Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તો જીવંતી પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 45 - x$ થાય.
$5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી જોન પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ $= x - 5$.
$5$ લખોટીઓ ગુમાવ્યા પછી જીવંતી પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ $= (45 - x) - 5 = 40 - x$.
પ્રશ્ન મુજબ,બાકી રહેલી લખોટીઓનો ગુણાકાર $124$ છે:
$(x - 5)(40 - x) = 124$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$40x - x^2 - 200 + 5x = 124$
$-x^2 + 45x - 200 = 124$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$-x^2 + 45x - 200 - 124 = 0$
$-x^2 + 45x - 324 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 45x + 324 = 0$.
આમ,જોન પાસે રહેલી લખોટીઓની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 45x + 324 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(N/A) ધારો કે તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,તે દિવસે દરેક રમકડાના ઉત્પાદનનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) $= 55 - x$ થાય.
તેથી,તે દિવસે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ (રૂપિયામાં) $= x(55 - x)$ થાય.
આપેલ છે કે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ ₹ $750$ છે,તેથી:
$x(55 - x) = 750$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$55x - x^2 = 750$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$-x^2 + 55x - 750 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
આમ,તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 55x + 750 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)^{2}+1 = (x^{2}-4x+4)+1 = x^{2}-4x+5$
હવે,તેને જમણી બાજુ સાથે સરખાવતા:
$x^{2}-4x+5 = 2x-3$
પદોને એક બાજુ લાવવા માટે ગોઠવણી કરતા:
$x^{2}-4x-2x+5+3 = 0$
$x^{2}-6x+8 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$,$b=-6$,અને $c=8$ $(a \neq 0)$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+x+8$
જમણી બાજુનું નિત્યસમ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા: $x^2-4$
બંને બાજુ સરખાવતા: $x^2+x+8=x^2-4$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $x+8=-4$
પદોને ગોઠવતા: $x+12=0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,આ એક સુરેખ સમીકરણ છે અને તે $ax^2+bx+c=0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(YES) આપેલ સમીકરણ: $x(2x + 3) = x^2 + 1$
સૌ પ્રથમ,ડાબી બાજુ $(LHS)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં લાવવા માટે બંને બાજુથી $(x^2 + 1)$ બાદ કરતા:
$2x^2 - x^2 + 3x - 1 = 0$
$x^2 + 3x - 1 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 3$,અને $c = -1$ (અને $a \neq 0$),તેથી આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+2)^{3} = x^{3}-4$
નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - 4$
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$6x^{2} + 12x + 8 = -4$
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$6x^{2} + 12x + 12 = 0$
આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + 2x + 2 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^{2}=2(x-3)$
ડાબી બાજુને $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + 2x + 1 = 2(x-3)$
જમણી બાજુ $2$ નું વિતરણ કરતા:
$x^{2} + 2x + 1 = 2x - 6$
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા:
$x^{2} + 1 = -6$
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 7 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ (જ્યાં $a=1, b=0, c=7$) સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-2x = -6 + 2x$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા: $x^{2}-2x - 2x + 6 = 0$
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}-4x + 6 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
બંને બાજુઓને સરખાવતા:
$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$-x - 2 = 2x - 3$
પદોને ગોઠવતા:
$3x - 1 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,તે $ax^2 + bx + c = 0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-3)(2x+1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x(x+5) = x^2 + 5x$.
બંને બાજુઓને સરખાવતા: $2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$.
પદોને એક તરફ લાવતા: $2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 10x - 3 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
$(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
બંને બાજુઓને સરખાવતા:
$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$2x^2 - x^2 - 7x - 4x + 3 + 5 = 0$
$x^2 - 11x + 8 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
જમણી બાજુને $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2}+3x+1 = x^{2}-4x+4$
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$3x+1 = -4x+4$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$3x+4x+1-4 = 0$
$7x-3 = 0$
આ મળતું સમીકરણ $ax+b=0$ સ્વરૂપનું છે,જે એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપનું નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
જમણી બાજુને નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરો:
$(x-2)^{3} = x^{3}-2^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2}) = x^{3}-8-6x^{2}+12x$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$
$2x^{2}-13x+9 = 0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે પ્લોટની પહોળાઈ $x \ m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્લોટની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $528 = x(2x + 1)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $528 = 2x^{2} + x$.
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $2x^{2} + x - 528 = 0$.

(N/A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $306$ છે.
તેથી,$x(x+1) = 306$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + x = 306$ મળે છે.
બંને બાજુથી $306$ બાદ કરતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^2 + x - 306 = 0$.

