Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) माना विराट कोहली की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
$8$ वर्ष पहले आयु $(x - 8)$ वर्ष थी।
$6$ वर्ष बाद आयु $(x + 6)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,इन आयु का गुणनफल $680$ है:
$(x - 8)(x + 6) = 680$
$x^2 + 6x - 8x - 48 = 680$
$x^2 - 2x - 48 - 680 = 0$
$x^2 - 2x - 728 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = -2, c = -728$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-728)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2912}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{2916}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 54}{2}$
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$x = \frac{2 + 54}{2} = \frac{56}{2} = 28$
अतः,उसकी वर्तमान आयु $28$ वर्ष है।

(B) माना कार की मूल गति $x\,km/hr$ है।
मूल गति पर लिया गया समय,$T_1 = \frac{150}{x}$ घंटे।
नई गति = $(x + 5)\,km/hr$।
नई गति पर लिया गया समय,$T_2 = \frac{150}{x + 5}$ घंटे।
दिया गया है कि कार $60$ मिनट ($1$ घंटा) कम समय लेती है,इसलिए $T_1 - T_2 = 1$।
$\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 5} = 1$।
$150(x + 5 - x) = x(x + 5)$।
$150(5) = x^2 + 5x$।
$x^2 + 5x - 750 = 0$।
$(x + 30)(x - 25) = 0$।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 25\,km/hr$।

(A) माना कि धारा की गति $x \text{ km/hr}$ है।
दिया गया है, स्थिर पानी में मोटरबोट की गति = $25 \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में गति = $(25 + x) \text{ km/hr}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति = $(25 - x) \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में $60 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{60}{25 + x} \text{ घंटे}$।
धारा के विपरीत दिशा में $60 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{60}{25 - x} \text{ घंटे}$।
कुल समय = $5 \text{ घंटे}$।
अतः, $\frac{60}{25 + x} + \frac{60}{25 - x} = 5$।
$5$ से भाग देने पर: $\frac{12}{25 + x} + \frac{12}{25 - x} = 1$।
$12(25 - x + 25 + x) = (25 + x)(25 - x)$।
$12(50) = 625 - x^2$।
$600 = 625 - x^2$।
$x^2 = 25$।
$x = 5 \text{ km/hr}$ (चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
अतः, नदी की धारा की गति $5 \text{ km/hr}$ है।

(D) माना बच्चों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक बच्चे को मिलने वाली पतंगों की संख्या $\frac{120}{x}$ है।
यदि $4$ बच्चे कम होते,तो बच्चों की संख्या $(x - 4)$ होती।
इस स्थिति में,प्रत्येक बच्चे को $\frac{120}{x - 4}$ पतंगें मिलतीं।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x} = 1$ है।
$x(x - 4)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $120x - 120(x - 4) = x(x - 4)$।
$120x - 120x + 480 = x^2 - 4x$।
$x^2 - 4x - 480 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 24)(x + 20) = 0$।
चूंकि बच्चों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 24$।

