Solution of a Quadratic Equation by Factorisation Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $x + 2 - \frac{6}{x + 2} = 1$
ધારો કે $y = x + 2$. તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $y - \frac{6}{y} = 1$
$y$ વડે ગુણતા: $y^2 - 6 = y$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^2 - y - 6 = 0$
અવયવ પાડતા: $y^2 - 3y + 2y - 6 = 0$
$y(y - 3) + 2(y - 3) = 0$
$(y - 3)(y + 2) = 0$
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = -2$.
હવે $y = x + 2$ પાછા મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 3 \implies x = 1$
કિસ્સો $2$: $x + 2 = -2 \implies x = -4$
આમ,ઉકેલ ગણ $\{1, -4\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = \frac{25}{12}$
ધારો કે $y = \frac{x}{x-1}$,તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{25}{12}$ બને છે.
$12y$ વડે ગુણતા,આપણને $12y^2 + 12 = 25y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $12y^2 - 25y + 12 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $12y^2 - 16y - 9y + 12 = 0 \implies 4y(3y - 4) - 3(3y - 4) = 0$.
આમ,$(4y - 3)(3y - 4) = 0$,તેથી $y = \frac{3}{4}$ અથવા $y = \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x-1} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x - 3 \implies x = -3$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x-1} = \frac{4}{3} \implies 3x = 4x - 4 \implies x = 4$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{4, -3\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{9}{x-1} - \frac{2}{x-3} = \frac{5}{x+1}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{9(x-3) - 2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{9x - 27 - 2x + 2}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{7x - 25}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(7x - 25)(x + 1) = 5(x^2 - 4x + 3)$
$7x^2 + 7x - 25x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$7x^2 - 18x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + x - 20 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 + 5x - 4x - 20 = 0$
$x(x + 5) - 4(x + 5) = 0$
$(x - 4)(x + 5) = 0$
આમ,$x = 4$ અથવા $x = -5$.
ઉકેલ ગણ $\{-5, 4\}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x+1}{x-3}$. તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^2 + 2 = 5y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2y^2 - 5y + 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
આથી $(2y - 1)(y - 2) = 0$,તેથી $y = \frac{1}{2}$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x+1}{x-3} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = x - 3 \implies x = -5$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x+1}{x-3} = 2 \implies x + 1 = 2x - 6 \implies x = 7$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-5, 7\}$ છે.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$ છે.
લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\triangle ABC$ એ $\angle B = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
આપેલ છે કે $x^2 + y^2 = 29^2 = 841$.
વળી,$x + y = 41$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
કિંમતો મૂકતા: $41^2 = 841 + 2xy$.
$1681 = 841 + 2xy$.
$2xy = 1681 - 841 = 840$.
$xy = 420$.
હવે,આપણી પાસે $x + y = 41$ અને $xy = 420$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે.
$t^2 - 41t + 420 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 21)(t - 20) = 0$.
તેથી,$t = 21$ અથવા $t = 20$.
$AB > BC$ હોવાથી,$AB = 21$ અને $BC = 20$ મળે.
આમ,$AB = 21$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{8}{x+5} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-5}$
સૌ પ્રથમ,જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{8}{x+5} = \frac{3(x-5) + 1(x-1)}{(x-1)(x-5)}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{3x - 15 + x - 1}{x^2 - 6x + 5}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{4x - 16}{x^2 - 6x + 5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8(x^2 - 6x + 5) = (x+5)(4x - 16)$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 - 16x + 20x - 80$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 + 4x - 80$
$4x^2 - 52x + 120 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 - 13x + 30 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 - 10x - 3x + 30 = 0$
$x(x - 10) - 3(x - 10) = 0$
$(x - 3)(x - 10) = 0$
આમ,$x = 3$ અથવા $x = 10$.
ઉકેલ ગણ $\{3, 10\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{41}{20}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$,તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{41}{20}$ બને છે.
$20y$ વડે ગુણતા,$20y^2 + 20 = 41y$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $20y^2 - 41y + 20 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $20y^2 - 16y - 25y + 20 = 0 \Rightarrow 4y(5y - 4) - 5(5y - 4) = 0$.
તેથી,$(4y - 5)(5y - 4) = 0$,જેનાથી $y = 5/4$ અથવા $y = 4/5$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4x = 5x + 5 \Rightarrow x = -5$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x+1} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 4 \Rightarrow x = 4$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{4, -5\}$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x}{1-x}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6}$ બને છે.
$6y$ વડે ગુણતા,આપણને $6y^2 + 6 = 13y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6y^2 - 13y + 6 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6y^2 - 9y - 4y + 6 = 0 \implies 3y(2y - 3) - 2(2y - 3) = 0$.
આથી $(3y - 2)(2y - 3) = 0$,તેથી $y = \frac{2}{3}$ અથવા $y = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{1-x} = \frac{2}{3} \implies 3x = 2 - 2x \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{1-x} = \frac{3}{2} \implies 2x = 3 - 3x \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} = 3$
લસાઅ લેતા: $\frac{(x+1)(x+2) + (x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$
અંશ અને છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2)}{x^2 + x - 2} = 3$
અંશનું સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 + 4}{x^2 + x - 2} = 3$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2x^2 + 4 = 3(x^2 + x - 2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $x^2 + 3x - 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $x^2 + 5x - 2x - 10 = 0$
$x(x + 5) - 2(x + 5) = 0$
$(x - 2)(x + 5) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -5$.
ઉકેલ ગણ $\{-5, 2\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{x}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{5}{x}$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$
તેથી,$\frac{4x}{x^2 - 1} = \frac{5}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4x^2 = 5(x^2 - 1)$
$4x^2 = 5x^2 - 5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $m^{2}-18m+81=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણે લખી શકીએ:
$m^{2}-2(m)(9)+(9)^{2}=0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(m-9)^{2}=0$
તેથી:
$(m-9)(m-9)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$m-9=0$ અથવા $m-9=0$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m=9$ અથવા $m=9$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $9$ અને $9$ છે.