(N/A) ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
તેથી,તેની માતાની હાલની ઉંમર $= x + 26$ વર્ષ થાય.
$3$ વર્ષ પછી:
રોહનની ઉંમર $= x + 3$ વર્ષ.
માતાની ઉંમર $= (x + 26) + 3 = x + 29$ વર્ષ.
પ્રશ્ન મુજબ,$3$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણાકાર $360$ છે.
તેથી,$(x + 3)(x + 29) = 360$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$.
$x^2 + 32x + 87 - 360 = 0$.
$x^2 + 32x - 273 = 0$.

(N/A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
$480 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{480}{x} \, \text{કલાક}$.
બીજી શરત મુજબ,ટ્રેનની ઝડપ $(x - 8) \, km/h$ છે.
આપેલ છે કે તે જ અંતર કાપવા માટે ટ્રેનને $3 \, \text{કલાક}$ વધુ સમય લાગે છે.
તેથી,$480 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \left( \frac{480}{x} + 3 \right) \, \text{કલાક}$.
સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \text{અંતર}$.
$(x - 8) \left( \frac{480}{x} + 3 \right) = 480$
$480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480$
$3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0$
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$3x^2 - 24x - 3840 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 8x - 1280 = 0$

(N/A) ધારો કે ખંડની પહોળાઈ $x \ m$ છે. તો તેની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ થાય.
હવે,ખંડનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2x + 1) \times x = (2x^2 + x) \ m^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $300 \ m^2$ છે,તેથી:
$2x^2 + x = 300$
$2x^2 + x - 300 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$2x^2 - 24x + 25x - 300 = 0$
$2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0$
$(x - 12)(2x + 25) = 0$
તેથી,સમીકરણના બીજ $x = 12$ અથવા $x = -12.5$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ પહોળાઈ દર્શાવે છે,તે ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી,$x = 12$.
આમ,ખંડની પહોળાઈ $12 \ m$ છે અને તેની લંબાઈ $2(12) + 1 = 25 \ m$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2x^{2}-5x+3=0$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$
હવે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ,એટલે કે $(\frac{1}{2} \times \frac{5}{2})^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ ઉમેરીને અને બાદ કરીને પૂર્ણવર્ગ બનાવો:
$x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{1}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} = \frac{1}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
કિસ્સો $1$: $x-\frac{5}{4} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
કિસ્સો $2$: $x-\frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{3}{2}$ અને $x = 1$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$25x^{2}-30x-10=0$
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(5x)^{2}-2 \times (5x) \times 3 + 3^{2} - 3^{2} - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 9 - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 19 = 0$
$(5x-3)^{2} = 19$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$5x-3 = \pm \sqrt{19}$
$5x = 3 \pm \sqrt{19}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
તેથી,બીજ $\frac{3+\sqrt{19}}{5}$ અને $\frac{3-\sqrt{19}}{5}$ છે.