(C) दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 24x - 1 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $16$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{24}{16}x - \frac{1}{16} = 0 \implies x^{2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{16}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ है,और इसका वर्ग $\frac{9}{16}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$.
बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{10}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$.
अतः,मूल $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ और $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $3y^{2} + 7y - 20 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $y^{2} + \frac{7}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times y \text{ का गुणांक})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ जोड़ने और घटाने पर:
$y^{2} + \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} - (\frac{49 + 240}{36}) = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} = \frac{289}{36}$.
वर्गमूल लेने पर: $y + \frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$.
स्थिति $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
स्थिति $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$.
अतः,मूल $-4, \frac{5}{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $5x^{2} - 4x - 10 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x - 2 = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x = 2$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} = 2 + \frac{4}{25}$.
बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x - \frac{2}{5})^{2} = \frac{50 + 4}{25} = \frac{54}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5} = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.
अतः,मूल $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{2 + 3\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(B) पूर्ण वर्ग विधि द्वारा समीकरण $m^{2} - 18m + 81 = 0$ को हल करने के लिए:
$1$. समीकरण पहले से ही $m^{2} - 18m = -81$ के रूप में है।
$2$. पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $m$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। $m$ का गुणांक $-18$ है,इसलिए इसका आधा $-9$ है,और $(-9)^{2} = 81$ होता है।
$3$. दोनों पक्षों में $81$ जोड़ने पर: $m^{2} - 18m + 81 = -81 + 81$।
$4$. यह सरल होकर $(m - 9)^{2} = 0$ हो जाता है।
$5$. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $m - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 9$।
$6$. चूंकि यह एक द्विघात समीकरण है,इसलिए इसके मूल $9, 9$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $6x^2 + 11x + 3 = 0$
$x^2$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{3}{6} = 0 \implies x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{1}{2} = 0$
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x = -\frac{1}{2}$
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (अर्थात $(\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6})^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{121}{144} = -\frac{1}{2} + \frac{121}{144}$
$(x + \frac{11}{12})^2 = -\frac{72}{144} + \frac{121}{144} = \frac{49}{144}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{11}{12} = \pm \frac{7}{12}$
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
स्थिति $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
अतः,मूल $-\frac{3}{2}$ और $-\frac{1}{3}$ हैं।

(D) माना कि दो भाग $x$ और $16 - x$ हैं। मान लीजिए $x$ बड़ा भाग है।
प्रश्न के अनुसार,$2x^2 - (16 - x)^2 = 164$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x^2 - (256 - 32x + x^2) = 164$.
$2x^2 - 256 + 32x - x^2 = 164$.
$x^2 + 32x - 420 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 42x - 10x - 420 = 0$.
$x(x + 42) - 10(x + 42) = 0$.
$(x - 10)(x + 42) = 0$.
चूंकि भाग धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $x = 10$.
दूसरा भाग $16 - 10 = 6$ है।
अतः,दो भाग $10$ और $6$ हैं।

(C) माना ट्रेन की सामान्य गति $x \,km/hr$ है।
सामान्य गति से $900 \,km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = \frac{900}{x} \,\text{घंटे}$ है।
जब गति में $10 \,km/hr$ की कमी होती है,तो नई गति $(x - 10) \,km/hr$ हो जाती है।
नई गति से $900 \,km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_2 = \frac{900}{x - 10} \,\text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$T_2 - T_1 = 4.5 \,\text{घंटे}$ (जो $9/2 \,\text{घंटे}$ है)।
अतः,$\frac{900}{x - 10} - \frac{900}{x} = \frac{9}{2}$.
$9$ से भाग देने पर,$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{x - (x - 10)}{x(x - 10)} \right) = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{2}$.
$1000 \times 2 = x^2 - 10x$.
$x^2 - 10x - 2000 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $x^2 - 50x + 40x - 2000 = 0$.
$x(x - 50) + 40(x - 50) = 0$.
$(x - 50)(x + 40) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 50 \,km/hr$।

(A) माना शुद्ध मक्खन की मूल कीमत $x$ रु. प्रति $kg$ है।
मूल कीमत पर रु. $960$ में खरीदे गए मक्खन की मात्रा $\frac{960}{x} \ kg$ है।
जब कीमत में प्रति $kg$ रु. $40$ की वृद्धि होती है,तो नई कीमत $(x + 40)$ रु. प्रति $kg$ हो जाती है।
नई कीमत पर रु. $960$ में खरीदे गए मक्खन की मात्रा $\frac{960}{x + 40} \ kg$ है।
प्रश्न के अनुसार,मात्रा में अंतर $2 \ kg$ है:
$\frac{960}{x} - \frac{960}{x + 40} = 2$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 40} = 1$
$480(x + 40) - 480x = x(x + 40)$
$480x + 19200 - 480x = x^2 + 40x$
$x^2 + 40x - 19200 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके:
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(1)(-19200)}}{2}$
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 76800}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{78400}}{2} = \frac{-40 \pm 280}{2}$
चूंकि कीमत ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{240}{2} = 120$.
अतः,मूल कीमत रु. $120$ प्रति $kg$ है।

