Heights and Distances Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $y$ છે અને બિંદુ $A$ થી ટાવરના પાયાનું અંતર $x$ છે.
ટાવર અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઉત્સેધકોણ $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{y}{x}$.
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $1 = \frac{y}{x}$.
આમ,$x = y$ થાય છે.

(A) ધારો કે ઢાળને એક કાટકોણ ત્રિકોણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કર્ણ એ ઢાળ પર કાપેલું અંતર $(x \, m)$ છે અને $30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ એ જમીનથી ઊંચાઈ $(y \, m)$ છે.
ત્રિકોણમિતિના સાઈન $(sin)$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$x = 2y$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે ઘર $A$ અને $B$ ના ટાવરના પાયાથી અંતર અનુક્રમે $d_A$ અને $d_B$ છે.
ભૌમિતિક પરિસ્થિતિ મુજબ,અવસેધકોણ એ ઘરથી ટાવરની ટોચ સુધીના ઉત્સેધકોણ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ અને $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $d_A = \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$ અને $d_B = \frac{h}{\tan(40^{\circ})}$.
જેમ કે $40^{\circ} > 25^{\circ}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$.
તેથી,$\frac{h}{\tan(40^{\circ})} < \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$,જેનો અર્થ છે કે $d_B < d_A$.
આમ,ઘર $B$ એ ઘર $A$ કરતા ટાવરની વધુ નજીક છે.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 30 \ m$ છે. ધારો કે પથ્થર જમીન પર બિંદુ $C$ પર છે.
ટોચ $A$ થી પથ્થર $C$ નો અવસેધકોણ $45^{\circ}$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા જમીનને સમાંતર હોવાથી,પથ્થર $C$ થી ટોચ $A$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $45^{\circ}$ થશે (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{30}{BC}$.
તેથી,$BC = 30 \ m$.
આમ,ટાવરના પાયાથી પથ્થરનું અંતર $30 \ m$ છે.

(D) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L\, m$ છે.
નિસરણી,દીવાલ અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,દીવાલની ઊંચાઈ એ $30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ છે,જે $3\, m$ છે.
નિસરણી એ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{3}{L}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{L}$
$L = 3 \times 2 = 6\, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $6\, m$ છે.

(A) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h \, m$ છે.
આપેલ છે કે થાંભલાના પાયાથી અવલોકન બિંદુનું અંતર $20 \, m$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
થાંભલા,જમીન અને દ્રષ્ટિરેખા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(\theta) = \frac{\text{થાંભલાની ઊંચાઈ}}{\text{પાયાથી અંતર}}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{20}$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $20 \, m$ છે.

(A) અવસેધકોણ એટલે જ્યારે વસ્તુ ક્ષિતિજ સપાટીની નીચે હોય ત્યારે દ્રષ્ટિરેખા અને ક્ષિતિજ સપાટી વચ્ચે બનતો ખૂણો. તેથી,જો કોઈ નિરીક્ષક નીચેની તરફ કોઈ વસ્તુને જુએ છે,તો તે વસ્તુ ક્ષિતિજ સપાટીની નીચે સ્થિત હોય છે.

(A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ કર્ણ $c = 6 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ એક બાજુ $a = 3.6 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલના પાયાથી નિસરણીના નીચેના છેડા સુધીનું અંતર $b$ છે.
દીવાલ,જમીન અને નિસરણી દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(3.6)^2 + b^2 = 6^2$
$12.96 + b^2 = 36$
$b^2 = 36 - 12.96$
$b^2 = 23.04$
$b = \sqrt{23.04} = 4.8 \,m$.
આમ,અંતર $4.8 \,m$ છે.

(B) ધારો કે સીડીની લંબાઈ કર્ણ $h = 4 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ વેધ $p = 3.2 \,m$ છે.
ધારો કે દીવાલના પાયા અને સીડીના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર પાયો $b$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$h^2 = p^2 + b^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4^2 = (3.2)^2 + b^2$.
$16 = 10.24 + b^2$.
$b^2 = 16 - 10.24 = 5.76$.
$b = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$.

