Solution of a Quadratic Equation by Factorisation Questions in Gujarati

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-5x+3=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-2x$ અને $-3x$ માં વિભાજિત કરીશું,કારણ કે $(-2x) \times (-3x) = 6x^{2}$,જે $x^{2}$ ના સહગુણક $(2)$ અને અચળ પદ $(3)$ નો ગુણાકાર છે.
હવે,સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખો:
$2x^{2}-2x-3x+3=0$
જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો:
$2x(x-1)-3(x-1)=0$
$(2x-3)(x-1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}$
$x-1=0 \implies x=1$
આમ,સમીકરણના બીજ $x=1$ અને $x=\frac{3}{2}$ છે.

(A) આપણી પાસે દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ છે.
બીજ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$= 3x(2x+1)-2(2x+1)$
$= (3x-2)(2x+1)$
$6x^{2}-x-2=0$ ના બીજ એ $x$ ની એવી કિંમતો છે જેના માટે $(3x-2)(2x+1)=0$ થાય.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x-2=0$ અથવા $2x+1=0$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$
$2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{2}{3}$ અને $-\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ છે.
આપણે મધ્યમ પદ $-2\sqrt{6}x$ ને $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$3x^{2}-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0$.
પ્રથમ બે પદો અને છેલ્લા બે પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$.
આનું સાદું રૂપ $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$ થાય છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
બંને અવયવો સમાન હોવાથી,બીજ પણ સમાન મળે છે.
તેથી,સમીકરણના બીજ $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x-10=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $-10$ થાય અને સરવાળો $-3$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $2$ છે.
$x^{2}-5x+2x-10=0$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-5=0$ અથવા $x+2=0$
તેથી,સમીકરણના બીજ $x=5$ અથવા $x=-2$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + x - 6 = 0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીશું.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $2 \times (-6) = -12$ થાય અને જેનો સરવાળો $1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $4$ અને $-3$ છે.
તેથી,$2x^{2} + 4x - 3x - 6 = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$ મળે છે.
$(x + 2)$ ને સામાન્ય લેતા,આપણી પાસે $(x + 2)(2x - 3) = 0$ છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
આમ,બીજ $x = -2$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ ના બીજ અવયવીકરણની રીતથી શોધવા માટે:
$1$. મધ્યમ પદ $7x$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરો કે જેથી તેમનો સરવાળો $7x$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $(\sqrt{2} x^{2}) \times (5 \sqrt{2}) = 10x^{2}$ થાય.
$2$. આ બે ભાગ $5x$ અને $2x$ છે,કારણ કે $5x + 2x = 7x$ અને $5x \times 2x = 10x^{2}$.
$3$. સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\sqrt{2} x^{2} + 2x + 5x + 5 \sqrt{2} = 0$.
$4$. જૂથ બનાવીને અવયવ પાડતા: $\sqrt{2} x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$.
$5$. સામાન્ય અવયવ $(x + \sqrt{2})$ ને બહાર કાઢતા: $(x + \sqrt{2})(\sqrt{2} x + 5) = 0$.
$6$. દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
- $x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\sqrt{2}$
- $\sqrt{2} x + 5 = 0 \implies \sqrt{2} x = -5 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
આમ,સમીકરણના બીજ $x = -\sqrt{2}$ અને $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા:
$16x^{2} - 8x + 1 = 0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો:
$16x^{2} - 4x - 4x + 1 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)^{2} = 0$
અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
આમ,સમીકરણના બીજ $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $100 x^{2}-20 x+1=0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-20x$ ને $-10x - 10x$ માં વિભાજિત કરીશું:
$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0$
સામાન્ય પદ $(10 x-1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(10 x-1)(10 x-1)=0$
$(10 x-1)^{2}=0$
બીજ શોધવા માટે,અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$10 x-1=0$
$10 x=1$
$x=\frac{1}{10}$
અહીં અવયવનો વર્ગ હોવાથી,બંને બીજ સમાન મળે છે: $x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.