(B) माना मिट्टी के तेल की मूल कीमत $x$ रुपये/लीटर है।
कुल खर्च = $360$ रुपये।
मिट्टी के तेल की मूल मात्रा = $\frac{360}{x}$ लीटर।
मिट्टी के तेल की नई कीमत = $(x + 2)$ रुपये/लीटर।
मिट्टी के तेल की नई मात्रा = $\frac{360}{x + 2}$ लीटर।
प्रश्न के अनुसार,मात्रा में अंतर $2$ लीटर है:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 2} = 2$
$2$ से भाग देने पर:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 1$
$180(x + 2) - 180x = x(x + 2)$
$180x + 360 - 180x = x^2 + 2x$
$x^2 + 2x - 360 = 0$
$(x + 20)(x - 18) = 0$
चूंकि कीमत ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 18$।
अतः,मिट्टी के तेल की मूल कीमत $18$ रुपये प्रति लीटर है।

(D) माना कर्ण की लंबाई $h\,cm$,आधार $b\,cm$ और शीर्षलंब $a\,cm$ है।
दिया है: $h = b + 2 \implies b = h - 2$.
साथ ही,$h = 2a + 1 \implies a = \frac{h - 1}{2}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$h^2 = b^2 + a^2$.
$b$ और $a$ के मान प्रतिस्थापित करने पर: $h^2 = (h - 2)^2 + \left(\frac{h - 1}{2}\right)^2$.
$h^2 = h^2 - 4h + 4 + \frac{h^2 - 2h + 1}{4}$.
$4$ से गुणा करने पर: $4h^2 = 4h^2 - 16h + 16 + h^2 - 2h + 1$.
$0 = h^2 - 18h + 17$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(h - 17)(h - 1) = 0$.
चूंकि $h > 2$ होना चाहिए (क्योंकि $b = h - 2 > 0$),इसलिए $h = 17$.
अतः,कर्ण की लंबाई $17\,cm$ है।

(B) माना ट्रेन की सामान्य गति $x\, km/hr$ है।
सामान्य गति से $400\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = \frac{400}{x}$ घंटे है।
जब गति में $5\, km/hr$ की कमी होती है,तो नई गति $(x - 5)\, km/hr$ हो जाती है।
नई गति पर लगा समय $T_2 = \frac{400}{x - 5}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,$T_2 - T_1 = 4$ है।
अतः,$\frac{400}{x - 5} - \frac{400}{x} = 4$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$\frac{100}{x - 5} - \frac{100}{x} = 1$ प्राप्त होता है।
$100x - 100(x - 5) = x(x - 5)$।
$100x - 100x + 500 = x^2 - 5x$।
$x^2 - 5x - 500 = 0$।
$(x - 25)(x + 20) = 0$।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 25\, km/hr$।

(A) माना तेज़ ट्रेन की गति $x\, km/hr$ है। तब धीमी ट्रेन की गति $(x - 20)\, km/hr$ होगी।
तेज़ ट्रेन द्वारा लिया गया समय $T_1 = \frac{400}{x}$ घंटे है।
धीमी ट्रेन द्वारा लिया गया समय $T_2 = \frac{400}{x - 20}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,तेज़ ट्रेन धीमी ट्रेन से $1$ घंटा कम समय लेती है,इसलिए $T_2 - T_1 = 1$.
$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$
$400 \left( \frac{x - (x - 20)}{x(x - 20)} \right) = 1$
$400 \times 20 = x^2 - 20x$
$x^2 - 20x - 8000 = 0$
$(x - 100)(x + 80) = 0$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 100\, km/hr$.
धीमी ट्रेन की गति $x - 20 = 100 - 20 = 80\, km/hr$ है।