(C) ધારો કે બે થાંભલા $AB = 6 \, m$ અને $CD = 11 \, m$ સપાટ જમીન પર ઉભેલા છે.
તેમના પાયા વચ્ચેનું અંતર $BD = 12 \, m$ છે.
$BD$ ને સમાંતર રેખાખંડ $AE$ દોરો જેથી $E$ એ $CD$ પર હોય.
તેથી $AE = BD = 12 \, m$ અને $ED = AB = 6 \, m$ થાય.
હવે,$CE = CD - ED = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \, m$.
આમ,તેમની ટોચ વચ્ચેનું અંતર $13 \, m$ છે.

(C) ધારો કે ઇમારતની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઇમારતના પાયાથી વસ્તુનું અંતર $l$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઇમારતની ટોચ પરથી વસ્તુનો અવસેધકોણ $\theta$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા જમીનને સમાંતર હોવાથી,વસ્તુથી ઇમારતની ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $\theta$ થશે (યુગ્મકોણની જોડ).
ઇમારત અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{h}{l}$
$l$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$l = \frac{h}{\tan \theta}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,તેથી:
$l = h \cot \theta$
આમ,ઇમારતના પાયાથી વસ્તુનું અંતર $h \cot \theta$ છે.

(C) ધારો કે લાઇટહાઉસની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે લાઇટહાઉસના પાયાથી વહાણ $Q$ નું અંતર $x$ છે અને વહાણ $P$ નું અંતર $y$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,વહાણોથી લાઇટહાઉસની ટોચનો ઉત્સેધકોણ એ અવસેધકોણ જેટલો જ હોય છે.
વહાણ $Q$ માટે: $\tan(50^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$.
વહાણ $P$ માટે: $\tan(35^{\circ}) = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan(35^{\circ})}$.
અહીં $35^{\circ} < 50^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(35^{\circ}) < \tan(50^{\circ})$ થાય.
તેથી,$\frac{h}{\tan(35^{\circ})} > \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$,જેનો અર્થ છે કે $y > x$.
આમ,લાઇટહાઉસથી વહાણ $P$ નું અંતર એ વહાણ $Q$ ના અંતર કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે $AB$ દીવાલ છે અને $AC$ નિસરણી છે.
અહીં દીવાલની ઊંચાઈ $AB = 3 \, m$ અને ઉત્સેધકોણ $\angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $6 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ $30 \, m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે અને $C$ એ પથ્થરનું સ્થાન છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,પથ્થરથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ એ અવસેધકોણ જેટલો જ હોય છે,જે $45^{\circ}$ છે.
તેથી,$\angle ACB = 45^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $AB = 30 \, m$ છે:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$.
આમ,ટાવર અને પથ્થર વચ્ચેનું અંતર $30 \, m$ છે.

(B) અવસેધકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યારે વસ્તુ ક્ષિતિજ સપાટીની નીચે હોય,ત્યારે દ્રષ્ટિરેખા અને ક્ષિતિજ સપાટી વચ્ચે બનતા ખૂણાને અવસેધકોણ કહેવામાં આવે છે.
અહીં અવલોકનકાર વસ્તુને નીચેની તરફ જોઈ રહ્યો છે,તેથી વસ્તુ અવલોકનકારની આંખમાંથી પસાર થતી ક્ષિતિજ રેખાની નીચે સ્થિત હોવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે ઇમારતની ઊંચાઈ $y$ છે અને પાયાથી અંતર $x$ છે. ઉત્સેધકોણ $\theta = 25^\circ$ છે.
ઇમારત,જમીન અને દ્રષ્ટિરેખા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{y}{x}$.
તેથી,$\tan(25^\circ) = \frac{y}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x \cdot \tan(25^\circ)$.
$\tan(25^\circ)$ ની કિંમત આશરે $0.466$ છે,જે $1$ કરતા નાની છે $(0 < \tan(25^\circ) < 1)$,
તેથી $y = x \cdot (0.466)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $y < x$,એટલે કે $x > y$.

