Some Properties of a Triangle Questions in Hindi

(N/A) $QS$ को आगे बढ़ाइए ताकि वह $PR$ को $T$ पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle PQT$ में,हमारे पास है:
$PQ + PT > QT$ (त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है)
$PQ + PT > SQ + ST$ ..... $(1)$
$\triangle TSR$ में,हमारे पास है:
$ST + TR > SR$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ + PT + ST + TR > SQ + ST + SR$
$PQ + PT + TR > SQ + SR$
चूँकि $PT + TR = PR$,इसलिए:
$PQ + PR > SQ + SR$
अतः,$SQ + SR < PQ + PR$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज में,तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं,अर्थात $AB = BC = AC$।
चूँकि त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle B = \angle C$ है।
मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$x + x + x = 180^{\circ}$।
$3x = 180^{\circ}$।
$x = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$।
अतः,एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण $60^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}$ होते हैं।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $\triangle BPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
दिया गया है कि $BP$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए:
$\angle 1 = \angle 2$ .....$(1)$
चूंकि $PQ \parallel BA$ और $BP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle 1 = \angle 3$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 2 = \angle 3$
$\triangle BPQ$ में,चूंकि $\angle 2 = \angle 3$,इसलिए इन समान कोणों के सम्मुख भुजाएं बराबर होनी चाहिए:
$PQ = BQ$
चूंकि $\triangle BPQ$ की दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $\triangle BPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = DC$ है।
साथ ही,यह दिया गया है कि $BD = \frac{1}{2} AC$ है।
चूंकि $AC = AD + DC = 2AD$,इसलिए $BD = AD$ है।
अतः,$BD = AD = DC$ है।
$\Delta ABD$ में,चूंकि $BD = AD$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ है। $(1)$
$\Delta BCD$ में,चूंकि $BD = DC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ है। $(2)$
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle 1 + (\angle 2 + \angle 3) + \angle 4 = 180^{\circ}$
$(1)$ और $(2)$ से $\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 4 = \angle 3$ रखने पर:
$\angle 2 + (\angle 2 + \angle 3) + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2(\angle 2 + \angle 3) = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$
चूंकि $\angle ABC = \angle 2 + \angle 3$ है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक त्रिभुज $ABC$,जो समबाहु त्रिभुज नहीं है। मान लीजिए $BC$ सबसे लंबी भुजा है।
सिद्ध करना है: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,चूंकि $BC$ सबसे लंबी भुजा है,इसलिए हमारे पास है:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
दोनों पक्षों में $\angle A$ जोड़ने पर:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
चूंकि $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,अतः $\angle A > \frac{2}{3}$ समकोण।
इति सिद्धम्।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
स्थिति $1$: यदि त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है,तो तीनों कोण $90^{\circ}$ से कम होते हैं। अतः,इसमें तीन न्यूनकोण होते हैं।
स्थिति $2$: यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,तो एक कोण $90^{\circ}$ होता है। मान लीजिए $\angle A = 90^{\circ}$ है। तब $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा। चूँकि दो धनात्मक कोणों का योग $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B$ और $\angle C$ दोनों $90^{\circ}$ से कम होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे दोनों न्यूनकोण हैं।
स्थिति $3$: यदि त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है,तो एक कोण $90^{\circ}$ से अधिक होता है। मान लीजिए $\angle A > 90^{\circ}$ है। तब $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$ होगा। चूँकि $\angle A > 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B + \angle C < 90^{\circ}$ होगा। इसका तात्पर्य यह है कि $\angle B$ और $\angle C$ दोनों $90^{\circ}$ से कम होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे दोनों न्यूनकोण हैं।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,एक त्रिभुज में कम से कम दो न्यूनकोण होने ही चाहिए।