(B) ધારો કે જરૂરી શૂન્યેતર સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,તેનો વ્યસ્ત $\frac{1}{x}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $\frac{10}{3}$ છે.
તેથી,$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.
આખા સમીકરણને $3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 + 3 = 10x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2 - 9x - x + 3 = 0$.
$3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
આથી $x = \frac{1}{3}$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો સંખ્યા $3$ હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $\frac{1}{3}$ થાય. જો સંખ્યા $\frac{1}{3}$ હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $3$ થાય.
આમ,જરૂરી સંખ્યાઓ $3$ અને $\frac{1}{3}$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,બગીચાની લંબાઈ $(x + 6) \, m$ થશે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 216 \, m^2$ છે.
તેથી,$x(x + 6) = 216$.
$x^2 + 6x - 216 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે અવયવ પાડીએ: $x^2 + 18x - 12x - 216 = 0$.
$x(x + 18) - 12(x + 18) = 0$.
$(x - 12)(x + 18) = 0$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 12$ લઈએ છીએ.
આમ,પહોળાઈ $12 \, m$ અને લંબાઈ $12 + 6 = 18 \, m$ છે.

(D) ધારો કે ફૂલદાનીની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = મૂળ કિંમત + નફો = $x + \frac{x^2}{100}$.
આપેલ છે કે વેચાણ કિંમત રૂ. $96$ છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે: $x + \frac{x^2}{100} = 96$.
આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણતા,આપણને $100x + x^2 = 9600$ મળે છે.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 + 100x - 9600 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 160x - 60x - 9600 = 0$.
$x(x + 160) - 60(x + 160) = 0$.
$(x - 60)(x + 160) = 0$.
આનાથી $x = 60$ અથવા $x = -160$ મળે છે.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ફૂલદાનીની મૂળ કિંમત રૂ. $60$ છે.

(D) ધારો કે પેનની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે ખોટની ટકાવારી તેની મૂળ કિંમત જેટલી છે, તેથી ખોટની ટકાવારી $= x\%$.
ખોટ $= \text{મૂળ કિંમત} - \text{વેચાણ કિંમત} = x - 24$.
વળી, $\text{ખોટ} = \text{મૂળ કિંમત} \times \frac{\text{ખોટની ટકાવારી}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
ખોટ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$.
$100x - 2400 = x^2$.
$x^2 - 100x + 2400 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 60)(x - 40) = 0$.
તેથી, $x = 60$ અથવા $x = 40$.
આમ, પેનની મૂળ કિંમત Rs. $40$ અથવા Rs. $60$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2} - 7 = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $x^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 0$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - \sqrt{7} = 0 \implies x = \sqrt{7}$.
$x + \sqrt{7} = 0 \implies x = -\sqrt{7}$.
આમ,ઉકેલ $x = \sqrt{7}$ અને $x = -\sqrt{7}$ છે.

