Some Properties of a Triangle Questions in Hindi

(D) श्रीयंत्र अथर्ववेद में प्रयुक्त एक जटिल पवित्र ज्यामितीय पैटर्न है। यह $9$ अंतर्ग्रथित समद्विबाहु त्रिभुजों से बना है। ये त्रिभुज इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि वे कुल $43$ छोटे त्रिभुज बनाते हैं,लेकिन प्राथमिक अंतर्ग्रथित संरचना $9$ त्रिभुजों से बनी होती है।

(C) $\Delta TQR$ में,चूँकि $QT \perp PR$,अतः $\angle QTR = 90^o$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\Delta TQR$ के कोणों का योग $180^o$ होता है:
$\angle QTR + \angle TQR + \angle TRQ = 180^o$
$90^o + 40^o + x = 180^o$
$130^o + x = 180^o$
$x = 180^o - 130^o = 50^o$
अब,$\Delta P S R$ पर विचार करें। $\Delta P S R$ का बहिष्कोण $y$ उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है:
$y = \angle SPR + \angle PRS$
$y = 30^o + x$
$y = 30^o + 50^o = 80^o$
अतः,$x = 50^o$ और $y = 80^o$ है।

(B) $\Delta XYZ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle XYZ + \angle YZX + \angle ZXY = 180^o$
दिया है कि $\angle XYZ = 54^o$ और $\angle ZXY = 62^o$ है।
$54^o + \angle YZX + 62^o = 180^o$
$\angle YZX = 180^o - 116^o = 64^o$।
चूंकि $YO$ और $ZO$ क्रमशः $\angle XYZ$ और $\angle XZY$ के समद्विभाजक हैं:
$\angle OZY = \frac{1}{2} \angle XZY = \frac{1}{2} (64^o) = 32^o$।
$\angle OYZ = \frac{1}{2} \angle XYZ = \frac{1}{2} (54^o) = 27^o$।
$\Delta OYZ$ में,कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle YOZ + \angle OYZ + \angle OZY = 180^o$
$\angle YOZ + 27^o + 32^o = 180^o$
$\angle YOZ = 180^o - 59^o = 121^o$।
अतः,$\angle OZY = 32^o$ और $\angle YOZ = 121^o$।

(C) माना $\triangle ABC$ के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + \angle C$ ...... $(1)$
किसी भी $\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ ...... $(2)$
[त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म]
समीकरण $(1)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(D) त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
माना कि दोनों बराबर अंतः अभिमुख कोणों में से प्रत्येक का मान $x$ है।
दिया गया है कि बहिष्कोण $105^{\circ}$ है।
अतः,$x + x = 105^{\circ}$.
$2x = 105^{\circ}$.
$x = \frac{105^{\circ}}{2} = 52 \frac{1}{2}^{\circ}$.
इस प्रकार,प्रत्येक बराबर कोण का मान $52 \frac{1}{2}^{\circ}$ है।

(A) माना त्रिभुज के कोण $5x$,$3x$ और $7x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$5x + 3x + 7x = 180^{\circ}$
$15x = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} / 15 = 12^{\circ}$
अतः,त्रिभुज के कोण हैं:
$5 \times 12^{\circ} = 60^{\circ}$
$3 \times 12^{\circ} = 36^{\circ}$
$7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$
चूंकि त्रिभुज का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ से कम है,इसलिए सभी कोण न्यूनकोण हैं।
अतः,त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसमें $\angle A = 130^{\circ}$ है।
किसी भी त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ होगा।
मान लीजिए $OB$ और $OC$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं।
तब $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$ होगा।
$\triangle OBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB)$ होगा।
मान रखने पर,$\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$ प्राप्त होता है।
$\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(50^{\circ}) = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$ होगा।

(A) दिया गया है: त्रिभुज के कोणों का अनुपात $2: 4: 3$ है।
मान लीजिए कि त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
इसलिए,$\angle A = 2x, \angle B = 4x$ और $\angle C = 3x$ है।
$\triangle ABC$ में,कोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
[चूंकि त्रिभुज के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है]।
मान रखने पर: $2x + 4x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} / 9 = 20^{\circ}$।
कोणों की गणना:
$\angle A = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$।
$\angle B = 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
$\angle C = 3x = 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
$40^{\circ}, 80^{\circ}$ और $60^{\circ}$ कोणों की तुलना करने पर,सबसे छोटा कोण $40^{\circ}$ है।