(B) ધારો કે દીવાલ $AB$ છે અને જમીન $BC$ છે. નિસરણી $AC$ છે.
આપેલ છે કે નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના પાયાથી અંતર $BC = a \ m$ છે.
નિસરણી દ્વારા જમીન સાથે બનતો ખૂણો $\angle C = \theta$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
તેથી,નિસરણી દીવાલ પર જે ઊંચાઈએ પહોંચે છે તે $AB = a \tan \theta \ m$ છે.

(D) ધારો કે $AB$ એ $x \ m$ ઊંચી ઇમારત છે અને $C$ એ જમીન પર રહેલા બાળકની સ્થિતિ છે.
ટોચ $A$ થી બાળક $C$ નો અવસેધકોણ $\theta$ છે.
$A$ આગળની સમક્ષિતિજ રેખા જમીન $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$C$ થી $A$ નો ઉત્સેધકોણ પણ $\theta$ થશે (યુગ્મકોણ).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{BC}$
તેથી,$BC = \frac{x}{\tan \theta} = x \cot \theta \ m$.
આમ,ઇમારતના પાયાથી બાળકની અંતર $x \cot \theta \ m$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $AC$ એ કેબલની લંબાઈ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 30^{\circ}$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $AC = 20 \, m$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{2} = 10 \, m$.
આમ,વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $10 \, m$ છે.

(B) ધારો કે $AB$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $BC$ એ થાંભલાના પાયાથી પથ્થરનું અંતર છે.
આપેલ છે કે,$BC = 10 \, m$ અને અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
અવસેધકોણ એ ઉત્સેધકોણ જેટલો હોવાથી,પથ્થરથી થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^{\circ}$ થશે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{AB}{10}$.
$AB = 10 \times \sqrt{3}$.
અહીં $\sqrt{3} = 1.73$ આપેલ છે,તેથી $AB = 10 \times 1.73 = 17.3 \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $17.3 \, m$ છે.

(C) ધારો કે લાઈટહાઉસની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ હોડીઓનું લાઈટહાઉસના પાયાથી અંતર અનુક્રમે $d_A$ અને $d_B$ છે.
આપેલા અવસેધકોણ પરથી,હોડીઓથી લાઈટહાઉસની ટોચના ઉત્સેધકોણ અનુક્રમે $25^{\circ}$ અને $40^{\circ}$ થશે.
ટેન્જન્ટ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ અને $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$.
કારણ કે $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$,તેથી $\frac{h}{d_B} > \frac{h}{d_A}$ થાય.
આથી,$d_A > d_B$. આમ,હોડી $A$ નું લાઈટહાઉસથી અંતર હોડી $B$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે $X$ એ બિલ્ડિંગ $PQ$ ની ઊંચાઈ છે અને $Y$ એ બિલ્ડિંગ $SR$ ની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $QR$ એ બે બિલ્ડિંગના પાયા વચ્ચેનું અંતર છે.
કાટકોણ $\Delta SQR$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{SR}{QR} = \frac{Y}{QR}$.
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $Y = QR$ મળે છે.
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,$\tan(65^{\circ}) = \frac{PQ}{QR} = \frac{X}{QR}$.
કારણ કે $\tan(65^{\circ}) > 1$,તેથી $\frac{X}{QR} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $X > QR$.
$Y = QR$ અને $X > QR$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $X > Y$.
તેથી,બિલ્ડિંગ $X$ ની ઊંચાઈ બિલ્ડિંગ $Y$ ની ઊંચાઈ કરતા વધારે છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $AB$ છે અને થાંભલાના પાયાથી બિંદુ $C$ નું અંતર $BC = x \, m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
અહીં $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{x}$
તેથી,$AB = \sqrt{3} x \, m$.
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $\sqrt{3} x \, m$ છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $BC = x \, m$ એ ટાવરના પાયાથી અવલોકન બિંદુ $C$ સુધીનું અંતર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $\angle C = 30^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{x}$
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ $AB = \frac{x}{\sqrt{3}} \, m$ થાય.

