Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બગીચાની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
પરિમિતિ $2(l + b) = 80\, m$ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l + b = 40$ અથવા $b = 40 - l$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $l \times b = 400\, m^2$ છે.
$b = 40 - l$ ને ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં મૂકતા: $l(40 - l) = 400$.
આથી $40l - l^2 = 400$ અથવા $l^2 - 40l + 400 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $al^2 + bl + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -40, c = 400$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે.
બીજ $l = -b / (2a) = -(-40) / (2 \times 1) = 40 / 2 = 20$ મળે છે.
આમ,લંબાઈ $l = 20\, m$ અને પહોળાઈ $b = 40 - 20 = 20\, m$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3 \sqrt{5} x+10=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-3 \sqrt{5}, c=10$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3 \sqrt{5}) \pm \sqrt{(-3 \sqrt{5})^{2}-4(1)(10)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{45-40}}{2}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{5}}{2}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2 \sqrt{5}$ અને $\sqrt{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0$ છે.
તેને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=\frac{1}{2}, b=-\sqrt{11}, c=1$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-\sqrt{11}) \pm \sqrt{(-\sqrt{11})^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1}}{2 \times \frac{1}{2}}$
$x = \frac{\sqrt{11} \pm \sqrt{11-2}}{1}$
$x = \sqrt{11} \pm \sqrt{9}$
$x = \sqrt{11} \pm 3$.
તેથી,સમીકરણના બીજ $3+\sqrt{11}$ અને $\sqrt{11}-3$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ સરેરાશ ઝડપ $x \, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $\frac{63}{x} \, \text{કલાક}$ અને બીજા ભાગ માટે $\frac{72}{x+6} \, \text{કલાક}$ છે.
કુલ સમય $3 \, \text{કલાક}$ લાગે છે,તેથી:
$\frac{63}{x} + \frac{72}{x+6} = 3$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x+6} = \frac{1}{3}$
છેદ દૂર કરવા માટે $3x(x+6)$ વડે ગુણતા:
$21(x+6) + 24x = x(x+6)$
$21x + 126 + 24x = x^2 + 6x$
$45x + 126 = x^2 + 6x$
$x^2 - 39x - 126 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 42)(x + 3) = 0$
આથી $x = 42$ અથવા $x = -3$ મળે.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી મૂળ સરેરાશ ઝડપ $42 \, km/h$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $x\, km/h$ છે.
તેથી,ટ્રેનની વધેલી ઝડપ $(x+5)\, km/h$ થશે.
અંતર $= 360\, km$.
મૂળ ઝડપે લાગતો સમય $= \frac{360}{x}\, h$.
વધેલી ઝડપે લાગતો સમય $= \frac{360}{x+5}\, h$.
આપેલ છે કે સમયનો તફાવત $48\, min = \frac{48}{60}\, h = \frac{4}{5}\, h$ છે.
શરત મુજબ: $\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{x+5-x}{x(x+5)} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{360 \times 5}{x^2+5x} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 1800 \times 5 = 4(x^2+5x)$.
$\Rightarrow 9000 = 4x^2 + 20x$.
$\Rightarrow 4x^2 + 20x - 9000 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 5x - 2250 = 0$.
અવયવીકરણની રીતથી ઉકેલતા: $x^2 + 50x - 45x - 2250 = 0$.
$x(x+50) - 45(x+50) = 0$.
$(x+50)(x-45) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 45$.
આમ,ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $45\, km/h$ છે.

(D) ધારો કે નિશાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
તેથી,આશાની હાલની ઉંમર $= x^2 + 2$ વર્ષ થાય.
નિશાને તેની માતાની હાલની ઉંમર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(x^2 + 2) - x$ વર્ષ છે.
આ સમય પછી,આશાની ઉંમર $(x^2 + 2) + (x^2 + 2 - x) = 2x^2 - x + 4$ વર્ષ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉંમર $10x - 1$ છે.
તેથી,$2x^2 - x + 4 = 10x - 1$.
$2x^2 - 11x + 5 = 0$.
$2x^2 - 10x - x + 5 = 0$.
$2x(x - 5) - 1(x - 5) = 0$.
$(x - 5)(2x - 1) = 0$.