(16 M, 33 M) ધારો કે પ્લોટની પહોળાઈ $x \ m$ છે. તો તેની લંબાઈ $(2x + 1) \ m$ થશે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $528 \ m^2$ છે,તેથી $x(2x + 1) = 528$,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 + x - 528 = 0$ થાય છે.
આ $ax^2 + bx + c = 0$ પ્રકારનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $a = 2, b = 1, c = -528$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-528)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{-1 \pm 65}{4}$.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = \frac{64}{4} = 16$ અથવા $x = \frac{-66}{4} = -16.5$.
પહોળાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $x = 16 \ m$ લઈએ છીએ.
આમ,પ્લોટની પહોળાઈ $16 \ m$ અને લંબાઈ $2(16) + 1 = 33 \ m$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક એકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા $x$ છે. તો બીજી સંખ્યા $x+2$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$x^{2} + (x+2)^{2} = 290$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 290$
$2x^{2} + 4x - 286 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$x^{2} + 2x - 143 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4(1)(-143)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
$x = \frac{22}{2} = 11$ અથવા $x = \frac{-26}{2} = -13$
કારણ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x = 11$ લઈશું.
આમ,બે ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $11$ અને $13$ છે.
ચકાસણી: $11^{2} + 13^{2} = 121 + 169 = 290$.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ $x\, m$ છે.
તેથી,તેની લંબાઈ $(x+3)\, m$ થશે.
તેથી,લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $x(x+3) = (x^2 + 3x)\, m^2$ થાય.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\, m^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણાકાર બગીચાના ક્ષેત્રફળ કરતાં $4\, m^2$ વધારે છે:
$x^2 + 3x = 6x + 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = -1$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 4$.
આમ,બગીચાની પહોળાઈ $4\, m$ અને તેની લંબાઈ $4 + 3 = 7\, m$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} - 5x + 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -5$,અને $c = 2$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(A) કોઈ સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ફેરવીએ છીએ,જ્યાં $a \neq 0$.
વિકલ્પ $(A)$ ચકાસો: $(x+2)(x-1) = x^{2}-x+2x-2 = x^{2}+x-2$. આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+x-2 = x^{2}-2x-3$. સાદું રૂપ આપતા,$3x+1=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
વિકલ્પ $(B)$ ચકાસો: $(x+2)^{2} = 2(x+3) \implies x^{2}+4x+4 = 2x+6 \implies x^{2}+2x-2=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ચકાસો: $x^{2}+3x = (-1)(1-3x)^{2} \implies x^{2}+3x = -(1-6x+9x^{2}) \implies x^{2}+3x = -1+6x-9x^{2} \implies 10x^{2}-3x+1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(D)$ ચકાસો: $x^{3}-x^{2}+2x+1 = (x+1)^{3} \implies x^{3}-x^{2}+2x+1 = x^{3}+3x^{2}+3x+1 \implies -x^{2}+2x = 3x^{2}+3x \implies 4x^{2}+x=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} - \sqrt{3}x - 5 = 0$ ને પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,આપણે પહેલા એ સુનિશ્ચિત કરીએ છીએ કે $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ અથવા પૂર્ણવર્ગ હોય. અહીં,$4x^{2} = (2x)^{2}$ છે.
આપણે સમીકરણને $(2x)^{2} - 2(2x)(\frac{\sqrt{3}}{4}) - 5 = 0$ તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ સ્વરૂપમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $a = 2x$ અને $b = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ઓળખીએ છીએ.
ઉમેરવા અને બાદ કરવા માટેનો પદ $b^{2} = (\frac{\sqrt{3}}{4})^{2} = \frac{3}{16}$ છે.
આમ,અચળાંક $\frac{3}{16}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ હોવા માટે,સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $a \neq 0$ હોય.
$(A)$ $x^{2}+2x+1 = (4-x)^{2}+3$
$\Rightarrow x^{2}+2x+1 = 16-8x+x^{2}+3$
$\Rightarrow 10x-18=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.
$(B)$ $-2x^{2} = (5-x)(2x-\frac{2}{5})$
$\Rightarrow -2x^{2} = 10x-2-2x^{2}+\frac{2x}{5}$
$\Rightarrow 0 = \frac{52x}{5}-2$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.
$(C)$ $x^{3}-x^{2} = (x-1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}-x^{2} = x^{3}-3x^{2}+3x-1$
$\Rightarrow 2x^{2}-3x+1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે કારણ કે તે $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a=2 \neq 0$ છે.
$(D)$ $(k+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$,જ્યાં $k=-1$
$\Rightarrow (-1+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$
$\Rightarrow \frac{3}{2}x-7=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણનું સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$.
$(A)$ $2(x-1)^{2}=4 x^{2}-2 x+1 \Rightarrow 2(x^{2}-2x+1)=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}-4x+2=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(B)$ $2 x-x^{2}=x^{2}+5 \Rightarrow 2x^{2}-2x+5=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(C)$ $(-\sqrt{2} x+\sqrt{3})^{2}=3 x^{2}-5 x \Rightarrow 2x^{2}-2\sqrt{6}x+3=3x^{2}-5x \Rightarrow x^{2}-(5-2\sqrt{6})x-3=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(D)$ $(x^{2}+2 x)^{2}=x^{4}+3+4 x^{2} \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+4x^{2}=x^{4}+3+4x^{2} \Rightarrow 4x^{3}-3=0$. અહીં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ હોવાથી,આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) કોઈ સમીકરણનું બીજ $x = 2$ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકીશું અને તપાસીશું કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
$(A)$ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ માટે:
$2(2)^2 - 7(2) + 6 = 2(4) - 14 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x = 2$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
$(B)$ $x^2 + 3x - 12 = 0$ માટે:
$(2)^2 + 3(2) - 12 = 4 + 6 - 12 = -2 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
$(C)$ $x^2 - 4x + 5 = 0$ માટે:
$(2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
$(D)$ $3x^2 - 6x - 2 = 0$ માટે:
$3(2)^2 - 6(2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
આમ,સાચું સમીકરણ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+kx-\frac{5}{4}=0$ નું બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^{2} + k(\frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1}{4} + \frac{k}{2} - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1 + 2k - 5}{4} = 0$
$2k - 4 = 0$
$2k = 4$
$k = 2$

