Quadratic Equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+3x-5=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ છે.
$x^{2}+3x+\frac{9}{4}-5-\frac{9}{4}=0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{20+9}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{29}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{29}}{2})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$
આમ,ઉકેલ $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 7x + 3 = 0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ છે:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} - \frac{49}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અથવા $x = \frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 x^{2}+3 x+5=0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$ છે:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64} - \frac{9}{64} + \frac{5}{4} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{-9 + 80}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{71}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64}$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે. આમ,આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+10x+7=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $(\frac{10}{2})^{2} = 25$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું:
$x^{2}+10x+25-25+7=0$
$(x+5)^{2}-18=0$
$(x+5)^{2} = 18$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x+5 = \pm\sqrt{18}$
$x+5 = \pm 3\sqrt{2}$
$x = -5 \pm 3\sqrt{2}$
તેથી,સમીકરણના બીજ $-5+3\sqrt{2}$ અને $-5-3\sqrt{2}$ છે.

(C) પૂર્ણવર્ગની રીતથી $25 x^{2}-30 x+3=0$ ને ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જઈએ: $25 x^{2}-30 x = -3$.
સમીકરણને $25$ વડે ભાગતા: $x^{2} - \frac{30}{25} x = -\frac{3}{25}$,એટલે કે $x^{2} - \frac{6}{5} x = -\frac{3}{25}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{1}{2} \times -\frac{6}{5})^2 = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ ને બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} = -\frac{3}{25} + \frac{9}{25}$.
આથી $(x - \frac{3}{5})^2 = \frac{6}{25}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$.
તેથી,$x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{5}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{3-\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{3+\sqrt{6}}{5}$ છે.

(D) પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ $16 x^{2}-24 x-1=0$ ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ સમીકરણને $16 x^{2}-24 x = 1$ તરીકે લખીએ.
આખા સમીકરણને $x^{2}$ ના સહગુણક $16$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{24}{16} x = \frac{1}{16}$
$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{16}$
હવે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરીએ. $x$ નો સહગુણક $-\frac{3}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $-\frac{3}{4}$ થાય અને તેનો વર્ગ $\frac{9}{16}$ થાય:
$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{10}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ અને $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 y^{2}+7 y-20=0$
$y^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$y^{2}+\frac{7}{3} y-\frac{20}{3}=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$y$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ છે:
$y^{2}+\frac{7}{3} y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - (\frac{49}{36} + \frac{240}{36}) = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - \frac{289}{36} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} = (\frac{17}{6})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y+\frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$
કિસ્સો $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$
આમ,સમીકરણના બીજ $-4$ અને $\frac{5}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $5x^{2}-4x-10=0$
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-\frac{4}{5}x-2=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ છે:
$x^{2}-\frac{4}{5}x + \frac{4}{25} - \frac{4}{25} - 2 = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4}{25} + 2) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4+50}{25}) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - \frac{54}{25} = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} = \frac{54}{25}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x-\frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{2-3\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{2+3\sqrt{6}}{5}$ છે.

(D) $x^{2}-8x+12=0$ ને પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે:
$1$. અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જાઓ: $x^{2}-8x = -12$
$2$. $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરો. $x$ નો સહગુણક $-8$ છે, તેના અડધા $-4$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-4)^{2} = 16$ થાય.
$3$. $x^{2}-8x+16 = -12+16$
$4$. ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખો: $(x-4)^{2} = 4$
$5$. બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-4 = \pm 2$
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x = 4+2 = 6$ અથવા $x = 4-2 = 2$.
આમ, બીજ $2$ અને $6$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+2x-2=0$
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}+2x=2$
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $2$ છે,તેથી તેના અડધા $1$ થાય અને તેનો વર્ગ $1^{2}=1$ થાય. બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$x^{2}+2x+1=2+1$
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x+1)^{2}=3$
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+1 = \pm\sqrt{3}$
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = -1 \pm \sqrt{3}$
આમ,બીજ $-1+\sqrt{3}$ અને $-1-\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-4x-8=0$
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}-4x=8$
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-4$ છે,તેથી તેના અડધા $-2$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-2)^{2}=4$ થાય.
