Criteria for Congruence of Triangles Questions in Hindi

$(i)$ $\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ पर विचार करें।
$\angle OAB = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AD$ एक तिर्यक रेखा है)
$\angle AOB = \angle DOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$OA = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AD$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta AOB \cong \Delta DOC$,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा,
$OB = OC$
अतः,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।

(N/A) $(i)$ चतुर्भुज $ABCD$ में,हमारे पास $AD = BC$ और $\angle DAB = \angle CBA$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta BAC$ पर विचार करने पर:
$AD = BC$ (दिया है)
$AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle DAB = \angle CBA$ (दिया है)
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta BAC$ है।
$(ii)$ चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = AC$ है।
$(iii)$ चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta BAC$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle ABD = \angle BAC$ है।

(N/A) दिया है: $l \parallel m$ और $p \parallel q$ है।
सिद्ध करना है: $\Delta ABC \cong \Delta CDA$ है।
उपपत्ति:
चूँकि $l \parallel m$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
इसलिए,$\angle BAC = \angle DCA$ [एकांतर अंतःकोण]
साथ ही,चूँकि $p \parallel q$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,
इसलिए,$\angle BCA = \angle DAC$ [एकांतर अंतःकोण]
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में:
$\angle BAC = \angle DCA$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle BCA = \angle DAC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AC = CA$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ है।

(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$\angle BAD = \angle CAD$ (दिया है,क्योंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ (दिया है,क्योंकि $AD \perp BC$)
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होंगे $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
चूँकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta ABF$ और $\Delta ACE$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$AF = AE$ (चूंकि $F$ और $E$ क्रमशः बराबर भुजाओं $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AF = \frac{1}{2} AC$ और $AE = \frac{1}{2} AB$ है। चूँकि $AB = AC$,इसलिए $AF = AE$ होगा।)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABF \cong \Delta ACE$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।
इस प्रकार,$BF = CE$ ($CPCT$ द्वारा)।

(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta ACE$ में:
$AB = AC$ (दिया है) ........... $(1)$
$\angle B = \angle C$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ........... $(2)$
साथ ही,$BE = CD$
दोनों पक्षों से $DE$ घटाने पर:
$BE - DE = CD - DE$
$BD = CE$ ........... $(3)$
अतः,$\Delta ABD \cong \Delta ACE$ ($(1)$,$(2)$,$(3)$ और $SAS$ सर्वांगसमता नियम का उपयोग करते हुए)।
इससे प्राप्त होता है $AD = AE$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।

(N/A) दिया है: $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $BD = CD$ और $\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ (दिया है)
$BD = CD$ (चूंकि $AD$,$BC$ का समद्विभाजक है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AB = AC$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है।
शीर्षलंब $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$ हैं।
सिद्ध करना है: $BE = CF$।
उपपत्ति:
$\Delta ABE$ और $\Delta ACF$ में:
$1$. $\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
$2$. $AB = AC$ (दिया है)
$3$. $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (चूंकि $BE$ और $CF$ शीर्षलंब हैं)
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABE \cong \Delta ACF$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BE = CF$।