(B) श्रीयंत्र ध्यान और पूजा में उपयोग किया जाने वाला एक पवित्र ज्यामितीय पैटर्न है। इसमें नौ गुंथे हुए त्रिभुज होते हैं। ये त्रिभुज विशेष रूप से समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं,जिन्हें इस तरह व्यवस्थित किया जाता है कि वे एक जटिल ज्यामितीय संरचना बनाते हैं जो पुरुष और स्त्री दिव्य ऊर्जा के मिलन का प्रतिनिधित्व करती है।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया अनुपात $\angle A : \angle B : \angle C = 5 : 7 : 8$ है,इसलिए मान लीजिए कि कोण $5x, 7x$ और $8x$ हैं।
कोणों का योग: $5x + 7x + 8x = 180^{\circ}$.
$20x = 180^{\circ}$.
$x = \frac{180^{\circ}}{20} = 9^{\circ}$.
अतः,कोणों के माप इस प्रकार हैं:
$\angle A = 5 \times 9^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\angle B = 7 \times 9^{\circ} = 63^{\circ}$.
$\angle C = 8 \times 9^{\circ} = 72^{\circ}$.

(A) माना $\Delta PQR$ के कोण क्रमशः $5x$,$2x$ और $2x$ हैं।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$5x + 2x + 2x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle P = 5x = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle Q = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle R = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
अतः,कोण $100^{\circ}, 40^{\circ}, 40^{\circ}$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है: $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$।
योग समीकरण में $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ रखने पर: $80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle C = 100^{\circ}$ को $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$ में रखने पर: $\angle B + 100^{\circ} = 150^{\circ} \implies \angle B = 50^{\circ}$।
$\angle B = 50^{\circ}$ को $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ में रखने पर: $\angle A + 50^{\circ} = 80^{\circ} \implies \angle A = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है $\angle B = \frac{\angle A + \angle C}{2}$,जिसका अर्थ है $2\angle B = \angle A + \angle C$।
इसे योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2\angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 3\angle B = 180^{\circ} \implies \angle B = 60^{\circ}$।
अब,$\angle A + \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
अनुपात $\angle A : \angle C = 1 : 2$ दिया गया है,मान लीजिए $\angle A = x$ और $\angle C = 2x$।
तब $x + 2x = 120^{\circ} \implies 3x = 120^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 40^{\circ}$ और $\angle C = 2(40^{\circ}) = 80^{\circ}$।
कोण $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 80^{\circ}$ हैं।

(A) चूंकि $S-Q-R-T$ एक सीधी रेखा है,$\angle PQS$ और $\angle PQR$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle PQR = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle PRT$ और $\angle PRQ$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle PRQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
$\Delta PQR$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle P + 80^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 130^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle P = 50^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 50^{\circ}$ हैं।

(A) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - 10^{\circ}) + (x + 10^{\circ}) + (2x - 20^{\circ}) = 180^{\circ}$।
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 20^{\circ} = 180^{\circ}$।
$5x = 200^{\circ}$।
$x = 40^{\circ}$।
अब,प्रत्येक कोण की गणना करें:
$\angle A = 2(40^{\circ}) - 10^{\circ} = 80^{\circ} - 10^{\circ} = 70^{\circ}$।
$\angle B = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}$।
$\angle C = 2(40^{\circ}) - 20^{\circ} = 80^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 70^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$ हैं।

(N/A) माना $\angle ABC = y$ और $\angle ACB = z$ है। बाह्य कोण $\angle CBD = 180^{\circ} - y$ और $\angle BCE = 180^{\circ} - z$ हैं।
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle CBD$ और $\angle BCE$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - y) = 90^{\circ} - \frac{y}{2}$
$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCE = \frac{1}{2} (180^{\circ} - z) = 90^{\circ} - \frac{z}{2}$
$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BOC + \angle CBO + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{y}{2}) + (90^{\circ} - \frac{z}{2}) = 180^{\circ}$
$\angle BOC + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(y + z) = 180^{\circ}$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$
$\Delta ABC$ में,$y + z + \angle A = 180^{\circ}$,इसलिए $y + z = 180^{\circ} - \angle A$।
इस मान को $\angle BOC$ के समीकरण में रखने पर:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$।

(B) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + 70^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle CAD = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$ होगा।
$\Delta ABD$ में,$\angle ADB = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BAD) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$।
$\Delta ADC$ में,$\angle ADC = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CAD) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$।

