Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વિરાટ કોહલીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
$8$ વર્ષ પહેલાંની ઉંમર $(x - 8)$ વર્ષ હતી.
$6$ વર્ષ પછીની ઉંમર $(x + 6)$ વર્ષ હશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉંમરનો ગુણાકાર $680$ છે:
$(x - 8)(x + 6) = 680$
$x^2 + 6x - 8x - 48 = 680$
$x^2 - 2x - 48 - 680 = 0$
$x^2 - 2x - 728 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -2, c = -728$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-728)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2912}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{2916}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 54}{2}$
ઉંમર ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે ધન કિંમત લઈએ છીએ:
$x = \frac{2 + 54}{2} = \frac{56}{2} = 28$
તેથી,તેની હાલની ઉંમર $28$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે કારની મૂળ ઝડપ $x\,km/hr$ છે.
મૂળ ઝડપે લીધેલ સમય,$T_1 = \frac{150}{x}$ કલાક.
નવી ઝડપ = $(x + 5)\,km/hr$.
નવી ઝડપે લીધેલ સમય,$T_2 = \frac{150}{x + 5}$ કલાક.
આપેલ છે કે કાર $60$ મિનિટ ($1$ કલાક) ઓછો સમય લે છે,તેથી $T_1 - T_2 = 1$.
$\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 5} = 1$.
$150(x + 5 - x) = x(x + 5)$.
$150(5) = x^2 + 5x$.
$x^2 + 5x - 750 = 0$.
$(x + 30)(x - 25) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 25\,km/hr$.

(A) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $x \text{ km/hr}$ છે.
આપેલ છે, સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ = $25 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(25 + x) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(25 - x) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં $60 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{60}{25 + x} \text{ કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $60 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{60}{25 - x} \text{ કલાક}$.
કુલ સમય = $5 \text{ કલાક}$.
તેથી, $\frac{60}{25 + x} + \frac{60}{25 - x} = 5$.
$5$ વડે ભાગતા: $\frac{12}{25 + x} + \frac{12}{25 - x} = 1$.
$12(25 - x + 25 + x) = (25 + x)(25 - x)$.
$12(50) = 625 - x^2$.
$600 = 625 - x^2$.
$x^2 = 25$.
$x = 5 \text{ km/hr}$ (ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે).
આમ, નદીના પ્રવાહની ઝડપ $5 \text{ km/hr}$ છે.

(D) ધારો કે બાળકોની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક બાળકને મળતા પતંગોની સંખ્યા $\frac{120}{x}$ છે.
જો $4$ બાળકો ઓછા હોય,તો બાળકોની સંખ્યા $(x - 4)$ થાય.
આ કિસ્સામાં,દરેક બાળકને $\frac{120}{x - 4}$ પતંગો મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x} = 1$.
$x(x - 4)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $120x - 120(x - 4) = x(x - 4)$.
$120x - 120x + 480 = x^2 - 4x$.
$x^2 - 4x - 480 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 24)(x + 20) = 0$.
બાળકોની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 24$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 24x - 1 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $16$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{24}{16}x - \frac{1}{16} = 0 \implies x^{2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{16}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ છે,અને તેનો વર્ગ $\frac{9}{16}$ થાય) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$.
ડાબી બાજુને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે લખતા:
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{10}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$.
આમ,બીજ $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ અને $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3y^{2} + 7y - 20 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $y^{2} + \frac{7}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times y \text{ નો સહગુણક})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$y^{2} + \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} - (\frac{49 + 240}{36}) = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} = \frac{289}{36}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $y + \frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$.
આમ,બીજ $-4, \frac{5}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5x^{2} - 4x - 10 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x - 2 = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x = 2$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ થાય) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} = 2 + \frac{4}{25}$.
ડાબી બાજુને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે લખતા:
$(x - \frac{2}{5})^{2} = \frac{50 + 4}{25} = \frac{54}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5} = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.
આમ,બીજ $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{2 + 3\sqrt{6}}{5}$ છે.

