Congruence of Triangles Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ $\Delta AOD$ અને $\Delta BOC$ માં:
$OA = OB$ (આપેલ છે)
$OD = OC$ (આપેલ છે)
વળી,$\angle AOD = \angle BOC$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOD \cong \Delta BOC$.
$(ii)$ $\Delta AOD \cong \Delta BOC$ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$\angle OAD = \angle OBC$.
આ ખૂણાઓ રેખાખંડ $AD$ અને $BC$ ની છેદિકા $AB$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે.
યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી,$AD \parallel BC$ થાય.

(N/A) રેખા $l$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે અને તે $C$ માંથી પસાર થાય છે,જે $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે (આકૃતિ જુઓ).
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $PA = PB$.
$\Delta PCA$ અને $\Delta PCB$ નો વિચાર કરો.
આ ત્રિકોણોમાં:
$AC = BC$ ($C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$ (આપેલ છે,કારણ કે $l$ લંબદ્વિભાજક છે)
$PC = PC$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PCA \cong \Delta PCB$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $ACBD$ માં,આપણને આપેલ છે:
$AC = AD$
$AB$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle CAB = \angle DAB$.
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta ABD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $AC = AD$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle CAB = \angle DAB$ (કારણ કે $AB$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે)
$3$. $AB = AB$ (સામાન્ય બાજુ)
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો) દ્વારા તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન થાય છે.
તેથી,$BC = BD$.

(N/A) આપેલ છે: $AD \perp AB$,$BC \perp AB$ અને $AD = BC$.
સાબિત કરવાનું છે: $CD$ એ $AB$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $OA = OB$.
સાબિતી:
$\Delta OBC$ અને $\Delta OAD$ માં:
$1$. $\angle OBC = \angle OAD = 90^\circ$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle BOC = \angle AOD$ (અભિકોણો)
$3$. $BC = AD$ (આપેલ છે)
$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OBC \cong \Delta OAD$.
તેથી,$OB = OA$ ($c.p.c.t.$ દ્વારા).
કારણ કે $OB = OA$,તેથી $O$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$CD$ એ $AB$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપેલ છે: રેખા $l$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે. $BP \perp AQ$ અને $BQ \perp AP$.
$(i)$ $\Delta APB$ અને $\Delta AQB$ માં:
$\angle APB = \angle AQB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$\angle PAB = \angle QAB$ ($l$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે)
$AB = AB$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APB \cong \Delta AQB$.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta APB \cong \Delta AQB$,તેથી $CPCT$ મુજબ તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન છે.
તેથી,$BP = BQ$.
આ દર્શાવે છે કે બિંદુ $B$ એ $\angle A$ ની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલું છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $\angle BAD = \angle EAC$.
બંને બાજુ $\angle DAC$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle DAE$
હવે,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADE$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle BAC = \angle DAE$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$AB = AD$ [આપેલ છે]
$AC = AE$ [આપેલ છે]
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADE$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતા]
કારણ કે $\triangle ABC \cong \triangle ADE$,તેથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
$\Rightarrow BC = DE$.

(N/A) આપેલ છે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\therefore AP = BP$
$\angle EPA = \angle DPB$ [આપેલ છે]
બંને બાજુ $\angle EPD$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
$\Rightarrow \angle APD = \angle BPE$
$(i)$ $\Delta DAP$ અને $\Delta EBP$ માં:
$AP = BP$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$\angle PAD = \angle PBE$ [આપેલ છે કે $\angle BAD = \angle ABE$]
$\angle APD = \angle BPE$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ કારણ કે $\Delta DAP \cong \Delta EBP$,તેથી તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$:
$\Rightarrow AD = BE$

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle C = 90^\circ$ અને $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે $(AM = BM)$. $CM$ ને $D$ સુધી એવી રીતે લંબાવવામાં આવે છે કે $DM = CM$ થાય.
$(i)$ $\Delta AMC$ અને $\Delta BMD$ માં:
$AM = BM$ (આપેલ છે,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AMC = \angle BMD$ (અભિકોણો)
$CM = DM$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AMC \cong \Delta BMD$.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta AMC \cong \Delta BMD$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન છે $(c.p.c.t.)$.
તેથી,$\angle MAC = \angle MBD$. આ યુગ્મકોણો છે,જે સૂચવે છે કે $AC \parallel DB$.
કારણ કે $AC \parallel DB$ અને $BC$ એ છેદિકા છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^\circ$ થાય.
$\angle ACB + \angle DBC = 180^\circ$
$90^\circ + \angle DBC = 180^\circ$
$\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
$(iii)$ $\Delta DBC$ અને $\Delta ACB$ માં:
$DB = AC$ ($\Delta AMC \cong \Delta BMD$ પરથી $c.p.c.t.$)
$\angle DBC = \angle ACB = 90^\circ$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BC = CB$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DBC \cong \Delta ACB$.
$(iv)$ કારણ કે $\Delta DBC \cong \Delta ACB$,તેથી તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન છે $(c.p.c.t.)$.
તેથી,$DC = AB$.
કારણ કે $DM = CM$,તેથી $CM = \frac{1}{2} DC$.
$DC = AB$ મૂકતા,આપણને $CM = \frac{1}{2} AB$ મળે છે.