(N/A) $\Delta PQR$ में,मान लीजिए $\angle QPR = 2\alpha$ है। चूँकि $PA$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle QPA = \angle RPA = \alpha$ होगा।
$\Delta PQR$ में,$\angle Q + \angle R + \angle QPR = 180^{\circ}$,अतः $\angle Q + \angle R + 2\alpha = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)$।
$\Delta PMQ$ में,$\angle PMQ = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle QPM = 90^{\circ} - \angle Q$ होगा।
अब,$\angle APM = \angle QPA - \angle QPM$।
मान रखने पर: $\angle APM = \alpha - (90^{\circ} - \angle Q)$।
$\angle APM = [90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)] - 90^{\circ} + \angle Q$।
$\angle APM = \angle Q - \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R$।
$\angle APM = \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।
अतः,सिद्ध हुआ।

(B) त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $\angle P = 95^{\circ}$ और $\angle Q = 95^{\circ}$ है।
इन दो कोणों का योग $= 95^{\circ} + 95^{\circ} = 190^{\circ}$ है।
चूंकि $190^{\circ} > 180^{\circ}$ है,इसलिए एक त्रिभुज में दो कोणों का मान $95^{\circ}$ होना संभव नहीं है क्योंकि कोणों का योग त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से अधिक हो जाएगा।
अतः,यह कथन असत्य है।

(D) माना कि $\Delta XYZ$ के कोण क्रमशः $x$,$4x$ और $4x$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$x + 4x + 4x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,$\angle Z = 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.

(A) किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + \angle C$।
योग समीकरण में $(\angle B + \angle C)$ को $\angle A$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$।

(B) किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B = \angle C$,मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है।
समीकरण में मान रखने पर,$x + x + x = 180^{\circ}$।
$3x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} / 3 = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$।

(C) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQR$ में,$\angle PRT$ शीर्ष $R$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle P$ और $\angle Q$ हैं।
अतः,$\angle PRT = \angle P + \angle Q$.
दिया गया है कि $\angle P = 70^{\circ}$ और $\angle Q = 50^{\circ}$ है।
$\angle PRT = 70^{\circ} + 50^{\circ} = 120^{\circ}$।

(A) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसलिए,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
दिया गया है कि $\angle ACD = 122^{\circ}$ और $\angle A = 68^{\circ}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $122^{\circ} = 68^{\circ} + \angle B$.
$\angle B$ के लिए हल करने पर: $\angle B = 122^{\circ} - 68^{\circ} = 54^{\circ}$.
अतः,$\angle B = 54^{\circ}$.

(B) त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $180^o$ के बराबर होता है।
अतः,एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,शीर्ष $B$ पर बहिष्कोण $\angle ABD = 140^{\circ}$ है। चूँकि एक अंतःकोण और उसके आसन्न बहिष्कोण का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,शीर्ष $C$ पर बहिष्कोण $\angle ACE = 80^{\circ}$ है। अतः,अंतःकोण $\angle ACB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ होगा।
$\Delta ABC$ में,सभी अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
मान रखने पर,$\angle A + 40^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।

(B) बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle A$ और $\angle B$ हैं।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
दिया गया है कि $\angle A = 70^{\circ}$ और $\angle B = 40^{\circ}$।
$\angle ACD = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$।

(C) त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
$\Delta PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $\angle P = 42^{\circ}$ और $\angle Q = 75^{\circ}$ है।
इन मानों को रखने पर: $42^{\circ} + 75^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$117^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle R = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$।

(A) माना $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = BC = CA = a$ है।
माना $AD$,$BE$,और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$,और $AB$ पर खींची गई माध्यिकाएँ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में,माध्यिका ही शीर्षलंब (altitude) भी होती है।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^2 = AB^2 - BD^2$।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = a/2$ होगा।
$AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$।
अतः,$AD = (a\sqrt{3})/2$।
इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$\triangle BCE$ में,$BE^2 = BC^2 - CE^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4$।
अतः,$BE = (a\sqrt{3})/2$।
इसी प्रकार,$CF = (a\sqrt{3})/2$।
चूँकि $AD = BE = CF = (a\sqrt{3})/2$ है,इसलिए समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ समान होती हैं।

(N/A) $\angle P$ का समद्विभाजक $PM$ खींचिए जो $QR$ को $M$ पर मिलता है।
अतः,$\angle QPM = \angle RPM$ $(1)$.
अब,$\Delta PMQ$ और $\Delta PMR$ में:
$PQ = PR$ (दिया है)
$PM = PM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle QPM = \angle RPM$ [$(1)$ से]
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta PMQ \cong \Delta PMR$ है।
इसलिए,$\angle R = \angle Q$ ($CPCT$ द्वारा - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।