(B) પૂર્ણ વર્ગની રીત દ્વારા સમીકરણ $m^{2} - 18m + 81 = 0$ ઉકેલવા માટે:
$1$. સમીકરણ પહેલેથી જ $m^{2} - 18m = -81$ સ્વરૂપમાં છે.
$2$. પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $m$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરીએ છીએ. $m$ નો સહગુણક $-18$ છે,તેથી તેના અડધા $-9$ થાય અને $(-9)^{2} = 81$ થાય.
$3$. બંને બાજુ $81$ ઉમેરતા: $m^{2} - 18m + 81 = -81 + 81$.
$4$. આનું સાદું રૂપ $(m - 9)^{2} = 0$ થાય છે.
$5$. બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $m - 9 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = 9$.
$6$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ હોવાથી,તેના બીજ $9, 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6x^2 + 11x + 3 = 0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{3}{6} = 0 \implies x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{1}{2} = 0$
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x = -\frac{1}{2}$
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (એટલે કે $(\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6})^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{121}{144} = -\frac{1}{2} + \frac{121}{144}$
$(x + \frac{11}{12})^2 = -\frac{72}{144} + \frac{121}{144} = \frac{49}{144}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + \frac{11}{12} = \pm \frac{7}{12}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
આમ,બીજ $-\frac{3}{2}$ અને $-\frac{1}{3}$ છે.

(D) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $16 - x$ છે. ધારો કે $x$ એ મોટો ભાગ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2x^2 - (16 - x)^2 = 164$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - (256 - 32x + x^2) = 164$.
$2x^2 - 256 + 32x - x^2 = 164$.
$x^2 + 32x - 420 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 42x - 10x - 420 = 0$.
$x(x + 42) - 10(x + 42) = 0$.
$(x - 10)(x + 42) = 0$.
ભાગ ધન હોવા જોઈએ,તેથી $x = 10$.
બીજો ભાગ $16 - 10 = 6$ છે.
આમ,બે ભાગ $10$ અને $6$ છે.

(C) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $x \,km/hr$ છે.
સામાન્ય ઝડપે $900 \,km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{900}{x} \,\text{કલાક}$ છે.
જ્યારે ઝડપમાં $10 \,km/hr$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(x - 10) \,km/hr$ થાય છે.
નવી ઝડપે $900 \,km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{900}{x - 10} \,\text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_2 - T_1 = 4.5 \,\text{કલાક}$ (જે $9/2 \,\text{કલાક}$ છે).
તેથી,$\frac{900}{x - 10} - \frac{900}{x} = \frac{9}{2}$.
$9$ વડે ભાગતા,$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{x - (x - 10)}{x(x - 10)} \right) = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{2}$.
$1000 \times 2 = x^2 - 10x$.
$x^2 - 10x - 2000 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $x^2 - 50x + 40x - 2000 = 0$.
$x(x - 50) + 40(x - 50) = 0$.
$(x - 50)(x + 40) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 50 \,km/hr$.

(A) ધારો કે શુદ્ધ માખણની મૂળ કિંમત $x$ રૂ. પ્રતિ $kg$ છે.
મૂળ કિંમતે રૂ. $960$ માં ખરીદેલ માખણનો જથ્થો $\frac{960}{x} \ kg$ છે.
જ્યારે કિંમતમાં પ્રતિ $kg$ રૂ. $40$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી કિંમત $(x + 40)$ રૂ. પ્રતિ $kg$ થાય છે.
નવી કિંમતે રૂ. $960$ માં ખરીદેલ માખણનો જથ્થો $\frac{960}{x + 40} \ kg$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જથ્થામાં તફાવત $2 \ kg$ છે:
$\frac{960}{x} - \frac{960}{x + 40} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 40} = 1$
$480(x + 40) - 480x = x(x + 40)$
$480x + 19200 - 480x = x^2 + 40x$
$x^2 + 40x - 19200 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(1)(-19200)}}{2}$
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 76800}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{78400}}{2} = \frac{-40 \pm 280}{2}$
કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = \frac{240}{2} = 120$.
આમ,મૂળ કિંમત રૂ. $120$ પ્રતિ $kg$ છે.

