Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) माना पार्क की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
परिमाप $2(l + b) = 80\, m$ है,जिसे सरल करने पर $l + b = 40$ या $b = 40 - l$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $l \times b = 400\, m^2$ है।
$b = 40 - l$ को क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर: $l(40 - l) = 400$.
इससे $40l - l^2 = 400$ या $l^2 - 40l + 400 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $al^2 + bl + c = 0$ से करने पर,$a = 1, b = -40, c = 400$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं,जिसका अर्थ है कि यह स्थिति संभव है।
मूल $l = -b / (2a) = -(-40) / (2 \times 1) = 40 / 2 = 20$ प्राप्त होते हैं।
अतः,लंबाई $l = 20\, m$ और चौड़ाई $b = 40 - 20 = 20\, m$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-3 \sqrt{5} x+10=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-3 \sqrt{5}, c=10$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-3 \sqrt{5}) \pm \sqrt{(-3 \sqrt{5})^{2}-4(1)(10)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{45-40}}{2}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{5}}{2}$
स्थिति $1$: $x = \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.
अतः,समीकरण के मूल $2 \sqrt{5}$ और $\sqrt{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0$ है।
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=\frac{1}{2}, b=-\sqrt{11}, c=1$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-\sqrt{11}) \pm \sqrt{(-\sqrt{11})^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1}}{2 \times \frac{1}{2}}$
$x = \frac{\sqrt{11} \pm \sqrt{11-2}}{1}$
$x = \sqrt{11} \pm \sqrt{9}$
$x = \sqrt{11} \pm 3$.
अतः,समीकरण के मूल $3+\sqrt{11}$ और $\sqrt{11}-3$ हैं।

(B) माना ट्रेन की मूल औसत गति $x \, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहले भाग के लिए लिया गया समय $\frac{63}{x} \, \text{घंटे}$ और दूसरे भाग के लिए $\frac{72}{x+6} \, \text{घंटे}$ है।
कुल समय $3 \, \text{घंटे}$ लगता है,इसलिए:
$\frac{63}{x} + \frac{72}{x+6} = 3$
पूरे समीकरण को $9$ से विभाजित करने पर:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x+6} = \frac{1}{3}$
हर को हटाने के लिए $3x(x+6)$ से गुणा करने पर:
$21(x+6) + 24x = x(x+6)$
$21x + 126 + 24x = x^2 + 6x$
$45x + 126 = x^2 + 6x$
$x^2 - 39x - 126 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 42)(x + 3) = 0$
इससे $x = 42$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए मूल औसत गति $42 \, km/h$ है।

(B) माना ट्रेन की मूल गति $x\, km/h$ है।
तब,ट्रेन की बढ़ी हुई गति $(x+5)\, km/h$ होगी।
दूरी $= 360\, km$ है।
मूल गति पर लगा समय $= \frac{360}{x}\, h$ है।
बढ़ी हुई गति पर लगा समय $= \frac{360}{x+5}\, h$ है।
दिया गया है कि समय का अंतर $48\, min = \frac{48}{60}\, h = \frac{4}{5}\, h$ है।
शर्त के अनुसार: $\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{x+5-x}{x(x+5)} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{360 \times 5}{x^2+5x} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 1800 \times 5 = 4(x^2+5x)$.
$\Rightarrow 9000 = 4x^2 + 20x$.
$\Rightarrow 4x^2 + 20x - 9000 = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 5x - 2250 = 0$.
गुणनखंड विधि द्वारा हल करने पर: $x^2 + 50x - 45x - 2250 = 0$.
$x(x+50) - 45(x+50) = 0$.
$(x+50)(x-45) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 45$.
अतः,ट्रेन की मूल गति $45\, km/h$ है।

(D) माना निशा की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,आशा की वर्तमान आयु $= x^2 + 2$ वर्ष है।
निशा को अपनी माँ की वर्तमान आयु तक पहुँचने में लगा समय $(x^2 + 2) - x$ वर्ष है।
इस समय के बाद,आशा की आयु $(x^2 + 2) + (x^2 + 2 - x) = 2x^2 - x + 4$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,यह आयु $10x - 1$ है।
अतः,$2x^2 - x + 4 = 10x - 1$.
$2x^2 - 11x + 5 = 0$.
$2x^2 - 10x - x + 5 = 0$.
$2x(x - 5) - 1(x - 5) = 0$.
$(x - 5)(2x - 1) = 0$.
चूँकि $x = 1/2$ व्यावहारिक नहीं है,इसलिए $x = 5$ है।
निशा की वर्तमान आयु $= 5$ वर्ष।
आशा की वर्तमान आयु $= 5^2 + 2 = 27$ वर्ष।