(N/A) दिया है: $PA = PB$ और $QA = QB$। हमें दर्शाना है कि $PQ \perp AB$ और $PQ$,$AB$ को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए $PQ$,$AB$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$\Delta PAQ$ और $\Delta PBQ$ पर विचार करें:
$AP = BP$ (दिया है)
$AQ = BQ$ (दिया है)
$PQ = PQ$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta PAQ \cong \Delta PBQ$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $\angle APQ = \angle BPQ$ है।
अब,$\Delta PAC$ और $\Delta PBC$ पर विचार करें:
$AP = BP$ (दिया है)
$\angle APC = \angle BPC$ (चूंकि $\angle APQ = \angle BPQ$)
$PC = PC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta PAC \cong \Delta PBC$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $AC = BC$ और $\angle ACP = \angle BCP$ है।
चूंकि $\angle ACP + \angle BCP = 180^o$ (रैखिक युग्म),
$2 \angle ACP = 180^o \implies \angle ACP = 90^o$ है।
चूंकि $AC = BC$ और $\angle ACP = 90^o$ है,अतः $PQ$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) दिया है: रेखाएँ $l$ और $m$ बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $PB \perp l$ और $PC \perp m$ है,जहाँ $PB = PC$ है।
सिद्ध करना है: रेखा $AP$ रेखाओं $l$ और $m$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,अर्थात $\angle PAB = \angle PAC$ है।
उपपत्ति: $\Delta PAB$ और $\Delta PAC$ पर विचार कीजिए।
इन दो त्रिभुजों में:
$1$. $PB = PC$ (दिया है,क्योंकि $P$ रेखाओं से समान दूरी पर है)
$2$. $\angle PBA = \angle PCA = 90^o$ (दिया है,क्योंकि $PB \perp l$ और $PC \perp m$)
$3$. $PA = PA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta PAB \cong \Delta PAC$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$\angle PAB = \angle PAC$ है।
यह दर्शाता है कि रेखा $AP$ रेखाओं $l$ और $m$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ [चूंकि $AD$ एक शीर्षलंब है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = CD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle BAD = \angle CAD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$AM$ एक माध्यिका है [दिया है]।
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$ ........... $(1)$
$\Delta PQR$ में,$PN$ एक माध्यिका है।
$\therefore QN = \frac{1}{2} QR$ ........... $(2)$
$\because BC = QR$ [दिया है]
$\therefore \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} QR$
$\Rightarrow BM = QN$ [$(1)$ और $(2)$ से]
$(i)$ $\Delta ABM$ और $\Delta PQN$ में,हमारे पास है:
$AB = PQ$ [दिया है]
$AM = PN$ [दिया है]
$BM = QN$ [ऊपर सिद्ध किया]
$\therefore \Delta ABM \cong \Delta PQN$ [$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी]
$(ii)$ $\because \Delta ABM \cong \Delta PQN$
$\therefore$ उनके संगत भाग सर्वांगसम हैं $(CPCT)$।
$\Rightarrow \angle B = \angle Q$
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,हमारे पास है:
$AB = PQ$ [दिया है]
$\angle B = \angle Q$ [ऊपर सिद्ध किया]
$BC = QR$ [दिया है]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta PQR$ [$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी]

(N/A) दिया है: $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$ जहाँ $BE = CF$ है।
सिद्ध करना है: $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,अर्थात $AB = AC$ है।
उपपत्ति:
समकोण त्रिभुज $\Delta BEC$ और $\Delta CFB$ में:
$1$. $\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$ (शीर्षलंब भुजाओं पर लंब होते हैं)।
$2$. $BC = CB$ (उभयनिष्ठ कर्ण)।
$3$. $BE = CF$ (दिया है)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta BEC \cong \Delta CFB$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होंगे $(CPCT)$:
$\angle BCE = \angle CBF$
इसका अर्थ है कि $\angle BCA = \angle CBA$ है।
$\Delta ABC$ में,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$AB = AC$ है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। $AP \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle B = \angle C$।
उपपत्ति:
$\Delta ABP$ और $\Delta ACP$ में:
$1$. $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$ (चूँकि $AP \perp BC$)
$2$. $AB = AC$ (दिया है)
$3$. $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABP \cong \Delta ACP$।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle B = \angle C$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगतता के नियम के अनुसार,संगत भाग बराबर होते हैं:
$AB = PQ$,$BC = QR$,और $AC = PR$।
साथ ही,कोण भी बराबर होते हैं: $\angle A = \angle P$,$\angle B = \angle Q$,और $\angle C = \angle R$।
हमें दिया गया है कि $\triangle ABC$,$\triangle RPQ$ के सर्वांगसम नहीं है। इसका अर्थ है कि संगतता $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ मान्य नहीं है।
आइए $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ के आधार पर विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $BC = PQ$। संगतता के अनुसार,$BC = QR$ होता है। अतः,$BC = PQ$ सामान्यतः सत्य नहीं है।
विकल्प $B$: $AC = PR$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
विकल्प $C$: $QR = BC$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
विकल्प $D$: $AB = PQ$। संगतता के अनुसार यह सत्य है।
इसलिए,जो कथन सत्य नहीं है वह $BC = PQ$ है।