(B) ધારો કે કેરોસીનની મૂળ કિંમત $x$ રૂ./લિટર છે.
કુલ ખર્ચ = રૂ. $360$.
કેરોસીનનો મૂળ જથ્થો = $\frac{360}{x}$ લિટર.
કેરોસીનની નવી કિંમત = $(x + 2)$ રૂ./લિટર.
કેરોસીનનો નવો જથ્થો = $\frac{360}{x + 2}$ લિટર.
પ્રશ્ન મુજબ,જથ્થામાં તફાવત $2$ લિટર છે:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 2} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 1$
$180(x + 2) - 180x = x(x + 2)$
$180x + 360 - 180x = x^2 + 2x$
$x^2 + 2x - 360 = 0$
$(x + 20)(x - 18) = 0$
કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 18$.
આમ,કેરોસીનની મૂળ કિંમત રૂ. $18$ પ્રતિ લિટર છે.

(D) ધારો કે કર્ણની લંબાઈ $h\,cm$,પાયો $b\,cm$ અને વેધ $a\,cm$ છે.
આપેલ છે: $h = b + 2 \implies b = h - 2$.
વળી,$h = 2a + 1 \implies a = \frac{h - 1}{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$h^2 = b^2 + a^2$.
$b$ અને $a$ ની કિંમતો મૂકતા: $h^2 = (h - 2)^2 + \left(\frac{h - 1}{2}\right)^2$.
$h^2 = h^2 - 4h + 4 + \frac{h^2 - 2h + 1}{4}$.
$4$ વડે ગુણતા: $4h^2 = 4h^2 - 16h + 16 + h^2 - 2h + 1$.
$0 = h^2 - 18h + 17$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(h - 17)(h - 1) = 0$.
અહીં $h > 2$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $b = h - 2 > 0$),તેથી $h = 17$.
આમ,કર્ણની લંબાઈ $17\,cm$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $x\, km/hr$ છે.
સામાન્ય ઝડપે $400\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{400}{x}$ કલાક છે.
જ્યારે ઝડપમાં $5\, km/hr$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(x - 5)\, km/hr$ થાય છે.
નવી ઝડપે લાગતો સમય $T_2 = \frac{400}{x - 5}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_2 - T_1 = 4$.
તેથી,$\frac{400}{x - 5} - \frac{400}{x} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{100}{x - 5} - \frac{100}{x} = 1$.
$100x - 100(x - 5) = x(x - 5)$.
$100x - 100x + 500 = x^2 - 5x$.
$x^2 - 5x - 500 = 0$.
$(x - 25)(x + 20) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 25\, km/hr$.

(A) ધારો કે ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ $x\, km/hr$ છે. તો ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $(x - 20)\, km/hr$ થશે.
ઝડપી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_1 = \frac{400}{x}$ કલાક છે.
ધીમી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_2 = \frac{400}{x - 20}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપી ટ્રેન ધીમી ટ્રેન કરતા $1$ કલાક ઓછો સમય લે છે,તેથી $T_2 - T_1 = 1$.
$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$
$400 \left( \frac{x - (x - 20)}{x(x - 20)} \right) = 1$
$400 \times 20 = x^2 - 20x$
$x^2 - 20x - 8000 = 0$
$(x - 100)(x + 80) = 0$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 100\, km/hr$.
ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $x - 20 = 100 - 20 = 80\, km/hr$ છે.

