Quadratic Equations Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2}+3x-5=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते और घटाते हैं,जो $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ है।
$x^{2}+3x+\frac{9}{4}-5-\frac{9}{4}=0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{20+9}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{29}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{29}}{2})^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$
अतः,हल $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$ और $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 7x + 3 = 0$
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ है:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} - \frac{49}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 3$ या $x = \frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $4 x^{2}+3 x+5=0$
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो कि $(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$ है:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64} - \frac{9}{64} + \frac{5}{4} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{-9 + 80}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{71}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64}$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+10x+7=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $(\frac{10}{2})^{2} = 25$ जोड़ेंगे और घटाएंगे:
$x^{2}+10x+25-25+7=0$
$(x+5)^{2}-18=0$
$(x+5)^{2} = 18$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x+5 = \pm\sqrt{18}$
$x+5 = \pm 3\sqrt{2}$
$x = -5 \pm 3\sqrt{2}$
अतः,समीकरण के मूल $-5+3\sqrt{2}$ और $-5-3\sqrt{2}$ हैं।

(C) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से $25 x^{2}-30 x+3=0$ को हल करने के लिए,पहले अचर पद को दाईं ओर ले जाते हैं: $25 x^{2}-30 x = -3$.
पूरे समीकरण को $25$ से विभाजित करने पर: $x^{2} - \frac{30}{25} x = -\frac{3}{25}$,जो सरल होकर $x^{2} - \frac{6}{5} x = -\frac{3}{25}$ बनता है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$(\frac{1}{2} \times x \text{ का गुणांक})^2 = (\frac{1}{2} \times -\frac{6}{5})^2 = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} = -\frac{3}{25} + \frac{9}{25}$.
इससे $(x - \frac{3}{5})^2 = \frac{6}{25}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x - \frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$.
अतः,$x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{5}$.
इस प्रकार,समीकरण के मूल $\frac{3-\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{3+\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(D) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा द्विघात समीकरण $16 x^{2}-24 x-1=0$ को हल करने के लिए,सबसे पहले समीकरण को $16 x^{2}-24 x = 1$ के रूप में लिखते हैं।
पूरे समीकरण को $x^{2}$ के गुणांक $16$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{24}{16} x = \frac{1}{16}$
$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{16}$
अब,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। $x$ का गुणांक $-\frac{3}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $-\frac{3}{4}$ है और इसका वर्ग $\frac{9}{16}$ है:
$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$
इसे सरल करने पर:
$(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{10}{16}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ और $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $3 y^{2}+7 y-20=0$
$y^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$y^{2}+\frac{7}{3} y-\frac{20}{3}=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$y$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो कि $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ है:
$y^{2}+\frac{7}{3} y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - (\frac{49}{36} + \frac{240}{36}) = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - \frac{289}{36} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} = (\frac{17}{6})^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y+\frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$
स्थिति $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
स्थिति $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$
अतः,समीकरण के मूल $-4$ और $\frac{5}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $5x^{2}-4x-10=0$
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x^{2}-\frac{4}{5}x-2=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ है:
$x^{2}-\frac{4}{5}x + \frac{4}{25} - \frac{4}{25} - 2 = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4}{25} + 2) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4+50}{25}) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - \frac{54}{25} = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} = \frac{54}{25}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x-\frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2-3\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{2+3\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(D) $x^{2}-8x+12=0$ को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए:
$1$. अचर पद को दाईं ओर ले जाएं: $x^{2}-8x = -12$
$2$. $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ें। $x$ का गुणांक $-8$ है, इसका आधा $-4$ है और इसका वर्ग $(-4)^{2} = 16$ है।
$3$. $x^{2}-8x+16 = -12+16$
$4$. बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: $(x-4)^{2} = 4$
$5$. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-4 = \pm 2$
$6$. $x$ के लिए हल करने पर: $x = 4+2 = 6$ या $x = 4-2 = 2$.