અહીં $x = 1/2$ શક્ય નથી,તેથી $x = 5$.
નિશાની હાલની ઉંમર $= 5$ વર્ષ.
આશાની હાલની ઉંમર $= 5^2 + 2 = 27$ વર્ષ.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\, pm$ અને $3\, pm$ વચ્ચેનો સમય $60$ મિનિટ છે.
આપેલ છે કે $2\, pm$ પછી $t$ મિનિટે, $3\, pm$ સુધી પહોંચવા માટે બાકી રહેલો સમય $\left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right)$ મિનિટ છે.
વીતેલો સમય અને બાકી રહેલો સમયનો સરવાળો એક કલાક ($60$ મિનિટ) જેટલો થવો જોઈએ:
$t + \left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right) = 60$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$4t + t^{2} - 12 = 240$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $at^{2} + bt + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$t^{2} + 4t - 252 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$t^{2} + 18t - 14t - 252 = 0$
$t(t + 18) - 14(t + 18) = 0$
$(t + 18)(t - 14) = 0$
આથી $t = -18$ અથવા $t = 14$ મળે.
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં, તેથી $t = -18$ ને અવગણતા.
તેથી, $t = 14$ મિનિટ.

(NO) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{4}-5x^{2}+3x-1$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x)$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણને $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને સમીકરણની ઘાત $2$ હોય છે.
આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ હોવાથી,તે ચતુર્થઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$x^{4}-5x^{2}+3x-1=0$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x = 3x^3$.
પદોને એક બાજુ લાવતા,આપણને મળે છે: $3x^3 - 9x = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને ચલની મહત્તમ ઘાત $2$ હોય છે.
સમીકરણ $3x^3 - 9x = 0$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$9x = 3x^3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-2$ $(x \neq 0)$
આખા સમીકરણને $x^{2}$ વડે ગુણતા:
$x^{2}(x^{2}) + x^{2}(\frac{1}{x^{2}}) = -2(x^{2})$
$x^{4} + 1 = -2x^{2}$
પદોને ગોઠવીને બહુપદી સમીકરણ બનાવતા:
$x^{4} + 2x^{2} + 1 = 0$
ધારો કે $p(x) = x^{4} + 2x^{2} + 1$.
આ બહુપદીની ઘાત $4$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
અહીં ઘાત $4$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+6)(x+5)=0$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(x+5) + 6(x+5) = 0$
$x^2 + 5x + 6x + 30 = 0$
$x^2 + 11x + 30 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
સમીકરણ $x^2 + 11x + 30 = 0$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a=1$ છે,તેથી તે એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(3x + 1)(3x + 2) = (9x - 1)(x + 1)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$9x^2 + 6x + 3x + 2 = 9x^2 + 9x - x - 1$
$9x^2 + 9x + 2 = 9x^2 + 8x - 1$
બંને બાજુથી $(9x^2 + 8x - 1)$ બાદ કરતા:
$9x^2 - 9x^2 + 9x - 8x + 2 + 1 = 0$
$x + 3 = 0$
અહીં મળતી બહુપદી $p(x) = x + 3$ ની ઘાત $1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની વ્યાખ્યા મુજબ,સમીકરણની મહત્તમ ઘાત $2$ હોવી જોઈએ. અહીં ઘાત $1$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી,પરંતુ સુરેખ સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x+\frac{1}{x}=x^{2}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$x^{2}+1=x^{3}$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^{3}-x^{2}-1=0$
ધારો કે $p(x) = x^{3}-x^{2}-1$.
અહીં બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $3$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
આ સમીકરણની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$x+\frac{1}{x}=x^{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે. ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,ખાસ કરીને $2$.
આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$.
આપણે $\sqrt{x}$ પદને $x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સમીકરણ $3x^{2} + 5x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ બને છે.
આ સમીકરણમાં,બીજા પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા (પૂર્ણાંક) નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણની વ્યાખ્યા મુજબ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જરૂરી હોવાથી,આ સમીકરણ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,$3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = 5$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x(x) - x(\frac{1}{x}) = 5(x)$
$x^{2} - 1 = 5x$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^{2} - 5x - 1 = 0$
અહીં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-3=\frac{2}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$x(x^{2}-3) = 2$
$x^{3}-3x = 2$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^{3}-3x-2 = 0$
અહીં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
તેથી,આ સમીકરણ ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6 = 0$ છે.