(D) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $14$ है,इसलिए $xy = 14$ है।
जब अंकों को आपस में बदला जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ प्राप्त होती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $45$ अधिक है:
$(10y + x) - (10x + y) = 45$
$9y - 9x = 45$
$y - x = 5$,जिसका अर्थ है $y = x + 5$ है।
$y = x + 5$ को $xy = 14$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 5) = 14$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
$(x + 7)(x - 2) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$ है।
तब $y = 2 + 5 = 7$ है।
मूल संख्या $10(2) + 7 = 27$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2} + 3x - 4 = 0$ है।
चूंकि $x = 2$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = 2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
$k(2)^{2} + 3(2) - 4 = 0$
$4k + 6 - 4 = 0$
$4k + 2 = 0$
$4k = -2$
$k = -2/4$
$k = -1/2$
अतः,$k$ का मान $-1/2$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस द्विघात समीकरण का मूल $x=3$ है,हम प्रत्येक समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-8x+15=0$
$x=3$ रखने पर: $(3)^{2}-8(3)+15 = 9-24+15 = 24-24 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x=3$ समीकरण $x^{2}-8x+15=0$ का एक मूल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + k = 0$ है।
चूंकि $-4$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-4)^{2} + 6(-4) + k = 0$
$16 - 24 + k = 0$
$-8 + k = 0$
$k = 8$
अतः,$k$ का मान $8$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2} - 7x + 6 = 0$ है।
चूंकि $\frac{3}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{3}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(\frac{3}{2})^{2} - 7(\frac{3}{2}) + 6 = 0$
$k(\frac{9}{4}) - \frac{21}{2} + 6 = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$9k - 42 + 24 = 0$
$9k - 18 = 0$
$9k = 18$
$k = 2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 5$ है।
द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2$,और $c = -c$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$ है।
$\alpha = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5 + \beta = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\beta = 2 - 5 = -3$ है।
अतः,दूसरा मूल $-3$ है।

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,समीकरण $x^{2} + bx - 12 = 0$ है,जहाँ $a = 1$ और $c = -12$ है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें $\alpha = 2$ दिया गया है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1} = -12$ होता है।
$\alpha$ का मान रखने पर:
$2 \cdot \beta = -12$.
$\beta = \frac{-12}{2} = -6$.
अतः,दूसरा मूल $-6$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2}-5x+k=0$ है।
चूंकि $x = \frac{7}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{7}{2}$ रखने पर:
$2(\frac{7}{2})^{2} - 5(\frac{7}{2}) + k = 0$
$2(\frac{49}{4}) - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{49}{2} - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{14}{2} + k = 0$
$7 + k = 0$
$k = -7$

(C) एक चर $x$ में द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण एक रैखिक समीकरण $(bx + c = 0)$ बन जाता है,जो द्विघात नहीं है।
इसलिए,मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ है,जिसमें $a \neq 0$ की शर्त है।

(B) एक द्विघात समीकरण $2$ घात वाला एक बहुपद समीकरण होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$x^2$ पद का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण $bx + c = 0$ बन जाता है,जो एक रैखिक समीकरण है,द्विघात नहीं।
इसलिए,आवश्यक शर्त $a \neq 0$ है।

(D) एक द्विघात समीकरण को $2$ घात वाले बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए,क्योंकि यदि $a = 0$ है,तो समीकरण एक रैखिक समीकरण $(bx + c = 0)$ में बदल जाता है।
इसलिए,$ax^2 + bx + c = 0$ के द्विघात समीकरण होने की शर्त $a \neq 0$ है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं $(a, b, c \in R)$।