(N/A) $(i)$ $\Delta ABC$ માં,આપણી પાસે છે
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$\therefore \angle C = \angle B$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \angle B$
અથવા $\angle OCB = \angle OBC$
$\Rightarrow OB = OC$ [સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$(ii)$ $\Delta ABO$ અને $\Delta ACO$ માં,આપણી પાસે છે
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$OB = OC$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$\angle OBA = \angle OCA$ [કારણ કે $\frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle C$]
$\therefore SAS$ એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતા,
$\Delta ABO \cong \Delta ACO$
$\Rightarrow \angle OAB = \angle OAC$ [c.p.c.t. દ્વારા]
$\Rightarrow AO$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.

(N/A) $(i)$ $\Delta ABE$ અને $\Delta ACF$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (કારણ કે $BE \perp AC$ અને $CF \perp AB$)
$\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)
$BE = CF$ (આપેલ છે)
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$.
$(ii)$ કારણ કે $\Delta ABE \cong \Delta ACF$,તેથી તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$AB = AC$.
આમ,$ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ અને $\Delta ACD$ માં:
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$AD = AD$ [સામાન્ય બાજુ]
$BD = CD$ [આપેલ છે]
$\therefore \Delta ABD \cong \Delta ACD$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત]
$(ii)$ $\Delta ABP$ અને $\Delta ACP$ માં:
$AB = AC$ [આપેલ છે]
$\angle BAP = \angle CAP$ [કારણ કે $\Delta ABD \cong \Delta ACD$,તેથી તેમના અનુરૂપ ભાગો સમાન છે]
$AP = AP$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta ABP \cong \Delta ACP$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત]
$(iii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ભાગો એકરૂપ છે.
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CAP$,તેથી $AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
વળી,$\Delta BDP$ અને $\Delta CDP$ માં:
$BD = CD$ [આપેલ છે]
$DP = DP$ [સામાન્ય બાજુ]
$BP = CP$ [કારણ કે $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,તેથી $CPCT$ મુજબ $BP = CP$]
$\therefore \Delta BDP \cong \Delta CDP$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત]
$\Rightarrow \angle BDP = \angle CDP$,તેથી $AP$ એ $\angle D$ નો દ્વિભાજક છે.
$(iv)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$ હોવાથી,$\angle APB = \angle APC$ [$CPCT$ મુજબ].
$\angle APB + \angle APC = 180^\circ$ [રેખિક જોડના ખૂણા],
તેથી $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$.
વળી $BP = CP$ [$CPCT$ મુજબ].
આમ,$AP$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

(B) આપેલ આકારોમાં $1\,cm$ બાજુવાળા કેટલા સમબાજુ ત્રિકોણો સમાઈ શકે તે શોધવા માટે,આપણે આકારોનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને એક નાના સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ વડે ભાગીશું.
$1$. $s = 5\,cm$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણ માટે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25 = 37.5\sqrt{3} \approx 64.95\,cm^2$.
$1\,cm$ બાજુવાળા દરેક નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = 0.25\sqrt{3} \approx 0.433\,cm^2$ છે.
આકૃતિ $(i)$ માં ત્રિકોણોની સંખ્યા $= \frac{37.5\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 150$.
$2$. આકૃતિ $(ii)$ માં તારા આકારની આકૃતિ માટે:
આ આકૃતિ $5\,cm$ બાજુવાળા મધ્યવર્તી ષટ્કોણ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા $5\,cm$ બાજુવાળા $6$ સમબાજુ ત્રિકોણોની બનેલી છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} + 6 \times (5\,cm \text{ બાજુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 37.5\sqrt{3} + 6 \times (6.25\sqrt{3}) = 37.5\sqrt{3} + 37.5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129.9\,cm^2$.
આકૃતિ $(ii)$ માં ત્રિકોણોની સંખ્યા $= \frac{75\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 300$.
તેથી,તારા આકારની આકૃતિ $(ii)$ માં વધુ ત્રિકોણો છે.