(A) ધારો કે જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x$ થાય.
દરેકે $5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી:
જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= x - 5$.
જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x - 5 = 40 - x$.
આપેલ છે કે તેમની પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓનો ગુણાકાર $124$ છે.
તેથી,$(x - 5)(40 - x) = 124$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $40x - x^2 - 200 + 5x = 124$.
પદોને ગોઠવતા: $-x^2 + 45x - 200 = 124$.
$x^2 - 45x + 324 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$.
$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$.
$(x - 36)(x - 9) = 0$.
આમ,$x = 36$ અથવા $x = 9$.
જો જોન પાસે $36$ લખોટીઓ હોય,તો જીવંતી પાસે $45 - 36 = 9$ લખોટીઓ હોય.
જો જોન પાસે $9$ લખોટીઓ હોય,તો જીવંતી પાસે $45 - 9 = 36$ લખોટીઓ હોય.

(A) ધારો કે એક દિવસમાં ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક રમકડાના ઉત્પાદનનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) $(55 - x)$ છે.
કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ એ રમકડાંની સંખ્યા અને દરેક રમકડાના ખર્ચનો ગુણાકાર છે:
$x(55 - x) = 750$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$55x - x^2 = 750$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
આને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને અવયવીકરણ કરીશું:
$x^2 - 25x - 30x + 750 = 0$
પદોને જૂથમાં લેતા:
$x(x - 25) - 30(x - 25) = 0$
$(x - 25)(x - 30) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
તેથી,તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $25$ અથવા $30$ હતી.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે. તો બીજી સંખ્યા $27-x$ થશે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $182$ છે,તેથી:
$x(27-x) = 182$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$27x - x^2 = 182$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 - 27x + 182 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 13x - 14x + 182 = 0$
$x(x - 13) - 14(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 14) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$
$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$
જો પ્રથમ સંખ્યા $13$ હોય,તો બીજી સંખ્યા $27 - 13 = 14$ મળે.
જો પ્રથમ સંખ્યા $14$ હોય,તો બીજી સંખ્યા $27 - 14 = 13$ મળે.
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $13$ અને $14$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+1$ છે.
આપેલ છે કે $x^{2} + (x+1)^{2} = 365$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 365$.
સાદું રૂપ આપતા: $2x^{2} + 2x + 1 = 365$.
$2x^{2} + 2x - 364 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + x - 182 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x + 14)(x - 13) = 0$.
આથી $x = -14$ અથવા $x = 13$ મળે.
પૂર્ણાંકો ધન હોવાથી,આપણે $x = 13$ લઈશું.
તેથી,બીજો પૂર્ણાંક $x + 1 = 13 + 1 = 14$ થશે.
આમ,બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $13$ અને $14$ છે.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણનો પાયો $x \, cm$ છે.
તેનો વેધ $(x - 7) \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$\text{પાયો}^2 + \text{વેધ}^2 = \text{કર્ણ}^2$
$x^2 + (x - 7)^2 = 13^2$
$x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 7x - 60 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$x(x - 12) + 5(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x + 5) = 0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = -5$.
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 12$ લઈશું.
આમ,પાયો $12 \, cm$ અને વેધ $12 - 7 = 5 \, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે ઉત્પાદિત વાસણોની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,દરેક વાસણના ઉત્પાદનનો ખર્ચ $= (2x + 3)$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે ઉત્પાદનનો કુલ ખર્ચ ₹ $90$ છે.
તેથી,$x(2x + 3) = 90$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + 3x - 90 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0$.
$x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0$.
$(2x + 15)(x - 6) = 0$.
આથી $x = -15/2$ અથવા $x = 6$ મળે છે.
વાસણોની સંખ્યા હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $x = 6$ લેતા.
આમ,ઉત્પાદિત વાસણોની સંખ્યા $6$ છે અને દરેક વાસણનો ખર્ચ $2(6) + 3 = 15$ રૂપિયા છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} + \frac{3}{4}x - \sqrt{2} = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,આપણે સમીકરણને $(ax)^{2} + 2(ax)(b) + b^{2}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવું પડે.
આપણે સમીકરણને $(3x)^{2} + 2(3x)(\frac{1}{8}) - \sqrt{2} = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,પદ $b = \frac{1}{8}$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $b^{2} = (\frac{1}{8})^{2} = \frac{1}{64}$ ઉમેરવા અને બાદ કરવા પડે.
આમ,જે અચળાંક ઉમેરવો અને બાદ કરવો જોઈએ તે $\frac{1}{64}$ છે.