(B) त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मानदंड $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा),$ASA$ (कोण-भुजा-कोण),$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा),$AAS$ (कोण-कोण-भुजा) और $RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) हैं।
$SSA$ (भुजा-भुजा-कोण) त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक मान्य मानदंड नहीं है क्योंकि यह त्रिभुज को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करता है।

(C) दिया गया है कि भुजाएँ समान हैं: $AB = QR$,$BC = PR$ और $CA = PQ$।
सर्वांगसमता निर्धारित करने के लिए,हम समान भुजाओं के आधार पर शीर्षों का मिलान करते हैं:
$1$. चूंकि $AB = QR$,शीर्ष $A, Q$ के संगत है और $B, R$ के संगत है।
$2$. चूंकि $BC = PR$,शीर्ष $B, P$ के संगत है और $C, R$ के संगत है।
$3$. चूंकि $CA = PQ$,शीर्ष $C, P$ के संगत है और $A, Q$ के संगत है।
इस प्रकार,शीर्षों की संगति $A \leftrightarrow Q, B \leftrightarrow R, C \leftrightarrow P$ है।
अतः,$\triangle CBA \cong \triangle PRQ$ सही है क्योंकि $CB=PR, BA=RQ, AC=QP$ होता है।

(D) $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता अभिगृहीत के अनुसार,यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हो,तो वे दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
दिया है: $AB = FD$ और $\angle A = \angle D$।
त्रिभुजों के $SAS$ द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,$\angle A$ बनाने वाली भुजाएँ ($AB$ और $AC$) को $\angle D$ बनाने वाली भुजाओं ($FD$ और $DE$) के बराबर होना चाहिए।
चूँकि $AB = FD$ पहले से दिया गया है,इसलिए $SAS$ शर्त को पूरा करने के लिए $AC = DE$ होना आवश्यक है।

(A) $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करके $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ सिद्ध करने के लिए,कोण को दी गई दो भुजाओं के बीच का होना चाहिए।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $AB$ और $AC$ हैं,इसलिए इनके बीच का कोण $\angle A$ है।
$\triangle DEF$ के लिए,भुजाएँ $DE$ और $EF$ हैं,इसलिए इनके बीच का कोण $\angle E$ है।
अतः,यदि $\angle A = \angle E$ है,तो $SAS$ सर्वांगसमता नियम के अनुसार,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ होगा।

(NO) ये दो त्रिभुज आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं हैं। दो त्रिभुजों के $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) कसौटी द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,भुजा को दोनों कोणों के बीच में होना चाहिए। $\triangle ABC$ में,$\angle A$ और $\angle B$ के बीच की भुजा $AB$ है। $\triangle DEF$ में,$\angle D$ और $\angle E$ के बीच की भुजा $DE$ है। चूँकि दी गई शर्त $AB = EF$ है न कि $AB = DE$,इसलिए त्रिभुज $ASA$ सर्वांगसमता कसौटी को संतुष्ट नहीं करते हैं। अतः,वे आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं हैं।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ में,हमारे पास है:
$\angle A = \angle Q$ (दिया है)
$\angle B = \angle R$ (दिया है)
दोनों त्रिभुजों के $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,दो कोणों के बीच की भुजा बराबर होनी चाहिए।
$\triangle ABC$ में,$\angle A$ और $\angle B$ के बीच की भुजा $AB$ है।
$\triangle PQR$ में,$\angle Q$ और $\angle R$ के बीच की भुजा $QR$ है।
इसलिए,त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए,भुजा $AB$ को भुजा $QR$ के बराबर होना चाहिए $(AB = QR)$।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ में,हमें दिया गया है:
$\angle A = \angle Q$ और $\angle B = \angle R$.
दोनों त्रिभुजों के $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,$\triangle ABC$ की भुजा $BC$ के संगत $\triangle PQR$ की भुजा $RP$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$BC = RP$.
यह सुनिश्चित करता है कि दोनों त्रिभुज $AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा सर्वांगसम हैं।

(B) यह कथन असत्य है। दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,कोण को उन दो भुजाओं के बीच का अंतर्गत कोण होना चाहिए। यदि कोण अंतर्गत कोण नहीं है,तो त्रिभुजों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