(A) एक चर वाला द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
विकल्प $A$: $3x^{2} + \sqrt{2}x - 7 = 0$ एक चर $(x)$ वाला द्विघात समीकरण है।
विकल्प $B$: $3x^{2} + 2y - 6 = 0$ में दो चर ($x$ और $y$) हैं।
विकल्प $C$: $4x - y = 5$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
विकल्प $D$: $5x^{3} - 1 = 2$ एक चर वाला त्रिघात समीकरण है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a \neq 0$ होता है।
आइए प्रत्येक विकल्प को सरल करें:
$A$: $x(3x + 7) = (x + 1)(x - 1) \implies 3x^2 + 7x = x^2 - 1 \implies 2x^2 + 7x + 1 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^2 - 2x + 1 = 0$। यह पहले से ही $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a = 1$ है। यह एक द्विघात समीकरण है।
$C$: $2x(3x - 5) + 1 = 3x(2x + 5) + 3 \implies 6x^2 - 10x + 1 = 6x^2 + 15x + 3 \implies -10x + 1 = 15x + 3 \implies 25x + 2 = 0$। यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।
$D$: $4 - 3x - 2x^2 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है जहाँ $a = -2$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणनफल का विस्तार करते हैं:
$(x+6)(x+5) = x^2 + 5x + 6x + 30 = x^2 + 11x + 30$।
चूंकि समीकरण $(x+6)(x+5) = 0$ के रूप में दिया गया है,हम इसे $x^2 + 11x + 30 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
$ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले समीकरण को,जहाँ $a \neq 0$,द्विघात समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^2 + \frac{1}{x} = 2 \implies x^3 + 1 = 2x \implies x^3 - 2x + 1 = 0$। यह एक त्रिघात समीकरण है।
$C$: $x + \frac{1}{x^2} = 3 \implies x^3 + 1 = 3x^2 \implies x^3 - 3x^2 + 1 = 0$। यह एक त्रिघात समीकरण है।
$D$: $x(x + 1) = 2 \implies x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$। यह भी एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि किस समीकरण का हल $x=2$ है,हम प्रत्येक दिए गए समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि परिणाम $0$ है या नहीं।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{2}-3x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}-3(2)+2 = 4-6+2 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x=2$ इस समीकरण का एक हल है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^{2}+x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}+2+2 = 4+2+2 = 8 \neq 0$.
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-2x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}-2(2)+2 = 4-4+2 = 2 \neq 0$.
विकल्प $D$ के लिए: $2x^{2}+2x+1=0$
$x=2$ रखने पर: $2(2)^{2}+2(2)+1 = 2(4)+4+1 = 8+4+1 = 13 \neq 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $3$ द्विघात समीकरण $x^{2}-kx+6=0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^{2}-k(3)+6=0$
$9-3k+6=0$
$15-3k=0$
$3k=15$
$k=5$
अतः,$k$ का मान $5$ है।

(B) चूंकि $-3$ द्विघात समीकरण $x^{2}+3(k+2)x-9=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x=-3$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-3)^{2}+3(k+2)(-3)-9=0$
$9-9(k+2)-9=0$
$9-9k-18-9=0$
$-9k-18=0$
$-9k=18$
$k=-2$

(A) दिया गया है कि $1$ द्विघात समीकरण $3x^{2}-kx+2=0$ का एक हल (मूल) है।
समीकरण में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1)^{2}-k(1)+2=0$
$3(1)-k+2=0$
$3-k+2=0$
$5-k=0$
अतः,$k=5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x=-2$ द्विघात समीकरण $k x^{2}+5 x+2=0$ का एक हल है।
समीकरण में $x=-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(-2)^{2}+5(-2)+2=0$
$k(4)-10+2=0$
$4k-8=0$
$4k=8$
$k=2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(B) दिया गया है कि $-3$,द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x + k = 0$ का एक हल है।
समीकरण में $x = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-3)^{2} + 5(-3) + k = 0$
$2(9) - 15 + k = 0$
$18 - 15 + k = 0$
$3 + k = 0$
$k = -3$

(D) एक द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ पूर्ण वर्ग होता है यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ हो।
यहाँ,$a = 16$,$b = 40$ और $c = k$ है।
विविक्तकर को शून्य रखने पर: $D = (40)^2 - 4(16)(k) = 0$.
$1600 - 64k = 0$.
$64k = 1600$.
$k = \frac{1600}{64} = 25$.
वैकल्पिक रूप से,$(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$ के पूर्ण वर्ग के लिए,हम $16x^2 + 40x + k$ की तुलना $(4x + n)^2 = 16x^2 + 8nx + n^2$ से करते हैं।
मध्य पदों की तुलना करने पर: $8n = 40$,इसलिए $n = 5$।
अतः $k = n^2 = 5^2 = 25$।