(D) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે. મૂળ સંખ્યા $10x + y$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણાકાર $14$ છે,તેથી $xy = 14$.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $45$ વધારે છે:
$(10y + x) - (10x + y) = 45$
$9y - 9x = 45$
$y - x = 5$,જેનો અર્થ છે કે $y = x + 5$.
$y = x + 5$ ને $xy = 14$ માં મૂકતા:
$x(x + 5) = 14$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
$(x + 7)(x - 2) = 0$
$x$ એ ધન અંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = 2$.
તેથી $y = 2 + 5 = 7$.
મૂળ સંખ્યા $10(2) + 7 = 27$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2} + 3x - 4 = 0$ છે.
અહીં $x = 2$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $x = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$k(2)^{2} + 3(2) - 4 = 0$
$4k + 6 - 4 = 0$
$4k + 2 = 0$
$4k = -2$
$k = -2/4$
$k = -1/2$
આમ,$k$ ની કિંમત $-1/2$ છે.

(C) કયું દ્વિઘાત સમીકરણ $x=3$ બીજ ધરાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x=3$ મૂકીશું:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{2}-8x+15=0$
$x=3$ મૂકતા: $(3)^{2}-8(3)+15 = 9-24+15 = 24-24 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x=3$ એ સમીકરણ $x^{2}-8x+15=0$ નું બીજ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + 6x + k = 0$ છે.
અહીં $-4$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -4$ મૂકતા:
$(-4)^{2} + 6(-4) + k = 0$
$16 - 24 + k = 0$
$-8 + k = 0$
$k = 8$
આમ,$k$ ની કિંમત $8$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2} - 7x + 6 = 0$ છે.
અહીં $\frac{3}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$k(\frac{3}{2})^{2} - 7(\frac{3}{2}) + 6 = 0$
$k(\frac{9}{4}) - \frac{21}{2} + 6 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$9k - 42 + 24 = 0$
$9k - 18 = 0$
$9k = 18$
$k = 2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 5$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2$,અને $c = -c$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$.
$\alpha = 5$ મૂકતા,આપણને $5 + \beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\beta = 2 - 5 = -3$.
આમ,બીજું બીજ $-3$ છે.

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,સમીકરણ $x^{2} + bx - 12 = 0$ છે,જ્યાં $a = 1$ અને $c = -12$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને $\alpha = 2$ આપેલ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1} = -12$ થાય.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$2 \cdot \beta = -12$.
$\beta = \frac{-12}{2} = -6$.
આમ,બીજું બીજ $-6$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-5x+k=0$ છે.
અહીં $x = \frac{7}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \frac{7}{2}$ મૂકતા:
$2(\frac{7}{2})^{2} - 5(\frac{7}{2}) + k = 0$
$2(\frac{49}{4}) - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{49}{2} - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{14}{2} + k = 0$
$7 + k = 0$
$k = -7$

(C) એક ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ $(bx + c = 0)$ બની જાય છે,જે દ્વિઘાત નથી.
તેથી,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે,જેમાં $a \neq 0$ ની શરત છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $2$ ઘાત ધરાવતું બહુપદી સમીકરણ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત હોવા માટે,$x^2$ પદનો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ $bx + c = 0$ બને છે,જે એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત નહીં.
તેથી,આવશ્યક શરત $a \neq 0$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $2$ ઘાત ધરાવતું બહુપદી સમીકરણ છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,કારણ કે જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ $(bx + c = 0)$ માં ફેરવાઈ જાય છે.
તેથી,$ax^2 + bx + c = 0$ દ્વિઘાત સમીકરણ હોવા માટેની શરત $a \neq 0$ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે $(a, b, c \in R)$.