(A) यह कथन सत्य है,बशर्ते कि वह भुजा दोनों कोणों के बीच की अंतर्विष्ट भुजा हो ($ASA$ सर्वांगसमता नियम) या वह भुजा दोनों त्रिभुजों में समान सापेक्ष स्थिति वाली संगत भुजा हो ($AAS$ सर्वांगसमता नियम)।
यदि एक त्रिभुज के दो कोण और कोई भी एक भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों और संगत भुजा के बराबर हैं,तो त्रिभुज $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा सर्वांगसम होते हैं।
अतः,त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए संगतता की शर्त अनिवार्य है।

(N/A) $\triangle PQS$ और $\triangle PRT$ में:
$1$. $PQ = PR$ (दिया है)
$2$. $\angle Q = \angle R$ (दिया है)
$3$. $\angle QPS = \angle RPT$ (उभयनिष्ठ कोण $\angle P$)
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle PQS \cong \triangle PRT$ है।

(N/A) दिया है: $BC \parallel AD$ और $BC = DA$ है।
$\triangle BOC$ और $\triangle AOD$ पर विचार करें:
$1$. $\angle CBO = \angle DAO$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $BC \parallel AD$)
$2$. $\angle BCO = \angle ADO$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $BC \parallel AD$)
$3$. $BC = DA$ (दिया है)
$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle BOC \cong \triangle AOD$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$OB = OA$ और $OC = OD$ है।
अतः,$O$ रेखाखंडों $AB$ और $CD$ दोनों का मध्य-बिंदु है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $AB = AC$ है।
$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $BD = CE$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ और $\triangle ACE$ में:
$1$. $AB = AC$ (दिया है)
$2$. $\angle BAD = \angle CAE$ (उभयनिष्ठ कोण)
$3$. $AD = AE$ (चूंकि $AB = AC$,इसलिए उनके आधे भाग बराबर होंगे,अर्थात $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC$)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABD \cong \triangle ACE$ है।
अतः,$CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा $BD = CE$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $BD = CE$ और $AD = AE$ है।
सिद्ध करना है: $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
उपपत्ति: $\triangle ADE$ में,
$AD = AE$ [दिया है]
$\Rightarrow \angle ADE = \angle AED$ [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle ADB + \angle ADE = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
इन समीकरणों से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ADB + \angle ADE = \angle AEC + \angle AED$
चूंकि $\angle ADE = \angle AED$,इसलिए $\angle ADB = \angle AEC$ है।
अब,$\triangle ABD$ और $\triangle ACE$ में:
$AD = AE$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle AEC$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$BD = CE$ [दिया है]
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम से,
$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: वर्ग $ABCD$ की भुजा $CD$ पर एक समबाहु त्रिभुज $CDE$ बनाया गया है।
सिद्ध करना है: $\triangle ADE \cong \triangle BCE$।
उपपत्ति: वर्ग $ABCD$ में,हमारे पास है:
$AD = BC$ (वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BCD = 90^{\circ}$ (वर्ग के कोण) ... $(2)$
समबाहु त्रिभुज $CDE$ में,हमारे पास है:
$DE = CE$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(3)$
$\angle CDE = \angle DCE = 60^{\circ}$ (समबाहु त्रिभुज के कोण) ... $(4)$
$(2)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$\angle ADC + \angle CDE = \angle BCD + \angle DCE$
$\angle ADE = \angle BCE$ ... $(5)$
अब,$\triangle ADE$ और $\triangle BCE$ में:
$AD = BC$ ($(1)$ से)
$\angle ADE = \angle BCE$ ($(5)$ से)
$DE = CE$ ($(3)$ से)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle BCE$।

(N/A) दिया है: $BA \perp AC$,$DE \perp DF$,$BA = DE$,और $BF = EC$ है।
चरण $1$: कर्ण की समानता स्थापित करें।
हमें $BF = EC$ दिया गया है।
दोनों पक्षों में $FC$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BF + FC = EC + FC$
$BC = EF$
चरण $2$: दोनों त्रिभुजों की तुलना करें।
$\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
$1$. $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$ (दिया है कि $BA \perp AC$ और $DE \perp DF$)
$2$. $BA = DE$ (दिया है)
$3$. $BC = EF$ (कर्ण,ऊपर सिद्ध किया गया)
चरण $3$: निष्कर्ष।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।