अतः, मूल $2$ और $6$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+2x-2=0$
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}+2x=2$
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $2$ है,इसलिए इसका आधा $1$ है और इसका वर्ग $1^{2}=1$ है। दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$x^{2}+2x+1=2+1$
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x+1)^{2}=3$
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+1 = \pm\sqrt{3}$
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = -1 \pm \sqrt{3}$
अतः,मूल $-1+\sqrt{3}$ और $-1-\sqrt{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-4x-8=0$
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}-4x=8$
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-4$ है,इसलिए इसका आधा $-2$ है और इसका वर्ग $(-2)^{2}=4$ है।
$x^{2}-4x+4=8+4$
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x-2)^{2}=12$
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-2 = \pm\sqrt{12}$
$x-2 = \pm 2\sqrt{3}$
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$
अतः,मूल $2+2\sqrt{3}$ और $2-2\sqrt{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 20x + 23 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + 5x + \frac{23}{4} = 0$.
इसे इस प्रकार लिखने पर: $x^{2} + 5x = -\frac{23}{4}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर: $x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = -\frac{23}{4} + \frac{25}{4}$.
इसे सरल करने पर: $(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{2}}{2}$.
इसलिए,मूल $\frac{-5+\sqrt{2}}{2}$ और $\frac{-5-\sqrt{2}}{2}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0$.
$4$ से भाग देने पर: $x^{2} + bx - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $(\frac{b}{2})^{2}$ जोड़ने और घटाने पर: $x^{2} + bx + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
$(x + \frac{b}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{b}{2} = \pm \frac{a}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{a-b}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-a-b}{2} = -(\frac{a+b}{2})$.
अतः,मूल $-\left(\frac{a+b}{2}\right), \left(\frac{a-b}{2}\right)$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग,यानी $(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$ जोड़ेंगे और घटाएंगे।
$x^{2}-(\sqrt{3}+1) x + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} + \sqrt{3} = 0$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - \sqrt{3}$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 + \sqrt{3}-1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,मूल $\sqrt{3}$ और $1$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-4 \sqrt{2} x+6=0$।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,समीकरण को $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) = -6$ के रूप में लिखते हैं।
दोनों पक्षों में $(2 \sqrt{2})^{2} = 8$ जोड़ने पर: $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{2})^{2} = -6 + 8$।
यह सरल होकर $(x-2 \sqrt{2})^{2} = 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-2 \sqrt{2} = \pm \sqrt{2}$।
स्थिति $1$: $x = 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$।
स्थिति $2$: $x = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
अतः,मूल $\sqrt{2}$ और $3 \sqrt{2}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $3x^2 + 11x + 10 = 0$.
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर: $x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^2 + \frac{11}{3}x = -\frac{10}{3}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{11}{3}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{11}{6}$ है। इसका वर्ग $(\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$ है।
$x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{121}{36} = -\frac{10}{3} + \frac{121}{36}$.
$(x + \frac{11}{6})^2 = -\frac{120}{36} + \frac{121}{36} = \frac{1}{36}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{11}{6} = \pm \frac{1}{6}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{11}{6} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.
स्थिति $2$: $x + \frac{11}{6} = -\frac{1}{6} \implies x = -\frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{12}{6} = -2$.
अतः,मूल $-\frac{5}{3}$ और $-2$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
समीकरण को $x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$ के रूप में लिखें।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ें। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ है। इसका वर्ग $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ है।
$x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = -2 + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{-32 + 1}{16} = -\frac{31}{16}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} - 7x + 3 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{4}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + (\frac{7}{4})^{2}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+8x+3=0$.
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}+8x = -3$.
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $8$ है,इसलिए इसका आधा $4$ है और इसका वर्ग $4^{2} = 16$ है।
$x^{2}+8x+16 = -3+16$.
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x+4)^{2} = 13$.
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+4 = \pm\sqrt{13}$.
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = -4 \pm \sqrt{13}$.
अतः,मूल $-4+\sqrt{13}$ और $-4-\sqrt{13}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $3x - \frac{2}{x} - 7 = 0$.