(A) એક ચલવાળું દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
વિકલ્પ $A$: $3x^{2} + \sqrt{2}x - 7 = 0$ એ એક ચલ $(x)$ વાળું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $B$: $3x^{2} + 2y - 6 = 0$ માં બે ચલ ($x$ અને $y$) છે.
વિકલ્પ $C$: $4x - y = 5$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $D$: $5x^{3} - 1 = 2$ એ એક ચલવાળું ત્રિઘાત સમીકરણ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
ચાલો દરેક વિકલ્પનું સાદું રૂપ આપીએ:
$A$: $x(3x + 7) = (x + 1)(x - 1) \implies 3x^2 + 7x = x^2 - 1 \implies 2x^2 + 7x + 1 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$B$: $x^2 - 2x + 1 = 0$. આ પહેલેથી જ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 1$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$C$: $2x(3x - 5) + 1 = 3x(2x + 5) + 3 \implies 6x^2 - 10x + 1 = 6x^2 + 15x + 3 \implies -10x + 1 = 15x + 3 \implies 25x + 2 = 0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
$D$: $4 - 3x - 2x^2 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $a = -2$.

(B) આપેલ પદાવલિનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(x+6)(x+5) = x^2 + 5x + 6x + 30 = x^2 + 11x + 30$.
સમીકરણ $(x+6)(x+5) = 0$ આપેલ હોવાથી,આપણે તેને $x^2 + 11x + 30 = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના સમીકરણને,જ્યાં $a \neq 0$,દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ હોવાથી,આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે.
દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$B$: $x^2 + \frac{1}{x} = 2 \implies x^3 + 1 = 2x \implies x^3 - 2x + 1 = 0$. આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે.
$C$: $x + \frac{1}{x^2} = 3 \implies x^3 + 1 = 3x^2 \implies x^3 - 3x^2 + 1 = 0$. આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે.
$D$: $x(x + 1) = 2 \implies x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$. આ પણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) કયા સમીકરણનો ઉકેલ $x=2$ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક આપેલ સમીકરણમાં $x=2$ મૂકીશું અને ચકાસીશું કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^{2}-3x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}-3(2)+2 = 4-6+2 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x=2$ એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^{2}+x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}+2+2 = 4+2+2 = 8 \neq 0$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{2}-2x+2=0$
$x=2$ મૂકતા: $(2)^{2}-2(2)+2 = 4-4+2 = 2 \neq 0$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $2x^{2}+2x+1=0$
$x=2$ મૂકતા: $2(2)^{2}+2(2)+1 = 2(4)+4+1 = 8+4+1 = 13 \neq 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-kx+6=0$ નું બીજ છે.
સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા:
$(3)^{2}-k(3)+6=0$
$9-3k+6=0$
$15-3k=0$
$3k=15$
$k=5$
આમ,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(B) કારણ કે $-3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3(k+2)x-9=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-3)^{2}+3(k+2)(-3)-9=0$
$9-9(k+2)-9=0$
$9-9k-18-9=0$
$-9k-18=0$
$-9k=18$
$k=-2$

(A) આપેલ છે કે $1$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-kx+2=0$ નો ઉકેલ (બીજ) છે.
સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા:
$3(1)^{2}-k(1)+2=0$
$3(1)-k+2=0$
$3-k+2=0$
$5-k=0$
તેથી,$k=5$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x=-2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2}+5 x+2=0$ નો ઉકેલ છે.
સમીકરણમાં $x=-2$ મૂકતા:
$k(-2)^{2}+5(-2)+2=0$
$k(4)-10+2=0$
$4k-8=0$
$4k=8$
$k=2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $-3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + 5x + k = 0$ નો ઉકેલ છે.
સમીકરણમાં $x = -3$ મૂકતા:
$2(-3)^{2} + 5(-3) + k = 0$
$2(9) - 15 + k = 0$
$18 - 15 + k = 0$
$3 + k = 0$
$k = -3$

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ પૂર્ણવર્ગ હોય જો તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 16$,$b = 40$ અને $c = k$ છે.
વિવેચકને શૂન્ય લેતા: $D = (40)^2 - 4(16)(k) = 0$.
$1600 - 64k = 0$.
$64k = 1600$.
$k = \frac{1600}{64} = 25$.
વૈકલ્પિક રીતે,$(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$ સ્વરૂપના પૂર્ણવર્ગ માટે,આપણે $16x^2 + 40x + k$ ની સરખામણી $(4x + n)^2 = 16x^2 + 8nx + n^2$ સાથે કરીએ.
મધ્યમ પદને સરખાવતા: $8n = 40$,તેથી $n = 5$.
આથી $k = n^2 = 5^2 = 25$.