(N/A) $\triangle AMC$ और $\triangle BMD$ में,हमारे पास है:
$\angle MAC = \angle MBD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $l \parallel m$)
$\angle AMC = \angle BMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$AM = BM$ (दिया है,क्योंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$\triangle AMC \cong \triangle BMD$ ($ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)
इस प्रकार,$CM = DM$ ($CPCT$ द्वारा)
अतः,$M$,$CD$ का भी मध्य-बिंदु है।

(N/A) हमारे पास एक समकोण $\Delta ABC$ है जिसमें $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः इसकी भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$ इस प्रकार खींचा गया है कि यह $BC$ को $Y$ पर मिलता है।
सिद्ध करने के लिए कि $\Delta MBC \cong \Delta ABD$:
$\Delta ABD$ और $\Delta MBC$ में,हमारे पास है:
$AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ)
$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
$\angle MBA = 90^\circ$ और $\angle CBD = 90^\circ$ (वर्ग के कोण)
अतः,$\angle MBA = \angle CBD = 90^\circ$।
दोनों पक्षों में $\angle ABC$ जोड़ने पर:
$\angle MBA + \angle ABC = \angle CBD + \angle ABC$
$\angle MBC = \angle ABD$
इस प्रकार,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta MBC \cong \Delta ABD$।

(N/A) सिद्ध करना है: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$
$\Delta FCB$ और $\Delta ACE$ में:
$1$. $FC = AC$ (एक ही वर्ग $ACFG$ की भुजाएँ)
$2$. $CB = CE$ (एक ही वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
$3$. $\angle FCA = \angle BCE = 90^\circ$ (वर्ग के कोण)
दोनों पक्षों में $\angle ACB$ जोड़ने पर:
$\angle FCA + \angle ACB = \angle BCE + \angle ACB$
$\angle FCB = \angle ACE$
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta FCB \cong \Delta ACE$

(N/A) यह $ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी है।
मान लीजिए दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ हैं जहाँ $\angle B = \angle E$,$\angle C = \angle F$ और $BC = EF$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।
स्थिति $1$: यदि $AB = DE$ है,तो $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $AB < DE$ है,तो $DE$ पर एक बिंदु $P$ इस प्रकार लीजिए कि $DP = AB$ हो। $PF$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ और $\triangle DPF$ में,$AB = DP$,$\angle B = \angle E$ और $BC = EF$ है। अतः,$SAS$ नियम से $\triangle ABC \cong \triangle DPF$ होगा। इसका अर्थ है कि $\angle ACB = \angle DPF$ है। लेकिन हमें दिया गया है कि $\angle ACB = \angle DFE$ है। इसलिए,$\angle DPF = \angle DFE$,जो केवल तभी संभव है जब $P$,$E$ पर संपाती हो। अतः,$AB = DE$ और $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ है।
स्थिति $3$: यदि $AB > DE$ है,तो इसी प्रकार के तर्क से सिद्ध होता है कि $AB = DE$ और त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

(N/A) छात्र के तर्क में त्रुटि यह है कि उन्होंने $AAS$ (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग किया है,लेकिन $\triangle ABD$ में भुजा $AD$,कोण $\angle B$ और $\angle ADB$ के बीच में नहीं है।
सही उपपत्ति:
$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$ दिया है)
अतः,$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
इस प्रकार,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$।