(B) नहीं,एक त्रिभुज के सभी कोण $60^{\circ}$ से कम नहीं हो सकते।
यदि किसी त्रिभुज के तीनों कोण $60^{\circ}$ से कम हैं,तो उनका योग $60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ से कम होगा।
हालाँकि,एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है (त्रिभुज का कोण योग गुण)।
इसलिए,यह असंभव है कि सभी कोण $60^{\circ}$ से कम हों।

(NO) वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ से अधिक लेकिन $180^{\circ}$ से कम होता है,उसे अधिक कोण (obtuse angle) कहा जाता है।
एक त्रिभुज में दो अधिक कोण नहीं हो सकते क्योंकि त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
यदि एक त्रिभुज में दो अधिक कोण होते,तो केवल उन दो कोणों का योग ही $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ से अधिक हो जाता।
चूंकि यह योग त्रिभुज के कोण योग गुण $(180^{\circ})$ से अधिक हो जाता है,इसलिए एक त्रिभुज में दो अधिक कोण होना असंभव है।

(A) किसी भी त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होना चाहिए।
दिए गए मामले में,कोणों का योग $45^{\circ} + 64^{\circ} + 72^{\circ} = 181^{\circ}$ है।
चूंकि कोणों का योग $180^{\circ}$ के बराबर नहीं है,इसलिए ऐसा त्रिभुज बनाना असंभव है।
अतः,$0$ त्रिभुज खींचे जा सकते हैं।

दिया है: कोणों का अनुपात $2: 3: 4$ है।
ज्ञात करना है: त्रिभुज के कोण।
माना त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
इसलिए,$\angle A = 2x$,$\angle B = 3x$ और $\angle C = 4x$ होगा।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (त्रिभुज का कोण योग गुण)।
मान रखने पर: $2x + 3x + 4x = 180^{\circ}$।
$9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} / 9 = 20^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$,$\angle B = 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$ और $\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के कोण $40^{\circ}, 60^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $PQR$ है,जिसमें $\angle 1, \angle 2$ और $\angle 3$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के अंतःकोण हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$ है।
शीर्ष $P$ से होकर जाने वाली और $QR$ के समांतर एक रेखा $XPY$ खींचिए।
चूंकि $XPY$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $P$ पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होगा,अतः $\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = 180^{\circ}$।
चूंकि $XPY \parallel QR$ है और $PQ, PR$ तिर्यक रेखाएं हैं,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:
$\angle 4 = \angle 2$ और $\angle 5 = \angle 3$।
इन मानों को समीकरण $\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = 180^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 2 + \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है
$AB = AC$ (दिया है,क्योंकि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है)
चूंकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle ABC = \angle ACB$ .......... $(1)$
$\Delta BDC$ में,हमारे पास है
$BD = CD$ (दिया है,क्योंकि $\Delta BDC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है)
चूंकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle CBD = \angle BCD$ .......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC + \angle CBD = \angle ACB + \angle BCD$
$\Rightarrow \angle ABD = \angle ACD$
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $AB = AC$ है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)। मान लीजिए $\angle ABC = \angle ACB = x$ है। तब $\angle BAC = 180^\circ - 2x$ होगा।
$\Delta ACD$ में,चूँकि $AD = AB$ और $AB = AC$ है,इसलिए $AD = AC$ होगा। अतः,$\angle ADC = \angle ACD$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)। मान लीजिए $\angle ADC = \angle ACD = y$ है।
चूँकि $BA$ को $D$ तक बढ़ाया गया है,$BD$ एक सीधी रेखा है। इसलिए,$\angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$ होगा।
चूँकि $\angle CAD = 180^\circ - 2y$ ($\Delta ACD$ से) है,इसलिए $(180^\circ - 2x) + (180^\circ - 2y) = 180^\circ$ होगा।
$360^\circ - 2(x + y) = 180^\circ$।
$2(x + y) = 180^\circ$।
$x + y = 90^\circ$।
चूँकि $\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = x + y$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BCD = 90^\circ$ है।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं,उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
$\Rightarrow \angle ACB = \angle ABC$
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^o$
$90^o + \angle B + \angle C = 180^o$ [चूंकि $\angle A = 90^o$]
$\angle B + \angle C = 180^o - 90^o = 90^o$
चूंकि $\angle B = \angle C$,हम लिख सकते हैं:
$2 \angle B = 90^o$
$\angle B = \frac{90^o}{2} = 45^o$
अतः,$\angle B = 45^o$ और $\angle C = 45^o$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$AB = BC = CA$ $[\because \Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है$]$
चूँकि $AB = BC$,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ ......... $(1)$
इसी प्रकार,चूँकि $AC = BC$,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle B$ ......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A = \angle B = \angle C$
माना $\angle A = \angle B = \angle C = x$
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^o$
प्रत्येक कोण के लिए $x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + x + x = 180^o$
$3x = 180^o$
$x = \frac{180^o}{3} = 60^o$
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^o$.
इस प्रकार,एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^o$ होता है।

