Algebraic Identities Questions in Gujarati

(A) $103 \times 97$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $103$ ને $(100 + 3)$ અને $97$ ને $(100 - 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3)$
$= 100^2 - 3^2$
$= 10000 - 9$
$= 9991$.

(B) $205 \times 195$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $205$ ને $(200 + 5)$ અને $195$ ને $(200 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$205 \times 195 = (200 + 5)(200 - 5)$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને $200^2 - 5^2$ મળે છે.
$200^2 = 40000$ અને $5^2 = 25$.
તેથી,$40000 - 25 = 39975$.

(C) $77 \times 83$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $77$ ને $(80 - 3)$ તરીકે અને $83$ ને $(80 + 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$77 \times 83 = (80 - 3)(80 + 3)$
$= 80^2 - 3^2$
$= 6400 - 9$
$= 6391$.

(D) $153 \times 147$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$153 = 150 + 3$
$147 = 150 - 3$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(150 + 3)(150 - 3) = 150^2 - 3^2$
વર્ગોની ગણતરી કરતા:
$150^2 = 22500$
$3^2 = 9$
કિંમતોની બાદબાકી કરતા:
$22500 - 9 = 22491$
તેથી,$153 \times 147 = 22491$.

(N/A) $(2x + 3y + 5)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
અહીં,$a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x + 3y + 5)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (5)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(5) + 2(5)(2x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(5)^2 = 25$
$2(2x)(3y) = 12xy$
$2(3y)(5) = 30y$
$2(5)(2x) = 20x$
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને મળે છે: $4x^2 + 9y^2 + 25 + 12xy + 30y + 20x$.

પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{x}{2}$,$b = \frac{2y}{3}$,અને $c = -\frac{3z}{4}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\frac{2y}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{3z}{4}\right)^{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2y}{3}\right) + 2\left(\frac{2y}{3}\right)\left(-\frac{3z}{4}\right) + 2\left(-\frac{3z}{4}\right)\left(\frac{x}{2}\right)$
$= \frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{9} + \frac{9z^{2}}{16} + \frac{2xy}{3} - yz - \frac{3zx}{4}$

(A) $(5x - 7y - z)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 5x$,$b = -7y$,અને $c = -z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(5x - 7y - z)^2 = (5x)^2 + (-7y)^2 + (-z)^2 + 2(5x)(-7y) + 2(-7y)(-z) + 2(-z)(5x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(5x)^2 = 25x^2$
$(-7y)^2 = 49y^2$
$(-z)^2 = z^2$
$2(5x)(-7y) = -70xy$
$2(-7y)(-z) = 14yz$
$2(-z)(5x) = -10zx$
આ બધાને ભેગા કરતા,આપણને મળે છે: $25x^2 + 49y^2 + z^2 - 70xy + 14yz - 10zx$.

(A) $(a - 2b + 7c)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = a$,$y = -2b$,અને $z = 7c$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(a - 2b + 7c)^2 = (a)^2 + (-2b)^2 + (7c)^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(7c) + 2(7c)(a)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= a^2 + 4b^2 + 49c^2 - 4ab - 28bc + 14ca$.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+4 y^{2}+25 z^{2}+4 x y-20 y z-10 z x$ છે.
આપણે તેને નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a = x$,$b = 2y$,અને $c = -5z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^{2} + (2y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(2y) + 2(2y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 25z^{2} + 4xy - 20yz - 10zx$.
આમ,આ પદાવલિ $(x+2y-5z)^{2}$ ને સમાન છે.
તેથી,તેના અવયવો $(x+2y-5z)(x+2y-5z)$ છે.

(A) આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
આપેલ પદાવલિ: $4x^2 + 9y^2 + 49z^2 - 12xy + 42yz - 28zx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(2x)^2 + (-3y)^2 + (-7z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(-7z) + 2(-7z)(2x)$.
અહીં,$a = 2x$,$b = -3y$,અને $c = -7z$ છે.
તેથી,આ પદાવલિ $(2x - 3y - 7z)^2$ ને સમાન છે,જે $(2x - 3y - 7z)(2x - 3y - 7z)$ થાય છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $25 x^{2}+9 y^{2}+64+30 x y-48 y-80 x$ છે.
આને $(5 x)^{2}+(3 y)^{2}+(-8)^{2}+2(5 x)(3 y)+2(3 y)(-8)+2(5 x)(-8)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 5 x$,$b = 3 y$,અને $c = -8$ છે.
તેથી,પદાવલિ $(5 x+3 y-8)^{2}$ બને છે,જે $(5 x+3 y-8)(5 x+3 y-8)$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ પદાવલિ $x^{2} + (\frac{y}{2})^{2} + (\frac{z}{4})^{2} + 2(x)(\frac{y}{2}) + 2(\frac{y}{2})(\frac{z}{4}) + 2(\frac{z}{4})(x)$ ને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$a = x$,$b = \frac{y}{2}$,અને $c = \frac{z}{4}$ છે.
આમ,પદાવલિને $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,તેના અવયવો $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})$ થાય.