(C) હા,આવું દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 7\sqrt{3}x + 12\sqrt{3} = 0$ ધ્યાનમાં લો.
અહીં,સહગુણકો $a = \sqrt{3}$,$b = -7\sqrt{3}$,અને $c = 12\sqrt{3}$ છે,જે તમામ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ છે.
આખા સમીકરણને $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 7x + 12 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 3)(x - 4) = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = 3$ અને $x = 4$ છે,જે બંને સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(D) $6x^{2} - \sqrt{2}x - 2 = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $6 \times (-2) = -12$ થાય અને સરવાળો $-\sqrt{2}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-3\sqrt{2}$ અને $2\sqrt{2}$ છે.
$6x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}x - 2 = 0$
$3x(2x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2x - \sqrt{2}) = 0$
$(3x + \sqrt{2})(2x - \sqrt{2}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$
$2x - \sqrt{2} = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
આમ,બીજ $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ અને $\frac{\sqrt{2}}{2}$ છે.

(A) ધારો કે એક બાજુ $x \, cm$ છે. તો બીજી બાજુ $(x+5) \, cm$ થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^{2} + (x+5)^{2} = (25)^{2}$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + x^{2} + 10x + 25 = 625$
$2x^{2} + 10x - 600 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + 5x - 300 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
$x(x+20) - 15(x+20) = 0$
$(x-15)(x+20) = 0$
આમ,$x = 15$ અથવા $x = -20$.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = -20$ ને અવગણતા.
તેથી,એક બાજુ $15 \, cm$ અને બીજી બાજુ $15 + 5 = 20 \, cm$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$
ડાબી બાજુએ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^2-3x-28}=\frac{11}{30}$
બંને બાજુ $11$ વડે ભાગતા:
$\frac{-1}{x^2-3x-28}=\frac{1}{30}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$x^2-3x-28 = -30$
$x^2-3x-28+30 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2-2x-x+2 = 0$
$x(x-2)-1(x-2) = 0$
$(x-2)(x-1) = 0$
તેથી,બીજ $x = 1$ અથવા $x = 2$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની ટૂંકી બાજુ $x\, m$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લાંબી બાજુ $(x+30)\, m$ થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,લંબચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{x^2 + (x+30)^2}$ થાય.
આપેલ છે કે વિકર્ણ ટૂંકી બાજુ કરતાં $60\, m$ વધારે છે,તેથી $\sqrt{x^2 + (x+30)^2} = x + 60$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 60x - 2700 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0$,જે $x(x-90) + 30(x-90) = 0$ આપે છે.
તેથી,$(x-90)(x+30) = 0$.
આનાથી $x = 90$ અથવા $x = -30$ મળે છે.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ટૂંકી બાજુ $90\, m$ છે.
લાંબી બાજુ $x + 30 = 90 + 30 = 120\, m$ થશે.

(A) ધારો કે ટ્રેનની સમાન ઝડપ $x\, km/h$ છે.
$x$ ઝડપે $360\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{360}{x}\, h$ છે.
જો ઝડપ $5\, km/h$ વધારવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $(x + 5)\, km/h$ થાય.
નવી ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = \frac{360}{x + 5}\, h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $1\, hour$ છે:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$
$360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 5} \right) = 1$
$360 \left( \frac{x + 5 - x}{x(x + 5)} \right) = 1$
$360 \left( \frac{5}{x^2 + 5x} \right) = 1$
$1800 = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 1800 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0$
$x(x + 45) - 40(x + 45) = 0$
$(x + 45)(x - 40) = 0$
આથી $x = -45$ અથવા $x = 40$ મળે.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ટ્રેનની ઝડપ $40\, km/h$ છે.

