Congruence of Triangles Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ $\Delta AOD$ और $\Delta BOC$ में:
$OA = OB$ (दिया है)
$OD = OC$ (दिया है)
साथ ही,$\angle AOD = \angle BOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOD \cong \Delta BOC$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta AOD \cong \Delta BOC$ है,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle OAD = \angle OBC$ है।
ये रेखाखंड $AD$ और $BC$ की तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा बनाए गए एकांतर अंतःकोण हैं।
चूँकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए $AD \parallel BC$ है।

(N/A) रेखा $l$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है और यह $C$ से होकर गुजरती है,जो $AB$ का मध्य-बिंदु है (आकृति देखें)।
हमें यह दर्शाना है कि $PA = PB$ है।
$\Delta PCA$ और $\Delta PCB$ पर विचार करें।
इन त्रिभुजों में:
$AC = BC$ ($C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$ (दिया है,क्योंकि $l$ लंब समद्विभाजक है)
$PC = PC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta PCA \cong \Delta PCB$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है कि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है।

(N/A) चतुर्भुज $ACBD$ में,हमें दिया गया है:
$AC = AD$
$AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $\angle CAB = \angle DAB$ है।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें:
$1$. $AC = AD$ (दिया है)
$2$. $\angle CAB = \angle DAB$ (चूंकि $AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$3$. $AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$BC = BD$ है।

(N/A) दिया है: $AD \perp AB$,$BC \perp AB$ और $AD = BC$।
सिद्ध करना है: $CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $OA = OB$।
उपपत्ति:
$\Delta OBC$ और $\Delta OAD$ में:
$1$. $\angle OBC = \angle OAD = 90^\circ$ (दिया है)
$2$. $\angle BOC = \angle AOD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BC = AD$ (दिया है)
$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OAD$।
अतः,$OB = OA$ ($c.p.c.t.$ द्वारा)।
चूंकि $OB = OA$,इसलिए $O$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$CD$,$AB$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) दिया है: रेखा $l$ कोण $\angle A$ की समद्विभाजक है। $BP \perp AQ$ और $BQ \perp AP$ है।
$(i)$ $\Delta APB$ और $\Delta AQB$ में:
$\angle APB = \angle AQB = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle PAB = \angle QAB$ ($l$ कोण $\angle A$ की समद्विभाजक है)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta APB \cong \Delta AQB$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta APB \cong \Delta AQB$,इसलिए $CPCT$ द्वारा उनके संगत भाग बराबर हैं।
अतः,$BP = BQ$ है।
यह दर्शाता है कि बिंदु $B$,$\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ (समान दूरी पर) है।

(N/A) हमें दिया गया है कि $\angle BAD = \angle EAC$ है।
दोनों पक्षों में $\angle DAC$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$
$\Rightarrow \angle BAC = \angle DAE$
अब,$\triangle ABC$ और $\triangle ADE$ में,हमारे पास है:
$\angle BAC = \angle DAE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AB = AD$ [दिया है]
$AC = AE$ [दिया है]
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADE$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करते हुए]
चूँकि $\triangle ABC \cong \triangle ADE$ है,इसलिए,उनके संगत भाग बराबर होते हैं ($CPCT$ द्वारा)।
$\Rightarrow BC = DE$.

(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore AP = BP$
$\angle EPA = \angle DPB$ [दिया है]
दोनों पक्षों में $\angle EPD$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
$\Rightarrow \angle APD = \angle BPE$
$(i)$ $\Delta DAP$ और $\Delta EBP$ में:
$AP = BP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle PAD = \angle PBE$ [दिया है कि $\angle BAD = \angle ABE$]
$\angle APD = \angle BPE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ चूँकि $\Delta DAP \cong \Delta EBP$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$\Rightarrow AD = BE$