$x^{2}-4x+4=8+4$
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x-2)^{2}=12$
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-2 = \pm\sqrt{12}$
$x-2 = \pm 2\sqrt{3}$
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$
આમ,બીજ $2+2\sqrt{3}$ અને $2-2\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 20x + 23 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $x^{2} + 5x + \frac{23}{4} = 0$.
તેને આ રીતે લખતા: $x^{2} + 5x = -\frac{23}{4}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ છે) બંને બાજુ ઉમેરતા: $x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = -\frac{23}{4} + \frac{25}{4}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આમ,$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{2}}{2}$.
તેથી,બીજ $\frac{-5+\sqrt{2}}{2}$ અને $\frac{-5-\sqrt{2}}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $x^{2} + bx - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે $(\frac{b}{2})^{2}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા: $x^{2} + bx + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
$(x + \frac{b}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{b}{2} = \pm \frac{a}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{a-b}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-a-b}{2} = -(\frac{a+b}{2})$.
આમ,બીજ $-\left(\frac{a+b}{2}\right), \left(\frac{a-b}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}=0$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ,એટલે કે $(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું.
$x^{2}-(\sqrt{3}+1) x + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} + \sqrt{3} = 0$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - \sqrt{3}$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 + \sqrt{3}-1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,બીજ $\sqrt{3}$ અને $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-4 \sqrt{2} x+6=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,સમીકરણને $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) = -6$ તરીકે લખીએ.
બંને બાજુ $(2 \sqrt{2})^{2} = 8$ ઉમેરતા: $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{2})^{2} = -6 + 8$.
આનું સાદું રૂપ $(x-2 \sqrt{2})^{2} = 2$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-2 \sqrt{2} = \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
આમ,બીજ $\sqrt{2}$ અને $3 \sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^2 + 11x + 10 = 0$.
$x^2$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા: $x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^2 + \frac{11}{3}x = -\frac{10}{3}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{11}{3}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{11}{6}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$ થાય.
$x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{121}{36} = -\frac{10}{3} + \frac{121}{36}$.
$(x + \frac{11}{6})^2 = -\frac{120}{36} + \frac{121}{36} = \frac{1}{36}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{11}{6} = \pm \frac{1}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{11}{6} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{11}{6} = -\frac{1}{6} \implies x = -\frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{12}{6} = -2$.
આમ,બીજ $-\frac{5}{3}$ અને $-2$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
સમીકરણને $x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$ તરીકે ફરીથી લખો.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરો. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ થાય.
$x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = -2 + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{-32 + 1}{16} = -\frac{31}{16}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} - 7x + 3 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{4}$ છે) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + (\frac{7}{4})^{2}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+8x+3=0$.
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}+8x = -3$.
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $8$ છે,તેથી તેના અડધા $4$ થાય અને તેનો વર્ગ $4^{2} = 16$ થાય.
$x^{2}+8x+16 = -3+16$.
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x+4)^{2} = 13$.
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+4 = \pm\sqrt{13}$.
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = -4 \pm \sqrt{13}$.
આમ,બીજ $-4+\sqrt{13}$ અને $-4-\sqrt{13}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x - \frac{2}{x} - 7 = 0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ મેળવવા માટે $x$ વડે ગુણતા: $3x^2 - 7x - 2 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - \frac{7}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{2}{3} = 0$.
$(x - \frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} + \frac{24}{36} = \frac{73}{36}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{73}}{6}$.
$x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{6}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(2x + 1) - \frac{4}{(2x + 1)} - 3 = 0$.
ધારો કે $y = 2x + 1$. તેથી સમીકરણ $y - \frac{4}{y} - 3 = 0$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$: $y^2 - 3y - 4 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે: $y^2 - 3y = 4$.
બંને બાજુ $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ ઉમેરતા: $y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$.
$(y - \frac{3}{2})^2 = \frac{16 + 9}{4} = \frac{25}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $y - \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$. $y = 2x + 1$ હોવાથી,$2x + 1 = 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$. $y = 2x + 1$ હોવાથી,$2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.