(A) ધારો કે પેસેન્જર ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $x\, km/h$ છે.
એક્સપ્રેસ ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $= (x + 11)\, km/h$ થાય.
પેસેન્જર ટ્રેન દ્વારા $132\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{132}{x}\, \text{કલાક}$.
એક્સપ્રેસ ટ્રેન દ્વારા $132\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{132}{x + 11}\, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,એક્સપ્રેસ ટ્રેન પેસેન્જર ટ્રેન કરતાં $1\, \text{કલાક}$ ઓછો સમય લે છે:
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 11} = 1$
$132 \left[ \frac{x + 11 - x}{x(x + 11)} \right] = 1$
$\frac{132 \times 11}{x^2 + 11x} = 1$
$x^2 + 11x = 1452$
$x^2 + 11x - 1452 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણને મધ્યમ પદની રીતે ઉકેલતા:
$x^2 + 44x - 33x - 1452 = 0$
$x(x + 44) - 33(x + 44) = 0$
$(x + 44)(x - 33) = 0$
$x = -44$ અથવા $x = 33$.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 33\, km/h$.
આમ,પેસેન્જર ટ્રેનની ઝડપ $33\, km/h$ અને એક્સપ્રેસ ટ્રેનની ઝડપ $33 + 11 = 44\, km/h$ છે.

(A) ધારો કે બે ચોરસની બાજુઓ $x \, m$ અને $y \, m$ છે. તેથી,તેમની પરિમિતિ અનુક્રમે $4x$ અને $4y$ થશે અને તેમના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $x^2$ અને $y^2$ થશે.
આપેલ છે કે તેમની પરિમિતિનો તફાવત $24 \, m$ છે:
$4x - 4y = 24$
$x - y = 6$
$x = y + 6$
વળી,તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $468 \, m^2$ છે:
$x^2 + y^2 = 468$
ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં $x = y + 6$ મૂકતા:
$(y + 6)^2 + y^2 = 468$
$y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468$
$2y^2 + 12y - 432 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$y^2 + 6y - 216 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0$
$y(y + 18) - 12(y + 18) = 0$
$(y + 18)(y - 12) = 0$
આથી $y = -18$ અથવા $y = 12$ મળે. ચોરસની બાજુ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = 12 \, m$ લેતા.
તેથી,$x = 12 + 6 = 18 \, m$.
આમ,બે ચોરસની બાજુઓ $18 \, m$ અને $12 \, m$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} + \frac{5}{3}x - 2 = 0$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$6x^{2} + 5x - 6 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને એવી રીતે વિભાજિત કરીએ છીએ કે જેથી બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $6 \times (-6) = -36$ થાય અને તેમનો સરવાળો $5$ થાય. તે સંખ્યાઓ $9$ અને $-4$ છે.
$6x^{2} + 9x - 4x - 6 = 0$
સામાન્ય પદો લેતા:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
$(2x + 3)(3x - 2) = 0$
હવે,દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{3}{2}$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{5} x^{2}-x-\frac{3}{5}=0$ છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2x^{2}-5x-3=0$
અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-6x + x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$2x^{2}-6x+x-3=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$2x(x-3)+1(x-3)=0$
$(x-3)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(x-3)(2x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{1}{2}$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3 \sqrt{2} x^{2}-5 x-\sqrt{2}=0$ છે.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-6x + x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ જેથી તેમનો ગુણાકાર $(3 \sqrt{2}) \times (-\sqrt{2}) = -6$ થાય.
$3 \sqrt{2} x^{2}-6 x+x-\sqrt{2}=0$
$3 \sqrt{2} x(x-\sqrt{2})+1(x-\sqrt{2})=0$
$(x-\sqrt{2})(3 \sqrt{2} x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}$
$3 \sqrt{2} x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x = -\frac{1 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{\sqrt{2}}{6}$ અને $\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + 5\sqrt{5}x - 10 = 0$ છે.
અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને એવી રીતે વિભાજિત કરીએ છીએ કે જેથી તેમનો ગુણાકાર $3 \times (-10) = -30$ થાય અને સરવાળો $5\sqrt{5}$ થાય.
આ અવયવો $6\sqrt{5}$ અને $-\sqrt{5}$ છે,કારણ કે $(6\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -6 \times 5 = -30$ અને $6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ થાય છે.
$3x^{2} + 6\sqrt{5}x - \sqrt{5}x - 10 = 0$
$3x(x + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(x + 2\sqrt{5}) = 0$
$(x + 2\sqrt{5})(3x - \sqrt{5}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2\sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = -2\sqrt{5}$
$3x - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-2\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}=0$ છે.
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે,બંને બાજુ $21$ વડે ગુણતા:
$21(21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}) = 21(0)$
$441 x^{2}-42 x+1=0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડો:
$441 x^{2}-21 x-21 x+1=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$(441 x^{2}-21 x)-(21 x-1)=0$
$21 x(21 x-1)-1(21 x-1)=0$
$(21 x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$(21 x-1)(21 x-1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{1}{21}$ અને $\frac{1}{21}$ છે.