(B) શું $0.2$ એ સમીકરણ $x^{2}-0.4=0$ નું બીજ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0.2$ મૂકીશું.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 0.2$ મૂકતા:
$(0.2)^{2} - 0.4 = 0.04 - 0.4 = -0.36$.
અહીં પરિણામ $-0.36$ મળે છે,જે $0$ નથી.
તેથી,$0.2$ એ સમીકરણ $x^{2}-0.4=0$ નું બીજ નથી.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજ શોધવાનું દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a=2$,$b=-\sqrt{5}$,અને $c=-2$ છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4 \times 2 \times (-2) = 5 + 16 = 21$.
હવે,આ કિંમતોને દ્વિઘાત સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{21}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{21}}{4}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{21}}{4}$ અને $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{21}}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - 3x - 5 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = -3, c = -5$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(2)(-5)}}{2(2)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{3 \pm 7}{4}$.
બે બીજની ગણતરી કરતા:
$x_{1} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
આમ,આપેલ સમીકરણના બીજ $\frac{5}{2}$ અને $-1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $5x^{2} + 13x + 8 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 5, b = 13, c = 8$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(13) \pm \sqrt{(13)^{2} - 4(5)(8)}}{2(5)}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{9}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm 3}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-13 + 3}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-13 - 3}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$.
આમ,બીજ $-1$ અને $-\frac{8}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $-3x^{2} + 5x + 12 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$,$b = 5$ અને $c = 12$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^{2} - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{-6}$.
અહીં $\sqrt{169} = 13$ હોવાથી,$x = \frac{-5 \pm 13}{-6}$ મળે.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-5 + 13}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-5 - 13}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$.
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{4}{3}$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $-x^{2}+7x-10=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -1, b = 7, c = -10$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^{2}-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm 3}{-2}$.
બે બીજની ગણતરી કરતા:
$x_1 = \frac{-7 + 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$x_2 = \frac{-7 - 3}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2$ અને $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=2 \sqrt{2}$ અને $c=-6$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$.
$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8+24}}{2} = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2}$.
અહીં $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ હોવાથી,$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm 4 \sqrt{2}}{2}$.
બે બીજ શોધતા:
$x_1 = \frac{-2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{2} = -3 \sqrt{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\sqrt{2}$ અને $-3 \sqrt{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = 3$ છે.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^2 + 1 = 3x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$x^2 - 3x + 1 = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -3, c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,બીજ $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ અને $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$,જ્યાં $x \neq 0, 2$.
બંને બાજુ $x(x-2)$ વડે ગુણતા:
$(x-2) - x = 3x(x-2)$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા:
$-2 = 3x^2 - 6x$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3, b = -6, c = 2$ છે:
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
તેથી,$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ અને $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ છે.

(3, 1/2) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$2x^2 - 7x = -3$.
પગલું $2$: સમીકરણને $x^2$ ના સહગુણક $(2)$ વડે ભાગતા:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
પગલું $3$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-\frac{7}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $-\frac{7}{4}$ થાય. $(-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^2 - 2(x)(\frac{7}{4}) + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
પગલું $4$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા:
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
પગલું $5$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
પગલું $6$: $x$ ની કિંમત શોધતા:
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x - 4 = 0$.
પગલું $1$: $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{2}x = 2$.
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. બંને બાજુ $(\frac{1}{4})^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = 2 + (\frac{1}{4})^{2}$.
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = 2 + \frac{1}{16} = \frac{32 + 1}{16} = \frac{33}{16}$.
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$.
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$(2x)^{2} + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2} = 0$.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$(2x + \sqrt{3})^{2} = 0$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$2x + \sqrt{3} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$2x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,બીજ $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2}-7 x+3=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=-7, c=3$
દ્વિઘાત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x=\frac{7 \pm 5}{4}$
હવે,બંને કિસ્સાઓ માટે ઉકેલતા:
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
તેથી,સમીકરણના બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2} + x - 4 = 0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2} + b x + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = 1, c = -4$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$:
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
આમ,બીજ $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = 3$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા: $x^{2} - 1 = 3x$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^{2} - 3x - 1 = 0$
આ સમીકરણને $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = -3, c = -1$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
આમ,બીજ $x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ અને $x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ છે.

