Algebraic Identities Questions in Gujarati

(A) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $93 \times 95$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે લખી શકીએ:
$93 = 90 + 3$
$95 = 90 + 5$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,જ્યાં $x = 90$,$a = 3$,અને $b = 5$ છે:
$(90 + 3)(90 + 5) = (90)^2 + (3 + 5)(90) + (3 \times 5)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(90)^2 = 8100$
$(3 + 5)(90) = 8 \times 90 = 720$
$(3 \times 5) = 15$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$8100 + 720 + 15 = 8835$
તેથી,$93 \times 95 = 8835$.

(B) બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $78 \times 84$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે લખી શકીએ:
$78 = (80 - 2)$
$84 = (80 + 4)$
નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 80$,$a = -2$,અને $b = 4$ છે:
$(80 - 2)(80 + 4) = (80)^2 + (-2 + 4)(80) + (-2)(4)$
$= 6400 + (2)(80) - 8$
$= 6400 + 160 - 8$
$= 6560 - 8$
$= 6552$

(A) $(2 x+5 y)^{2}$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+2 a b+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2 x$ અને $b = 5 y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2 x+5 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(5 y) + (5 y)^{2}$
$= 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$.

(A) પદાવલિ $(3a - 4)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 3a$ અને $y = 4$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(4) + (4)^2$
$= 9a^2 - 24a + 16$.

(A) આપેલ પદાવલિ $16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a^{2} = 16 x^{2} = (4 x)^{2}$,તેથી $a = 4 x$.
અને $b^{2} = 25 y^{2} = (5 y)^{2}$,તેથી $b = 5 y$.
હવે,મધ્યમ પદ તપાસો: $2ab = 2(4 x)(5 y) = 40 x y$.
આ પદાવલિ નિત્યસમ સાથે બંધ બેસતી હોવાથી,આપણે તેને $(4 x+5 y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,તેના અવયવો $(4 x+5 y)(4 x+5 y)$ છે.

(B) પદાવલિ $49 x^{2}-42 x+9$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$a^{2} = 49 x^{2} = (7 x)^{2}$,તેથી $a = 7 x$.
અને $b^{2} = 9 = (3)^{2}$,તેથી $b = 3$.
હવે,મધ્યમ પદ ચકાસો: $-2ab = -2(7 x)(3) = -42 x$.
આમ,પદાવલિ નિત્યસમ સાથે બંધબેસતી હોવાથી:
$49 x^{2}-42 x+9 = (7 x)^{2}-2(7 x)(3)+(3)^{2} = (7 x-3)^{2}$.
તેથી,અવયવો $(7 x-3)(7 x-3)$ છે.

(C) $(107)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $107$ ને $(100 + 7)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 7$ છે:
$(100 + 7)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(7) + (7)^{2}$
$= 10000 + 1400 + 49$
$= 11449$

(A) આપેલ પદાવલિ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 7y$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(3x + 7y)(3x - 7y) = (3x)^2 - (7y)^2$
$= 9x^2 - 49y^2$

(A) આપેલ પદાવલિ $121 x^{2}-289 y^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $121 = 11^{2}$ અને $289 = 17^{2}$ થાય.
તેથી,આ પદાવલિને $(11 x)^{2}-(17 y)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=11x$ અને $b=17y$ છે:
$(11 x)^{2}-(17 y)^{2}=(11 x-17 y)(11 x+17 y)$.

(A) સીધો ગુણાકાર કર્યા વગર $66 \times 74$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(70 - 4)$ અને $(70 + 4)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 70$ અને $b = 4$ છે:
$66 \times 74 = (70 - 4)(70 + 4)$
$= (70)^2 - (4)^2$
$= 4900 - 16$
$= 4884$

(A) $(x+3y-5z)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$,$b = 3y$,અને $c = -5z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+3y-5z)^{2} = (x)^{2} + (3y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 9y^{2} + 25z^{2} + 6xy - 30yz - 10zx$.