(A) ધારો કે તેના વાસ્તવિક ગુણ $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો તેણે $10$ ગુણ વધુ મેળવ્યા હોત,તો નવા ગુણ $(x + 10)$ થયા હોત.
શરત મુજબ,આ ગુણના $9$ ગણા તેના વાસ્તવિક ગુણના વર્ગ જેટલા થાય છે:
$9(x + 10) = x^2$
$9x + 90 = x^2$
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 9x - 90 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 15x + 6x - 90 = 0$
$x(x - 15) + 6(x - 15) = 0$
$(x + 6)(x - 15) = 0$
આથી $x = -6$ અથવા $x = 15$ મળે છે.
ગુણ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = -6$ શક્ય નથી.
તેથી,અજીતાએ મેળવેલા વાસ્તવિક ગુણ $15$ છે.

(D) ધારો કે જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના વર્ગમાંથી $84$ બાદ કરતાં $n^2 - 84$ મળે છે.
તે સંખ્યામાં $8$ ઉમેરીને તેને $3$ વડે ગુણતા $3(n + 8)$ મળે છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$n^2 - 84 = 3(n + 8)$
$n^2 - 84 = 3n + 24$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
આથી $n = 12$ અથવા $n = -9$ મળે છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી $n = -9$ શક્ય નથી.
તેથી,જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$x + 12 = \frac{160}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + 12x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
હવે,દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 20x - 8x - 160 = 0$
$x(x + 20) - 8(x + 20) = 0$
$(x + 20)(x - 8) = 0$
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$x = -20$ અથવા $x = 8$.
પ્રશ્નમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ઉલ્લેખ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $8$ છે.