(N/A) $\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ में,हमारे पास है:
$AB = CB$ [दिया है]
$AD = CD$ [दिया है]
$BD = BD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\Rightarrow \angle ABD = \angle CBD$ [$CPCT$]
और $\angle ADB = \angle CDB$ [$CPCT$]
अतः,$BD$ कोण $ABC$ और $ADC$ दोनों को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $\triangle ADC$ और $\triangle BEC$ में हमारे पास है:
$AC = BC$ [दिया है] ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BEC = 90^{\circ}$ [शीर्षलंब होने के कारण]
$\angle ACD = \angle BCE$ [उभयनिष्ठ कोण]
अतः,$\triangle ADC \cong \triangle BEC$ [$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$CD = CE$ ... $(2)$ [$CPCT$]
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC - CE = BC - CD$
$AE = BD$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: रेखाएँ $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $P$,$O$ से गुजरने वाली रेखा $n$ पर स्थित एक बिंदु है,इस प्रकार कि $PQ \perp l$ और $PR \perp m$,जहाँ $PQ = PR$ है।
सिद्ध करना है: $n$,$\angle QOR$ का समद्विभाजक है।
उपपत्ति: $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ में,हमारे पास है:
$\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$ (दिया है कि $P$,$l$ और $m$ से समान दूरी पर है)
$OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$PQ = PR$ (दिया है)
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार:
$\triangle OQP \cong \triangle ORP$
अतः,$\angle QOP = \angle ROP$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग द्वारा)।
इस प्रकार,$n$,$\angle QOR$ का समद्विभाजक है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$ है।
सिद्ध करना है: $AB = AD$ और $CB = CD$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [दिया है]
$AC = AC$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle 3 = \angle 4$ [दिया है]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,हमारे पास है:
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
इसलिए,$AB = AD$ [$CPCT$ द्वारा]
और $CB = CD$ [$CPCT$ द्वारा]
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB = AD$ और $CB = CD$ है।
सिद्ध करना है: $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$BC = CD$ (दिया है)
$AC = AC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)
अब,$\triangle AOB$ और $\triangle AOD$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle AOB \cong \triangle AOD$
इसलिए,$BO = DO$ ($CPCT$ द्वारा)
और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)
परंतु,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
चूँकि $\angle 3 = \angle 4$,इसलिए:
$\angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\angle 3 = 90^{\circ}$
चूँकि $BO = DO$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ है,अतः $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\angle PXR = \angle SXQ$
दोनों पक्षों से $\angle QXR$ घटाने पर:
$\angle PXR - \angle QXR = \angle SXQ - \angle QXR$
$\therefore \angle PXQ = \angle SXR \quad \dots(1)$
अब,$\Delta XPQ$ और $\Delta XSR$ में:
$XP = XS$ (दिया है)
$XQ = XR$ (दिया है)
$\angle PXQ = \angle SXR$ [$(1)$ से]
$\therefore \Delta XPQ \cong \Delta XSR$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा)
$\therefore PQ = SR$ ($CPCT$ द्वारा)

(N/A) आयत $ABCD$ में,
$AB = DC$ (आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
और $\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (आयत का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ होता है)।
साथ ही,$E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BE = CE$ है।
अब,$\Delta ABE$ और $\Delta DCE$ पर विचार करें:
$AB = DC$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BE = CE$ (दिया गया है कि $E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABE \cong \Delta DCE$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$AE = DE$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग द्वारा)।

(N/A) दिया है:
$1$. $PN \perp PQ$ और $QM \perp PQ$.
$2$. $X$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PX = QX$.
$3$. $X$,$MN$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $NX = MX$.
सिद्ध करना है: $\triangle PNX \cong \triangle QMX$.
उपपत्ति:
$\triangle PNX$ और $\triangle QMX$ में:
$1$. $PX = QX$ (दिया है,$X$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है)।
$2$. $NX = MX$ (दिया है,$X$,$MN$ का मध्य-बिंदु है)।
$3$. $\angle PNX = \angle QMX$ (चूंकि $PN \parallel QM$ क्योंकि दोनों $PQ$ पर लंब हैं,और $MN$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए ये एकांतर अंतःकोण हैं)।
वैकल्पिक रूप से,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करते हुए:
$1$. $PX = QX$ (दिया है)।
$2$. $\angle P = \angle Q = 90^\circ$ (दिया है)।
$3$. $NX = MX$ (दिया है)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी (या $SAS$) द्वारा,$\triangle PNX \cong \triangle QMX$।