मानक रूप प्राप्त करने के लिए $x$ से गुणा करने पर: $3x^2 - 7x - 2 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 - \frac{7}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times x \text{ का गुणांक})^2 = (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36}$ जोड़ने और घटाने पर:
$x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{2}{3} = 0$.
$(x - \frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} + \frac{24}{36} = \frac{73}{36}$.
वर्गमूल लेने पर: $x - \frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{73}}{6}$.
$x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{6}$.

(A) दिया गया समीकरण: $(2x + 1) - \frac{4}{(2x + 1)} - 3 = 0$.
माना $y = 2x + 1$. तब समीकरण $y - \frac{4}{y} - 3 = 0$ हो जाता है।
$y$ से गुणा करने पर $(y \neq 0)$: $y^2 - 3y - 4 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए: $y^2 - 3y = 4$.
दोनों पक्षों में $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ जोड़ने पर: $y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$.
$(y - \frac{3}{2})^2 = \frac{16 + 9}{4} = \frac{25}{4}$.
वर्गमूल लेने पर: $y - \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2}$.
स्थिति $1$: $y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$. चूँकि $y = 2x + 1$,इसलिए $2x + 1 = 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
स्थिति $2$: $y = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$. चूँकि $y = 2x + 1$,इसलिए $2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.
अतः मूल $\frac{3}{2}, -1$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}=6$.
पूरे समीकरण को $x^{2}$ से गुणा करने पर $(x \neq 0)$: $2 - x = 6x^{2}$.
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $6x^{2} + x - 2 = 0$.
$6$ से भाग देने पर: $x^{2} + \frac{1}{6}x - \frac{1}{3} = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$(\frac{1}{2} \times x \text{ का गुणांक})^{2} = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6})^{2} = (\frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144}$ जोड़ने और घटाने पर।
$x^{2} + \frac{1}{6}x + \frac{1}{144} - \frac{1}{144} - \frac{1}{3} = 0$.
$(x + \frac{1}{12})^{2} = \frac{1}{144} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 48}{144} = \frac{49}{144}$.
वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{1}{12} = \pm \frac{7}{12}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
अतः,मूल $-\frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{3} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x = \frac{5}{3}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है। इसका वर्ग $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{5}{9}$ है।
$x^{2} + \frac{2\sqrt{5}}{3}x + \frac{5}{9} = \frac{5}{3} + \frac{5}{9}$.
$(x + \frac{\sqrt{5}}{3})^{2} = \frac{15 + 5}{9} = \frac{20}{9}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{\frac{20}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
स्थिति $2$: $x = -\frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{3\sqrt{5}}{3} = -\sqrt{5}$.
अतः,मूल $-\sqrt{5}$ और $\frac{\sqrt{5}}{3}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $5x(2x - 3) - 4 = 0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $10x^2 - 15x - 4 = 0$
$10$ से भाग देने पर: $x^2 - \frac{15}{10}x - \frac{4}{10} = 0 \Rightarrow x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{2}{5} = 0$
$(\frac{1}{2} \times x \text{ का गुणांक})^2 = (\frac{1}{2} \times \frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$ को जोड़ने और घटाने पर
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16} - \frac{2}{5} = 0$
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} + \frac{2}{5} = \frac{45 + 32}{80} = \frac{77}{80}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{77}{80}} = \pm \frac{\sqrt{77}}{4\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{385}}{20}$
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{385}}{20} = \frac{15 \pm \sqrt{385}}{20}$
अतः,मूल $\frac{15+\sqrt{385}}{20}$ और $\frac{15-\sqrt{385}}{20}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x + \frac{2}{x} - 8 = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^2 - 8x + 2 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,समीकरण को इस प्रकार लिखें: $x^2 - 8x = -2$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-8$ है,इसलिए इसका आधा $-4$ है और इसका वर्ग $(-4)^2 = 16$ है।
दोनों पक्षों में $16$ जोड़ने पर: $x^2 - 8x + 16 = -2 + 16$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(x - 4)^2 = 14$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x - 4 = \pm \sqrt{14}$.