આમ,બીજ $\frac{3}{2}, -1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}=6$.
આખા સમીકરણને $x^{2}$ વડે ગુણતા $(x \neq 0)$: $2 - x = 6x^{2}$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $6x^{2} + x - 2 = 0$.
$6$ વડે ભાગતા: $x^{2} + \frac{1}{6}x - \frac{1}{3} = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^{2} = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6})^{2} = (\frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા.
$x^{2} + \frac{1}{6}x + \frac{1}{144} - \frac{1}{144} - \frac{1}{3} = 0$.
$(x + \frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 48}{144} = \frac{49}{144}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{1}{12} = \pm \frac{7}{12}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $-\frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{3} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x = \frac{5}{3}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{\sqrt{5}}{3}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{5}{9}$ થાય.
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x + \frac{5}{9} = \frac{5}{3} + \frac{5}{9}$.
$(x + \frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{15 + 5}{9} = \frac{20}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{\frac{20}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{3\sqrt{5}}{3} = -\sqrt{5}$.
આમ,બીજ $-\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x(2x - 3) - 4 = 0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $10x^2 - 15x - 4 = 0$
$10$ વડે ભાગતા: $x^2 - \frac{15}{10}x - \frac{4}{10} = 0 \Rightarrow x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{2}{5} = 0$
$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{1}{2} \times \frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16} - \frac{2}{5} = 0$
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} + \frac{2}{5} = \frac{45 + 32}{80} = \frac{77}{80}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{77}{80}} = \pm \frac{\sqrt{77}}{4\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{385}}{20}$
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{385}}{20} = \frac{15 \pm \sqrt{385}}{20}$
આમ,બીજ $\frac{15+\sqrt{385}}{20}$ અને $\frac{15-\sqrt{385}}{20}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{2}{x} - 8 = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 - 8x + 2 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,સમીકરણને આ રીતે લખીએ: $x^2 - 8x = -2$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-8$ છે,તેથી તેના અડધા $-4$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-4)^2 = 16$ થાય.
બંને બાજુ $16$ ઉમેરતા: $x^2 - 8x + 16 = -2 + 16$.
આનું સાદું રૂપ: $(x - 4)^2 = 14$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - 4 = \pm \sqrt{14}$.
તેથી,$x = 4 \pm \sqrt{14}$.
આમ,બીજ $4 + \sqrt{14}$ અને $4 - \sqrt{14}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-5x-1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-5, c=-1$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-5)^{2} - 4(1)(-1) = 25 + 4 = 29$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{5-\sqrt{29}}{2}$ છે.

(B) સમીકરણ $y^{2}+10y+6=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ay^{2}+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=10, c=6$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (10)^{2} - 4(1)(6) = 100 - 24 = 76$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{-10 \pm \sqrt{76}}{2(1)}$.
અહીં $\sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$ હોવાથી,$y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{19}}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,$y = -5 \pm \sqrt{19}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $-5+\sqrt{19}$ અને $-5-\sqrt{19}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 y^{2}+5 y-3=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a y^{2}+b y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=5$,અને $c=-3$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (5)^{2} - 4(2)(-3)$
$D = 25 + 24 = 49$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(2)}$
$y = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
આમ,આપેલ સમીકરણના બીજ $\frac{1}{2}$ અને $-3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+2)+2x$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + 9x + 20 = 3(x^2 + 3x + 2) + 2x$
$x^2 + 9x + 20 = 3x^2 + 9x + 6 + 2x$
પદોને $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 - 3x^2 + 9x - 9x - 2x + 20 - 6 = 0$
$-2x^2 - 2x + 14 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + x - 7 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=1, c=-7$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2(1)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$
આમ,બીજ $\frac{-1+\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{-1-\sqrt{29}}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$
$3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
$3x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 4x - 8 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-4, c=-8$ મળે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{48}}{2(1)} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2(1+\sqrt{3})$ અને $2(1-\sqrt{3})$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-8x-21=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-8, c=-21$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (-8)^{2} - 4(1)(-21) = 64 + 84 = 148$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{148}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \times 37}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{37}}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 4 \pm \sqrt{37}$ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $4+\sqrt{37}$ અને $4-\sqrt{37}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + 5 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 6$,અને $c = 5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (6)^{2} - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ શોધો.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$.
