\frac{12}{9 + x} + \frac{12}{9 - x} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{4}{9 + x} + \frac{4}{9 - x} = 1$.
$4(9 - x) + 4(9 + x) = (9 + x)(9 - x)$.
$36 - 4x + 36 + 4x = 81 - x^2$.
$72 = 81 - x^2$.
$x^2 = 81 - 72 = 9$.
$x = 3\,km/h$ (કારણ કે ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે).

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $xy = 15$ છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $18$ વધારે છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$y - x = 2$,જેનો અર્થ છે કે $y = x + 2$.
$y = x + 2$ ને ગુણાકારના સમીકરણ $xy = 15$ માં મૂકતા:
$x(x + 2) = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
$x$ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 3$.
પછી $y = 3 + 2 = 5$.
મૂળ સંખ્યા $10(3) + 5 = 35$ છે.

(C) ધારો કે નાના ચોરસની બાજુ $x\,m$ છે અને મોટા ચોરસની બાજુ $y\,m$ છે.
નાના ચોરસની પરિમિતિ $4x$ છે અને મોટા ચોરસની પરિમિતિ $4y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$4y = 4x + 12$,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 3$ થાય છે.
નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2$ છે અને મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$3x^2 = y^2 + 11$.
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 3$ મૂકતા:
$3x^2 = (x + 3)^2 + 11$
$3x^2 = x^2 + 6x + 9 + 11$
$2x^2 - 6x - 20 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$.
તેથી,મોટા ચોરસની બાજુ $y = x + 3 = 5 + 3 = 8\,m$ છે.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો અને અંકોનો ગુણાકાર સમાન છે:
$x + y = xy$
$y$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = xy - y$
$x = y(x - 1)$
$y = \frac{x}{x - 1}$
અહીં $x$ અને $y$ એ $1$ થી $9$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ (બે અંકની સંખ્યા માટે $x \neq 0$):
જો $x = 2$ લઈએ,તો $y = \frac{2}{2 - 1} = 2$ મળે.
તેથી સંખ્યા $10(2) + 2 = 22$ થાય.
ચકાસણી: અંકોનો સરવાળો $= 2 + 2 = 4$; અંકોનો ગુણાકાર $= 2 \times 2 = 4$. બંને સમાન છે.
આમ,તે સંખ્યા $22$ છે.

(B) પ્રથમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-5x+6=0$ ઉકેલો.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-3)=0$.
આમ,બીજ $x=2$ અથવા $x=3$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x=2$ એ $x^{2}+3x+c=0$ નું બીજ હોય,તો $(2)^{2}+3(2)+c=0$.
$4+6+c=0 \implies 10+c=0 \implies c=-10$.
કિસ્સો $2$: જો $x=3$ એ $x^{2}+3x+c=0$ નું બીજ હોય,તો $(3)^{2}+3(3)+c=0$.
$9+9+c=0 \implies 18+c=0 \implies c=-18$.
તેથી,$c$ ની શક્ય કિંમતો $-10$ અથવા $-18$ છે.

(D) જો કોઈ ત્રિપુટી $(a, b, c)$ શરત $a^2 + b^2 = c^2$ નું પાલન કરે,જ્યાં $c$ સૌથી મોટી સંખ્યા છે,તો તેને પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી કહેવાય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394$,જ્યારે $37^2 = 1369$. અહીં $1394 \neq 1369$ હોવાથી,આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી નથી.