(N/A) $\triangle APM$ और $\triangle BPN$ पर विचार करें।
$1$. $\angle MAP = \angle NBP = 90^{\circ}$ (दिया है कि $AM \perp AB$ और $BN \perp AB$ है)।
$2$. $AP = BP$ ($P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,दिया है)।
$3$. $\angle APM = \angle BPN$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle APM \cong \triangle BPN$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(CPCT)$:
- $AM = BN$ (इति सिद्धम)।
- $PM = PN$ (चूंकि $PM$ और $PN$ संगत भुजाएं हैं)।
चूंकि $PM = PN$ है,इसलिए $P$,$MN$ का मध्य-बिंदु है (इति सिद्धम)।

(N/A) दिया है: $PQ = ST$,$QU = TR$,$\angle PQT = 90^\circ$ और $\angle STQ = 90^\circ$.
सिद्ध करना है: $PR = SU$.
उपपत्ति:
$\triangle PQR$ और $\triangle STU$ पर विचार करें।
$1$. $PQ = ST$ (दिया है)
$2$. $\angle PQR = \angle STU = 90^\circ$ (दिया है)
$3$. $QR = QU + UR$ और $TU = TR + UR$.
चूंकि $QU = TR$,इसलिए $QR = TR + UR = TU$.
अतः,$QR = TU$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PQR \cong \triangle STU$.
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$PR = SU$.

(N/A) मान लीजिए $PQ$ एक रेखाखंड है और $L$ इसका लंब समद्विभाजक है। मान लीजिए $M$,$L$ पर एक बिंदु है जो $PQ$ पर स्थित नहीं है। मान लीजिए $L$,$PQ$ को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करता है। चूँकि $L$,$PQ$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $PO = OQ$ और $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ है। $\triangle MOP$ और $\triangle MOQ$ पर विचार करें। इन त्रिभुजों में: $1$. $PO = OQ$ (दिया है)। $2$. $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ (दिया है)। $3$. $MO = MO$ (उभयनिष्ठ भुजा)। $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle MOP \cong \triangle MOQ$ है। चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$। इसलिए,$MP = MQ$ है। अतः,बिंदु $M$,$P$ और $Q$ से समान दूरी पर है।

(N/A) $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ (दिया है)।
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$ ($\because$ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूंकि $P$,$BC$ पर स्थित है और $Q$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $\angle ABP = \angle ACQ$ है।
अब,$\triangle ABP$ और $\triangle ACQ$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$BP = CQ$ (दिया है)
$\angle ABP = \angle ACQ$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABP \cong \triangle ACQ$ है।
$\therefore AP = AQ$ ($CPCT$ द्वारा)।
अब,$\triangle APQ$ में,चूंकि $AP = AQ$ है,इसलिए $\Delta APQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को $P$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसका अर्थ है $PA = PB$ और $PC = PD$ है।
हालाँकि,प्रश्न में $PA = PD$ और $PB = PC$ दिया गया है।
$\triangle APC$ और $\triangle BPD$ पर विचार करें:
$1$. $PA = PD$ (दिया है)
$2$. $\angle APC = \angle BPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $PC = PB$ (दिया है)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle APC \cong \triangle BPD$ है।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$,
अतः,$AC = BD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta SPQ$ और $\Delta RQP$ में:
$PS = QR$ (दिया है)
$QS = PR$ (दिया है)
$PQ = QP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta SPQ \cong \Delta RQP$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$(1) \angle PSQ = \angle QRP$ और $(2) \angle SPQ = \angle RQP$ है।

(N/A) दिया है: $AB \perp BQ$,$PQ \perp QB$,$AC = PR$ और $BR = QC$ है।
चूंकि $AB \perp BQ$,इसलिए $\angle ABQ = 90^{\circ}$। अतः,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
चूंकि $PQ \perp QB$,इसलिए $\angle PQB = 90^{\circ}$। अतः,$\angle PQR = 90^{\circ}$।
दिया है $BR = QC$ है।
दोनों पक्षों में $RC$ जोड़ने पर,हमें $BR + RC = QC + RC$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = QR$......$(1)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$AC = PR$ (दिया है)
$\angle ABC = \angle PQR = 90^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BC = QR$ [$(1)$ से]
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$ है।
अतः,$\angle BAC = \angle QPR$ ($CPCT$ द्वारा)।