(A) $(2x - y - 5)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2x$,$b = -y$,અને $c = -5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x - y - 5)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-5)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-5) + 2(-5)(2x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= 4x^2 + y^2 + 25 - 4xy + 10y - 20x$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $x^{2}+9 y^{2}+4+6 x y+12 y+4 x$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$= (x)^{2} + (3y)^{2} + (2)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(2) + 2(2)(x)$.
આને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a=x$,$b=3y$ અને $c=2$ છે,આપણને મળે છે:
$= (x+3y+2)^{2}$.
આમ,અવયવો $(x+3y+2)(x+3y+2)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-4 x y-12 y z+6 z x$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(x)$.
અહીં,$a = x$,$b = -2y$,અને $c = 3z$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(x-2y+3z)^{2}$ થાય છે.
આમ,તેના અવયવો $(x-2y+3z)(x-2y+3z)$ છે.

(C) બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $(132)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $132$ ને $(130 + 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 130$ અને $b = 2$ છે:
$(130 + 2)^{2} = (130)^{2} + 2(130)(2) + (2)^{2}$
$= 16900 + 520 + 4$
$= 17424$.

$(3x + 2y)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 2y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3x + 2y)^3 = (3x)^3 + (2y)^3 + 3(3x)(2y)(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 18xy(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 54x^2y + 36xy^2$

(N/A) $(2a - 5b)^3$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નીચેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
અહીં,$x = 2a$ અને $y = 5b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (2a)^3 - (5b)^3 - 3(2a)(5b)(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 30ab(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 60a^2b + 150ab^2$

(N/A) આપેલ પદાવલિ $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
અહીં,ધારો કે $a = 2x$ અને $b = 3y$ છે.
તેથી,$a^{3} = (2x)^{3} = 8x^{3}$ અને $b^{3} = (3y)^{3} = 27y^{3}$ થાય.
વચ્ચેના પદો $3a^{2}b = 3(2x)^{2}(3y) = 3(4x^{2})(3y) = 36x^{2}y$ અને $3ab^{2} = 3(2x)(3y)^{2} = 3(2x)(9y^{2}) = 54xy^{2}$ છે.
આમ,પદાવલિ $(2x)^{3} + (3y)^{3} + 3(2x)^{2}(3y) + 3(2x)(3y)^{2}$ સ્વરૂપમાં છે.
આનું સાદું રૂપ $(2x + 3y)^{3}$ થાય છે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $(2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = -4$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x = (3x)^{3} + (-4)^{3} + 3(3x)^{2}(-4) + 3(3x)(-4)^{2}$.
આનું સાદું રૂપ $(3x - 4)^{3}$ થાય છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(3x - 4)(3x - 4)(3x - 4)$ છે.

(D) $(998)^{3}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $998$ ને $(1000 - 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 2$ છે:
$(1000 - 2)^{3} = (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(D) આપેલ પદાવલિ $8 x^{3}+y^{3}-27 z^{3}+18 x y z$ છે.
આપણે નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $(2 x)^{3}+(y)^{3}+(-3 z)^{3}-3(2 x)(y)(-3 z)$.
અહીં,$a = 2 x$,$b = y$,અને $c = -3 z$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= (2 x+y-3 z)((2 x)^{2}+(y)^{2}+(-3 z)^{2}-(2 x)(y)-(y)(-3 z)-(-3 z)(2 x))$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (2 x+y-3 z)(4 x^{2}+y^{2}+9 z^{2}-2 x y+3 y z+6 z x)$.

(B) ધારો કે $a = 21$,$b = 15$,અને $c = -36$ છે.
પ્રથમ,$a, b,$ અને $c$ નો સરવાળો શોધો:
$a + b + c = 21 + 15 + (-36) = 36 - 36 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a + b + c = 0$ હોય,તો નિત્યસમ મુજબ $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(21)^{3} + (15)^{3} + (-36)^{3} = 3 \times (21) \times (15) \times (-36)$.
ગુણાકાર કરતા:
$3 \times 21 = 63$
$15 \times (-36) = -540$
$63 \times (-540) = -34020$.
તેથી,તેની કિંમત $-34020$ છે.