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC \cong \triangle FDE$.
$1$. $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
$2$. કારણ કે $\triangle ABC \cong \triangle FDE$,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
$3$. અહીં સંગતતા $A \leftrightarrow F$,$B \leftrightarrow D$,અને $C \leftrightarrow E$ છે.
$4$. તેથી,$AB$ ને અનુરૂપ બાજુ $FD$ (અથવા $DF$) છે. આમ,$DF = AB = 5 \, cm$.
$5$. તેમજ,$\angle C$ ને અનુરૂપ ખૂણો $\angle E$ છે. તેથી,$\angle E = \angle C = 60^{\circ}$.
$6$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$DF = 5 \, cm$ અને $\angle E = 60^{\circ}$ સાચું છે.

(B) $BC = QR$ કહેવું અસત્ય છે.
કારણ કે $\triangle ABC \cong \triangle RPQ$ હોવાથી,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓને સરખાવતા,આપણને $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$ મળે છે.
તેથી,બાજુ $BC$ એ બાજુ $PQ$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,$BC = PQ$ થાય,$QR$ નહીં.

(A) હા,એ સત્ય છે કે $PR = EF$.
કારણ કે $\Delta PQR \cong \Delta EDF$,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓ આ મુજબ અનુરૂપ છે: $P \leftrightarrow E$,$Q \leftrightarrow D$,અને $R \leftrightarrow F$.
તેથી,બાજુ $PR$ એ બાજુ $EF$ ને અનુરૂપ છે,જેનો અર્થ છે કે $PR = EF$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે અને બીજા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ છે.
એક-એક સંગતતા એ બે ત્રિકોણોના શિરોબિંદુઓના ગણ વચ્ચેનું મેપિંગ છે.
પ્રથમ ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓને બીજા ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવાની રીતોની સંખ્યા $3$ ઘટકોના ક્રમચય (permutations) દ્વારા મળે છે,જે $3!$ છે.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,બે ત્રિકોણો વચ્ચે $6$ શક્ય એક-એક સંગતતાઓ હોય છે.

(B) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow PRQ$ માં,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે:
$A$ ને $P$ સંગત છે
$B$ ને $R$ સંગત છે
$C$ ને $Q$ સંગત છે
તેથી,બાજુ $AB$ એ $A$ અને $B$ ના સંગત શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતી બાજુ $PR$ ને સંગત છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta YZX$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓની સરખામણી કરતા: $A$ ને અનુરૂપ $Y$,$B$ ને અનુરૂપ $Z$,અને $C$ ને અનુરૂપ $X$ છે.
તેથી,બાજુ $AB$ એ બાજુ $YZ$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,બાજુ $AB = YZ$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $\Delta RPQ$ ની અનુરૂપ બાજુઓને સમાન છે.
ખાસ કરીને,$AB = RP$,$BC = PQ$,અને $AC = RQ$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની ત્રણેય બાજુઓનો સરવાળો છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 18 \, cm$.
$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ હોવાથી,$\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ એ $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ જેટલી જ થાય.
$\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ = $RP + PQ + RQ = AB + BC + AC = 18 \, cm$.
નોંધો કે $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ એ $\Delta RPQ$ ની પરિમિતિ જેટલી જ છે કારણ કે બાજુઓની લંબાઈનો સમૂહ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $18 \, cm$ છે.

(C) બે ત્રિકોણો એકરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેઓ આકાર અને કદમાં સમાન હોય.
જો $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેમની તમામ અનુરૂપ બાજુઓ અને ખૂણાઓ સમાન છે.
એકરૂપતાના પરિણામ સ્વરૂપે,બે એકરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 58 \ cm^2$ છે.
તેથી,$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= 58 \ cm^2$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે: $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$.
તેથી,$\Delta ABC$ ની બાજુ $AB$ એ $\Delta RPQ$ ની બાજુ $RP$ ને સંગત છે.
$\Delta RPQ$ એ $\Delta PQR$ જેવો જ ત્રિકોણ હોવાથી (કારણ કે શિરોબિંદુઓનો સમૂહ સમાન છે),બાજુ $RP$ એ $\Delta PQR$ માં બાજુ $PR$ સમાન છે.
આમ,બાજુ $AB$ એ બાજુ $RP$ ને સમાન છે.