(B) અવયવીકરણની રીત દ્વારા $x^{2} + 5x - 66 = 0$ સમીકરણ ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-66$ થાય અને સરવાળો $5$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $11$ અને $-6$ છે,કારણ કે $11 \times (-6) = -66$ અને $11 + (-6) = 5$.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $11x - 6x$ તરીકે લખતા:
$x^{2} + 11x - 6x - 66 = 0$
પદોને જૂથમાં વહેંચીને અવયવ પાડતા:
$x(x + 11) - 6(x + 11) = 0$
$(x - 6)(x + 11) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 6 = 0 \implies x = 6$
$x + 11 = 0 \implies x = -11$
આમ,ઉકેલ $x = 6$ અને $x = -11$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-1}{x-2} + \frac{x-3}{x-4} = \frac{10}{3}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ $(LCM)$ લેતા: $\frac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{10}{3}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 - 10x + 10}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
અંશને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{2(x^2 - 5x + 5)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3} \implies \frac{x^2 - 5x + 5}{x^2 - 6x + 8} = \frac{5}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(x^2 - 5x + 5) = 5(x^2 - 6x + 8)$.
$3x^2 - 15x + 15 = 5x^2 - 30x + 40$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.
અવયવ પાડતા: $2x^2 - 10x - 5x + 25 = 0 \implies 2x(x - 5) - 5(x - 5) = 0$.
$(2x - 5)(x - 5) = 0$.
આમ,$x = 5$ અથવા $x = \frac{5}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} = -11x - 10$.
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$3x^{2} + 11x + 10 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $3 \times 10 = 30$ થાય અને જેનો સરવાળો $11$ થાય.
આવી સંખ્યાઓ $6$ અને $5$ છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા:
$3x^{2} + 6x + 5x + 10 = 0$.
પદોના જૂથ બનાવતા:
$3x(x + 2) + 5(x + 2) = 0$.
$(3x + 5)(x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
તેથી,ઉકેલ $x = -\frac{5}{3}, -2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 625$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 625$
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $2x^{2} + 10x + 25 = 625$
બંને બાજુથી $625$ બાદ કરતા: $2x^{2} + 10x - 600 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + 5x - 300 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવીકરણ કરતા: $x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $x(x + 20) - 15(x + 20) = 0$
$(x + 20)$ સામાન્ય લેતા: $(x + 20)(x - 15) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x + 20 = 0$ અથવા $x - 15 = 0$
તેથી,ઉકેલ $x = -20$ અને $x = 15$ મળે છે.

(B) અવયવીકરણની રીત દ્વારા દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + ax - a^2 = 0$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $ax$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે કે જેથી તેમનો ગુણાકાર $(2x^2) \times (-a^2) = -2a^2x^2$ થાય અને તેમનો સરવાળો $ax$ થાય.
આપણે $ax$ ને $2ax - ax$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2x^2 + 2ax - ax - a^2 = 0$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $2x(x + a) - a(x + a) = 0$.
સામાન્ય અવયવ $(x + a)$ ને બહાર કાઢતા: $(2x - a)(x + a) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1$) $2x - a = 0 \implies 2x = a \implies x = \frac{a}{2}$.
$2$) $x + a = 0 \implies x = -a$.
તેથી,ઉકેલ $x = -a$ અને $x = \frac{a}{2}$ છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{n(n+1)}{2}$ આપેલ છે.
અહીં $S = 300$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n(n+1)}{2} = 300$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$n(n+1) = 600$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$n^2 + n - 600 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $-600$ અને સરવાળો $1$ થાય. આવી સંખ્યાઓ $25$ અને $-24$ છે.
તેથી,$(n + 25)(n - 24) = 0$.
આનાથી $n = -25$ અથવા $n = 24$ મળે છે.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે,તેથી તે ધન હોવી જોઈએ.
તેથી,$n = 24$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,$\text{પાયો} = x \, m$ અને $\text{વેધ} = (x+2) \, m$ છે.
$\text{Area} = 84 \, m^2$.
તેથી,$84 = \frac{1}{2} \times x \times (x+2)$.
$168 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 168 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 14x - 12x - 168 = 0$.
$x(x+14) - 12(x+14) = 0$.
$(x-12)(x+14) = 0$.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 12$.
બાજુઓની લંબાઈ $x = 12 \, m$ અને $x+2 = 14 \, m$ છે.