(C) ધારો કે ઝેબાની અત્યારની ઉંમર $x\, \text{વર્ષ}$ છે.
જ્યારે તે $5\, \text{વર્ષ}$ નાની હતી ત્યારે તેની ઉંમર $(x - 5)\, \text{વર્ષ}$ હતી.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x - 5)^2 = 5x + 11$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 10x + 25 = 5x + 11$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$x^2 - 10x - 5x + 25 - 11 = 0$
$x^2 - 15x + 14 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 14x - x + 14 = 0$
$x(x - 14) - 1(x - 14) = 0$
$(x - 1)(x - 14) = 0$
આથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = 1$ અથવા $x = 14$.
જો $x = 1$ લઈએ, તો $5\, \text{વર્ષ}$ પહેલા તેની ઉંમર $1 - 5 = -4$ થાય, જે શક્ય નથી કારણ કે ઉંમર ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ઝેબાની અત્યારની ઉંમર $14\, \text{વર્ષ}$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-24$ થાય અને જેનો સરવાળો $5$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $8$ અને $-3$ છે,કારણ કે $8 \times (-3) = -24$ અને $8 + (-3) = 5$.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $8x - 3x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$p(x) = x^{2} + 8x - 3x - 24$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$p(x) = (x^{2} + 8x) - (3x + 24)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$p(x) = x(x + 8) - 3(x + 8)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 8)$ ને સામાન્ય લો:
$p(x) = (x + 8)(x - 3)$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}$
ડાબી બાજુએ લસાઅ લેતા:
$\frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{5}{6}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{4x}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$24x = 5(x^{2}-1)$
$24x = 5x^{2}-5$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ગોઠવતા:
$5x^{2}-24x-5=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$5x^{2}-25x+x-5=0$
$5x(x-5)+1(x-5)=0$
$(x-5)(5x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-5=0 \implies x=5$
$5x+1=0 \implies x=-\frac{1}{5}$
આમ,ઉકેલ $5$ અને $-\frac{1}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$
ડાબી બાજુએ લસાઅ લેતા:
$\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}$
અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$
$\frac{8}{x^{2}+2x-15}=\frac{1}{6}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$x^{2}+2x-15 = 48$
$x^{2}+2x-15-48 = 0$
$x^{2}+2x-63 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$x^{2}+9x-7x-63 = 0$
$x(x+9)-7(x+9) = 0$
$(x+9)(x-7) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+9 = 0 \implies x = -9$
$x-7 = 0 \implies x = 7$
આમ,સમીકરણના બીજ $-9$ અને $7$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = \frac{45}{14}$
છેદ દૂર કરવા માટે $x$ વડે ગુણતા: $\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{45}{14}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $14(x^2 - 1) = 45x$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $14x^2 - 45x - 14 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડતા: $14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા: $(2x - 7)(7x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $2x - 7 = 0$ અથવા $7x + 2 = 0$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{7}{2}$ અથવા $x = -\frac{2}{7}$
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{7}{2}$ અને $-\frac{2}{7}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{7}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(x^{2}-1) = 7(x^{2}+1)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$9x^{2} - 9 = 7x^{2} + 7$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$9x^{2} - 7x^{2} - 9 - 7 = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2x^{2} - 16 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - 8 = 0$
તફાવતની રીત $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $8 = (\sqrt{8})^{2} = (2\sqrt{2})^{2}$:
$(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2\sqrt{2} = 0$ અથવા $x + 2\sqrt{2} = 0$
તેથી,ઉકેલ:
$x = 2\sqrt{2}$ અથવા $x = -2\sqrt{2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $6(2x+1)^2 - (2x+1) - 5 = 0$
ધારો કે $m = 2x+1$.
સમીકરણમાં $m$ મૂકતા: $6m^2 - m - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6m^2 - 6m + 5m - 5 = 0$.
$6m(m-1) + 5(m-1) = 0$.
$(6m+5)(m-1) = 0$.
તેથી,$m = 1$ અથવા $m = -\frac{5}{6}$.
કિસ્સો $1$: જો $m = 1$,તો $2x+1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $m = -\frac{5}{6}$,તો $2x+1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 \implies 2x = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $0$ અને $-\frac{11}{12}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4x = 15$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$4x^{2} + 4x - 15 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $4 \times (-15) = -60$ થાય અને સરવાળો $4$ થાય. આવી સંખ્યાઓ $10$ અને $-6$ છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા:
$4x^{2} + 10x - 6x - 15 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$2x(2x + 5) - 3(2x + 5) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$(2x + 5)(2x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 5 = 0$ અથવા $2x - 3 = 0$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$
$2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} - \frac{45}{14} = 0$.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) $14x$ વડે આખા સમીકરણને ગુણતા:
$14x^2 - 14 - 45x = 0$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$14x^2 - 45x - 14 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $14 \times (-14) = -196$ થાય અને સરવાળો $-45$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-49$ અને $4$ છે.
$14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$.
પદોને જૂથમાં વહેંચતા:
$7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$.
$(2x - 7)(7x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$.
$7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{ \frac{7}{2}, -\frac{2}{7} \}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}=\frac{7}{2x}$
બંને બાજુ છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$,જે $2x(x-2)(x+3)$ છે,તેના વડે ગુણતા:
$2x(x+3) + 2x(x-2) = 7(x-2)(x+3)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x^2 + 6x + 2x^2 - 4x = 7(x^2 + x - 6)$
$4x^2 + 2x = 7x^2 + 7x - 42$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$7x^2 - 4x^2 + 7x - 2x - 42 = 0$
$3x^2 + 5x - 42 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 + 14x - 9x - 42 = 0$
$x(3x + 14) - 3(3x + 14) = 0$
$(3x + 14)(x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 14 = 0 \implies x = -\frac{14}{3}$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{-\frac{14}{3}, 3\right\}$ છે.

(A) ધારો કે $(x+2) = y$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^{2} - 14y + 45 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $45$ અને સરવાળો $-14$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-9$ અને $-5$ છે.
$y^{2} - 9y - 5y + 45 = 0$
$y(y - 9) - 5(y - 9) = 0$
$(y - 9)(y - 5) = 0$
તેથી,$y = 9$ અથવા $y = 5$.
હવે,$y = x + 2$ પાછા મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 9 \implies x = 7$
કિસ્સો $2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$
આમ,ઉકેલ $x = 3, 7$ છે.