(C) ધારો કે રેહમાનની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
ત્રણ વર્ષ પહેલાં,તેની ઉંમર $(x-3)$ વર્ષ હતી.
પાંચ વર્ષ પછી,તેની ઉંમર $(x+5)$ વર્ષ હશે.
આપેલ છે કે રેહમાનની $3$ વર્ષ પહેલાની અને $5$ વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{3}$ છે.
$\therefore \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$3(2x+2) = x^2+2x-15$
$6x+6 = x^2+2x-15$
$x^2-4x-21 = 0$
$x^2-7x+3x-21 = 0$
$x(x-7)+3(x-7) = 0$
$(x-7)(x+3) = 0$
$x = 7$ અથવા $x = -3$.
ઉંમર ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી રેહમાનની હાલની ઉંમર $7$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે ગણિતમાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
તો,અંગ્રેજીમાં મેળવેલા ગુણ $30-x$ થશે.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x+2)(30-x-3) = 210$
$(x+2)(27-x) = 210$
$27x - x^2 + 54 - 2x = 210$
$-x^2 + 25x + 54 = 210$
$x^2 - 25x + 156 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$x^2 - 12x - 13x + 156 = 0$
$x(x-12) - 13(x-12) = 0$
$(x-12)(x-13) = 0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 13$.
કિસ્સો $1$: જો ગણિતમાં $12$ ગુણ હોય,તો અંગ્રેજીમાં $30-12 = 18$ ગુણ થાય.
કિસ્સો $2$: જો ગણિતમાં $13$ ગુણ હોય,તો અંગ્રેજીમાં $30-13 = 17$ ગુણ થાય.

(A) ધારો કે નાનો નળ ટાંકી ભરવા માટે $x \text{ કલાક}$ લે છે.
મોટા નળ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= (x - 10) \text{ કલાક}$.
નાના નળ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{x}$.
મોટા નળ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{x - 10}$.
આપેલ છે કે બંને નળ એકસાથે ટાંકીને $9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8} \text{ કલાક}$ માં ભરી શકે છે. તેથી,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{8}{75}$.
$\frac{x - 10 + x}{x(x - 10)} = \frac{8}{75}$.
$\frac{2x - 10}{x^2 - 10x} = \frac{8}{75}$.
$75(2x - 10) = 8(x^2 - 10x)$.
$150x - 750 = 8x^2 - 80x$.
$8x^2 - 230x + 750 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$4x^2 - 115x + 375 = 0$.
$4x^2 - 100x - 15x + 375 = 0$.
$4x(x - 25) - 15(x - 25) = 0$.
$(x - 25)(4x - 15) = 0$.
આમ,$x = 25$ અથવા $x = \frac{15}{4} = 3.75$.
જો $x = 3.75$ હોય,તો મોટા નળ માટે સમય $3.75 - 10 = -6.25 \text{ કલાક}$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,નાનો નળ $25 \text{ કલાક}$ લે છે અને મોટો નળ $25 - 10 = 15 \text{ કલાક}$ લે છે.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પર થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે.
ધારો કે દરવાજા $B$ થી થાંભલાનું અંતર $x \, m$ છે,એટલે કે $BP = x \, m$.
બે દરવાજાથી થાંભલાના અંતરનો તફાવત $AP - BP = 7 \, m$ છે.
તેથી,$AP = (x + 7) \, m$.
$AB$ એ વર્તુળાકાર બગીચાનો વ્યાસ હોવાથી,$AB = 13 \, m$.
વર્તુળમાં,વ્યાસ દ્વારા સીમા પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે. તેથી,$\angle APB = 90^{\circ}$.
$\triangle APB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AP^2 + BP^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$.
$2x^2 + 14x - 120 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^2 + 7x - 60 = 0$.
આ શક્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ ની ગણતરી કરીએ.
$D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે,તેથી થાંભલો ઊભો કરવો શક્ય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ મળે છે.
આનાથી $x = \frac{10}{2} = 5$ અથવા $x = \frac{-24}{2} = -12$ મળે છે.
અંતર ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $x = 5$ લઈએ છીએ.
આમ,થાંભલો દરવાજા $B$ થી $5 \, m$ અને દરવાજા $A$ થી $12 \, m$ ના અંતરે ઊભો કરવો જોઈએ.

(A) ધારો કે આંબાવાડીની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,આંબાવાડીની લંબાઈ $2x \, m$ થશે.
લંબચોરસ આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2x)(x) = 2x^2 \, m^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $800 \, m^2$ છે,તેથી $2x^2 = 800$.
$x^2 = 400$.
$x^2 - 400 = 0$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 0, c = -400$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 1600$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે આવી આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે.
$x^2 = 400 \implies x = \pm 20$.
પહોળાઈ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 20$ લઈશું.
આમ,પહોળાઈ $20 \, m$ અને લંબાઈ $2(20) = 40 \, m$ છે.