अतः,$x = 4 \pm \sqrt{14}$.
मूल $4 + \sqrt{14}$ और $4 - \sqrt{14}$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण $x^{2}-5x-1=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-5, c=-1$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करें:
$D = (-5)^{2} - 4(1)(-1) = 25 + 4 = 29$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ और $\frac{5-\sqrt{29}}{2}$ हैं।

(B) समीकरण $y^{2}+10y+6=0$ की तुलना मानक रूप $ay^{2}+by+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=10, c=6$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = (10)^{2} - 4(1)(6) = 100 - 24 = 76$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$y = \frac{-10 \pm \sqrt{76}}{2(1)}$.
चूंकि $\sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$,इसलिए $y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{19}}{2}$.
$2$ से भाग देने पर,$y = -5 \pm \sqrt{19}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण के मूल $-5+\sqrt{19}$ और $-5-\sqrt{19}$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण $2 y^{2}+5 y-3=0$ की तुलना मानक रूप $a y^{2}+b y+c=0$ से करने पर,हमें $a=2$,$b=5$,और $c=-3$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करें:
$D = (5)^{2} - 4(2)(-3)$
$D = 25 + 24 = 49$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(2)}$
$y = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
स्थिति $1$: $y = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $y = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
अतः,दिए गए समीकरण के मूल $\frac{1}{2}$ और $-3$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+2)+2x$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 + 9x + 20 = 3(x^2 + 3x + 2) + 2x$
$x^2 + 9x + 20 = 3x^2 + 9x + 6 + 2x$
पदों को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 3x^2 + 9x - 9x - 2x + 20 - 6 = 0$
$-2x^2 - 2x + 14 = 0$
$-2$ से भाग देने पर:
$x^2 + x - 7 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=-7$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29$ है।
चूंकि $D > 0$,इसलिए वास्तविक और भिन्न मूल मौजूद हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2(1)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$
अतः,मूल $\frac{-1+\sqrt{29}}{2}$ और $\frac{-1-\sqrt{29}}{2}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
$\frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$
वज्र-गुणन करने पर: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$
$3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
$3x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 4x - 8 = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-4, c=-8$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$.
चूँकि $D > 0$,वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{48}}{2(1)} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
अतः,समीकरण के मूल $2(1+\sqrt{3})$ और $2(1-\sqrt{3})$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x^{2}-8x-21=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-8, c=-21$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर (Discriminant) $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = (-8)^{2} - 4(1)(-21) = 64 + 84 = 148$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,
$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{148}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \times 37}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{37}}{2}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x = 4 \pm \sqrt{37}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण के मूल $4+\sqrt{37}$ और $4-\sqrt{37}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + 5 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = 6$,और $c = 5$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (6)^{2} - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ की गणना करें।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक हल मौजूद हैं।
सूत्र में मान रखने पर: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$।
धनात्मक चिह्न के लिए: $x = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$।
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $x = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$।
अतः,हल $-5$ और $-1$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-4=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-3, c=-4$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$ की गणना करें।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm 5}{2}$
स्थिति $1$: $x = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
स्थिति $2$: $x = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
अतः,हल $-1$ और $4$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $5x^{2} + 8x + 3 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = 8$ और $c = 3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
$D = (8)^{2} - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक हल मौजूद हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2(5)} = \frac{-8 \pm 2}{10}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
अतः,हल $-\frac{3}{5}$ और $-1$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $3x^2 + 5\sqrt{2}x - 2 = 0$.
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = 5\sqrt{2}$,और $c = -2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
$D = (5\sqrt{2})^2 - 4(3)(-2) = (25 \times 2) + 24 = 50 + 24 = 74$.
चूंकि $D > 0$,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{2(3)} = \frac{-5\sqrt{2} \pm \sqrt{74}}{6}$.