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle C = 90^\circ$ और $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है $(AM = BM)$। $CM$ को $D$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $DM = CM$ है।
$(i)$ $\Delta AMC$ और $\Delta BMD$ में:
$AM = BM$ (दिया है,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AMC = \angle BMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$CM = DM$ (दिया है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \cong \Delta BMD$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta AMC \cong \Delta BMD$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(c.p.c.t.)$।
अतः,$\angle MAC = \angle MBD$। ये एकांतर अंतःकोण हैं,जो यह दर्शाता है कि $AC \parallel DB$ है।
चूँकि $AC \parallel DB$ और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$\angle ACB + \angle DBC = 180^\circ$
$90^\circ + \angle DBC = 180^\circ$
$\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
$(iii)$ $\Delta DBC$ और $\Delta ACB$ में:
$DB = AC$ ($\Delta AMC \cong \Delta BMD$ से $c.p.c.t.$)
$\angle DBC = \angle ACB = 90^\circ$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta DBC \cong \Delta ACB$ है।
$(iv)$ चूँकि $\Delta DBC \cong \Delta ACB$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(c.p.c.t.)$।
अतः,$DC = AB$ है।
चूँकि $DM = CM$,इसलिए $CM = \frac{1}{2} DC$ है।
$DC = AB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $CM = \frac{1}{2} AB$ प्राप्त होता है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABC$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ [दिया है]
$\therefore \angle C = \angle B$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \angle B$
या $\angle OCB = \angle OBC$
$\Rightarrow OB = OC$ [बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$(ii)$ $\Delta ABO$ और $\Delta ACO$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ [दिया है]
$OB = OC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle OBA = \angle OCA$ [चूँकि $\frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle C$]
$\therefore SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta ABO \cong \Delta ACO$
$\Rightarrow \angle OAB = \angle OAC$ [c.p.c.t. द्वारा]
$\Rightarrow AO$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABE$ और $\Delta ACF$ में,हमारे पास है:
$\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूँकि $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$BE = CF$ (दिया है)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABE \cong \Delta ACF$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
इस प्रकार,$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ]
$BD = CD$ [दिया है]
$\therefore \Delta ABD \cong \Delta ACD$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$(ii)$ $\Delta ABP$ और $\Delta ACP$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle BAP = \angle CAP$ [चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$,उनके संगत भाग बराबर हैं]
$AP = AP$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta ABP \cong \Delta ACP$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम]
$(iii)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,उनके संगत भाग सर्वांगसम हैं।
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CAP$,अतः $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
साथ ही,$\Delta BDP$ और $\Delta CDP$ में:
$BD = CD$ [दिया है]
$DP = DP$ [उभयनिष्ठ]
$BP = CP$ [चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,$CPCT$ द्वारा $BP = CP$]
$\therefore \Delta BDP \cong \Delta CDP$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$\Rightarrow \angle BDP = \angle CDP$,अतः $AP$,$\angle D$ का समद्विभाजक है।
$(iv)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,अतः $\angle APB = \angle APC$ [$CPCT$ द्वारा]।
चूँकि $\angle APB + \angle APC = 180^\circ$ [रैखिक युग्म],
अतः $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$।
साथ ही $BP = CP$ [$CPCT$ द्वारा]।
अतः $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।

(B) दी गई आकृतियों में $1\,cm$ भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुज समा सकते हैं,यह ज्ञात करने के लिए हम आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और उसे एक छोटे समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करेंगे।
$1$. $s = 5\,cm$ भुजा वाले नियमित षट्भुज के लिए:
क्षेत्रफल $= \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25 = 37.5\sqrt{3} \approx 64.95\,cm^2$.
$1\,cm$ भुजा वाले प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = 0.25\sqrt{3} \approx 0.433\,cm^2$ है।
आकृति $(i)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{37.5\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 150$.
$2$. आकृति $(ii)$ में तारा के आकार की आकृति के लिए:
यह आकृति $5\,cm$ भुजा वाले केंद्रीय षट्भुज और उसकी भुजाओं पर जुड़े $5\,cm$ भुजा वाले $6$ समबाहु त्रिभुजों से बनी है।
कुल क्षेत्रफल $= \text{षट्भुज का क्षेत्रफल} + 6 \times (5\,cm \text{ भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
कुल क्षेत्रफल $= 37.5\sqrt{3} + 6 \times (6.25\sqrt{3}) = 37.5\sqrt{3} + 37.5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129.9\,cm^2$.
आकृति $(ii)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{75\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 300$.
अतः,तारा के आकार की आकृति $(ii)$ में अधिक त्रिभुज हैं।