(B) ગોલ્ડન રેશિયો,જેને $\phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે બે જથ્થાઓના એવા ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેમાં બે જથ્થાઓના સરવાળા અને મોટા જથ્થાનો ગુણોત્તર એ મોટા જથ્થા અને નાના જથ્થાના ગુણોત્તર જેટલો હોય.
ગાણિતિક રીતે,બે જથ્થાઓ $a$ અને $b$ માટે જ્યાં $a > b > 0$ હોય,ગોલ્ડન રેશિયો $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આનાથી દ્વિઘાત સમીકરણ $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
ગુણોત્તર ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ: $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.

(C) ધારો કે $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2x = 1+\sqrt{5}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $2x-1 = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2x-1)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $4x^{2}-4x+1 = 5$.
પદોને ગોઠવતા: $4x^{2}-4x-4 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $x^{2}-x-1 = 0$.
આમ,સુવર્ણ સંખ્યા એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x-1=0$ નો એક ઉકેલ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} = 49$ છે.
બંને બાજુથી $49$ બાદ કરતા,આપણને $x^{2} - 49 = 0$ મળે છે.
આ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 7$ છે.
તેથી,$(x - 7)(x + 7) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 7 = 0$ અથવા $x + 7 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = 7$ અથવા $x = -7$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x+2)^{2} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+2 = \pm 4$
કિસ્સો $1$: $x+2 = 4 \implies x = 4-2 = 2$
કિસ્સો $2$: $x+2 = -4 \implies x = -4-2 = -6$
તેથી,બીજ $2$ અને $-6$ છે.

(D) $\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$
અહીં આપેલ બીજ $\alpha = -1$ અને $\beta = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $(x - (-1))(x - 2) = 0$
જેનું સાદું રૂપ: $(x + 1)(x - 2) = 0$ થાય છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $x(x) + x(-2) + 1(x) + 1(-2) = 0$
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$
આમ,સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - x - 2 = 0$ છે.

(D) બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$.
અહીં,બીજ $\alpha = -8$ અને $\beta = 8$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -8 + 8 = 0$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-8) \times (8) = -64$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x^{2} - (0)x + (-64) = 0$
$x^{2} - 64 = 0$
$x^{2} = 64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-4x-1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 5$
$b = -4$
$c = -1$
તેથી,$b$ ની કિંમત $-4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x(2x - 1) - 5 = 0$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2x^2 - x - 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
$2x^2 - x - 5 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકો $a = 2$,$b = -1$ અને $c = -5$ મળે છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $-4$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-ax-8=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = -4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-4)^{2} - a(-4) - 8 = 0$
$16 + 4a - 8 = 0$
$8 + 4a = 0$
$4a = -8$
$a = -2$

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a=1$,$b=4$,અને $c=m$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 2$ છે,ધારો કે બીજું બીજ $\beta$ છે.
સરવાળાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 + \beta = -\frac{4}{1}$.
$2 + \beta = -4$.
$\beta = -4 - 2$.
$\beta = -6$.
તેથી,બીજું બીજ $-6$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+bx-15=0$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 3$ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = b$,અને $c = -15$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3 \cdot \beta = \frac{-15}{1}$ મળે છે.
$3 \cdot \beta = -15$.
$\beta = \frac{-15}{3} = -5$.
તેથી,બીજું બીજ $-5$ છે.

(D) જે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તે સમીકરણનું સૂત્ર: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ છે.
અહીં આપેલ બીજ $\alpha = -4$ અને $\beta = 5$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -4 + 5 = 1$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-4) \times 5 = -20$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $x^{2} - (1)x + (-20) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ: $x^{2} - x - 20 = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.