અહીં,બહુપદી $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6$ માં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$. ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + 2\sqrt{x} + 3 = 0$.
આપણે $\sqrt{x}$ પદને $x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સમીકરણ $x^{2} + 2x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ બને છે.
આ સમીકરણમાં,બીજા પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા (અનૃણ પૂર્ણાંક) નથી.
ચલ $x$ નો ઘાતાંક પૂર્ણાંક ન હોવાથી,આપેલ સમીકરણ બહુપદી નથી અને તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) જો $x = -\sqrt{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x = -\sqrt{2}$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= \sqrt{2}(-\sqrt{2})^{2} + 7(-\sqrt{2}) + 5 \sqrt{2}$
$= \sqrt{2}(2) - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= 2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= (2 - 7 + 5) \sqrt{2}$
$= 0 \times \sqrt{2} = 0$
અહીં ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,$x = -\sqrt{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) જો $x=3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ નો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x=3$ ને પદાવલિ $6x^{2}-x-2$ માં મૂકીશું.
$x=3$ મૂકતા:
$6(3)^{2} - (3) - 2$
$= 6(9) - 3 - 2$
$= 54 - 3 - 2$
$= 49$
અહીં પરિણામ $49 \neq 0$ હોવાથી,કિંમત $x=3$ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$x=3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ નો ઉકેલ નથી.

(YES) $x = 5$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 5$ મૂકીશું.
$LHS$ = $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}$
$x = 5$ મૂકતા:
$LHS$ = $\frac{5+1}{5-1} - \frac{5-1}{5+1}$
$LHS$ = $\frac{6}{4} - \frac{4}{6}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$LHS$ = $\frac{3}{2} - \frac{2}{3}$
છેદ સમાન કરતા (જે $6$ છે):
$LHS$ = $\frac{3 \times 3}{6} - \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ (જે $\frac{5}{6}$ છે),તેથી $x = 5$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x=\sqrt{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+\sqrt{2}bx+2c=0$ નું એક બીજ છે.
કારણ કે $x=\sqrt{2}$ એ બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x=\sqrt{2}$ મૂકતા:
$a(\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}b(\sqrt{2}) + 2c = 0$
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$a(2) + 2b + 2c = 0$
$2a + 2b + 2c = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$a + b + c = 0$
આમ,સાબિત થાય છે કે $a+b+c=0$.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{2}$ એ સમીકરણ $x^{2}-(1+k)x+\sqrt{2}=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$(\sqrt{2})^{2} - (1+k)(\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2} - \sqrt{2}k + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2}k = 0$
$2 = \sqrt{2}k$
$k = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$k = \sqrt{2}$

(B) સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને બાજુઓનું સાદું રૂપ આપીએ:
ડાબી બાજુ $(LHS)$: $(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
જમણી બાજુ $(RHS)$: $6(x - 1)(x - 2) = 6(x^2 - 2x - x + 2) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$
$LHS$ અને $RHS$ ને સરખાવતા: $6x^2 + 7x + 2 = 6x^2 - 18x + 12$
બંને બાજુથી $6x^2$ બાદ કરતા: $7x + 2 = -18x + 12$
પદોને ગોઠવતા: $7x + 18x + 2 - 12 = 0$
$25x - 10 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે,$2$ નથી,તેથી આ સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 3 = (2x + 5)(5x - 3)$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(2x + 5)(5x - 3) = 2x(5x) + 2x(-3) + 5(5x) + 5(-3)$
$= 10x^2 - 6x + 25x - 15$
$= 10x^2 + 19x - 15$
હવે,આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$16x^2 - 3 = 10x^2 + 19x - 15$
બધા પદોને એક બાજુ લાવીને સમીકરણને $0$ ની બરાબર કરીએ:
$16x^2 - 10x^2 - 19x - 3 + 15 = 0$
$6x^2 - 19x + 12 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને કરો:
$(x^{2}-4x+4)+1=2x-3$
$x^{2}-4x+5=2x-3$
બધા પદોને એક બાજુ લાવીને સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$x^{2}-4x-2x+5+3=0$
$x^{2}-6x+8=0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + x + 8 = x^2 - 4$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$x + 8 = -4$
$x + 12 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ જ્યાં $a \neq 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = x^2$ $(x \neq 0)$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x(x) + x(\frac{1}{x}) = x(x^2)$
$x^2 + 1 = x^3$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^3 - x^2 - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$. આપેલ સમીકરણમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે. સમીકરણની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
$2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$
બંને બાજુથી $(x^2 + 5x)$ બાદ કરતા:
$2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$
$x^2 - 10x - 3 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણ $(x+2)^{3} = x(x^{2}-1)$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ.
નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુ:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$.
જમણી બાજુ:
$x(x^{2}-1) = x^{3} - x$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - x$.
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$6x^{2} + 12x + 8 = -x$.
પદોને $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$6x^{2} + 13x + 8 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 5\sqrt{x} - 7 = 0$ માં,પદ $5\sqrt{x}$ ને $5x^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ચલ $x$ નો ઘાતાંક $1/2$ હોવાથી,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી,તેથી આ સમીકરણ $2$ ઘાતવાળું બહુપદી સમીકરણ નથી.
તેથી,તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$.
નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ નો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)^{3} = x^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2})-(2)^{3} = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$.
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$.
$2x^{2}-13x+9 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $7x = 2x^2$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં લખીએ.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2x^2 - 7x = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = -7$,અને $c = 0$ મળે છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે અને $a \neq 0$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{3}{7}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ $(LCM)$ લેતા: $\frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{3}{7}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{-8x}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(x^2 - 4) = -56x$.
$3x^2 - 12 = -56x$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $3x^2 + 56x - 12 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણ $(3x - 4)^2 - (2x - 3)^2 = 7$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને વર્ગોનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(9x^2 - 24x + 16) - (4x^2 - 12x + 9) = 7$
$9x^2 - 24x + 16 - 4x^2 + 12x - 9 = 7$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(9x^2 - 4x^2) + (-24x + 12x) + (16 - 9) = 7$
$5x^2 - 12x + 7 = 7$
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$5x^2 - 12x = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 5 \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) $x = \frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આ કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} - 6x + 3 = 0$ માં મૂકો.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2(\frac{1}{2})^{2} - 6(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - 3 + 3$
$= \frac{1}{2} - 3 + 3$
$= \frac{1}{2}$
અહીં પરિણામ $\frac{1}{2}$ મળે છે,જે $0$ નથી. તેથી,$x = \frac{1}{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) $x = \frac{2}{3}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2} - x - 2 = 0$ માં મૂકો.
ડા.બા. = $6(\frac{2}{3})^{2} - (\frac{2}{3}) - 2$
ડા.બા. = $6(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{24}{9} - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{8}{3} - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{6}{3} - 2$
ડા.બા. = $2 - 2 = 0$
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી,$x = \frac{2}{3}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) $x = -2\sqrt{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + \sqrt{2}x - 4 = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= (-2\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}(-2\sqrt{2}) - 4$
$= (4 \times 2) + (-2 \times 2) - 4$
$= 8 - 4 - 4$
$= 0$
અહીં ડાબી બાજુ $(LHS)$ $=$ જમણી બાજુ $(RHS)$ હોવાથી,આપેલી કિંમત $x = -2\sqrt{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) $x = \frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 5x + 3 = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3$
$= \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3$
$= -\frac{4}{2} + 3$
$= -2 + 3 = 1$
અહીં ડાબી બાજુ $\neq$ જમણી બાજુ (જ્યાં $RHS$ $= 0$),તેથી $x = \frac{1}{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

$x = \frac{-2}{m+n}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે $x$ ની કિંમત દ્વિઘાત સમીકરણમાં મૂકીશું.
આપેલ સમીકરણ:
$(m+n)^2 x^2 + (m+n)x - 2 = 0$
$x = \frac{-2}{m+n}$ મૂકતા:
$(m+n)^2 \left(\frac{-2}{m+n}\right)^2 + (m+n)\left(\frac{-2}{m+n}\right) - 2 = 0$
$(m+n)^2 \cdot \frac{4}{(m+n)^2} + (m+n)\cdot \frac{-2}{m+n} - 2 = 0$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$4 - 2 - 2 = 0$
$0 = 0$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી, $x = \frac{-2}{m+n}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) $x=2$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણમાં $x=2$ મૂકો: $(x-2)(x+3)+1=0$.