(A) $\Delta ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle B = \angle C$ होगा।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A = 50^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $50^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ}$।
$2 \angle B = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
$\angle B = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ}$।
चूंकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle C = 65^{\circ}$ होगा।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,और चूंकि भुजाएँ $PQ$ और $PR$ बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख कोण भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle R = \angle Q$।
दिया गया है $\angle Q = 48^{\circ}$,इसलिए $\angle R = 48^{\circ}$।
किसी भी त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
मान रखने पर: $\angle P + 48^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 96^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 84^{\circ}$ और $\angle R = 48^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है। इसलिए,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle B = \angle C$।
चूंकि $\angle B = x + 10^{\circ}$ है,इसलिए $\angle C = x + 10^{\circ}$ होगा।
त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2x + (x + 10) + (x + 10) = 180$।
$4x + 20 = 180$।
$4x = 160$।
$x = 40$।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle A = 2x = 2(40) = 80^{\circ}$।
$\angle B = x + 10 = 40 + 10 = 50^{\circ}$।
$\angle C = x + 10 = 40 + 10 = 50^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है। इसलिए,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,अतः $\angle Q = \angle R = 4x - 5^{\circ}$।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 10^{\circ}) + (4x - 5^{\circ}) + (4x - 5^{\circ}) = 180^{\circ}$।
समान पदों को जोड़ने पर: $9x = 180^{\circ}$,जिससे $x = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle P = x + 10^{\circ} = 20^{\circ} + 10^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\angle Q = 4x - 5^{\circ} = 4(20^{\circ}) - 5^{\circ} = 80^{\circ} - 5^{\circ} = 75^{\circ}$।
चूँकि $\angle Q = \angle R$,इसलिए $\angle R = 75^{\circ}$।
अतः,कोण $30^{\circ}, 75^{\circ}, 75^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ और $AD \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $BD = DC$ है।
उपपत्ति: $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ पर विचार कीजिए।
$1$. $AB = AC$ (दिया है)।
$2$. $\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ (क्योंकि $AD$ एक शीर्षलंब है)।
$3$. $AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = DC$ है।
यह सिद्ध करता है कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है। $\angle CAD$ शीर्ष $A$ पर एक बहिष्कोण है। $AP$,$\angle CAD$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AP \parallel BC$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB = AC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$।
$2$. त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। अतः,$\angle CAD = \angle ABC + \angle ACB$।
$3$. चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,हम लिख सकते हैं कि $\angle CAD = 2 \angle ACB$।
$4$. $AP$,$\angle CAD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CAP = \frac{1}{2} \angle CAD$।
$5$. चरण $3$ से मान रखने पर,$\angle CAP = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$।
$6$. $\angle CAP$ और $\angle ACB$ एकांतर अंतःकोण हैं। चूँकि ये बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $AP$ और $BC$ समांतर होंगी $(AP \parallel BC)$।

