Criteria for Congruence of Triangles Questions in Hindi

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण $PR$,$\angle QPS$ और $\angle QRS$ को समद्विभाजित करता है,हम दो त्रिभुजों $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ पर विचार करते हैं।
$1$. $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ में:
- $PQ = PS$ (दिया है)
- $QR = RS$ (दिया है)
- $PR = PR$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$2$. $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$ है।
$3$. चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
- $\angle QPR = \angle SPR$। इसका अर्थ है कि $PR$,$\angle QPS$ को समद्विभाजित करता है।
- $\angle QRP = \angle SRP$। इसका अर्थ है कि $PR$,$\angle QRS$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि विकर्ण $PR$,$\angle QPS$ और $\angle QRS$ दोनों को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $1$. दो त्रिभुजों $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ पर विचार करें।
$2$. इन त्रिभुजों में,हमें दिया गया है कि $PQ = PS$ (भुजा)।
$3$. हमें यह भी दिया गया है कि $RQ = RS$ (भुजा)।
$4$. भुजा $PR$ दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है,इसलिए $PR = PR$ (भुजा)।
$5$. $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$ है।
$6$. चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
$7$. अतः,$\angle PQR = \angle PSR$ है।

(N/A) $1$. समकोण त्रिभुज $\Delta PLQ$ और $\Delta QMP$ पर विचार करें।
$2$. इन त्रिभुजों में,$PL = QM$ (दिया गया है),$PQ = QP$ (उभयनिष्ठ भुजा),और $\angle PLQ = \angle QMP = 90^{\circ}$ (शीर्षलंब)।
$3$. $RHS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta PLQ \cong \Delta QMP$।
$4$. $CPCT$ द्वारा,$\angle PQL = \angle QPM$,जिसका अर्थ है कि $\angle PQR = \angle QPR$।
$5$. चूंकि आधार के कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी,अतः $PR = QR$।
$6$. इसी प्रकार,$\Delta QMR$ और $\Delta RNP$ पर विचार करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\Delta QMR \cong \Delta RNP$,जिसका अर्थ है कि $\angle QRM = \angle RPN$,जिससे $PQ = QR$ प्राप्त होता है।
$7$. चूंकि $PR = QR$ और $PQ = QR$ है,इसलिए $PQ = QR = PR$ है।
$8$. अतः,$\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,मान लीजिए $PL \perp QR$,$QM \perp PR$,और $RN \perp PQ$ है। दिया गया है कि $PL = QM = RN$ है।
$2$. $\Delta QRN$ और $\Delta RQM$ पर विचार करें। यहाँ $\angle QNR = \angle RMQ = 90^{\circ}$,$QR = RQ$ (उभयनिष्ठ भुजा),और $RN = QM$ (दिया है)।
$3$. $RHS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta QRN \cong \Delta RQM$ है। अतः,$\angle RQN = \angle QRM$,जिसका अर्थ है कि $\angle RQP = \angle QRP$ है।
$4$. इसी प्रकार,$\Delta PQL$ और $\Delta QPM$ पर विचार करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle QPR = \angle PQR$ है।
$5$. चूँकि $\angle PQR = \angle QRP$ और $\angle QPR = \angle PQR$ है,इसलिए $\angle PQR = \angle QRP = \angle QPR$ होगा।
$6$. चूँकि सभी कोण बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) $(1)$ असत्य। प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज में,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है। चूँकि $XY > XZ$ है,इसलिए $XY$ के सम्मुख कोण $(\angle Z)$ का मान $XZ$ के सम्मुख कोण $(\angle Y)$ से बड़ा होना चाहिए। अतः,$\angle Z > \angle Y$ सही है।
$(2)$ सत्य। दिया गया है कि $\frac{AB}{PR} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{RQ} = 1$,जिसका अर्थ है कि $AB = PR$,$BC = QP$,और $CA = RQ$ है। $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $AB = PR$
$2$. $BC = RQ$
$3$. $\angle B = \angle R$
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
दी गई समानताओं के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
- शीर्ष $A$,शीर्ष $P$ के संगत है।
- शीर्ष $B$,शीर्ष $R$ के संगत है।
- शीर्ष $C$,शीर्ष $Q$ के संगत है।
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta PRQ$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ में:
$1$. $\angle P = \angle Z$
$2$. $\angle Q = \angle Y$
$3$. $PQ = YZ$
$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,शीर्षों का क्रम समान होना चाहिए।
चूंकि $\angle P$,$\angle Z$ के संगत है,$\angle Q$,$\angle Y$ के संगत है,और भुजा $PQ$,$ZY$ (या $YZ$) के संगत है,इसलिए शेष शीर्ष $R$,$X$ के संगत होगा।
अतः,संगतता $P \leftrightarrow Z$,$Q \leftrightarrow Y$ और $R \leftrightarrow X$ है।
इस प्रकार,$\Delta PQR \cong \Delta ZYX$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में:
$1$. $\angle A = \angle X$
$2$. $\angle C = \angle Z$
$3$. $AB = XY$
कोण-कोण-भुजा $(AAS)$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,यहाँ $\angle A$,$\angle X$ के संगत है,$\angle C$,$\angle Z$ के संगत है और भुजा $AB$,$XY$ के संगत है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,तीसरा कोण $\angle B$,$\angle Y$ के बराबर होगा।
अतः,संगतता $A \leftrightarrow X$,$B \leftrightarrow Y$ और $C \leftrightarrow Z$ है।
इसलिए,$\Delta ABC \cong \Delta XYZ$.

(A) दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{RQ} = \frac{AC}{PR} = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $AB = PQ$,$BC = RQ$,और $AC = PR$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीनों संगत भुजाओं के बराबर हों,तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
भुजाओं की समानता के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
$AB = PQ$ (शीर्ष $A$,$P$ के संगत है,$B$,$Q$ के संगत है)
$BC = RQ$ (शीर्ष $B$,$R$ के संगत है,$C$,$Q$ के संगत है)
$AC = PR$ (शीर्ष $A$,$P$ के संगत है,$C$,$R$ के संगत है)
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$।

(B) दिया गया है: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle B = \angle P = 90^{\circ}$ है।
$AC = RQ$ ($\Delta ABC$ का कर्ण = $\Delta PQR$ का कर्ण)।
$AB = RP$ ($\Delta ABC$ की एक भुजा = $\Delta PQR$ की एक भुजा)।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
शीर्षों का मिलान करने पर: $A$ के संगत $R$,$B$ के संगत $P$,और $C$ के संगत $Q$ है।
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$।

(D) दिया गया है कि $\Delta PRQ \cong \Delta ZXY$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
दोनों त्रिभुजों के शीर्षों की तुलना करने पर:
$P$ के संगत $Z$ है।
$R$ के संगत $X$ है।
$Q$ के संगत $Y$ है।
इसलिए,$\angle P = \angle Z$,$\angle R = \angle X$,और $\angle Q = \angle Y$ है।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि $\Delta XYZ$ में कौन सा कोण $\angle R$ के बराबर है,तो संगतता देखने पर: $\angle R$,$\angle X$ के बराबर है।
अतः,$\angle R = \angle X$।