(B) हम जानते हैं कि $2\, pm$ और $3\, pm$ के बीच का समय $60$ मिनट होता है।
दिया गया है कि $2\, pm$ के $t$ मिनट बाद, $3\, pm$ तक पहुँचने के लिए शेष समय $\left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right)$ मिनट है।
बीते हुए समय और शेष समय का योग एक घंटे ($60$ मिनट) के बराबर होना चाहिए:
$t + \left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right) = 60$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4t + t^{2} - 12 = 240$
इसे मानक द्विघात समीकरण $at^{2} + bt + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$t^{2} + 4t - 252 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$t^{2} + 18t - 14t - 252 = 0$
$t(t + 18) - 14(t + 18) = 0$
$(t + 18)(t - 14) = 0$
इससे $t = -18$ या $t = 14$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $t = -18$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः, $t = 14$ मिनट।

(NO) माना बहुपद $p(x) = x^{4}-5x^{2}+3x-1$ है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x)$ में,$x$ की उच्चतम घात $4$ है।
एक द्विघात समीकरण को $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ और समीकरण की घात $2$ होती है।
चूँकि दिए गए बहुपद की घात $4$ है,इसलिए यह एक चतुर्थघात समीकरण है,न कि द्विघात समीकरण।
अतः,$x^{4}-5x^{2}+3x-1=0$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $9x = 3x^3$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3x^3 - 9x = 0$.
एक द्विघात समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ और चर की अधिकतम घात $2$ होती है।
समीकरण $3x^3 - 9x = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है।
चूंकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।
अतः,$9x = 3x^3$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-2$ $(x \neq 0)$
पूरे समीकरण को $x^{2}$ से गुणा करने पर:
$x^{2}(x^{2}) + x^{2}(\frac{1}{x^{2}}) = -2(x^{2})$
$x^{4} + 1 = -2x^{2}$
पदों को व्यवस्थित करके बहुपद समीकरण बनाने पर:
$x^{4} + 2x^{2} + 1 = 0$
मान लीजिए $p(x) = x^{4} + 2x^{2} + 1$ है।
इस बहुपद की घात $4$ है।
एक द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूंकि घात $4$ है,इसलिए दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+6)(x+5)=0$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x(x+5) + 6(x+5) = 0$
$x^2 + 5x + 6x + 30 = 0$
$x^2 + 11x + 30 = 0$
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a \neq 0$ होता है।
समीकरण $x^2 + 11x + 30 = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a=1$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $(3x + 1)(3x + 2) = (9x - 1)(x + 1)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$9x^2 + 6x + 3x + 2 = 9x^2 + 9x - x - 1$
$9x^2 + 9x + 2 = 9x^2 + 8x - 1$
दोनों पक्षों से $(9x^2 + 8x - 1)$ घटाने पर:
$9x^2 - 9x^2 + 9x - 8x + 2 + 1 = 0$
$x + 3 = 0$
यहाँ प्राप्त बहुपद $p(x) = x + 3$ की घात $1$ है।
चूँकि समीकरण की घात $2$ नहीं है,इसलिए यह द्विघात समीकरण नहीं है। यह एक रैखिक समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x+\frac{1}{x}=x^{2}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर (चूँकि $x \neq 0$):
$x^{2}+1=x^{3}$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^{3}-x^{2}-1=0$
मान लीजिए $p(x) = x^{3}-x^{2}-1$.
यहाँ बहुपद $p(x)$ की घात $3$ है।
एक द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूँकि इस समीकरण की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,न कि द्विघात समीकरण।
अतः,$x+\frac{1}{x}=x^{2}$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है। चर $x$ का घातांक एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए,विशेष रूप से $2$।
दिया गया समीकरण: $3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$।
हम $\sqrt{x}$ पद को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $3x^{2} + 5x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण में,दूसरे पद में $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या (पूर्णांक) नहीं है।
चूंकि द्विघात समीकरण की परिभाषा के लिए चर के घातांक का गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है,इसलिए यह समीकरण इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = 5$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x(x) - x(\frac{1}{x}) = 5(x)$
$x^{2} - 1 = 5x$
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^{2} - 5x - 1 = 0$
यहाँ,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-3=\frac{2}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$x(x^{2}-3) = 2$
$x^{3}-3x = 2$
पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^{3}-3x-2 = 0$
यहाँ,चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है।
द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूँकि घात $3$ है,इसलिए दिया गया समीकरण एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6 = 0$ है।
यहाँ,बहुपद $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6$ में चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है। चर $x$ का घातांक एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $x^{2} + 2\sqrt{x} + 3 = 0$ है।
हम $\sqrt{x}$ पद को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $x^{2} + 2x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण में,दूसरे पद में $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) नहीं है।
चूंकि चर $x$ का घातांक पूर्णांक नहीं है,इसलिए दिया गया समीकरण एक बहुपद नहीं है और इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -\sqrt{2}$ एक हल है,$x = -\sqrt{2}$ को द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= \sqrt{2}(-\sqrt{2})^{2} + 7(-\sqrt{2}) + 5 \sqrt{2}$
$= \sqrt{2}(2) - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= 2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= (2 - 7 + 5) \sqrt{2}$
$= 0 \times \sqrt{2} = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए $x = -\sqrt{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x=3$ द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ का हल है,हम व्यंजक $6x^{2}-x-2$ में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6(3)^{2} - (3) - 2$
$= 6(9) - 3 - 2$
$= 54 - 3 - 2$
$= 49$
चूँकि परिणाम $49 \neq 0$ है,इसलिए मान $x=3$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$x=3$ द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ का हल नहीं है।