(N/A) दिया गया है कि $BP$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle XBP = \angle PBC$।
चूंकि $XY \parallel BC$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PBC = \angle BXP$।
अतः,$\angle XBP = \angle BXP$।
$\Delta XBP$ में,आधार के कोण बराबर होने के कारण,उनकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $XB = XP$।
इसी प्रकार,$CP$,$\angle C$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle YCP = \angle PCB$।
चूंकि $XY \parallel BC$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PCB = \angle CYP$।
अतः,$\angle YCP = \angle CYP$।
$\Delta YCP$ में,आधार के कोण बराबर होने के कारण,उनकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $YC = YP$।
अब,$XY = XP + YP$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $XY = XB + YC$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QX = XR$ है। $XY \perp PQ$ और $XZ \perp PR$ है। साथ ही,$XY = XZ$ है।
चरण $1$: $\Delta QXY$ और $\Delta RXZ$ पर विचार करें।
चरण $2$: इन दो त्रिभुजों में:
$1$. $\angle XYQ = \angle XZR = 90^{\circ}$ (शीर्षलंब दिए गए हैं)।
$2$. $XY = XZ$ (दिया है)।
$3$. $QX = XR$ ($X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है)।
चरण $3$: $RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta QXY \cong \Delta RXZ$ है।
चरण $4$: $CPCT$ द्वारा,$\angle Q = \angle R$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,चूँकि $\angle Q = \angle R$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए,अर्थात $PR = PQ$ है।
निष्कर्ष: चूँकि $\Delta PQR$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta XYZ$ में,$XY > XZ$ (दिया है)।
$\therefore \angle XZY > \angle XYZ$ (क्योंकि त्रिभुज की बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है)।
$\Delta XPZ$ में,$\angle XPY$ एक बहिष्कोण है और $\angle XZP$ इसका अंतः अभिमुख कोण है।
अतः,$\angle XPY > \angle XZP$ (बहिष्कोण गुणधर्म)।
चूंकि $\angle XZY$ ही $\angle XZP$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle XPY > \angle XZP > \angle XYZ$।
इस प्रकार,$\angle XPY > \angle XYZ$ (या $\angle XPY > \angle XYP$)।
$\Delta XYP$ में,चूंकि $XY$ के सम्मुख कोण (जो $\angle XPY$ है) का मान $XP$ के सम्मुख कोण (जो $\angle XYP$ है) से बड़ा है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $XY > XP$।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle C = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
हम जानते हैं कि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है और बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।
कोणों का आरोही क्रम $\angle A < \angle B < \angle C$ $(50^{\circ} < 60^{\circ} < 70^{\circ})$ है।
अतः,भुजाओं का आरोही क्रम $BC < AC < AB$ है।

(QR, PR, PQ) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $40^{\circ} + \angle Q + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$,जिससे $\angle Q = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी होती है और सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे बड़ी होती है।
कोणों का आरोही क्रम: $\angle P (40^{\circ}) < \angle Q (60^{\circ}) < \angle R (80^{\circ})$.
अतः,इन कोणों के सामने की भुजाओं का आरोही क्रम $QR < PR < PQ$ है।

(A) $\Delta XYZ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle Z = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
कोणों को आरोही क्रम में रखने पर: $\angle Y (30^{\circ}) < \angle Z (70^{\circ}) < \angle X (80^{\circ})$।
चूंकि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है,इसलिए भुजाओं का आरोही क्रम $XZ < XY < YZ$ होगा।

(N/A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle A = 90^{\circ}$.
कोणों का माप $\angle C = 20^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,और $\angle A = 90^{\circ}$ है।
चूँकि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है,इसलिए भुजाओं का आरोही क्रम $AB < AC < BC$ है।

(A) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$
$93^{\circ} + \angle Q + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$148^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ}$.
चूँकि सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी और सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे बड़ी होती है,इसलिए कोणों की तुलना करने पर: $\angle Q (32^{\circ}) < \angle R (55^{\circ}) < \angle P (93^{\circ})$.
अतः,भुजाओं का आरोही क्रम है: $PR < PQ < QR$।

(A) एक त्रिभुज में,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।
दिया गया है कि भुजाओं की लंबाई का क्रम $AB > BC > CA$ है।
भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है।
भुजा $BC$ के सम्मुख कोण $\angle A$ है।
भुजा $CA$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB > BC > CA$,इसलिए $\angle C > \angle A > \angle B$ होगा।
अतः,कोणों का आरोही क्रम $\angle B < \angle A < \angle C$ है।

(N/A) माना $\angle ABC = \beta$ और $\angle ACB = \gamma$ है।
चूंकि $\angle ABD$ शीर्ष $B$ पर एक बहिष्कोण है,अतः $\angle ABD = 180^\circ - \beta$।
चूंकि $\angle ACE$ शीर्ष $C$ पर एक बहिष्कोण है,अतः $\angle ACE = 180^\circ - \gamma$।
दिया गया है कि $\angle ABD > \angle ACE$,अतः:
$180^\circ - \beta > 180^\circ - \gamma$।
दोनों पक्षों से $180^\circ$ घटाने पर,$-\beta > -\gamma$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $\beta < \gamma$।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।
यहाँ $\angle ACB (\gamma) > \angle ABC (\beta)$ है,इसलिए $\angle ACB$ के सामने की भुजा $AB$ है और $\angle ABC$ के सामने की भुजा $AC$ है।
अतः,यदि $\angle ACB > \angle ABC$ है,तो $AB > AC$ होगा। यदि प्रश्न में $\angle ABD > \angle ACE$ दिया है,तो $AC > AB$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना कि विषमबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$,और $c$ हैं,जहाँ $a > b > c$ है।
माना कि इन भुजाओं के सम्मुख कोण क्रमशः $A$,$B$,और $C$ हैं।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा होता है। अतः,$A > B > C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $A + B + C = 180^{\circ}$ है।
चूँकि $A > B$ और $A > C$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $A + A + A > A + B + C$।
अतः,$3A > 180^{\circ}$।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $A > 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,विषमबाहु त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण हमेशा $60^{\circ}$ से बड़ा होता है।