ધન ચિહ્ન માટે: $x = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $x = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
આમ,ઉકેલો $-5$ અને $-1$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x-4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-3, c=-4$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm 5}{2}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,ઉકેલો $-1$ અને $4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} + 8x + 3 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = 8$ અને $c = 3$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$D = (8)^{2} - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2(5)} = \frac{-8 \pm 2}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
આમ,ઉકેલો $-\frac{3}{5}$ અને $-1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $3x^2 + 5\sqrt{2}x - 2 = 0$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = 5\sqrt{2}$,અને $c = -2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
$D = (5\sqrt{2})^2 - 4(3)(-2) = (25 \times 2) + 24 = 50 + 24 = 74$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{2(3)} = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{6}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{-5\sqrt{2} + \sqrt{74}}{6}$ અને $x = \frac{-5\sqrt{2} - \sqrt{74}}{6}$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
$x^{2}+5x+3=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=5, c=3$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (5)^{2} - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2(1)}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{-5+\sqrt{13}}{2}$ અને $x = \frac{-5-\sqrt{13}}{2}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-5x-1=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=6$,$b=-5$,અને $c=-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (-5)^{2} - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{5 \pm 7}{12}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{5-7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
આમ,ઉકેલ $1$ અને $-\frac{1}{6}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} + 7x - 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 9$,$b = 7$ અને $c = -2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (7)^{2} - 4(9)(-2) = 49 + 72 = 121$ ની ગણતરી કરો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2(9)}$
$x = \frac{-7 \pm 11}{18}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-7 + 11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-7 - 11}{18} = \frac{-18}{18} = -1$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{2}{9}$ અને $-1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2} + x - 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$b = 1$,અને $c = -2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો: $D = (1)^{2} - 4(6)(-2) = 1 + 48 = 49$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(6)}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{12}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.
આમ,બીજ $1/2$ અને $-2/3$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + 5\sqrt{3}x + 6 = 0$.
અહીં,$a = 2$,$b = 5\sqrt{3}$,અને $c = 6$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (5\sqrt{3})^{2} - 4(2)(6) = (25 \times 3) - 48 = 75 - 48 = 27$ શોધો.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2(2)} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3}$.
આમ,બીજ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-2\sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $p^{2} x^{2} + (p^{2} - q^{2}) x - q^{2} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p^{2}$,$b = (p^{2} - q^{2})$,અને $c = -q^{2}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (p^{2} - q^{2})^{2} - 4(p^{2})(-q^{2})$ ની ગણતરી કરો.
$D = p^{4} - 2p^{2}q^{2} + q^{4} + 4p^{2}q^{2} = p^{4} + 2p^{2}q^{2} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2}$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-(p^{2} - q^{2}) \pm \sqrt{(p^{2} + q^{2})^{2}}}{2p^{2}}$.
$x = \frac{-p^{2} + q^{2} \pm (p^{2} + q^{2})}{2p^{2}}$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2}}{2p^{2}} = \frac{2q^{2}}{2p^{2}} = \frac{q^{2}}{p^{2}}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} - p^{2} - q^{2}}{2p^{2}} = \frac{-2p^{2}}{2p^{2}} = -1$.
આમ,બીજ $x = \frac{q^{2}}{p^{2}}$ અને $x = -1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3} x^{2} + 10 x - 8 \sqrt{3} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{3}$,$b = 10$ અને $c = -8 \sqrt{3}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (10)^{2} - 4(\sqrt{3})(-8 \sqrt{3}) = 100 + 32(3) = 100 + 96 = 196$ ની ગણતરી કરો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \sqrt{3}} = \frac{-10 \pm 14}{2 \sqrt{3}}$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-10 + 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{4}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-10 - 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{-24}{2 \sqrt{3}} = \frac{-12}{\sqrt{3}} = -4 \sqrt{3}$.