(YES) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = 5$ एक हल है,हम समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 5$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$LHS$ = $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}$
$x = 5$ रखने पर:
$LHS$ = $\frac{5+1}{5-1} - \frac{5-1}{5+1}$
$LHS$ = $\frac{6}{4} - \frac{4}{6}$
भिन्नों को सरल करने पर:
$LHS$ = $\frac{3}{2} - \frac{2}{3}$
समान हर (जो $6$ है) प्राप्त करने पर:
$LHS$ = $\frac{3 \times 3}{6} - \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ (जो $\frac{5}{6}$ है),इसलिए $x = 5$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(N/A) दिया गया है कि $x=\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+\sqrt{2}bx+2c=0$ का एक मूल है।
चूंकि $x=\sqrt{2}$ एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x=\sqrt{2}$ रखने पर:
$a(\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}b(\sqrt{2}) + 2c = 0$
पदों को सरल करने पर:
$a(2) + 2b + 2c = 0$
$2a + 2b + 2c = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$a + b + c = 0$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $a+b+c=0$.

(B) चूंकि $\sqrt{2}$ समीकरण $x^{2}-(1+k)x+\sqrt{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \sqrt{2}$ रखने पर:
$(\sqrt{2})^{2} - (1+k)(\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2} - \sqrt{2}k + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2}k = 0$
$2 = \sqrt{2}k$
$k = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$k = \sqrt{2}$

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण द्विघात है या नहीं,हम दोनों पक्षों को सरल करते हैं:
बायां पक्ष $(LHS)$: $(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
दायां पक्ष $(RHS)$: $6(x - 1)(x - 2) = 6(x^2 - 2x - x + 2) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$
$LHS$ और $RHS$ की तुलना करने पर: $6x^2 + 7x + 2 = 6x^2 - 18x + 12$
दोनों पक्षों से $6x^2$ घटाने पर: $7x + 2 = -18x + 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7x + 18x + 2 - 12 = 0$
$25x - 10 = 0$
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,$2$ नहीं,इसलिए यह समीकरण एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $16x^2 - 3 = (2x + 5)(5x - 3)$ द्विघात है या नहीं,हम पहले दाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(2x + 5)(5x - 3) = 2x(5x) + 2x(-3) + 5(5x) + 5(-3)$
$= 10x^2 - 6x + 25x - 15$
$= 10x^2 + 19x - 15$
अब,इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$16x^2 - 3 = 10x^2 + 19x - 15$
सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करें ताकि समीकरण $0$ के बराबर हो जाए:
$16x^2 - 10x^2 - 19x - 3 + 15 = 0$
$6x^2 - 19x + 12 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करें:
$(x^{2}-4x+4)+1=2x-3$
$x^{2}-4x+5=2x-3$
सभी पदों को एक तरफ लाकर समीकरण को शून्य के बराबर करें:
$x^{2}-4x-2x+5+3=0$
$x^{2}-6x+8=0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 + x + 8 = x^2 - 4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$x + 8 = -4$
$x + 12 = 0$
चूँकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं। एक द्विघात समीकरण का रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होना चाहिए जहाँ $a \neq 0$।