(N/A) $\Delta DAC$ में,
$AD = AC$ (दिया है)
अतः,$\angle ADC = \angle ACD$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
अब,$\angle ADC$,$\Delta ABD$ के लिए एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,$\angle ADC > \angle ABD$।
चूँकि $\angle ADC = \angle ACD$ है,इसलिए $\angle ACD > \angle ABD$।
इसका अर्थ है कि $\angle ACB > \angle ABC$।
$\Delta ABC$ में,बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है। अतः,$AB > AC$।
चूँकि $AD = AC$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $AB > AD$।

(N/A) मान लीजिए कि हम $\Delta ABC$ पर विचार करते हैं जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ है।
$\angle B = 90^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle A + 90^\circ + \angle C = 180^\circ$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle A + \angle C = 90^\circ$ है।
चूंकि $\angle A + \angle C = 90^\circ$ और $\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए $\angle B = \angle A + \angle C$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle B > \angle A$ और $\angle B > \angle C$ है।
किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सम्मुख भुजा लंबी होती है। इसलिए,$\angle B$ के सम्मुख भुजा $(AC)$,$\angle A$ के सम्मुख भुजा $(BC)$ और $\angle C$ के सम्मुख भुजा $(AB)$ से लंबी है।
अतः,$AC > BC$ और $AC > AB$ है।
चूंकि $AC$ कर्ण है,इसलिए यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है।

(N/A) हम जानते हैं कि $\angle ABC + \angle PBC = 180^\circ$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]।
इसी प्रकार,$\angle ACB + \angle QCB = 180^\circ$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]।
अतः,$\angle ABC + \angle PBC = \angle ACB + \angle QCB$ है।
दिया गया है कि $\angle PBC < \angle QCB$ है।
चूंकि कोणों का योग स्थिर $(180^\circ)$ है,यदि योग में एक कोण छोटा है,तो समानता बनाए रखने के लिए दूसरा कोण बड़ा होना चाहिए।
अतः,$\angle ABC > \angle ACB$ है।
किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सामने की भुजा लंबी होती है।
इसलिए,$\angle ABC$ के सामने की भुजा $(AC)$,$\angle ACB$ के सामने की भुजा $(AB)$ से बड़ी है।
अतः,$AC > AB$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $\angle B < \angle A$ और $\angle C < \angle D$ है।
$\triangle AOB$ में,क्योंकि $\angle B < \angle A$ है,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$OA < OB$ ($\angle B$ के सामने की भुजा $OA$ है और $\angle A$ के सामने की भुजा $OB$ है) ...... $(1)$
$\triangle COD$ में,क्योंकि $\angle C < \angle D$ है,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$OD < OC$ ($\angle C$ के सामने की भुजा $OD$ है और $\angle D$ के सामने की भुजा $OC$ है) ...... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA + OD < OB + OC$
चूंकि $OA + OD = AD$ और $OB + OC = BC$ है,इसलिए:
$AD < BC$.