(N/A) $\Delta ABD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है: $AB + BD > AD$ (समीकरण $1$)।
$\Delta ACD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार: $AC + CD > AD$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + BD) + (AC + CD) > AD + AD$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $AB + AC + (BD + CD) > 2 AD$।
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $BD + CD = BC$।
अतः,$AB + AC + BC > 2 AD$।
यह दर्शाता है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $2 AD$ से अधिक है।

(N/A) $1$. $AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो। $EC$ को मिलाइए।
$2$. $\Delta ADB$ और $\Delta EDC$ में:
- $AD = DE$ (रचना से)
- $\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
- $BD = DC$ ($AD$,$BC$ पर माध्यिका है)
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ADB \cong \Delta EDC$ है।
$4$. इसलिए,$AB = EC$ ($CPCT$ से)।
$5$. $\Delta AEC$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है:
- $AC + EC > AE$
$6$. चूँकि $AE = AD + DE = AD + AD = 2AD$ और $EC = AB$,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
- $AC + AB > 2AD$।
$7$. अतः,$AB + AC > 2AD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $1$. $BP$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $AC$ को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करे।
$2$. $\Delta ABD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है: $AB + AD > BD$।
$3$. चूँकि $BD = BP + PD$,हम लिख सकते हैं: $AB + AD > BP + PD$ --- (समीकरण $1$)।
$4$. $\Delta PDC$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार: $PD + DC > PC$ --- (समीकरण $2$)।
$5$. समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(AB + AD) + (PD + DC) > (BP + PD) + PC$।
$6$. असमिका को सरल करने पर: $AB + (AD + DC) + PD > BP + PD + PC$।
$7$. चूँकि $AD + DC = AC$,हमें प्राप्त होता है: $AB + AC + PD > BP + PC + PD$।
$8$. दोनों पक्षों से $PD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB + AC > PB + PC$,जो $PB + PC < AB + AC$ के बराबर है।

(A) $\Delta ABC$ में,मान लीजिए कि $AD$,$BE$ और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$ और $AB$ पर माध्यिकाएँ हैं।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
$\Delta ABD$ में,$AB + BD > AD$ $(1)$।
$\Delta ACD$ में,$AC + CD > AD$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $AB + AC + (BD + CD) > 2AD$।
चूँकि $BD + CD = BC$,इसलिए $AB + AC + BC > 2AD$ $(3)$।
इसी प्रकार,माध्यिकाओं $BE$ और $CF$ के लिए:
$AB + BC + AC > 2BE$ $(4)$।
$AB + BC + AC > 2CF$ $(5)$।
$(3)$,$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$3(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)$।
यह दर्शाता है कि $AB + BC + AC > \frac{2}{3}(AD + BE + CF)$।
हालाँकि,माध्यिकाओं के लिए मानक असमिका $AB + BC + AC > AD + BE + CF$ है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि किसी भी त्रिभुज में,माध्यिकाओं का योग उसके परिमाप से कम होता है $(AD + BE + CF < AB + BC + AC)$।

(N/A) $\Delta PQS$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है:
$PQ + QS > PS$ ---$(1)$
$\Delta PRS$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार:
$PR + RS > PS$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(PQ + QS) + (PR + RS) > PS + PS$
$PQ + PR + (QS + RS) > 2PS$
चूंकि $S$,$QR$ पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $QS + RS = QR$ होगा।
अतः,$PQ + PR + QR > 2PS$।