(A) $(153)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $153$ ને $(150 + 3)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(153)^{2} = (150 + 3)^{2}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(150)^{2} + 2(150)(3) + (3)^{2}$
$= 22500 + 900 + 9$
$= 23409$.
તેથી,સાચી કિંમત $23409$ છે.

(B) $(215)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $215$ ને $(200 + 15)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$(200 + 15)^{2} = (200)^{2} + 2(200)(15) + (15)^{2}$.
$= 40000 + 6000 + 225$.
$= 46225$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $(421)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $421$ ને $(400 + 21)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ લાગુ કરતા: $(400 + 21)^{2} = (400)^{2} + 2(400)(21) + (21)^{2}$.
$(400)^{2} = 160000$.
$2 \times 400 \times 21 = 800 \times 21 = 16800$.
$(21)^{2} = 441$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $160000 + 16800 + 441 = 177241$.
તેથી,$(421)^{2} = 177241$.

(A) $(555)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $555$ ને $(500 + 55)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$(555)^{2} = (500 + 55)^{2}$
$= (500)^{2} + 2(500)(55) + (55)^{2}$
$= 250000 + 55000 + 3025$
$= 305000 + 3025$
$= 308025$.

(N/A) $(3a + 5b)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 3a$ અને $y = 5b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a + 5b)^3 = (3a)^3 + (5b)^3 + 3(3a)(5b)(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 45ab(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 135a^2b + 225ab^2$.

$(2x + 7)^3$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 2x$ અને $b = 7$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x + 7)^3 = (2x)^3 + (7)^3 + 3(2x)^2(7) + 3(2x)(7)^2$
$= 8x^3 + 343 + 3(4x^2)(7) + 3(2x)(49)$
$= 8x^3 + 343 + 84x^2 + 294x$
પદોને ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$= 8x^3 + 84x^2 + 294x + 343$.

(N/A) $(4x - 3y)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નીચેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b) = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
અહીં,$a = 4x$ અને $b = 3y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(4x - 3y)^{3} = (4x)^{3} - 3(4x)^{2}(3y) + 3(4x)(3y)^{2} - (3y)^{3}$
$= 64x^{3} - 3(16x^{2})(3y) + 3(4x)(9y^{2}) - 27y^{3}$
$= 64x^{3} - 144x^{2}y + 108xy^{2} - 27y^{3}$

(N/A) $(7x - 4y)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$.
અહીં,$a = 7x$ અને $b = 4y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(7x - 4y)^{3} = (7x)^{3} - (4y)^{3} - 3(7x)^{2}(4y) + 3(7x)(4y)^{2}$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 3(49x^{2})(4y) + 3(7x)(16y^{2})$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 588x^{2}y + 336xy^{2}$.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $8x^3 + 343y^3 + 84x^2y + 294xy^2$ છે.
આપણે તેને $(2x)^3 + (7y)^3 + 3(2x)^2(7y) + 3(2x)(7y)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$ અને $b = 7y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2x + 7y)^3$ મળે છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(2x + 7y)(2x + 7y)(2x + 7y)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{3} - 125y^{3} - 15x^{2}y + 75xy^{2}$ છે.
આપણે તેને $x^{3} - (5y)^{3} - 3(x^{2})(5y) + 3(x)(5y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 5y$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(x - 5y)^{3}$ થાય,જેને $(x - 5y)(x - 5y)(x - 5y)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $64 x^{3} + 125 y^{3} + 240 x^{2} y + 300 x y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $(4x)^{3} + (5y)^{3} + 3(4x)^{2}(5y) + 3(4x)(5y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 4x$ અને $b = 5y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(4x + 5y)^{3}$ મળે છે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $(4x + 5y)(4x + 5y)(4x + 5y)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $27 x^{3}-8 y^{3}-54 x^{2} y+36 x y^{2}$ છે.
આને $(3x)^3 - (2y)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ યાદ કરો: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 2y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $(3x - 2y)^3$ મળે છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(3x - 2y)(3x - 2y)(3x - 2y)$ છે.