(N/A) $\Delta PQR$ में,$PS$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है [दिया है]।
इसलिए,$\angle QPS = \angle RPS$।
चूंकि $PR > PQ$ [दिया है],
इसलिए,$PR$ के सम्मुख कोण,$PQ$ के सम्मुख कोण से बड़ा होगा।
अतः,$\angle PQS > \angle PRS$।
बाईं ओर $\angle QPS$ और दाईं ओर $\angle RPS$ जोड़ने पर (चूंकि $\angle QPS = \angle RPS$):
$\angle PQS + \angle QPS > \angle PRS + \angle RPS$ ... $(1)$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSR = \angle PQS + \angle QPS$।
$\Delta PRS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSQ = \angle PRS + \angle RPS$।
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle PSR > \angle PSQ$।

(N/A) मान लीजिए कि रेखा $l$ पर स्थित न होने वाला एक बिंदु $P$ है। मान लीजिए कि $PM$,$P$ से रेखा $l$ पर खींचा गया लंब है,और $N$ रेखा $l$ पर कोई अन्य बिंदु है ताकि $N \neq M$ हो।
$\Delta PMN$ में,चूँकि $\angle M = 90^o$ है,कोणों का योग $\angle M + \angle N + \angle P = 180^o$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle N + \angle P = 90^o$,इसलिए $\angle N < 90^o$ है।
चूँकि $\angle N < \angle M$ है,$\angle N$ के सम्मुख भुजा $\angle M$ के सम्मुख भुजा से छोटी होनी चाहिए।
इसलिए,$PM < PN$ है।
चूँकि $N$ रेखा $l$ पर कोई भी बिंदु ($M$ के अलावा) है,यह दर्शाता है कि $PM$,$P$ से रेखा $l$ पर खींचे गए किसी भी अन्य रेखाखंड से छोटा है।
अतः,लंब रेखाखंड,एक बिंदु से एक रेखा पर खींचा गया सबसे छोटा रेखाखंड होता है।

(N/A) मान लीजिए कि हम एक $\Delta ABC$ पर विचार करते हैं।
भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक $l$ खींचिए।
भुजा $BC$ का लंब समद्विभाजक $m$ खींचिए।
मान लीजिए कि ये दोनों लंब समद्विभाजक $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उसके अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है (अतः $OA = OB$) और $BC$ के लंब समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः $OB = OC$)।
इसलिए,$OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है कि बिंदु $O$ ही वह वांछित बिंदु है जो सभी शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcenter) कहा जाता है।

(N/A) मान लीजिए एक $\Delta ABC$ है।
$\angle B$ का कोण समद्विभाजक $'l'$ खींचिए।
$\angle C$ का कोण समद्विभाजक $'m'$ खींचिए।
मान लीजिए कि दोनों कोण समद्विभाजक $'l'$ और $'m'$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$\angle B$ के समद्विभाजक पर स्थित है (अतः यह $AB$ और $BC$ से समान दूरी पर है) और $\angle C$ के समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः यह $BC$ और $AC$ से समान दूरी पर है)।
अतः,बिंदु $O$,$\Delta ABC$ की तीनों भुजाओं ($AB$,$BC$ और $AC$) से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) कहा जाता है।

(N/A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि आइसक्रीम पार्लर बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,हमें इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcenter) ज्ञात करना होगा।
$1$. बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ें,और रेखा $l$ खींचें,जो रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
$2$. बिंदुओं $B$ और $C$ को जोड़ें,और रेखा $m$ खींचें,जो रेखाखंड $BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$3$. मान लीजिए कि लंब समद्विभाजक $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
बिंदु $O$,$\triangle ABC$ का परिकेंद्र है,और यह शीर्षों $A$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है। इसलिए,आइसक्रीम पार्लर को बिंदु $O$ पर स्थापित किया जाना चाहिए।

(D) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
चूँकि त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle B$ होगा।
दिया गया है कि $\angle B = 50^{\circ}$ है।
अतः,$\angle C = 50^{\circ}$ होगा।

(A) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $BC = AB$ है।
त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle A = \angle C$ होगा।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\angle A + 80^{\circ} + \angle A = 180^{\circ}$।
$2 \angle A + 80^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2 \angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ}$।
$2 \angle A = 100^{\circ}$।
$\angle A = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$।

(B) $\triangle PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle R = \angle P$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$\angle R$ के सम्मुख भुजा $(PQ)$,$\angle P$ के सम्मुख भुजा $(QR)$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PQ = QR$ है।
चूँकि $QR = 4 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PQ = 4 \, cm$ होगा।