(D) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $BC$ એ ટાવરના પાયાથી જમીન પરના બિંદુ $C$ સુધીનું અંતર છે.
આપેલ છે: $BC = 100 \, m$ અને ઉત્સેધકોણ $\angle C = 60^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,
$\tan C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{100}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$,
$\sqrt{3} = \frac{AB}{100}$
$AB = 100 \times \sqrt{3}$
$AB = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ટાવરની ઊંચાઈ $173 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $AB$ એ મંદિરની ઊંચાઈ છે,જ્યાં $AB = 20 \ m$ છે.
ધારો કે $BC$ એ નદીની પહોળાઈ છે.
બિંદુ $C$ થી ટોચ $A$ નો ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{BC}$
$BC = 20 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા:
$BC = 20 \times 1.73 = 34.6 \ m$.
આમ,નદીની પહોળાઈ $34.6 \ m$ છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. નિરીક્ષકની ઊંચાઈ $1.5\, m$ છે,તેથી ત્રિકોણની ઊંચાઈ $AE = h - 1.5$ થશે.
અહીં ટાવરથી અંતર $DE = 28.5\, m$ અને ઉત્સેધકોણ $45^\circ$ આપેલ છે.
$\triangle ADE$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{AE}{DE}$.
$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{AE}{28.5}$ મળે.
તેથી,$AE = 28.5\, m$.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h = AE + EB = 28.5 + 1.5 = 30\, m$ થાય.

(C) ઉત્સેધકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યારે વસ્તુ અવલોકનકારની આંખના સમક્ષિતિજ સ્તરથી ઉપર હોય,ત્યારે દ્રષ્ટિ કિરણ અને સમક્ષિતિજ રેખા (ક્ષિતિજ સમાંતર કિરણ) વચ્ચે બનતા ખૂણાને ઉત્સેધકોણ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જો ઉત્સેધકોણ બનતો હોય,તો વસ્તુ ચોક્કસપણે ક્ષિતિજ સમાંતર કિરણની ઉપર સ્થિત હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$s = \frac{1}{\sqrt{3}} h$.
ધારો કે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
થાંભલા અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયો}} = \frac{h}{s}$.
$s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}} h} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$,તેથી ઉત્સેધકોણ $\theta = 60^\circ$ થાય.

(D) ધારો કે ટૂંકા થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઊંચા થાંભલાની ઊંચાઈ $2h$ છે.
બે થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
તેમના પાયાને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ અંતર $x$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકની લંબાઈ $\frac{x}{2}$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુથી ઉત્સેધકોણ $\theta$ અને $90^\circ - \theta$ છે.
ટૂંકા થાંભલા માટે: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$.
કારણ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{2h}{x}$.
ઊંચા થાંભલા માટે: $\tan \theta = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{4h}{x}\right) \cdot \left(\frac{2h}{x}\right)$.
$1 = \frac{8h^2}{x^2}$.
$h^2 = \frac{x^2}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનો પાયો $O$ છે.
ધારો કે ટાવરથી ઘર $A$ નું અંતર $x_A$ છે અને ઘર $B$ નું અંતર $x_B$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,અવસેધકોણ એ ઉત્સેધકોણ જેટલો જ હોય છે.
ઘર $A$ માટે: $\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{x_A} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x_A} \implies x_A = h\sqrt{3}$.
ઘર $B$ માટે: $\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x_B} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x_B} \implies x_B = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
અંતરની સરખામણી કરતા,$\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$x_A > x_B$ મળે છે.
તેથી,ઘર $B$ એ ઘર $A$ કરતા ટાવરની વધુ નજીક છે.

(B) ધારો કે ટેકરીને એક કાટકોણ ત્રિકોણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કર્ણ એ ટેકરી પર કાપેલું અંતર $x$ મીટર છે.
જમીન સાથેનો ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
જમીનથી પહોંચેલી ઊંચાઈ એ ખૂણાની સામેની બાજુ છે,જે $y$ મીટર છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $x = 2y$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.