(A) $(995)^{3}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $995$ ને $(1000 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 1000$ અને $b = 5$ છે.
$(1000 - 5)^{3} = (1000)^{3} - (5)^{3} - 3(1000)(5)(1000 - 5)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 15000(995)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 14,925,000$
$= 1,000,000,000 - 14,925,125$
$= 985,074,875$.

(B) $(105)^{3}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $105$ ને $(100 + 5)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 100$ અને $b = 5$ છે.
$(100 + 5)^{3} = (100)^{3} + (5)^{3} + 3(100)(5)(100 + 5)$
$= 1000000 + 125 + 1500(105)$
$= 1000000 + 125 + 157500$
$= 1157625$

(N/A) આપેલ પદાવલિ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5z$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5z$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8 x^{3}+27 y^{3}+125 z^{3}-3(2x)(3y)(5z) = (2x+3y+5z)((2x)^{2}+(3y)^{2}+(5z)^{2}-(2x)(3y)-(3y)(5z)-(5z)(2x))$
$= (2x+3y+5z)(4x^{2}+9y^{2}+25z^{2}-6xy-15yz-10zx)$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$.
આપેલ પદાવલિ: $27 x^{3}-y^{3}+64 z^{3}+36 x y z = (3 x)^{3}+(-y)^{3}+(4 z)^{3}-3(3 x)(-y)(4 z)$.
અહીં,$a = 3 x$,$b = -y$,અને $c = 4 z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (3 x-y+4 z)((3 x)^{2}+(-y)^{2}+(4 z)^{2}-(3 x)(-y)-(-y)(4 z)-(4 z)(3 x))$.
$= (3 x-y+4 z)(9 x^{2}+y^{2}+16 z^{2}+3 x y+4 y z-12 z x)$.

(B) આપેલ પદાવલિ $x^{3}-8 y^{3}-27-18 x y$ છે.
આને $x^{3} + (-2y)^{3} + (-3)^{3} - 3(x)(-2y)(-3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં આપણે નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$,$b = -2y$,અને $c = -3$ છે.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + (-2y)^{2} + (-3)^{2} - (x)(-2y) - (-2y)(-3) - (-3)(x))$
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + 4y^{2} + 9 + 2xy - 6y + 3x)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$,$b = 5y$,અને $c = 7$ છે.
આપણે નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
અહીં,$3abc = 3(2x)(5y)(7) = 210xy$ થાય છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$8x^{3} + 125y^{3} + 343 - 210xy = (2x + 5y + 7)((2x)^{2} + (5y)^{2} + (7)^{2} - (2x)(5y) - (5y)(7) - (7)(2x))$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (2x + 5y + 7)(4x^{2} + 25y^{2} + 49 - 10xy - 35y - 14x)$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: જો $a+b+c=0$ હોય,તો $a^3+b^3+c^3=3abc$ થાય.
ધારો કે $a = (x-2y)$,$b = (2y-3z)$,અને $c = (3z-x)$.
હવે,સરવાળો $a+b+c$ શોધીએ:
$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x)$
$a+b+c = x - x - 2y + 2y - 3z + 3z = 0$.
અહીં સરવાળો $0$ હોવાથી,પદાવલિ $(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3$ નું મૂલ્ય $3abc$ થશે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$ મળે છે.

(D) અમે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
આપેલ પદાવલિ: $(31)^3 + (-16)^3 + (-15)^3$.
ધારો કે $x = 31$,$y = -16$,અને $z = -15$.
સરવાળો તપાસો: $x + y + z = 31 + (-16) + (-15) = 31 - 31 = 0$.
જેથી સરવાળો $0$ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત $3xyz$ થશે.
કિંમત $= 3 \times (31) \times (-16) \times (-15)$.
કિંમત $= 3 \times 31 \times 240$.
કિંમત $= 93 \times 240 = 22320$.