(D) ધારો કે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 5 - x$.
તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ છે.
સમીકરણમાં $y = 5 - x$ મૂકતા: $\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} = \frac{5}{6}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{(5 - x) + x}{x(5 - x)} = \frac{5}{6}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{5}{5x - x^2} = \frac{5}{6}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{5x - x^2} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,$5x - x^2 = 6$,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 6 = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 5 - 2 = 3$. જો $x = 3$ હોય,તો $y = 5 - 3 = 2$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $2$ અને $3$ છે.

(A) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $(29 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $425$ છે:
$x^2 + (29 - x)^2 = 425$
$x^2 + (841 - 58x + x^2) = 425$
$2x^2 - 58x + 841 - 425 = 0$
$2x^2 - 58x + 416 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 29x + 208 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 13x - 16x + 208 = 0$
$x(x - 13) - 16(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 16) = 0$
તેથી,$x = 13$ અથવા $x = 16$ મળે.
જો $x = 13$ હોય,તો બીજો ભાગ $29 - 13 = 16$ થાય.
જો $x = 16$ હોય,તો બીજો ભાગ $29 - 16 = 13$ થાય.
આમ,બે ભાગ $13$ અને $16$ છે.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $x$ અને $x + 2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $514$ છે:
$x^2 + (x + 2)^2 = 514$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x - 510 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + 2x - 255 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 17x - 15x - 255 = 0$
$x(x + 17) - 15(x + 17) = 0$
$(x - 15)(x + 17) = 0$
સંખ્યાઓ ધન હોવાથી,$x = 15$.
તેથી,બે સંખ્યાઓ $15$ અને $15 + 2 = 17$ છે.