(C) $\triangle ADC$ में,बहिष्कोण $\angle ADB$,अंतः सम्मुख कोण $\angle DAC$ से बड़ा है।
चूंकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle DAC$ है।
इस मान को असमिका में रखने पर,हमें $\angle ADB > \angle BAD$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABD$ में,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है,इसलिए $AB > BD$ है।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम होना चाहिए।
माना तीसरी भुजा $x$ है।
अतः,$5 - 1.5 < x < 5 + 1.5$,जिसे सरल करने पर $3.5 < x < 6.5$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 3.4$ इस सीमा $(3.5, 6.5)$ में नहीं है क्योंकि $3.4 < 3.5$ है।
$B) 3.8$ इस सीमा में है।
$C) 4.1$ इस सीमा में है।
$D) 3.6$ इस सीमा में है।
इसलिए,तीसरी भुजा की लंबाई $3.4\, cm$ नहीं हो सकती है।

(B) $\triangle PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle R > \angle Q.$
प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण की सम्मुख भुजा लंबी होती है।
$\angle R$ की सम्मुख भुजा $PQ$ है और $\angle Q$ की सम्मुख भुजा $PR$ है।
चूँकि $\angle R > \angle Q$ है,इसलिए $PQ > PR$ होगा।

(N/A) त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक होना चाहिए।
यहाँ,भुजाओं की लंबाई $4 \, cm, 3 \, cm$ और $7 \, cm$ है।
दो छोटी भुजाओं का योग करने पर: $4 \, cm + 3 \, cm = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
चूंकि दो भुजाओं का योग $(7 \, cm)$ तीसरी भुजा $(7 \, cm)$ के बराबर है,न कि उससे अधिक,इसलिए त्रिभुज असमिका की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,इन भुजाओं की लंबाई के साथ त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।

(PR) $\triangle PQR$ में,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle Q = 180^{\circ} - (\angle P + \angle R)$
$\angle Q = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\angle Q > \angle P > \angle R$ $(80^{\circ} > 70^{\circ} > 30^{\circ})$।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़े कोण के सम्मुख वाली भुजा सबसे लंबी होती है।
यहाँ $\angle Q$ सबसे बड़ा कोण है,और $\angle Q$ के सम्मुख भुजा $PR$ है।
अतः,$PR$ त्रिभुज $\triangle PQR$ की सबसे लंबी भुजा है।

(A) हमें सिद्ध करना है कि $AB + BC + AC > 2\, AM$ है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
$\triangle ABM$ में,हमारे पास है:
$AB + BM > AM$ $\ldots (1)$
$\triangle ACM$ में,हमारे पास है:
$AC + CM > AM$ $\ldots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB + BM + AC + CM > AM + AM$
$AB + AC + (BM + CM) > 2\, AM$
चूँकि $M$,$BC$ पर एक बिंदु है,इसलिए $BM + CM = BC$ है। इस मान को असमिका में रखने पर:
$AB + AC + BC > 2\, AM$
अतः,यह कहना सत्य है कि त्रिभुज $ABC$ का परिमाप $2\, AM$ से अधिक है।

(N/A) नहीं,$9 \, cm$,$7 \, cm$ और $17 \, cm$ भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
यहाँ,दो छोटी भुजाओं का योग है:
$9 \, cm + 7 \, cm = 16 \, cm$
चूंकि $16 \, cm < 17 \, cm$,इसलिए दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक नहीं है।
अतः,इन भुजाओं की लंबाइयों के साथ त्रिभुज का निर्माण नहीं किया जा सकता है।

(A) हाँ,$8\,cm, 7\,cm$ और $4\,cm$ भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज बनाना संभव है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
शर्तों की जाँच करने पर:
$8 + 7 = 15 > 4$
$8 + 4 = 12 > 7$
$7 + 4 = 11 > 8$
चूँकि तीनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PQ > PR$ और $QS$,$RS$ क्रमशः $\angle Q$ और $\angle R$ के समद्विभाजक हैं।
चूँकि $PQ > PR$,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है। इसलिए,$\angle R > \angle Q$।
चूँकि $QS$ और $RS$ क्रमशः $\angle Q$ और $\angle R$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle SQR = \frac{1}{2} \angle Q$
$\angle SRQ = \frac{1}{2} \angle R$
चूँकि $\angle R > \angle Q$,इसलिए $\frac{1}{2} \angle R > \frac{1}{2} \angle Q$ होगा।
अतः,$\angle SRQ > \angle SQR$।
$\triangle SQR$ में,चूँकि $\angle SRQ > \angle SQR$,बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है। अतः,$SQ > SR$।