(A) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ થાય.
આપેલ પદાવલિ: $(14)^{3} + (27)^{3} - (41)^{3}$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $(14)^{3} + (27)^{3} + (-41)^{3}$.
ધારો કે $x = 14$,$y = 27$,અને $z = -41$.
સરવાળો ચકાસો: $x + y + z = 14 + 27 + (-41) = 41 - 41 = 0$.
કારણ કે સરવાળો $0$ છે,તેથી પદાવલિની કિંમત $3xyz$ થશે.
કિંમત $= 3 \times (14) \times (27) \times (-41)$.
કિંમત $= 3 \times 378 \times (-41) = 1134 \times (-41) = -46494$.

(B) ધારો કે $x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{1}{3}$,અને $z = -\frac{5}{6}$.
પ્રથમ,$x, y,$ અને $z$ નો સરવાળો તપાસો:
$x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3+2-5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
કિંમતો મૂકતા:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \left(\frac{1}{6}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(C) ધારો કે $a = 0.2$,$b = -0.3$,અને $c = 0.1$ છે.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ મુજબ: જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$.
ગુણાકાર કરતા: $3 \times 0.2 = 0.6$; $0.6 \times (-0.3) = -0.18$; $-0.18 \times 0.1 = -0.018$.
આમ,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં, $\text{ક્ષેત્રફળ} = 9x^2 + 30x + 25$ આપેલ છે.
આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = 3x$ અને $b = 5$ છે:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x + 5)^2$.
તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ} = (\text{બાજુ})^2$ હોવાથી, બાજુની લંબાઈ $(3x + 5)$ એકમ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+y = -4$ છે.
બંને બાજુ ઘન લેતા,$(x+y)^3 = (-4)^3$ મળે.
નિત્યસમ $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = -64$ મળે.
સમીકરણમાં $(x+y) = -4$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^3 + y^3 + 3xy(-4) = -64$.
$x^3 + y^3 - 12xy = -64$.
બંને બાજુ $64$ ઉમેરતા,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = -64 + 64$ મળે.
તેથી,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = 2y + 6$ ને $x - 2y = 6$ તરીકે લખી શકાય.
$x^3 - 8y^3 - 36xy - 216$ ની કિંમત શોધવા માટે,તેને $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 - 3(x)(-2y)(-6)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
બીજગણિતીય નિત્યસમ યાદ કરો: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.
અહીં $a = x$,$b = -2y$,અને $c = -6$ લો.
તો $a + b + c = x - 2y - 6$ થાય. કારણ કે $x - 2y = 6$,તેથી $a + b + c = 6 - 6 = 0$ થાય.
જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 = 3(x)(-2y)(-6)$.
$x^3 - 8y^3 - 216 = 36xy$.
પદોને ગોઠવતા: $x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = 0$.

(B) $85 \times 75$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $85$ ને $(80 + 5)$ અને $75$ ને $(80 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$85 \times 75 = (80 + 5)(80 - 5)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 80$ અને $b = 5$ છે:
$= 80^2 - 5^2$
$= 6400 - 25$
$= 6375$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $4x^{2} - 20x + 25$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$a^{2} = 4x^{2} \implies a = 2x$.
તે જ રીતે,$b^{2} = 25 \implies b = 5$.
મધ્યમ પદ તપાસતા: $-2ab = -2(2x)(5) = -20x$,જે આપેલી પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 5x$ અને $b = 3$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(5x+3)(5x-3) = (5x)^{2} - (3)^{2}$
$= 25x^{2} - 9$.

(B) આપેલ પદાવલિ $49x^2 - 121$ છે.
આને $a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$49x^2 - 121 = (7x)^2 - (11)^2$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 7x$ અને $b = 11$ છે,આપણને મળે છે:
$(7x)^2 - (11)^2 = (7x + 11)(7x - 11)$.
તેથી,અવયવો $(7x + 11)(7x - 11)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(5x - 3)^2 = 25x^2 + kx + 9$.
અહીં આપણે નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 5x$ અને $b = 3$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(3) + (3)^2$.
$(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9$.
આને આપેલ પદાવલિ $25x^2 + kx + 9$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$25x^2 - 30x + 9 = 25x^2 + kx + 9$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$k = -30$ મળે છે.

(A) $k$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(2x + 3)(3x - 1) = 2x(3x) + 2x(-1) + 3(3x) + 3(-1)$
$= 6x^2 - 2x + 9x - 3$
$= 6x^2 + 7x - 3$
આને આપેલા સમીકરણ $6x^2 + kx - 3$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x$ નો સહગુણક જમણી બાજુ $k$ છે અને વિસ્તરણ કરેલી ડાબી બાજુ $7$ છે.
તેથી,$k = 7$.