(B) $(x+4)(x+9)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x+4)(x+9) = x(x+9) + 4(x+9)$
$= x^{2} + 9x + 4x + 36$
$= x^{2} + 13x + 36$

(A) $(3x - 1)(3x + 4)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(3x - 1)(3x + 4) = (3x)(3x) + (3x)(4) + (-1)(3x) + (-1)(4)$
$= 9x^2 + 12x - 3x - 4$
$= 9x^2 + 9x - 4$

(A) $(2x - 7)(2x - 5)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મ ($FOIL$ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર: $(2x) \times (2x) = 4x^2$.
$2$. બહારના પદોનો ગુણાકાર: $(2x) \times (-5) = -10x$.
$3$. અંદરના પદોનો ગુણાકાર: $(-7) \times (2x) = -14x$.
$4$. છેલ્લા પદોનો ગુણાકાર: $(-7) \times (-5) = 35$.
આ પરિણામોને જોડતા: $4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35$.

(N/A) $(2a + 3b)(2a - 5b)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર: $(2a) \times (2a) = 4a^2$.
$2$. બહારના પદોનો ગુણાકાર: $(2a) \times (-5b) = -10ab$.
$3$. અંદરના પદોનો ગુણાકાર: $(3b) \times (2a) = 6ab$.
$4$. છેલ્લા પદોનો ગુણાકાર: $(3b) \times (-5b) = -15b^2$.
આ પરિણામોને જોડતા: $4a^2 - 10ab + 6ab - 15b^2$.
છેલ્લે,વચ્ચેના પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $-10ab + 6ab = -4ab$.
આમ,વિસ્તરણ સ્વરૂપ $4a^2 - 4ab - 15b^2$ છે.

(C) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $103 \times 105$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,આપણે $103 = (100 + 3)$ અને $105 = (100 + 5)$ લખી શકીએ છીએ.
આને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 100$,$a = 3$,અને $b = 5$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(100 + 3)(100 + 5) = (100)^2 + (3 + 5)(100) + (3 \times 5)$
$= 10000 + (8 \times 100) + 15$
$= 10000 + 800 + 15$
$= 10815$.

(D) $84 \times 79$ ની કિંમત સીધા ગુણાકાર વગર શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને દ્વિપદી તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આપણે $84$ ને $(80 + 4)$ અને $79$ ને $(80 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 80$,$a = 4$,અને $b = -1$ છે:
$(80 + 4)(80 - 1) = 80^2 + (4 - 1)80 + (4 \times -1)$
$= 6400 + (3 \times 80) - 4$
$= 6400 + 240 - 4$
$= 6640 - 4$
$= 6636$.

(A) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $76 \times 82$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(79 - 3)$ અને $(79 + 3)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 79$ અને $b = 3$ છે:
$76 \times 82 = (79 - 3)(79 + 3)$
$= 79^2 - 3^2$
$= 6241 - 9$
$= 6232$.

(B) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $88 \times 86$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(90 - 2) \times (90 - 4)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 90$,$a = -2$,અને $b = -4$ છે:
$(90 - 2)(90 - 4) = 90^2 + (-2 - 4) \times 90 + (-2 \times -4)$
$= 8100 + (-6 \times 90) + 8$
$= 8100 - 540 + 8$
$= 7560 + 8$
$= 7568$.

(A) $(3x + 5)^2$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$
$= 9x^2 + 30x + 25$.

(B) $(6x - 7)^2$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 6x$ અને $b = 7$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(6x - 7)^2 = (6x)^2 - 2(6x)(7) + (7)^2$
$= 36x^2 - 84x + 49$.
આમ,વિસ્તરણ સ્વરૂપ $36x^2 - 84x + 49$ છે.

(B) $(2a + 3b)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 2a$ અને $y = 3b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2$
$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

(A) પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{x}{2}$ અને $b = \frac{2}{5}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} - 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{5}\right)^{2}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{4x}{10} + \frac{4}{25}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{2x}{5} + \frac{4}{25}$.

(A) $\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{3y}{4}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2} = \left(\frac{2x}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2x}{3}\right)\left(\frac{3y}{4}\right) + \left(\frac{3y}{4}\right)^{2}$
$= \frac{4x^{2}}{9} + 2\left(\frac{6xy}{12}\right) + \frac{9y^{2}}{16}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + 2\left(\frac{xy}{2}\right) + \frac{9}{16}y^{2}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + xy + \frac{9}{16}y^{2}$.