(B) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = x^2$ $(x \neq 0)$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x(x) + x(\frac{1}{x}) = x(x^2)$
$x^2 + 1 = x^3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^3 - x^2 - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$। दिए गए समीकरण में चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है। चूँकि समीकरण की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण द्विघात है या नहीं,हम इसे सरल करते हैं:
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
$2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$
दोनों पक्षों से $(x^2 + 5x)$ घटाने पर:
$2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$
$x^2 - 10x - 3 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $(x+2)^{3} = x(x^{2}-1)$ द्विघात है या नहीं,हम दोनों पक्षों का विस्तार करते हैं।
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$.
दायां पक्ष:
$x(x^{2}-1) = x^{3} - x$.
दोनों पक्षों को बराबर करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - x$.
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$6x^{2} + 12x + 8 = -x$.
पदों को $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$6x^{2} + 13x + 8 = 0$.
चूंकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + 5\sqrt{x} - 7 = 0$ में,पद $5\sqrt{x}$ को $5x^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि चर $x$ का घातांक $1/2$ है,जो कि एक ऋणेतर पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह समीकरण $2$ घात वाला बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः,यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$.
सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$(x-2)^{3} = x^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2})-(2)^{3} = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$.
सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$.
$2x^{2}-13x+9 = 0$.
चूँकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $7x = 2x^2$ द्विघात है या नहीं,हम इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लिखते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x^2 - 7x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = -7$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है और $a \neq 0$ है,इसलिए दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{3}{7}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{3}{7}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
अंश को सरल करने पर: $\frac{-8x}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(x^2 - 4) = -56x$.
$3x^2 - 12 = -56x$.
मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $3x^2 + 56x - 12 = 0$.
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $(3x - 4)^2 - (2x - 3)^2 = 7$ द्विघात है या नहीं,हम दोनों वर्गों का विस्तार करते हैं:
$(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
अब,इन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(9x^2 - 24x + 16) - (4x^2 - 12x + 9) = 7$
$9x^2 - 24x + 16 - 4x^2 + 12x - 9 = 7$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$(9x^2 - 4x^2) + (-24x + 12x) + (16 - 9) = 7$
$5x^2 - 12x + 7 = 7$
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$5x^2 - 12x = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a = 5 \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{1}{2}$ एक हल है,इस मान को द्विघात समीकरण $2x^{2} - 6x + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$2(\frac{1}{2})^{2} - 6(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - 3 + 3$
$= \frac{1}{2} - 3 + 3$
$= \frac{1}{2}$
चूँकि परिणाम $\frac{1}{2}$ है और $0$ नहीं है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{2}{3}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $6x^{2} - x - 2 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ = $6(\frac{2}{3})^{2} - (\frac{2}{3}) - 2$
$LHS$ = $6(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{24}{9} - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{8}{3} - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{6}{3} - 2$
$LHS$ = $2 - 2 = 0$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ है,इसलिए $x = \frac{2}{3}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -2\sqrt{2}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $x^{2} + \sqrt{2}x - 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= (-2\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}(-2\sqrt{2}) - 4$
$= (4 \times 2) + (-2 \times 2) - 4$
$= 8 - 4 - 4$
$= 0$
चूँकि बायाँ पक्ष $(LHS)$ $=$ दायाँ पक्ष $(RHS)$ है,इसलिए दिया गया मान $x = -2\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{1}{2}$ एक हल है,$x = \frac{1}{2}$ को द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3$
$= \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3$
$= -\frac{4}{2} + 3$
$= -2 + 3 = 1$
चूँकि $LHS$ $\neq$ $RHS$ (जहाँ $RHS$ $= 0$),इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{-2}{m+n}$ एक हल है, हम $x$ का मान द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
दिया गया समीकरण:
$(m+n)^2 x^2 + (m+n)x - 2 = 0$
$x = \frac{-2}{m+n}$ रखने पर:
$(m+n)^2 \left(\frac{-2}{m+n}\right)^2 + (m+n)\left(\frac{-2}{m+n}\right) - 2 = 0$
$(m+n)^2 \cdot \frac{4}{(m+n)^2} + (m+n)\cdot \frac{-2}{m+n} - 2 = 0$
पदों को सरल करने पर:
$4 - 2 - 2 = 0$
$0 = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए $x = \frac{-2}{m+n}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x=2$ एक हल है,दिए गए द्विघात समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करें: $(x-2)(x+3)+1=0$.
$x=2$ रखने पर:
$(2-2)(2+3)+1 = (0)(5)+1 = 0+1 = 1$.
चूँकि परिणाम $1$ है और $0$ नहीं है,इसलिए बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है।
अतः,$x=2$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -\frac{1}{2}$ एक हल है,इस मान को समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में प्रतिस्थापित करें।
$LHS$ = $\frac{1}{3 - 2(-\frac{1}{2})} + \frac{1}{5 + 2(-\frac{1}{2})}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 - (-1)} + \frac{1}{5 + (-1)}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{5 - 1}$
$LHS$ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$LHS$ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ (जो $\frac{1}{2}$ है),इसलिए दिया गया मान $x = -\frac{1}{2}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $4 \sqrt{3} x^{2} + 5 x - 2 \sqrt{3} = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष = $4 \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^{2} + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $4 \sqrt{3} \left( \frac{3}{16} \right) + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $\frac{8 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष,इसलिए दिया गया मान $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = 2$ एक हल है,समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित करें:
$LHS$ = $\frac{1}{2+4} - \frac{1}{2-7}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} - \frac{1}{-5}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} + \frac{1}{5}$
$LHS$ = $\frac{5+6}{30} = \frac{11}{30}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ $(\frac{11}{30})$ है,इसलिए $x = 2$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = 3 \frac{1}{3}$.
मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलने पर: $3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
अतः,समीकरण $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ है।
समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$LHS$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{1/3} = \frac{1}{3} + 3$.
$LHS$ $= \frac{1 + 9}{3} = \frac{10}{3}$.
चूँकि $LHS$ $= \frac{10}{3}$ और $RHS$ $= \frac{10}{3}$ है,इसलिए $LHS$ $=$ $RHS$ है।
अतः,$x = \frac{1}{3}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $kx^{2} + 2x - 3 = 0$ है।
चूंकि $x = 2$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(2)^{2} + 2(2) - 3 = 0$
$k(4) + 4 - 3 = 0$
$4k + 1 = 0$
$4k = -1$
$k = -\frac{1}{4}$