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ है।
$1$. $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$2$. चूंकि $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ है,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
$3$. यहाँ संगति $A \leftrightarrow F$,$B \leftrightarrow D$,और $C \leftrightarrow E$ है।
$4$. इसलिए,$AB$ के संगत भुजा $FD$ (या $DF$) है। अतः,$DF = AB = 5 \, cm$।
$5$. साथ ही,$\angle C$ के संगत कोण $\angle E$ है। इसलिए,$\angle E = \angle C = 60^{\circ}$।
$6$. दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$DF = 5 \, cm$ और $\angle E = 60^{\circ}$ सत्य है।

(B) यह कहना असत्य है कि $BC = QR$ है।
चूंकि $\triangle ABC \cong \triangle RPQ$ है,इसलिए सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्षों का मिलान करने पर,हमें $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ प्राप्त होता है।
अतः,भुजा $BC$ भुजा $PQ$ के संगत है।
इसलिए,$BC = PQ$ होगा,न कि $QR$।

(A) हाँ,यह सत्य है कि $PR = EF$।
चूंकि $\Delta PQR \cong \Delta EDF$,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्ष इस प्रकार संगत हैं: $P \leftrightarrow E$,$Q \leftrightarrow D$,और $R \leftrightarrow F$।
अतः,भुजा $PR$ भुजा $EF$ के संगत है,जिसका अर्थ है कि $PR = EF$।

(A) मान लीजिए कि पहले त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं और दूसरे त्रिभुज के शीर्ष $P, Q, R$ हैं।
एकैकी संगति दो त्रिभुजों के शीर्षों के समुच्चयों के बीच एक मैपिंग है।
पहले त्रिभुज के $3$ शीर्षों को दूसरे त्रिभुज के $3$ शीर्षों से जोड़ने के तरीकों की संख्या $3$ तत्वों के क्रमचय (permutations) द्वारा दी जाती है,जो $3!$ है।
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
अतः,दो त्रिभुजों के बीच $6$ संभावित एकैकी संगति हो सकती हैं।

(B) दी गई संगति $ABC \leftrightarrow PRQ$ में,शीर्ष इस प्रकार संगत हैं:
$A$ के संगत $P$ है
$B$ के संगत $R$ है
$C$ के संगत $Q$ है
अतः,भुजा $AB$,$A$ और $B$ के संगत शीर्षों द्वारा बनी भुजा $PR$ के संगत है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta YZX$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्षों की तुलना करने पर: $A$ के संगत $Y$,$B$ के संगत $Z$,और $C$ के संगत $X$ है।
अतः,भुजा $AB$,भुजा $YZ$ के संगत है।
इस प्रकार,भुजा $AB = YZ$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ की भुजाएँ $\Delta RPQ$ की संगत भुजाओं के बराबर हैं।
विशेष रूप से,$AB = RP$,$BC = PQ$,और $AC = RQ$ है।
त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 18 \, cm$ है।
चूँकि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है,इसलिए $\Delta RPQ$ का परिमाप $\Delta ABC$ के परिमाप के बराबर होगा।
$\Delta RPQ$ का परिमाप = $RP + PQ + RQ = AB + BC + AC = 18 \, cm$ है।
ध्यान दें कि $\Delta PQR$ का परिमाप भी $\Delta RPQ$ के परिमाप के समान ही होगा क्योंकि भुजाओं की लंबाई का समूह वही है।
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $18 \, cm$ है।

(C) दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहलाते हैं जब वे आकार और माप में समान हों।
यदि $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है,तो इसका अर्थ है कि उनकी सभी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हैं।
सर्वांगसमता के परिणामस्वरुप,दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होना चाहिए।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 58 \ cm^2$ है।
अतः,$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= 58 \ cm^2$ होगा।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्ष इस प्रकार संगत हैं: $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$।
अतः,$\Delta ABC$ की भुजा $AB$,$\Delta RPQ$ की भुजा $RP$ के संगत है।
चूंकि $\Delta RPQ$ वही त्रिभुज है जो $\Delta PQR$ है (क्योंकि शीर्षों का समूह समान है),भुजा $RP$,$\Delta PQR$ में भुजा $PR$ के समान है।
इस प्रकार,भुजा $AB$ भुजा $RP$ के बराबर है।