આમ,બીજ $-4 \sqrt{3}$ અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$.
લસાઅ લેતા: $\frac{(x-2) - x}{x(x-2)} = 3$.
$\frac{-2}{x^2 - 2x} = 3$.
$-2 = 3x^2 - 6x$.
$3x^2 - 6x + 2 = 0$.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = -6, c = 2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 3$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 + 1 = 3x$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -3$,અને $c = 1$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ ની ગણતરી કરતા.
$D > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,ઉકેલો $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ અને $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = 2\sqrt{5}$ અને $c = -5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (2\sqrt{5})^{2} - 4(3)(-5) = 20 + 60 = 80$ શોધો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{80}}{2(3)} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 4\sqrt{5}}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{6} = \frac{-6\sqrt{5}}{6} = -\sqrt{5}$.
આમ,ઉકેલ $-\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4} \implies \frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$.
દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2+bx+c=0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 4x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1, b=-4, c=-8$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$.
અહીં $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ હોવાથી,$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,ઉકેલ $2+2\sqrt{3}$ અને $2-2\sqrt{3}$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{2}$,$b = 7$,અને $c = 5\sqrt{2}$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
$D = (7)^2 - 4(\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 49 - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{-7 \pm 3}{2\sqrt{2}}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-7 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-7 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}}$.
આમ,ઉકેલો $-\sqrt{2}$ અને $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x\,cm$ છે.
તેથી,આપેલી શરત મુજબ,લંબચોરસની લંબાઈ $(3x - 2)\,cm$ થાય.
હવે,માહિતી મુજબ,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $280\,cm^2$ છે.
$\therefore$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 280$
$\therefore$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ $= 280$
$\therefore (3x - 2)(x) = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x - 280 = 0$
$\therefore (3x + 28)(x - 10) = 0$
$\therefore 3x + 28 = 0$ અથવા $x - 10 = 0$
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ અથવા $x = 10$
જેમ કે $x$ એ લંબચોરસની પહોળાઈ છે,તે ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ શક્ય નથી.
$\therefore x = 10$
હવે,લંબચોરસની લંબાઈ $= 3x - 2 = 3(10) - 2 = 28\,cm$.
આમ,આપેલા લંબચોરસની લંબાઈ $28\,cm$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક બેકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,મોટી બેકી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $x+2$ થશે.
રકમ મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $244$ છે.
$\therefore x^{2} + (x+2)^{2} = 244$
$\therefore x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 244$
$\therefore 2x^{2} + 4x + 4 - 244 = 0$
$\therefore 2x^{2} + 4x - 240 = 0$
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\therefore x^{2} + 2x - 120 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$\therefore (x+12)(x-10) = 0$
$\therefore x+12 = 0$ અથવા $x-10 = 0$
$\therefore x = -12$ અથવા $x = 10$
અહીં સંખ્યાઓ ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $x = -12$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = 10$.
નાની સંખ્યા $10$ છે અને મોટી સંખ્યા $10+2 = 12$ છે.
આમ,માંગેલ ક્રમિક બેકી ધન પૂર્ણાંકો $10$ અને $12$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ સંખ્યાનો દશકનો અંક $x$ છે.
અંકોનો ગુણાકાર $6$ હોવાથી,એકમનો અંક $\frac{6}{x}$ થશે.
મૂળ સંખ્યા $= 10x + \frac{6}{x}$ થાય.
અંકોની અદલાબદલી કરતા મળતી નવી સંખ્યા $= 10(\frac{6}{x}) + x = \frac{60}{x} + x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મૂળ સંખ્યામાંથી $9$ બાદ કરતા નવી સંખ્યા મળે છે:
$10x + \frac{6}{x} - 9 = \frac{60}{x} + x$
સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$10x^2 + 6 - 9x = 60 + x^2$
$9x^2 - 9x - 54 = 0$
$9$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
અંક ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 3$.
મૂળ સંખ્યા $= 10(3) + \frac{6}{3} = 30 + 2 = 32$.