(N/A) दिया है: $PQ = PR$ है।
सिद्ध करना है: $PS > PQ$ है।
उपपत्ति: $\triangle PQR$ में,हमारे पास है:
$PR = PQ$ (दिया है)।
इसलिए,$\angle PQR = \angle PRQ$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\triangle PQS$ में,$\angle PQR$ एक बहिष्कोण है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके प्रत्येक अंतःअभिमुख कोणों से बड़ा होता है।
इसलिए,$\angle PQR > \angle S$ है।
चूँकि $\angle PQR = \angle PRQ$ है,इसलिए $\angle PRQ > \angle S$ होगा।
$\triangle PSR$ में,चूँकि $\angle PRQ > \angle S$ है,इसलिए $\angle PRQ$ के सम्मुख भुजा,$\angle S$ के सम्मुख भुजा से बड़ी होनी चाहिए।
अतः,$PS > PR$ है।
चूँकि $PR = PQ$ है,हम $PR$ के स्थान पर $PQ$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इस प्रकार,$PS > PQ$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ की भुजा $QR$ पर एक बिंदु $S$ स्थित है।
सिद्ध करना है: $PQ + QR + RP > 2 \, PS$.
उपपत्ति: $\triangle PQS$ में,हमारे पास है:
$PQ + QS > PS$ ..... $(1)$
[चूँकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
अब,$\triangle PSR$ में,हमारे पास है:
$RS + RP > PS$ ..... $(2)$
[चूँकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ + QS + RS + RP > 2 \, PS$
चूँकि $QS + RS = QR$,इसलिए:
$PQ + QR + RP > 2 \, PS$
इति सिद्धम्।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
अतः,$\angle ABC = \angle ACB$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूँकि $D$,$AC$ पर एक बिंदु है,इसलिए $\angle DBC < \angle ABC$ होगा।
$\angle ABC$ के स्थान पर $\angle ACB$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\angle DBC < \angle ACB$ है।
यहाँ $\angle ACB$ और $\angle DCB$ एक ही कोण हैं,अतः $\angle DBC < \angle DCB$ है।
$\triangle BCD$ में,चूँकि $\angle DCB > \angle DBC$ है,इसलिए बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
अतः,$BD > CD$ या $CD < BD$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ है। $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक हैं,जो $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $BO$ को $M$ तक बढ़ाया गया है।
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,चूँकि $AB = AC$,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूँकि $BO$ और $CO$ कोण $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$
चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$,इसलिए $\angle OBC = \angle OCB$ होगा।
$\triangle OBC$ में,जब भुजा $BO$ को $M$ तक बढ़ाया जाता है,तो $\angle MOC$ शीर्ष $O$ पर एक बहिष्कोण है।
त्रिभुज के बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,बहिष्कोण अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle MOC = \angle OBC + \angle OCB$।
चूँकि $\angle OBC = \angle OCB$,हम लिख सकते हैं:
$\angle MOC = \angle OBC + \angle OBC = 2 \angle OBC$।
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle MOC = 2 \times (\frac{1}{2} \angle ABC) = \angle ABC$।
अतः,$\angle MOC = \angle ABC$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास $AB = AC$ है।
इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$ [क्योंकि त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$ है।
चूंकि $\angle ABC = \angle ACB$,इसलिए $\angle OBC = \angle OCB$ होगा।
$\triangle OBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$।
$\angle OCB = \angle OBC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle BOC + 2 \angle OBC = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\angle BOC = 180^{\circ} - 2 \angle OBC$।
अब,$\angle ABC$ के आसन्न बाह्य कोण पर विचार करें। मान लीजिए $D$,$AB$ के विस्तार पर एक बिंदु है। बाह्य कोण $\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC$ है।
चूंकि $\angle ABC = 2 \angle OBC$,इसलिए $\angle CBD = 180^{\circ} - 2 \angle OBC$ होगा।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle BOC = \angle CBD$।