$x=2$ મૂકતા:
$(2-2)(2+3)+1 = (0)(5)+1 = 0+1 = 1$.
પરિણામ $1$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી ડાબી બાજુ એ જમણી બાજુ બરાબર નથી.
તેથી,$x=2$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) $x = -\frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આ કિંમતને સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં મૂકો.
$LHS$ = $\frac{1}{3 - 2(-\frac{1}{2})} + \frac{1}{5 + 2(-\frac{1}{2})}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 - (-1)} + \frac{1}{5 + (-1)}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{5 - 1}$
$LHS$ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$LHS$ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ (જે $\frac{1}{2}$ છે),તેથી આપેલી કિંમત $x = -\frac{1}{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $4 \sqrt{3} x^{2} + 5 x - 2 \sqrt{3} = 0$ માં મૂકો.
ડા.બા. = $4 \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^{2} + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $4 \sqrt{3} \left( \frac{3}{16} \right) + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $\frac{8 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 0$
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી,આપેલી કિંમત $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) $x = 2$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 2$ મૂકો:
$LHS$ = $\frac{1}{2+4} - \frac{1}{2-7}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} - \frac{1}{-5}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} + \frac{1}{5}$
$LHS$ = $\frac{5+6}{30} = \frac{11}{30}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ $(\frac{11}{30})$ હોવાથી,$x = 2$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 3 \frac{1}{3}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
તેથી,સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ છે.
સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$LHS$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{1/3} = \frac{1}{3} + 3$.
$LHS$ $= \frac{1 + 9}{3} = \frac{10}{3}$.
અહીં $LHS$ $= \frac{10}{3}$ અને $RHS$ $= \frac{10}{3}$ હોવાથી,$LHS$ $=$ $RHS$ થાય છે.
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^{2} + 2x - 3 = 0$ છે.
અહીં $x = 2$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$k(2)^{2} + 2(2) - 3 = 0$
$k(4) + 4 - 3 = 0$
$4k + 1 = 0$
$4k = -1$
$k = -\frac{1}{4}$

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} + 2kx - 3 = 0$ છે.
અહીં $x = -\frac{1}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$3(-\frac{1}{2})^{2} + 2k(-\frac{1}{2}) - 3 = 0$
$3(\frac{1}{4}) - k - 3 = 0$
$\frac{3}{4} - k - 3 = 0$
$-k = 3 - \frac{3}{4}$
$-k = \frac{12 - 3}{4}$
$-k = \frac{9}{4}$
$k = -\frac{9}{4}$

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - \sqrt{p}x + q = 0$ છે.
કારણ કે $x = -\sqrt{p}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -\sqrt{p}$ મૂકતા:
$(-\sqrt{p})^{2} - \sqrt{p}(-\sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-p) + q = 0$
$p + p + q = 0$
$2p + q = 0$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^{2} + qx + r = 0$ છે.
અહીં $x = -2$ એ આ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -2$ મુકતા:
$p(-2)^{2} + q(-2) + r = 0$
$p(4) - 2q + r = 0$
$4p - 2q + r = 0$
આમ,સાબિત થાય છે કે $4p - 2q + r = 0$.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$. આપેલ છે કે $x + y = 47$ અને $x^2 + y^2 = AC^2 = 37^2 = 1369$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
કિંમતો મૂકતા: $47^2 = 1369 + 2xy$.
$2209 = 1369 + 2xy$,જેથી $2xy = 840$,એટલે કે $xy = 420$.
હવે,આપણી પાસે $x + y = 47$ અને $xy = 420$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 47t + 420 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t^2 - 35t - 12t + 420 = 0$.
$t(t - 35) - 12(t - 35) = 0$,તેથી $(t - 35)(t - 12) = 0$.
બીજ $t = 35$ અને $t = 12$ મળે છે.
$AB > BC$ હોવાથી,$AB = 35$ અને $BC = 12$ થાય.