(B) ધારો કે $y = 2x + 1$. સમીકરણ $6y^2 = y + 5$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $6y^2 - y - 5 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $(6 \times -5) = -30$ થાય અને સરવાળો $-1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-6$ અને $5$ છે.
તેથી,$6y^2 - 6y + 5y - 5 = 0$.
$6y(y - 1) + 5(y - 1) = 0$.
$(6y + 5)(y - 1) = 0$.
આનાથી $y = 1$ અથવા $y = -\frac{5}{6}$ મળે છે.
$y = 2x + 1$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: $2x + 1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
આમ,ઉકેલ $x = 0$ અને $x = -\frac{11}{12}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x + 3 + \frac{2}{x} = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
હવે,મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને દ્વિઘાત સમીકરણનું અવયવીકરણ કરો:
$x^2 + 2x + x + 2 = 0$.
$x(x + 2) + 1(x + 2) = 0$.
$(x + 1)(x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
આમ,ઉકેલ $x = -1, -2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^{2} + x^{2} = 221$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^{2} + 2x + 1) + x^{2} = 221$
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $2x^{2} + 2x + 1 = 221$
બંને બાજુથી $221$ બાદ કરતા: $2x^{2} + 2x - 220 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + x - 110 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $x^{2} + 11x - 10x - 110 = 0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $x(x + 11) - 10(x + 11) = 0$
$(x - 10)(x + 11) = 0$
તેથી,$x - 10 = 0$ અથવા $x + 11 = 0$
$x = 10$ અથવા $x = -11$
આમ,ઉકેલ $10, -11$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{20}{x} = 1$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 - 20 = x$
સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - x - 20 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $-20$ થાય અને સરવાળો $-1$ થાય: આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $4$ છે.
વચ્ચેના પદને ફરીથી લખતા: $x^2 - 5x + 4x - 20 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $x(x - 5) + 4(x - 5) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા: $(x - 5)(x + 4) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x - 5 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 5$ અથવા $x = -4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 125$
$(x + 5)^{2}$ પદનું વિસ્તરણ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 125$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^{2} + 10x + 25 = 125$
બંને બાજુથી $125$ બાદ કરતા:
$2x^{2} + 10x - 100 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + 5x - 50 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણનું અવયવીકરણ કરવા માટે એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $-50$ અને સરવાળો $5$ થાય:
આ સંખ્યાઓ $10$ અને $-5$ છે:
$x^{2} + 10x - 5x - 50 = 0$
$x(x + 10) - 5(x + 10) = 0$
$(x - 5)(x + 10) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 10 = 0 \implies x = -10$
આમ,ઉકેલ $5, -10$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{5}{2}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,$2y^2 + 2 = 5y$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2y^2 - 5y + 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
તેથી,$(2y - 1)(y - 2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 1/2$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = x + 1 \implies x = 1$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = 2x + 2 \implies x = -2$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{1, -2\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+2}{x} + \frac{x}{x+2} = \frac{10}{3}$
લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2)^2 + x^2}{x(x+2)} = \frac{10}{3}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^2 + 4x + 4 + x^2}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
$\frac{2x^2 + 4x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(2x^2 + 4x + 4) = 10(x^2 + 2x)$
$6x^2 + 12x + 12 = 10x^2 + 20x$
પદોને ગોઠવતા: $4x^2 + 8x - 12 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2x - 3 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$
$x(x+3) - 1(x+3) = 0$
$(x-1)(x+3) = 0$
આમ,$x = 1$ અથવા $x = -3$.
ઉકેલ ગણ $\{1, -3\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{4}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{x(x+1) + 1(x+2)}{x(x+2)} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + x + x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(x^2 + 2x + 2) = 5(x^2 + 2x)$
$4x^2 + 8x + 8 = 5x^2 + 10x$
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા: $x^2 + 2x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
$x(x+4) - 2(x+4) = 0$
$(x-2)(x+4) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -4$.
ઉકેલ ગણ $\{2, -4\}$ છે.