(N/A) माना $\angle BAD = \angle 1$ और $\angle CAD = \angle 2$ है। चूँकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ है।
$\triangle ACD$ में,$\angle ADC$ शीर्ष $D$ पर एक बहिष्कोण है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
अतः,$\angle ADC = \angle CAD + \angle ACD = \angle 2 + \angle ACD$ है।
चूँकि $\angle ACD > 0$,इसलिए $\angle ADC > \angle 2$ प्राप्त होता है।
$\angle 2 = \angle 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle ADC > \angle 1$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle ABD$ पर विचार करें। इस त्रिभुज में,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle ADB$ (जो $\angle ADC$ है) है और भुजा $BD$ के सम्मुख कोण $\angle BAD$ (जो $\angle 1$ है) है।
चूँकि $\angle ADC > \angle 1$,इसलिए बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
अतः,$AB > BD$ सिद्ध होता है।

(B) त्रिभुज की माध्यिका वह रेखाखंड है जो एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार,एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है। चूंकि माध्यिका त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनका शीर्षलंब समान होता है और आधार की लंबाई भी समान होती है (क्योंकि माध्यिका भुजा को समद्विभाजित करती है),इसलिए इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

(A) माना कि समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $x$ है।
चूँकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसका क्षेत्रफल $ar(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ होगा।
दिया गया है कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $BDE$ की भुजा की लंबाई $BD = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$ होगी।
समबाहु त्रिभुज $BDE$ का क्षेत्रफल $ar(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2\right)$ होगा।
$\triangle ABC$ के क्षेत्रफल का मान रखने पर,हमें $ar(\triangle BDE) = \frac{1}{4} ar(\triangle ABC)$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $BDE$ की भुजा की लंबाई $\frac{a}{2}$ होगी।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए,अर्थात $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
यहाँ दिया गया है कि $\angle B = 105^{\circ}$ और $\angle C = 90^{\circ}$।
दिए गए दो कोणों का योग करने पर: $\angle B + \angle C = 105^{\circ} + 90^{\circ} = 195^{\circ}$।
चूंकि $195^{\circ} > 180^{\circ}$ है,इसलिए केवल दो कोणों का योग ही त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से अधिक हो जाता है। अतः,ऐसे त्रिभुज की रचना करना संभव नहीं है।

(N/A) $CB$ को बिंदु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $BC = BD$ हो और $AD$ को मिलाइए।
$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ में:
$BC = BD$ (रचना से)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ABC = \angle ABD = 90^{\circ}$ (दिया है और रचना से)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम से $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
इसलिए,$CPCT$ से $\angle CAB = \angle DAB$ है। माना $\angle BAC = x$,तो $\angle CAB = x$ और $\angle DAB = x$ है।
इस प्रकार,$\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD = x + x = 2x$ है।
चूँकि $\angle BCA = 2 \angle BAC$ है,और $\angle BAC = x$ है,तो $\angle BCA = 2x$ है।
$\Delta ACD$ में,$\angle CAD = 2x$ और $\angle ACD = 2x$ है।
चूँकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी,अतः $AC = CD$ है।
साथ ही,चूँकि $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है,इसलिए $CPCT$ से $AC = AD$ है।
अतः,$\angle ADC = \angle ACD = 2x$ है।
चूँकि $\Delta ACD$ के तीनों कोण $60^{\circ}$ हैं $(2x + 2x + 2x = 180^{\circ} \implies x = 30^{\circ})$,इसलिए $\Delta ACD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$AC = CD = AD$ है।
चूँकि $CD = BC + BD$ और $BC = BD$ है,इसलिए $CD = BC + BC = 2BC$ है।
अतः,$AC = 2BC$ सिद्ध होता है।

(N/A) हमें $\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ दिया गया है,इस प्रकार कि $\angle BAD = \angle CAD$ और $BD = CD$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = AC$ है।
$AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो और फिर $CE$ को मिलाइए।
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta ECD$ में:
$BD = CD$ (दिया है)
$AD = DE$ (रचना द्वारा)
$\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$\Delta ABD \cong \Delta ECD$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसलिए,$AB = EC$ और $\angle BAD = \angle CED$ $(CPCT)$ ... $(1)$
साथ ही,$\angle BAD = \angle CAD$ (दिया है) ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle CAD = \angle CED$ प्राप्त होता है।
$\Delta ACE$ में,चूँकि $\angle CAD = \angle CED$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AC = EC$ ... $(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,हमें $AB = AC$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।