(B) गोल्डन रेशियो,जिसे $\phi$ के रूप में दर्शाया जाता है,को दो राशियों के ऐसे अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ राशियों के योग और बड़ी राशि का अनुपात,बड़ी राशि और छोटी राशि के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,दो राशियों $a$ और $b$ के लिए जहाँ $a > b > 0$ है,गोल्डन रेशियो को $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह द्विघात समीकरण $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ की ओर ले जाता है।
द्विघात सूत्र $\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अनुपात धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम धनात्मक मूल लेते हैं: $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$।

(C) माना कि $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2x = 1+\sqrt{5}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $2x-1 = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x-1)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $4x^{2}-4x+1 = 5$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^{2}-4x-4 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^{2}-x-1 = 0$.
अतः,स्वर्ण संख्या द्विघात समीकरण $x^{2}-x-1=0$ का एक हल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} = 49$ है।
दोनों पक्षों से $49$ घटाने पर,हमें $x^{2} - 49 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ के रूप में है,जहाँ $a = x$ और $b = 7$ है।
अतः,$(x - 7)(x + 7) = 0$।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 7 = 0$ या $x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = 7$ या $x = -7$।

(D) दिया गया समीकरण: $(x+2)^{2} = 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+2 = \pm 4$
स्थिति $1$: $x+2 = 4 \implies x = 4-2 = 2$
स्थिति $2$: $x+2 = -4 \implies x = -4-2 = -6$
अतः,मूल $2$ और $-6$ हैं।

(D) $\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$
यहाँ दिए गए मूल $\alpha = -1$ और $\beta = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $(x - (-1))(x - 2) = 0$
यह सरल होकर: $(x + 1)(x - 2) = 0$ हो जाता है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x(x) + x(-2) + 1(x) + 1(-2) = 0$
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$
अतः,सही द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 2 = 0$ है।

(D) मूलों $\alpha$ और $\beta$ वाले द्विघात समीकरण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$.
यहाँ,मूल $\alpha = -8$ और $\beta = 8$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -8 + 8 = 0$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-8) \times (8) = -64$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x^{2} - (0)x + (-64) = 0$
$x^{2} - 64 = 0$
$x^{2} = 64$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ होता है।
दिया गया समीकरण $5x^{2}-4x-1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 5$
$b = -4$
$c = -1$
अतः,$b$ का मान $-4$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x(2x - 1) - 5 = 0$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $2x^2 - x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है।
$2x^2 - x - 5 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,गुणांक $a = 2$,$b = -1$ और $c = -5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$a$ का मान $2$ है।

(D) चूंकि $-4$ द्विघात समीकरण $x^{2}-ax-8=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -4$ रखने पर:
$(-4)^{2} - a(-4) - 8 = 0$
$16 + 4a - 8 = 0$
$8 + 4a = 0$
$4a = -8$
$a = -2$

(A) $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1$,$b=4$,और $c=m$ है।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 2$ है,मान लीजिए कि दूसरा मूल $\beta$ है।
योग के सूत्र में मान रखने पर: $2 + \beta = -\frac{4}{1}$।
$2 + \beta = -4$।
$\beta = -4 - 2$।
$\beta = -6$।
अतः,दूसरा मूल $-6$ है।

(B) माना कि द्विघात समीकरण $x^{2}+bx-15=0$ है।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 3$ है।
माना कि दूसरा मूल $\beta$ है।
द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = b$,और $c = -15$ है।
मान रखने पर,हमें $3 \cdot \beta = \frac{-15}{1}$ प्राप्त होता है।
$3 \cdot \beta = -15$.
$\beta = \frac{-15}{3} = -5$.
अतः,दूसरा मूल $-5$ है।

(D) जिस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हों,उसका सूत्र: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ होता है।
यहाँ दिए गए मूल $\alpha = -4$ और $\beta = 5$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -4 + 5 = 1$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-4) \times 5 = -20$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x^{2} - (1)x + (-20) = 0$.
इसे सरल करने पर: $x^{2} - x - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।