(A) $(x - \frac{1}{2})^{2}$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$ અને $b = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x - \frac{1}{2})^{2} = (x)^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2}$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x^{2} - x + \frac{1}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $16 x^{2}-40 x y+25 y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $(4 x)^{2}-2(4 x)(5 y)+(5 y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=4 x$ અને $b=5 y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(4 x-5 y)^{2}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $9x^{2} + 42x + 49$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ને અનુસરે છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$9x^{2} + 42x + 49 = (3x)^{2} + 2(3x)(7) + (7)^{2}$.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 7$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(3x + 7)^{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{4x^2}{9} - \frac{x}{3} + \frac{1}{16}$ છે.
આને $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
અહીં,$a^2 = \frac{4x^2}{9} \implies a = \frac{2x}{3}$.
અને $b^2 = \frac{1}{16} \implies b = \frac{1}{4}$.
વચ્ચેનું પદ તપાસતા: $-2ab = -2 \times \left(\frac{2x}{3}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{4x}{12} = -\frac{x}{3}$.
વચ્ચેનું પદ સમાન હોવાથી,પદાવલિ $\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\right)^2$ થશે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x y}{5}+\frac{9 y^{2}}{25}$ છે.
આને $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
અહીં,$a^{2} = \frac{x^{2}}{4} \implies a = \frac{x}{2}$.
અને $b^{2} = \frac{9 y^{2}}{25} \implies b = \frac{3 y}{5}$.
હવે,મધ્યમ પદ $2ab = 2 \times \left(\frac{x}{2}\right) \times \left(\frac{3 y}{5}\right) = \frac{3 x y}{5}$ તપાસો.
મધ્યમ પદ સમાન હોવાથી,પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{5}\right)^{2}$ થશે.

(A) $(65)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,આપણે $65$ ને $(60 + 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$(65)^{2} = (60 + 5)^{2}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $(60)^{2} + 2(60)(5) + (5)^{2}$.
$= 3600 + 600 + 25$.
$= 4225$.
વૈકલ્પિક રીતે,$5$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યા માટે,તેનો વર્ગ $(n5)^{2} = [n(n+1)] \times 100 + 25$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$65$ માટે,$n = 6$,તેથી $[6(6+1)] \times 100 + 25 = (6 \times 7) \times 100 + 25 = 4200 + 25 = 4225$.

(B) $(101)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $101$ ને $(100 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 1$ છે:
$(100 + 1)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(1) + (1)^{2}$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$.

(C) $(1002)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $1002$ ને $(1000 + 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 2$ છે:
$(1000 + 2)^{2} = (1000)^{2} + 2(1000)(2) + (2)^{2}$
$= 1000000 + 4000 + 4$
$= 1004004$.

(D) $(98)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $98$ ને $(100 - 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 2$ છે:
$(100 - 2)^{2} = (100)^{2} - 2(100)(2) + (2)^{2}$
$= 10000 - 400 + 4$
$= 9600 + 4$
$= 9604$.

(A) $(x+5y)(x-5y)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બેજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$ અને $b = 5y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+5y)(x-5y) = (x)^2 - (5y)^2$
$= x^2 - 25y^2$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(a + b)(a - b)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{4y}{5}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2x}{3}\right)^2 - \left(\frac{4y}{5}\right)^2$
$= \frac{4x^2}{9} - \frac{16y^2}{25}$
$= \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{25}y^2$.

(N/A) $(3x + 7)(-3x + 7)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીને બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,પદાવલિને $(7 + 3x)(7 - 3x)$ તરીકે ફરીથી લખો.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 3x$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $(7)^2 - (3x)^2 = 49 - 9x^2$.

(A) $(11 x+18)(11 x-18)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 11 x$ અને $b = 18$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(11 x)^{2} - (18)^{2}$
$= 121 x^{2} - 324$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25}$ છે.
આને $a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $a^2 = \frac{4x^2}{9}$ અને $b^2 = \frac{1}{25}$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{1}{5}$ મળે છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકીએ છીએ.
તેથી,$\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25} = \left(\frac{2x}{3} + \frac{1}{5}\right)\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{5}\right)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $169 x^{2}-625$ છે.
આપણે તેને $(13 x)^{2}-(25)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 13 x$ અને $b = 25$ છે,આપણને મળે છે:
$(13 x)^{2}-(25)^{2} = (13 x+25)(13 x-25)$.