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} + 2kx - 3 = 0$ है।
चूंकि $x = -\frac{1}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$3(-\frac{1}{2})^{2} + 2k(-\frac{1}{2}) - 3 = 0$
$3(\frac{1}{4}) - k - 3 = 0$
$\frac{3}{4} - k - 3 = 0$
$-k = 3 - \frac{3}{4}$
$-k = \frac{12 - 3}{4}$
$-k = \frac{9}{4}$
$k = -\frac{9}{4}$

(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} - \sqrt{p}x + q = 0$ है।
चूंकि $x = -\sqrt{p}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -\sqrt{p}$ रखने पर:
$(-\sqrt{p})^{2} - \sqrt{p}(-\sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-p) + q = 0$
$p + p + q = 0$
$2p + q = 0$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $px^{2} + qx + r = 0$ है।
चूंकि $x = -2$ इस समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2)^{2} + q(-2) + r = 0$
$p(4) - 2q + r = 0$
$4p - 2q + r = 0$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $4p - 2q + r = 0$।

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है। दिया गया है कि $x + y = 47$ और $x^2 + y^2 = AC^2 = 37^2 = 1369$ है।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ होता है।
मान रखने पर: $47^2 = 1369 + 2xy$।
$2209 = 1369 + 2xy$,जिससे $2xy = 840$,अर्थात $xy = 420$ प्राप्त होता है।
अब,हमारे पास $x + y = 47$ और $xy = 420$ है। ये द्विघात समीकरण $t^2 - 47t + 420 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $t^2 - 35t - 12t + 420 = 0$।
$t(t - 35) - 12(t - 35) = 0$,अतः $(t - 35)(t - 12) = 0$।
मूल $t = 35$ और $t = 12$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $AB > BC$ है,इसलिए $AB = 35$ और $BC = 12$ होगा।