(C) ધારો કે પુસ્તકની મૂળ કિંમત $x$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે નફાની ટકાવારી મૂળ કિંમત જેટલી છે,તેથી નફાની ટકાવારી $x\%$ છે.
નફો = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
વેચાણ કિંમત = મૂળ કિંમત + નફો.
$119 = x + \frac{x^2}{100}$.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $11900 = 100x + x^2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 + 100x - 11900 = 0$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 170x - 70x - 11900 = 0$.
$x(x + 170) - 70(x + 170) = 0$.
$(x - 70)(x + 170) = 0$.
મૂળ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 70$.
આમ,પુસ્તકની મૂળ કિંમત રૂ. $70$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 7x + 12 = 0$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$x^{2} + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-3$ એ એક ઉકેલ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 4x + 1 = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદના વિભાજનની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $(3 \times 1) = 3$ થાય અને સરવાળો $-4$ થાય.
આવી સંખ્યાઓ $-3$ અને $-1$ છે.
હવે,સમીકરણને ફરીથી લખતા: $3x^2 - 3x - x + 1 = 0$.
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$.
આથી $(3x - 1)(x - 1) = 0$ મળે છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
તેથી,બીજ $1, \frac{1}{3}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2} + 5x + 6 = 0$.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડીશું:
$x^{2} + 2x + 3x + 6 = 0$
$x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{-2, -3\}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-15=0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-15$ થાય અને સરવાળો $-2$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-5$ અને $3$ છે,કારણ કે $(-5) \times 3 = -15$ અને $(-5) + 3 = -2$.
હવે,સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખો: $x^{2}-5x+3x-15=0$.
જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો: $x(x-5)+3(x-5)=0$.
આનાથી આપણને મળે છે: $(x-5)(x+3)=0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x-5=0$ અથવા $x+3=0$ મળે છે.
તેથી,$x=5$ અથવા $x=-3$.
સમીકરણના બીજ $5$ અને $-3$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+5x-14=0$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-14$ અને સરવાળો $5$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $7$ અને $-2$ છે,કારણ કે $7 \times (-2) = -14$ અને $7 + (-2) = 5$.
આમ,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ: $x^{2} + 7x - 2x - 14 = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને મળે છે: $x(x + 7) - 2(x + 7) = 0$.
$(x + 7)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે: $(x + 7)(x - 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x + 7 = 0$ અથવા $x - 2 = 0$.
તેથી,$x = -7$ અથવા $x = 2$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-7, 2\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x-7)^{2}-16=0$
રીત $1$: નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા
$(x-7)^2 - 4^2 = 0$
$(x-7-4)(x-7+4) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
તેથી,$x-11=0$ અથવા $x-3=0$,જે આપણને $x=11$ અથવા $x=3$ આપે છે.
રીત $2$: વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા
$x^2 - 14x + 49 - 16 = 0$
$x^2 - 14x + 33 = 0$
$x^2 - 11x - 3x + 33 = 0$
$x(x-11) - 3(x-11) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
આમ,બીજ $3$ અને $11$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x(x+1)-6=0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}+x-6=0$
બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડીશું:
$x^{2}+3x-2x-6=0$
$x(x+3)-2(x+3)=0$
$(x+3)(x-2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+3=0 \implies x=-3$
$x-2=0 \implies x=2$
તેથી,બીજ $-3$ અને $2$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $6 x^{2}-13 x+6=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $6 x^{2}-9 x-4 x+6=0$
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3 x(2 x-3)-2(2 x-3)=0$
$(2 x-3)(3 x-2)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $2 x-3=0$ અથવા $3 x-2=0$
તેથી,બીજ $x=\frac{3}{2}$ અથવા $x=\frac{2}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{2}{x} = 3$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 2 = 3x$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,બીજ $2$ અને $1$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 7x + 12 = 0$ નો ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $12$ અને સરવાળો $7$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $3$ અને $4$ છે.
તેથી,સમીકરણને $x^{2} + 3x + 4x + 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
પદોને જૂથમાં લેતા,આપણને $x(x + 3) + 4(x + 3) = 0$ મળે છે.
$(x + 3)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(x + 3)(x + 4) = 0$ મળે છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x + 3 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે છે.
આમ,$x = -3$ અથવા $x = -4$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-3$ એ ઉકેલ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} + 2x + \frac{1}{4} = 0$ છે.
સાદુરૂપ આપવા માટે,આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$16x^{2} + 8x + 1 = 0$.
આ સમીકરણ $(ax + b)^{2} = a^{2}x^{2} + 2abx + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$(4x)^{2} + 2(4x)(1) + (1)^{2} = 0$.
આથી,$(4x + 1)^{2} = 0$.
તેથી,$4x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $4x = -1$.
આમ,$x = -\frac{1}{4}$.
તેથી બીજ $-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $(x-3)^{2}-4=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(x-3)^{2}=4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે: $x-3 = \pm \sqrt{4}$
$x-3 = \pm 2$
આનાથી બે શક્યતાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $x-3 = 2 \implies x = 2+3 = 5$
કિસ્સો $2$: $x-3 = -2 \implies x = -2+3 = 1$
આમ,ઉકેલો $x=5$ અને $x=1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$1$ એ એક ઉકેલ છે.

(B) ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{5}{2}$ છે.
તેથી,$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2x$ વડે ગુણતા:
$2x^2 + 2 = 5x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2x^2 - 4x - x + 2 = 0$.
$2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x - 2 = 0 \implies x = 2$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે).
તેથી,માંગેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$.
આપેલ છે કે $x + y = 23$ અને $xy = 120$.
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ બનાવી શકીએ,જે $t^2 - 23t + 120 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $t^2 - 15t - 8t + 120 = 0$.
$t(t - 15) - 8(t - 15) = 0$.
$(t - 15)(t - 8) = 0$.
તેથી,ઉકેલ $t = 15$ અને $t = 8$ મળે છે.
અહીં $AB > BC$ હોવાથી,$AB = 15$ અને $BC = 8$ લેતા.
આમ,$AB = 15$.