अतः,हल $x = \frac{-5\sqrt{2} + \sqrt{74}}{6}$ और $x = \frac{-5\sqrt{2} - \sqrt{74}}{6}$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
$x^{2}+5x+3=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1, b=5, c=3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (5)^{2} - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक हल मौजूद हैं।
सूत्र में मान रखने पर: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2(1)}$.
अतः,हल $x = \frac{-5+\sqrt{13}}{2}$ और $x = \frac{-5-\sqrt{13}}{2}$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $6x^{2}-5x-1=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=6$,$b=-5$,और $c=-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = (-5)^{2} - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49$.
चूंकि $D > 0$,मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{5 \pm 7}{12}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{5-7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
अतः,हल $1$ और $-\frac{1}{6}$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^{2} + 7x - 2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 9$,$b = 7$ और $c = -2$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (7)^{2} - 4(9)(-2) = 49 + 72 = 121$ की गणना करें।
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2(9)}$
$x = \frac{-7 \pm 11}{18}$
स्थिति $1$: $x = \frac{-7 + 11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-7 - 11}{18} = \frac{-18}{18} = -1$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{2}{9}$ और $-1$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $6x^{2} + x - 2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 6$,$b = 1$,और $c = -2$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें: $D = (1)^{2} - 4(6)(-2) = 1 + 48 = 49$.
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(6)}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{12}$
स्थिति $1$: $x = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.
अतः,मूल $1/2$ और $-2/3$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
दिया गया समीकरण: $2x^{2} + 5\sqrt{3}x + 6 = 0$.
यहाँ,$a = 2$,$b = 5\sqrt{3}$,और $c = 6$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = (5\sqrt{3})^{2} - 4(2)(6) = (25 \times 3) - 48 = 75 - 48 = 27$ ज्ञात करें।
अब,सूत्र का उपयोग करते हुए: $x = \frac{-5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2(2)} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3}$.
अतः,मूल $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-2\sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $p^{2} x^{2} + (p^{2} - q^{2}) x - q^{2} = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = p^{2}$,$b = (p^{2} - q^{2})$,और $c = -q^{2}$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (p^{2} - q^{2})^{2} - 4(p^{2})(-q^{2})$ की गणना करें।
$D = p^{4} - 2p^{2}q^{2} + q^{4} + 4p^{2}q^{2} = p^{4} + 2p^{2}q^{2} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2}$.
अब,सूत्र में मान रखने पर: $x = \frac{-(p^{2} - q^{2}) \pm \sqrt{(p^{2} + q^{2})^{2}}}{2p^{2}}$.
$x = \frac{-p^{2} + q^{2} \pm (p^{2} + q^{2})}{2p^{2}}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2}}{2p^{2}} = \frac{2q^{2}}{2p^{2}} = \frac{q^{2}}{p^{2}}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-p^{2} + q^{2} - p^{2} - q^{2}}{2p^{2}} = \frac{-2p^{2}}{2p^{2}} = -1$.
अतः,मूल $x = \frac{q^{2}}{p^{2}}$ और $x = -1$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{3} x^{2} + 10 x - 8 \sqrt{3} = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sqrt{3}$,$b = 10$ और $c = -8 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (10)^{2} - 4(\sqrt{3})(-8 \sqrt{3}) = 100 + 32(3) = 100 + 96 = 196$ की गणना करें।
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \sqrt{3}} = \frac{-10 \pm 14}{2 \sqrt{3}}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-10 + 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{4}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-10 - 14}{2 \sqrt{3}} = \frac{-24}{2 \sqrt{3}} = \frac{-12}{\sqrt{3}} = -4 \sqrt{3}$.
अतः,मूल $-4 \sqrt{3}$ और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x-2) - x}{x(x-2)} = 3$.
$\frac{-2}{x^2 - 2x} = 3$.
$-2 = 3x^2 - 6x$.
$3x^2 - 6x + 2 = 0$.
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 3, b = -6, c = 2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि $D > 0$,वास्तविक मूल मौजूद हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = 3$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^2 + 1 = 3x$.
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
यहाँ,$a = 1$,$b = -3$,और $c = 1$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ की गणना करने पर।
चूंकि $D > 0$,वास्तविक मूल मौजूद हैं।
सूत्र में मान रखने पर: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
अतः,हल $x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ और $x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $3x^{2} + 2\sqrt{5}x - 5 = 0$.
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = 2\sqrt{5}$ और $c = -5$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = (2\sqrt{5})^{2} - 4(3)(-5) = 20 + 60 = 80$ ज्ञात करें।
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$x = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{80}}{2(3)} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 4\sqrt{5}}{6}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{6} = \frac{-6\sqrt{5}}{6} = -\sqrt{5}$.
अतः,हल $-\sqrt{5}$ और $\frac{\sqrt{5}}{3}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4}$.
अंश का सरलीकरण करने पर: $\frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4} \implies \frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4}$.
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $(3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8$.
द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^2+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 4x - 8 = 0$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1, b=-4, c=-8$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$.
चूँकि $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$,इसलिए $x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
अतः,हल $2+2\sqrt{3}$ और $2-2\sqrt{3}$ हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \sqrt{2}$,$b = 7$,और $c = 5\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = (7)^2 - 4(\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 49 - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{-7 \pm 3}{2\sqrt{2}}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-7 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-7 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}}$.
अतः,हल $-\sqrt{2}$ और $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।

(C) माना कि आयत की चौड़ाई $x\,cm$ है।
तब,दी गई शर्त के अनुसार,आयत की लंबाई $(3x - 2)\,cm$ है।
अब,आंकड़ों के अनुसार,आयत का क्षेत्रफल $280\,cm^2$ है।
$\therefore$ आयत का क्षेत्रफल $= 280$
$\therefore$ लंबाई $\times$ चौड़ाई $= 280$
$\therefore (3x - 2)(x) = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x - 280 = 0$
$\therefore (3x + 28)(x - 10) = 0$
$\therefore 3x + 28 = 0$ या $x - 10 = 0$
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ या $x = 10$
चूंकि $x$ आयत की चौड़ाई है,यह ऋणात्मक नहीं हो सकती।
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ संभव नहीं है।
$\therefore x = 10$
अब,आयत की लंबाई $= 3x - 2 = 3(10) - 2 = 28\,cm$.
अतः,दिए गए आयत की लंबाई $28\,cm$ है।

(A) माना कि दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या $x$ है।
अतः,बड़ी सम धनात्मक पूर्णांक संख्या $x+2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $244$ है।
$\therefore x^{2} + (x+2)^{2} = 244$
$\therefore x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 244$
$\therefore 2x^{2} + 4x + 4 - 244 = 0$
$\therefore 2x^{2} + 4x - 240 = 0$
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\therefore x^{2} + 2x - 120 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$\therefore (x+12)(x-10) = 0$
$\therefore x+12 = 0$ या $x-10 = 0$
$\therefore x = -12$ या $x = 10$
चूंकि संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x = -12$ संभव नहीं है।
अतः,$x = 10$.
छोटी संख्या $10$ है और बड़ी संख्या $10+2 = 12$ है।
अतः,अभीष्ट क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक $10$ और $12$ हैं।

(C) माना कि मूल संख्या का दहाई का अंक $x$ है।
चूंकि अंकों का गुणनफल $6$ है,इसलिए इकाई का अंक $\frac{6}{x}$ होगा।
मूल संख्या $= 10x + \frac{6}{x}$ है।
अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त नई संख्या $= 10(\frac{6}{x}) + x = \frac{60}{x} + x$ है।
प्रश्न के अनुसार,मूल संख्या में से $9$ घटाने पर नई संख्या प्राप्त होती है:
$10x + \frac{6}{x} - 9 = \frac{60}{x} + x$
समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$10x^2 + 6 - 9x = 60 + x^2$
$9x^2 - 9x - 54 = 0$
$9$ से भाग देने पर:
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
अंक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 3$ है।
मूल संख्या $= 10(3) + \frac{6}{3} = 30 + 2 = 32$।